1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ).

Transkript

1 . (3 poäng) Antag att en partikel rör sig i ett medium där friktionskraften är proportionell mot kvadraten av hastigheten v(t) R så att dv(t) = k ( v(t) ), t > för en konstant k >. Bestäm v(t) som funktion av v(), k och t R. Låt (t)/ = v(t). Bestäm också den tillryggalagda sträckan x(t) som funktion av x(), v() och t. Ekvationen är separabel dv v = k så v(t) = + v()kt + kt = v() v() och vi får hastigheten v(t) = v() +v()kt. Detta ger sträckan x(t) = x() + v() t + v()kt = x() + k ln( + v()kt ).. (3 poäng) Bestäm jämviktspunkterna för differentialekvationen (t) = k ( α x(t) )( β x(t) ), där k och α > β är positiva konstanter och x :, ) R. Klassificera också jämviktspunkterna med avseende på stabilitet. Ekvationen behöver inte lösas. Ekvationen kan skrivas x (t) = g(x(t)) med g(x) = k(α x)(β x). Jämviktspunkterna bestäms av lösningarna till = g(x) vilket ger x = α och x = β. Vi har g (x) = k(β x) k(α x), så g (α) = k(β α) > och g (β) = k(α β) <. Därför är x = β en asymptotiskt stabil jämviktspunkt och x = α är en instabil jämviktspunkt. 3. (3 poäng) Betrakta funktioner x :, ) R och y :, ) R som löser systemet (t) = ɛx(t) y(t), dy(t) = x(t) + ɛy(t). Bestäm systemets jämviktspunkter och avgör deras karaktär som funktion av konstanten ɛ R. Systemet behöver inte lösas. Jämviktspunkterna löser = ɛx y, = x + ɛy,

2 vilket ger y = ɛx och x( + ɛ ) = vars lösning är x = y =. Jacobianen till högerledet är den konstanta matrisen ɛ ɛ dess egenvärden λ uppfyller ɛ λ = det ɛ λ = (ɛ λ) +, så λ = ɛ ± i. Om ɛ < är jämviktspunkten (, ) en asymptotiskt stabil spiral, om ɛ = är jämviktspunkten (, ) en stabil centrumpunkt och om ɛ > är jämviktspunkten (, ) en instabil spiral. 4. (3 poäng) Bestäm den allmänna lösningen x :, ) R och y :, ) R till systemet (t) = x(t) + ɛy(t), dy(t) = x(t) y(t), där ɛ (, ) är en konstant. Jacobianen till högerledet är den konstanta matrisen ɛ vars egenvärden λ uppfyller = det λ ɛ λ = ( + λ) ɛ, så λ = λ ± = ± ɛ. Ekvationen för en egenvektor = λ ɛ λ a b ger a = ɛb/( + λ ± ) = ±b ɛ. Egenvärdet λ + ger egenvektorn ɛ Vi får den allmänna lösningen x(t) = c y(t) + e ( + ɛ)t för goyckliga reella konstanter c ±. och egenvärdet λ ger egenvektorn ɛ + c e ( ɛ)t ɛ ɛ.

3 5. (3 poäng) Betrakta funktionerna x :, ) R och y :, ) R som löser systemet (t) = x(t) + ɛy(t), dy(t) = x(t) y(t), där ɛ = /9 och (x(), y()) = (, ). Bestäm y(t) med hjälp av Laplacetransformen. Låt Z(s) = x(t) e y(t) st vara Laplacetransformen av lösningen. Laplacetransformering av ekvationen ger och vi får Inverstransformering ger där ɛ = /9. sz(s) = ɛ Z(s) + s ɛ Z(s) = + s + s ɛ = (s + ) ɛ + s = s+ (s+) ɛ (s+) ɛ y(t) = L (s + ) ɛ. = ɛ / L ( (s + ) ɛ / (s + ) + ɛ / ) = ɛ / ( e ( +ɛ/ )t e ( ɛ/ )t ), 6a. (4 poäng) Temperaturen u :, R i en stav med diffusionsfunktion k :, (, ) uppfyller differentialekvationen d ( du(x) ) () k(x) =, < x < där temperaturen vid x = är u() = och värmeflödet vid x = uppfyller k()u () =. Bestäm temperaturen u(x) med ett uttryck beroende på k. 6b. (6 poäng) Antag att staven i uppgift 6a består av ett kompositmaterial med N skikt där { k = n x < x (n + k(x) = ) x, k = (n + ) x < x (n + ) x, 3

4 4 för n =,,,..., N och x = /N. Bestäm en konstant konduktivitet k så att u(n x) = u (n x) för n =,,,..., N, där u löser () och u (x) är temperaturen i en homogen stav med konstant diffusionsparameter k som uppfyller d ( du (x)) k =, < x <, u () =, du (x) k x= =. Integration av ekvationen () ger k(x)u (x) = C och randvillkoret vid x = medför C =, så u (x) = /k(x). En ytterligare integration och randvillkoret u() = visar att () u(x) = x dy k(y). Vi har som i uppgift 6a att k u = och u = /k så randvillkoret u () = ger u (x) = x/k. Uttrycket () ger n x u(n x) = k(x) = (n x + n x ) k k så villkoret u (n x) = u(n x) ger = k ( + ). k k Vi får k = k k k + k = Temperaturen u(x, t), i positionen x vid tiden t, i en homogen stav med konstant diffusionsparameter k uppfyller u(x, t) u(x, t) = k, t x < x <, t >, u(, t) =, x t >, u(, t) =, t >, u(x, ) = x( x ), < x <. 7a. (4 poäng) Bestäm u(x, t) som en Fourierserie. 7b. (3 poäng) Bestäm ett närmevärde till max x u(x, ) när k = ln.

5 5 och Variabelseparationsansatsen u(x, t) = T (t)x(x) insatt i ekvationen ger X(x)T (t) = k T (t)x (x) T (t) k T (t) = X (x) X(x). Eftersom högerledet beror bara på x och vänsterledet bara på t måste vänsterledet och högerledet vara en konstant λ. Vi får X = λx. Om λ = α < får vi med karakteristiska ekvationen lösningen X(x) = a cos(αx) + b sin(αx). Randvillkoren ger = a och = aα sin α + bα cos α vars lösning är α = π(n + /) för n =,,,.... På samma sätt ger λ endast X(x) = som lösning. Ekvationen för T blir T /(k T ) = α = π (n+/) och vi får lösningen T (t) = ce k π (n+/) t, vilket ger u(x, t) = b n e k π (n+/) t sin(π(n + /)x). Eftersom ekvationen är linjär är också summan u(x, t) = b n e k π (n+/) t sin(π(n + /)x) n= en lösning. Koefficienterna b n bestäms av begynnelsevillkoret x x / = u(x, ) = b n sin(π(n + /)x) och ortogonaliteten b n / = Vi får temperaturen n= (x x /) sin(π(n + /)x) = = (x x cos(π(n + /)x) /) + π(n + /) sin(π(n + /)x) = ( x) π (n + /) + = π 3 (n + /) 3 u(x, t) = n= ( x) (x x /) d sin(π(n + /)x) π (n + /) cos(π(n + /)x) π(n + /) π 3 (n + /) 3 e k π (n+/)t sin(π(n + /)x). cos(π(n + /)x) π(n + /) Låt t = och k = ln. Temperaturen u domineras av den första termen i summan som vid x = har sitt maximum 6 π 3 e ln π /4 = 6 /4 6 π 3 π 3 /4 = 3.9.

6 6 De resterande termerna kan uppskattas enligt följande. Vi har med hjälp av integraluppskattning av en avtagande funktion n= π 3 (n + /) 3 e k π (n+/)t sin(π(n + /)x) e k π (+/) t Den första termen i summan för u är π 3 e k π (+/) t = π 3 e k π (+/) t 4 π 3 (/) 3 e k π (/)t sin(π(/)x). π 3 (n + /) 3 n= (x + /) 3 Det relativa felet att ersätta u med första termen vid x = blir mindre än e k tπ 8/4 4 = π 4 < < 6. 8.(5 poäng) Låt u(x, t) vara utböjningen i positionen x vid tiden t av en sträng som uppfyller (3) u(x, t) = 9 u(x, t), < x <, t >, t x u(x, ) = + x, < x <, u(x, ) =, < x <. t Bestäm u(x, t) med hjälp av Fouriertransformen. Låt U(ω, t) := u(x, t)e iωx vara Fouriertransformen av u i x-led. Då ger Fouriertransformering i x-led av (3) U(ω, t) t = 9ω U(ω, t), t > för varje ω R. Denna ordinära differentialekvation har karakteristiska ekvationen m +9ω = som ger lösningen m = ±3ωi och Begynnelsevillkoret ger U(ω, t) = a(ω) sin(3ωt) + b(ω) cos(3ωt). U(ω, ) = b(ω), U(ω, ) t = = 3a(ω)ω,

7 7 så U(ω, t) = U(ω, )(e 3iωt + e 3iωt )/. Dess inverstransform med translation (se BETA) blir u(x, t) = F {U(ω, ) e3iωt + e 3iωt }(x) u(x + 3t, ) + u(x 3t, ) = = ( + (x + 3t) + ). + (x 3t) Alternativ uppgift 8.(5 poäng) Formulera och bevisa en sats om stabilitet för skalära differentialekvationer y (t) = g(y(t)) med g (y ) < i en jämviktspunkt y. se Sats.3. och Kapitel 4 i sidorna Eulers metod på kurswebbsidan.