dt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning.

Transkript

1 Lösningsförslag till tentamenssrivning i SF633 Differentialevationer I Måndagen den 5 otober 0, l Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handboo Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräningar och resonemang är lätta att följa Svaren sall ges på reell form Del Modul Bestäm den lösning till differentialevationen dy dx = y 9 som uppfyller villoret y(0) = 9 Ange även lösningens existensintervall Den givna differentialevationen är separabel a) Konstantlösningar: y = ±3 Dessa uppfyller ej villoret b) Vi bestämmer nu ice-onstanta lösningar och för dessa gäller att y ±3 dy Omforma differentialevationen: y 9 dx =, dy (y + 3)(y 3) dx =, y y 3 Integrera med avseende på x: ln y ln y 3 = 6x + ln C, y 3 y + 3 = ±C e6x = Ce 6x, Villoret y(0) = 9 ger C = = vilet ger y = 3e 6x + 6 e 6x Över till existensintervallet Det sall uppfylla villoret e 6 x 0 samt innehålla x = 0 Vi får x : x < ln 6 dy dx = 6 SVAR: Differentialevationen har lösningen y = 3e 6x + 6 och existensintervallet är x : x < ln e 6x 6 Modul dx = (x + 3 )y Studera det ice-linjära systemet genom att hitta alla ritisa punter, bestämma deras dy = x + y typ(nod, sadelpunt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila Lösning I ritisa punter är tangentvetorn lia med nollvetorn Vi får 0 = (x + 3 )y x + y De ritisa punterna är: (,0) och (,0) Nu över till bestämning av de stationära punternas aratär Vi linjariserar det ice-linjära systemet Först beränas Jacobimatrisen och därefter insättes respetive stationär punt Jacobimatrisen J(x,y) = xy x + 3 x Insättning av (,0) ger J(,0) = 0 5 = A Vi bestämmer matrisens egenvärden 0 = det(a I) = 5 = 5 = ( +)( 5)

2 Egenvärdena är reella och med olia tecen Det linjariserade systemet uppvisar en sadelpunt i (,0) Detsamma gäller även för det ice-linjära systemet Insättning av (,0) ger J(, 0) = 0 5 = B Vi bestämmer matrisens egenvärden 0 = det(b I) = 5 = + 5 = ( ) + Egenvärdena är omplexa och med positiv realdel Det linjariserade systemet uppvisar en instabil spiral i (,0) Detsamma gäller även för det ice-linjära systemet SVAR: De ritisa punterna är (,0) och (,0) (,0) är en sadelpunt och därmed instabil (,0) är en instabil spiralpunt Modul 3 Bestäm y( 3π ) och y(π ) då y y + y = 3 (t ) och y(0)= y (0)=0 Laplacetransformera differentialevationen: s Y (s) sy (s) + Y (s) = 3e s 3 Lös ut Y (s): Y (s) = s s + 3e s = (s ) + e s 3 Återtransformera först (s ) + : 3 L (s ) + = 3et sin t Då blir y(t) = U(t )3e t sin(t ) De söta värdena är y( 3π 3π ) = U(3π )3e sin( 3π π ) = 3e y( π ) = U (π )3e π sin( π ) = 0 SVAR: De söta värdena är y( 3π ) = 3e π och y( π ) = 0 Del En tan som rymmer 0 liter innehåller från början 5 liter rent vatten Vid tiden t = 0 pumpas en lösning in med hastigheten 5 liter/min med oncentrationen 0 gram/liter Samtidigt vid t = 0 öppnas en ran så att utflödet av tanens innehåll blir proportionellt, med proportionalitetsonstanten, mot lösningens volym i tanen a) Ställ upp en differentialevation som modellerar mängden salt i tanen som funtion av tiden b) Bestäm lim A(t) t, där A(t) är mängden salt i tanen vid tiden t, uttryct i proportionalitetsonstanten c) Bestäm proportionalitetsonstanten om man vet att A() = 5 gram a) Låt A(t) vara mängden salt i tanen vid tiden t Vi erhåller följande differentialevation da(t) Förenling ger da(t) = 50 A(t) = 5 0 V(t) A(t) V(t) b) Vi gör en valitativ analys av den autonoma differentialevationen Stationär lösning är A(t) = 50 Nu över till det endimensionella fasporträttet

3 För A(t) < 50 är da(t) > 0, funtionen växer, och för A(t) > A(t) är da(t) < 0, funtionen avtar Det söta gränsvärdet lim A(t) = 50 t c) Vi löser den uppställda differentialevationen, da(t) + A(t) = 50 Den är linjär med onstanta oefficienter och dessa lösning erhålles som summan av allmänna homogena lösningen och en partiulärlösning Den allmänna lösningen är A(t) = Ce t + 50 Vid starten finns inget salt Detta ger 0 = A(0) = C + 50 Vi får A(t) = 50 ( e t ) Villoret A() = 5 SVAR: a) da(t), C= 50 ger A() = 5 = 50 ( e ), = e, e =, e =, =ln = 50 A(t) b) lim A(t) t = 50 c) = ln a) Definiera begreppet fundamentalmängd av lösningar till en homogen linjär differentialevation av ordning två b) Till en andra ordningens linjär differentialevation med onstanta oefficienter har följande ( ) lösningar föreslagits: y = 3e x + 5e x, y = 7e x, y 3 = e x 9e x, y = 7 e x Kommentera detta förslag samt bestäm en fundamentalmängd av lösningar c) Betrata en linjär homogen differentialevation med onstanta oefficienter som svarar mot fundamentalmängden av lösningar i b) och med oefficienten framför andraderivatan lia med ett Bestäm den allmänna lösningen till motsvarande inhomogena differentialevation, då dess högerled är g(x) = 5e x a) { y, y } är en fundamentalmängd av lösningar till en homogen linjär differentialevation av ordning två om y och y satisfierar differentialevationen samt är linjärt oberoende b) Vi söer två linjärt oberoende lösningar Dessa lösningar är på formen y = Ce rx ty differentialevationen har onstant oefficienter Detta innebär att y = 7e x ej är atuell De övriga går bra Vi väljer den enlaste uppsättningen: y a = e x och y b = e x { } En fundamentalmängd av lösningar är e x,e x Dessa lösningar satisfierar differentialevationen (D ( ))( D )y = 0 dvs y 3 y y = 0 c) Den inhomogena differentialevationen är y 3 y y = 5e x z + z + z +6z 3( z + z) z = 5 Vi söer en partiulärlösning Sätt y = e x z, y = e x z + e x z, y = e x z + e x z + e x z + 6e x z e x z + e x z + e x z + 6e x z 3(e x z + e x z) e x z = 5e x, z + 5 z = 5 Ansätt z p = cx Insättning ger 0 + 5c = 5, c= 5 En partiulärlösning är y p = 5xe x Den allmänna lösningen till den inhomogena differentialevation är summan av allmänna homogena lösningen och en partiulärlösning Vi får y = Ae x + Be x + 5xe x { } c) SVAR: a) Se ovan b) En fundamentalmängd av lösningar är e x,e x y = Ae x + Be x + 5xe x

4 3 a Definiera begreppet fundamentalmatris för systemet X = AX b Härled en partiulärlösning till det linjära system X = AX + F, då en fundamentalmatris ges av Φ c Bestäm en partiulärlösning till systemet X = X +, då 0 < t < sint a I en fundamentalmatris består olonnerna av n stycen linjärt oberoende lösningar till det linjära systemet X = AX, där A är en nxn-matris b Vi utgår från den allmänna homogena lösningen, vilen an srivas: X = ΦC, C är en onstant vetor En partiulärlösning ansättes som: X p = ΦU, där U är en tidsberoende vetor Insättning i systemet av differentialevationer ger: Φ U +Φ U = AΦU + F Kolonnerna i fundamentalmatrisen Φ består av linjärt oberoende lösningar till det homogena systemet Detta innebär att varje olonn uppfyller det homogena systemet och således uppfyller även fundamentalmatrisen detsamma, med andra ord gäller att Φ = AΦ Vi erhåller då: AΦU + Φ U = AΦU + F, Φ U = F Lös ut U Multiplicera med fundamentalmatrisens invers Den existerar ty det Φ 0 Vi erhåller U =Φ F Integration ger: U = Φ F Vi har erhållit X p =Φ Φ F c Vi bestämmer först två linjärt oberoende lösningar till det homogena systemet och använder därefter variation av parametrar, se b, för att bestämma en partiulärlösning till det inhomogena systemet För att erhålla lösningar till det homogena systemet bestämmer vi egenvärdena till matrisen A = = det(a I) = = +, = ±i Vi har erhållit omplexa egenvärden och bestämmer då en omplex egenvetor Bestäm en egenvetor till egenvärdet = i i Vi söer ice-triviala lösningar till systemet i v = 0, vila ges av v = r, r i R En omplex lösning är Z = e it i Realdel respetive imaginärdel av den omplexa lösningen ger oss två linjärt oberoende lösningar Vi omformar den omplexa lösningen: Z = (cost +isin t) 0 + i 0 Re Z = cost och Im Z = sin t är två linjärt oberoende lösningar till det homogena systemet sin t cost cost sin t Variation av parametrar innebär att vi behöver en fundamentalmatris Φ = sint cost 0 En partiulärlösning erhålles som X p = Φ Φ Inversen blir Φ = cos t sint sin t cost sin t 0 Φ = cost = t X ln(sint) p = t cost sintln(sin t) sint sin t tsin t + cost ln(sint) t cost sintln(sin t) SVAR: a Se ovan b Se ovan c En partiulärlösning är X p = tsin t + cost ln(sint)

5 Betrata en smal stav Låt dess temperatur ges av u(x,t) Dess ena ände hålles vid den onstanta temperaturen 0 C och dess andra ände är isolerad Vid tiden t = 0 är stavens temperatur u(x,0) = cos3 x cos7 x Detta ger upphov till följande problem: u t = u xx, 0 < x < π, t > 0 u x (0,t) = u( π,t) = 0, t > 0 u(x,0) = cos3 x cos7 x, 0 < x < π Bestäm stavens temperatur som funtion av läget och tiden Vi bestämmer lösningar på formen u(x,t ) = X(x)T(t) Insättning i differentialevationen ger X(x) T (t) = X (x)t(t) T (t) Dividera med X(x)T(t) : T(t) = X (x) X(x) = onstant = X (x) X(x) = 0 Vi får ett system av ordinära differentialevationer: T (t) T(t) = 0 Dessa evationer är linjära med onstanta oefficienter och löses med arateristis evation Vi betratar den första evationen och får tre silda fall att undersöa Dessa är följande: > 0, = 0 och < 0 =, R = 0 =, R X (x) X(x) = 0 X (x) = 0 X (x) + X(x) = 0 X(x) = A e x + B e x X(x) = A x + B X(x) = A 3 cos x + B 3 sin x Randvilloren och variabelseparationen ger oss följande villor: X (0)T(t) = 0, X( )T(t) = 0, t > 0 Dessa sall gälla för alla t > 0 Detta ger: X (0) = 0, X( )=0 Nu över till de tre fallen Vi behöver även derivatan X (x) =, R = 0 =, R X(x) = A e x + B e x X(x) = A x + B X(x) = A 3 cos x + B 3 sin x X (x) = ( A e x B e x ) X (x) = A X (x) = ( A 3 sin x + B 3 cos x) Insättning av villoren ger =, R = 0 =, R X (0) = (A B ) = 0 X (0) = A = 0 X (0) = (B 3 ) = 0 X( ) = A e + B e = 0 X( ) = B = 0 X( ) = A 3 cos + B sin 3 = 0 B = A B = 0 B 3 = 0 A (e + e ) = 0 A = 0 A 3 cos = 0 Den enda ice-triviala lösningen erhålles i fallet =, R Då erhålles = n +, n N och lösningen har formen X(x) = B 3 cos(n +)x Motsvarande t-evation har lösningen T(t) = C 3 e t = C 3 e ( n+) t Vi får våra lösningar till den partiella differentialevationen och som uppfyller de givna randvilloren på formen u n ( x,t) = X(x)T(t) = B 3 C 3 cos(n +)x e ( n +) t Även linjärombinationer av sådana lösningar är lösningar

6 Vi erhåller u(x,t) = b n e ( n +) t cos(n +)x n= 0 Det återstår att bestämma oefficienterna Dessa erhålles med hjälp av det givna begynnelsevilloret u(x,0) = cos3 x cos7 x Insättning ger: u(x,0) = b n cos(n +)x = cos3 x cos7 x n=0 Identifiering ger att alla utom två oefficienter är lia med noll Vi får b = och b 3 = Den söta lösningen är u(x,t) = e 9t cos3x e 9 t cos7x SVAR: Den söta lösningen är u(x,t) = e 9t cos3x e 9 t cos7x SVAR: 5 För att exempelvis modellera bindningars vibrationer i moleyler används följande förenlade modell, d Ψ dx + x Ψ = Ψ a) Visa att differentialevationen y + x d dy y = 0 an srivas som = x dy dx + xy d df Notera att ( f + g) = dx dx + dg dx b) Lös y + x y = 0 genom att sätta f (x) = dy dx + xy i evationen d dy = x dy dx + xy och sedan bestämma f (x) Svaret y(x) får innehålla en integral d dy a) Evationen = x dy dx + xy omformas till d dy x Vi utveclar vänstra ledet d dy x dy dx + xy = d y dx + y + x dy dx x dy dx x y = 0 d y dx + x y = 0 vsv b) Insättning av f (x) = dy dx + xy d dy i evationen = x dy dx + xy ger Vi har en linjär differentialevation ( Den är även separabel) Vi löser den som linjär och omformar evationen x dx f (x) = 0 En integrerande fator är e x dx = e x Multiplicera x x f (x) = 0 med e dx e x x dx e x f (x) = 0, d dx e x f (x) = 0, e x x f (x) = C, f (x) = Ce Nu över till evationen f (x) = dy dx + xy med f (x) = Ce Upprepa proceduren ovan x dy dx + xy dx = 0 = x f (x)

7 dy dx + xy x = Ce, e Vi får y = Ce x e x dx + e x dy x dx + De x xy x = Ce SVAR: a) Se ovan b) Det söta svaret är y(x) = Ce x e x, d x x dx ye x x = Ce, ye = C e dx + D x dx + De x e