Lösningsförslag till tentamen MVE465, Linjär algebra och analys fortsättning K/Bt/Kf

Transkript

1 Lösningsförslag till tentamen MVE4, Linjär algebra och analys fortsättning K/Bt/Kf 64 l Examinator: Thomas Wernstål, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat:, telefon: Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna. Ej heller miniränare. För godänt på tentamen rävs minst poäng då eventuell bonuspoäng är inränad. För godänt på ursen rävs ocså att du är godänd på ursens datorövningarna. För betyg 4 eller 5 rävs dessutom 3 resp. 4 poäng på tentamen, inlusive bonuspoäng. Sriv tentamensoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper. Tentan rättas och bedöms anonymt. Lösningar läggs ut på ursens webbsida första vardagen efter tentamensdagen. Resultat meddelas via Lado ca. tre vecor efter tentamenstillfället. Första gransningstillfälle meddelas på urswebbsidan, efter detta ser gransning alla vardagar 9-3, MV:s exp.. (a Beräna undersumman L(f, P 4 till integralen f(x dx, där f(x = x och P 4 betecnar partitionen av [, i fyra lia stora delintervall. Lösning: P 4 = {, 4,, 3 4, } dvs. x = 4, =,,, 3, 4. Funtionen f(x = x är växande på varje delintervall [x, x och antar därför sitt minsta värdet i den vänstra ändpunten på respetive delintervall dvs. i m = x. Vi får då att; L(f, P 4 = 4 f(m (x x = = Svar: L(f, P 4 = 7/3 4 ( 4 4 = ( = 4 64 = 7 3 = (b Beräna Lösning: Svar: ln (4/5 x 4 x 3 + 4x dx x 4 x 3 + 4x dx = x 4 x(x + 4 dx = ( x x + 4 dx = x = [ ln x + 4 ln x = ln 8 ln ln 5 = ln 4 5. (a Visa att y = /x är en lösning till differentialevationen och bestäm sedan alla andra lösningar. y 4y + 3y = 3x + 4x + x 3 Lösning: Om y = /x så är y = /x och y = /x 3 och därmed y 4y + 3y = ( x 3 4 x + 3 x = 3x + 4x + x 3 (4p Karateristisa evationen till motsvarande homogena evation är r 4r + 3 =, som har lösningarna r = ± 3i, varpå det följer att... Svar: den allmänna lösningen till differentialevationen är y = e x (C cos 3x + C sin 3x + x

2 x y(t (b Lös integralevationen y(x = x dt t (4p Lösning: Deriverar vi båda led får vi den linjära differentialevationen y = y x y = y x y + y x = xy +y = x (xy = x xy = x +C y = x + C x Från integralevationen avläser vi att en lösning måste uppfylla y( =, varpå vi får att C = och därmed; Svar: y(x = x + x 3. En vattentan har formen av en cirulär cylinder med radie 4 meter och höjden 9 meter. Antag att det går hål i botten på tanen och vattnet strömmar ut med en hastigheten som är proportionell mot vadratroten ur vattendjupet i tanen (Torricellis lag. Om vattendjupet efter t minuter är h(t meter så följer det att; h (t = h(t för någon proportionalitetsonstant (ty mängden vatten är i detta fall proportionell mot vattendjupet. Antag att tanen från början är helt full med vatten och att vattendjupet efter 3 minuter är 4 meter. Hur lång tid tar det då innan tanen är helt tömd på vatten? (5p Lösning: Differentialevationen h (t = h(t är separabel och vi får att h = h dh dh = dt = dt h = t + C h h Av texten i uppgiften framgår att h( = 9 vilet innebär att C = 6. Vidare framgår det ocså av texten att h(3 = 4 vilet innebär att 4 = 3 + C, så = /5. Således är h(t = (3 t/3 Speciellt får vi att h(t = då 3 t/3 = dvs. t = 9 Svar: 9 minuter 4. Låt A = h 5 3, b = (a För vila h och har Ax = b ingen, uni, respetive oändligt många lösningar. Lösning: Radelimination på systemets utvidgade oefficientmatris ger att; h 3 h h 4 6 Här avläser vi att det blir uni lösning om h dvs då h 5. Om h = 5 blir det oändligt många lösningar om ocså 4 6 = dvs då = 3/, och i annat fall inga lösningar alls. Svar: Uni lösning då h 5, oändligt många lösningar då h = 5 och = 3/, inga lösningar då h = 5 och 3/.

3 (b Använd Cramers regel för att bestämma den unia lösningen x = [ x x T x 3 till Ax = b då h = =. Lösning: Om h = = så är; 3 4 det(a = = = 6 3 Cramers regel ger sedan att; x = = = x = = = 4 = 8 3 x 3 = Svar: x = [ 8/ 8/3 3/5 T 7 = = 39 = Låt v = [ T och v = [ 3 T och låt T vara den linjära avbildning från R till R 3 som är sådan att T (v = e och T (v = e, där e, e, e 3 är standardbasen i R 3. (a sriv v = [ 3 T som en linjärombination av v och v och bestäm sedan T (v. Lösning: [ [ [ 3 x 3 x v + x v = v = x [ x = [ [ [ 3 3 3/ = / x så v = 3 v + v och speciellt följer att; T (v = T ( 3 v + v = 3 T (v + T (v = 3 e + e = Svar: v = 3 v + v och T (v = [ 3/ / T 3/ / (b Bestäm standardmatrisen för avbildningen T. Lösning: Om A är standardmatrisen för avbildningen T så är; { [ Av = e 3 A = Av = e A = [ 3 = 3 Svar: Standardmatrisen för avbildningen T är 3

4 [ 7 6. Låt A = 4 (a Bestäm en diagonalisering av A. Lösning: Vi har det(a λi = λ 7 4 λ = λ + λ = (λ + 4(λ 3 så A har egenvärdena λ = 4, λ = 3. För var och en av dessa egenvärden bestämmer vi sedan tillhörande egenvetorer; [ [ [ 7 7 λ = 4 : A + 4I = ; Egenvetorer: s, s R 4 4 [ [ [ 4 7 λ = 3 : A 3I = ; Egenvetorer: s, s R 4 7 så vi får att; Svar: A = P DP, där D = [ 4 3 och P = [ (b Bestäm x då x = [ T och xn = Ax n för alla n N. (4p 7. Låt A = (obs! tal på formen a behöver inte beränas Lösning: x = A x = P D P x = P D [ [ Svar: x = [ [ = (a Bestäm en ortogonal bas till nollrummet för A. Lösning: Radreducering på totalmatrisen för systemet Ax = ger; [ [ så Ax = x = x 3 }{{} v +x 4 }{{} v Vetorerna v och v är uppenbart linjärt oberoende och bildar därför en bas för nollrummet till A. Med Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod erhåller vi sedan en ortogonal bas för nollrummet; u = v u = v v u u u u = 3 3 Svar: u = [ T, u = [ 3 T bildar en ortogonal bas för nollrummet till A.

5 (b Bestäm den vetor i A:s nollrum som har minst avstånd till vetorn [ T. Beräna ocså detta minimala avstånd. Lösning: Den söta vetorn är ortogonala projetionen av [ T på nollrummet och an beränas genom; 3 y = x u u + x u u = 3 u u u u 5 4 Det söta avståndet ges då av y x = 5 [ 3 T = 5/5 Svar: Den söta vetorn är 5 [ Toch det minimala avståndet är 5/5. 8. (a Bevisa att e ix e iy = e i(x+y (b Formulera och bevisa De Moivre s sats/formel.

6 Formelblad Trigonometri. cos(x + y = cos(x cos(y sin(x sin(y sin(x + y = sin(x cos(y + cos(x sin(y cos(x cos(y = (cos(x y + cos(x + y sin(x sin(y = (cos(x y cos(x + y sin(x cos(y = (sin(x y + sin(x + y tan(x + tan(y tan(x + y = tan(x tan(y sin cos x x = cos + cos x x = Binomialsatsen (a + b n = T.ex är n = ( n ( a n b n, där (a + b 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a + b 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 Koefficienterna ( n Konjugatregeln a n b n = (a b T.ex är ( n = n!!(n!, n! = 3 n och! = an även erhållas ur Pascals triangel (tal + på rad n + ränat från toppen a n b = a 5 b 5 = (a b(a 4 + a 3 b + a b + ab 3 + b 4