+, C = e4. y = 3 4 e4 e -2 x +

Transkript

1 ösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B och Diff & Trans I för V, 5B Fredagen den augusti 3, kl -9 Hjälmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna å ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att följa Svaren skall ges å reell form Del är avsedd för betyg 3 och omfattar 8 treoängsugifter För godkänt krävs minst 6 oäng Del är avsedd för högre betyg, och 5, och omfattar oäng Poängfördelning å del : - ger 5 oäng vardera För betyg krävs förutom godkänt å del även minst 9 oäng å del För betyg 5 krävs förutom godkänt å del även minst 5 oäng å del OBS! BONUSPOÄNG TIGODORÄKNAS ENDAST FRÅN PERIOD resektive PERIOD 3 OBS! Detta sker enligt följande: Godkänd laskrivning nr i ger ugift nr i godkänd, i,,7 Del Bestäm ett värde å x så att grafen till lösningsskurvan för begynnelsevärdesroblemet y + y 3x - 6, y(x ) tangerar x -axeln i unkten (x,) Bestäm därefter begynnelsevärdesroblemets lösning Grafen till lösningsskurvan tangerar x -axeln i unkten (x,) då y (x,) Insättning i differentialekvationen ger: + 3x - 6, x Den givna differentialekvationen är linjär av första ordningen Den allmänna lösningen erhålles som summan av allmänna homogena lösningen och en artikulärlösning Den allmänna homogena lösningen ges av y h Ce -x För att erhålla en artikulärlösning gör vi ansatsen: y ax + b Insättning i differentialekvationen ger: a + (ax + b) 3x - 6 Ï x: a 3 Ï a 3 / Identifiering ger: Ó x, y : a + b -6 Ó b (-6-3 / ) / -5 / Allmänna lösningen ges av: y Ce -x 6x -5 + Bestäm konstanten Villkoret ger: Ce , C 3 e y 3 e e - x + SVAR: x och y 3 e e - x + 6x -5 6x -5 6x -5 I en befolkningsmodell för ett samhälle antas att hastigheten varmed befolkningsmängden, P(t), förändras är beroende av differensen mellan födelse- och dödshastigheten Födelsehastigheten är roortionell mot befolkningsmängden medan dödshastigheten är roortionell mot kvadraten å befolkningsmängden Ställ u ovanstående modell i form av en differentialekvation Analysera därefter modellen kvalitativt med roortionalitetskonstanterna lika med tre och ett i nämnd ordning Den sökta modellen blir: dp k P - k P, där P Inför de givna värdena å konstanterna k 3 och k : dp 3P - P P(3 - P) Vi bestämmer först de stationära lösningarna och analyserar därefter lösningarnas uförande för olika startvärden Vi är intresserade av långtidsbeteendet De stationära lösningarna ges av: P och P 3

2 Institutionen för matematik KTH ÏP > 3 fi dp < fi P(t) är avtagande Ô Vi erhåller: dp > fi P(t) är växande Ô < P < 3 fi Ó Detta innebär att vi erhåller ett stabilt jämviktsläge P 3 Efter lång tid kommer befolkningsmängden att vara lika med 3 dp k P - k P, SVAR: Den sökta modellen ges av: 3 Betrakta randvärdesroblemet: där P och lim P(t) 3 tæ y + ly, y(), y ( ) l om roblemet har triviala lösningar Undersök för alla reella värden å resektive icke-triviala lösningar Ange även de värden å l som ger icke-triviala lösningar Differentialekvationen är linjär med konstanta koefficienter och löses med hjäl av den karakteristiska ekvationen r + l Vi undersöker lösningarna för de tre fallen: l >, l m, m ŒR!!! r, ±i m y A cos m x + B sin mx l >, l och l < l!!!!! r, y A x + B y() och y( )! l!!!!!! Vi använder nu de givna randvillkoren l >, l m, m ŒR!!! ÔÏ y() A ÔÓ y( ) A cos m + B sin m y() A 3 + B3 ÏÔ ÏÔ y() B! m -m + B e y( ) A + B y( ) A e ÔÓ Ô 3 3 Ó Icke-trivial lösning erhålles för m n Endast triviala l n,n Œ N f *g, där f (t) t Heavisides stegfunktion Beräkna även faltningens värde för alacetransformera faltningen: och f *g (t - a) U(t - a) med l n,n Œ N a> då t Œ [, ) U t 3a (f *g) (f )(g) (t)(u(t - a)) Återtransformera: g(t) U(t - a) l <, l -m, m Œ R lösningen Endast triviala lösningen SVAR: Randvärdesroblemet har icke-triviala lösningar endast för Bestäm faltningen l <, l -m, m Œ R r, ±m y A 3 e mx + B 3e - mx e - a s e -as s s s3 f *g(3a) (3a - a) U(3a - a) a Faltningens värde för t 3a blir SVAR: Faltningen blir f *g (t - a) U(t - a) Dess värde blir f *g(3a) a är

3 5 Betrakta ett linjärt system X AX av två differentialekvationer Matrisen A har reella element Vidare är det känt att ett egenvärde är + i och en tillhörande egenvektor är Ë i Bestäm en fundamentalmatris till systemet Ange även den allmänna lösningen till systemet Avgör vad som händer efter lång tid med en artikel som laceras i unkten (3, 5) Med hjäl av det givna egenvärdet och tillhörande egenvektor erhålles en komlex lösning Z e (+ i)t Ë i Realdel resektive imaginärdel av den komlexa lösningen ger två linjärt oberoende lösningar Dessa bildar varsin kolonn i en fundamentalmatris Ï X Re Z Re e t ( cost + isin t) Ë + i Ó Ë Ë cost et Ë -sint Ï X Im Z Im e t ( cost + i sint) Ë + i Ó Ë Ë sint et Ë cost En fundamentalmatris är F et cost e t sint Ë -e t sint e t cost Den allmänna lösningen till systemet ges av: X FC, där C är en konstant vektor X et cost e t sint C Ë -e t sin t e t cost Ë C C e t cos t e t sin t + C Ë -e t sin t Ë e t cost En artikel som laceras i unkten (3, 5) kommer efter lång tid att avlägsnas obegränsat från den kritiska unkten origo, ty realdelen av egenvärdena är större än noll SVAR: En fundamentalmatris är F et cost e t sint Ë -e t sint e t cost Den allmänna lösningen till systemet ges av: X et cost e t sint C Ë -e t sin t e t cost Ë C C e t cos t e t sin t + C Ë -e t sin t Ë e t cost En artikel som laceras i unkten (3, 5) kommer efter lång tid att avlägsnas obegränsat från den kritiska unkten,origo 6 Bestäm alla kritiska unkter till systemet 3 x Ë y a -b x Ë b a Ë y, där b Klassificiera för alla reella a och b de kritiska unkterna med avseende å ty och stabilitet ösning Det finns endast en kritisk unkt, ty determinanten a -b b a a + b Denna unkt är origo För att klassificera denna unkt bestämmer vi först egenvärdena Dessa är lösningarna till ekvationen a - l -b b a - l (a - l ) + b Vi erhåller: l, a ± ib Vi har erhållit komlexa egenvärden Det återstår att undersöka de tre fallen a >, a och a < a > Instabil siral a Center, vilken är stabil a < Stabil siral SVAR: Endast en kritisk unkt, origo

4 Den kritiska unkten är:a > Instabil siral a Center, vilken är stabil a < Stabil siral 7 Bestäm om möjligt roduktlösningar till den artiella differentialekvationen u x + u y Vi ansätter roduktlösningen: u(x,y ) X (x)y (y ) Insättning i den artiella differentialekvationen ger: X (x)y (y ) + X (x) Y (y ) Omformning ger: Ï X - lx Ó Y + ly X X - Y Y l, där l är en konstant Vi undersöker lösningarna för de tre fallen: l >, l och l < l >, l m, m ŒR l l <, l -m, m ŒR Ï X - m X Ó Y + m Y Ï X A e mx + B e -mx Ó Y C cosmy + D sinmy Ï X Ó Y Ï X A x + B Ó Y C y + D Vi erhåller följande tre fall: l >, l m, m ŒR : u(x,y ) (A e mx + B e -m x )(C cosmy + D sinmy) l : u(x,y ) (A x + B )(C y + D ) l <, l -m, m ŒR : u(x,y ) (A 3 cosmx + B 3 sinmx )(C 3 e my + D 3 e - my ) SVAR: De sökta lösningarna ges av: l >, l m, m ŒR : u(x,y ) (A e mx + B e -m x )(C cosmy + D sinmy) l : u(x,y ) (A x + B )(C y + D ) l <, l -m, m ŒR : u(x,y ) (A 3 cosmx + B 3 sinmx )(C 3 e my + D 3 e - my ) 8 En lösning till differentialekvationen x y - y ges av y x Ï X + m X Ó Y - m Y Ï X A 3 cosmx + B 3 sin mx Ó Y C 3 e my + D 3 e -m y Utnyttja detta för att bestämma allmänna lösningen till differentialekvationen x y - y x 5 e x Vi utnyttjar att en lösning till den homogena differentialekvationen är given Sätt: y x z, y x 3 z + x z Insättning i differentialekvationen ger: x(x 3 z + x z ) - x z x 5 e x z e x Integrera ma x: z e x + C Den allmänna lösningen blir: y x e x + Cx SVAR: Den allmänna lösningen blir: y x e x + Cx

5 Del a Härled en artikulärlösning till det linjära system av F b Bestäm allmänna lösningen till systemet 5 X AX+ F, då en fundamentalmatris ges X - Ë X + cost, då - Ë < t < a Vi utgår från den allmänna homogena lösningen, vilken kan skrivas: X FC, C är en konstant vektor En artikulärlösning ansättes som: X FU, där U är en tidsberoende vektor Insättning i systemet av differentialekvationer ger: F U + F U AFU + F Kolonnerna i fundamentalmatrisen F består av linjärt oberoende lösningar till det homogena systemet Detta innebär att varje kolonn ufyller det homogena systemet och således ufyller även fundamentalmatrisen detsamma,med andra ord gäller att F AF Vi erhåller då: AFU + F U AFU + F, F U F ös ut U Multilicera med fundamentalmatrisens invers Den existerar ty det F Vi erhåller U F - F Integration ger: U F - F Vi har erhållit X F F - F Ú Ú b Vi bestämmer först två linjärt oberoende lösningar till det homogena systemet och använder därefter variation av arametrar, se a, för att bestämma en artikulärlösning till det inhomogena systemet Den allmänna lösningen är summan av allmänna homogena lösningen och en artikulärlösning För att erhålla lösningar till det homogena systemet bestämmer vi egenvärdena till matrisen A - Ë det(a - li) -l - -l l +, l ±i Vi har erhållit komlexa egenvärden och bestämmer då en komlex egenvektor Bestäm en egenvektor till egenvärdet l i -i - Vi söker icke-triviala lösningar till systemet Ë -i v, vilka ges av v r Ë -i, r ŒR En komlex lösning är Z e it Ë -i Realdel resektive imaginärdel av den komlexa lösningen ger oss två linjärt oberoende lösningar Ï Vi omformar den komlexa lösningen: Z (cost + i sin t) Ë + i Ó Ë - Re Z cost och Im Z sin t Ë sin t Ë - cost cost sin t Variation av arametrar innebär att vi behöver en fundamentalmatris F Ë sint - cost En artikulärlösning erhålles som X FÚ F - cost Ë Inversen blir F - cos t sint t Ë sin t -cost Ú F- cos t Ú sin t Ë Ë Ë cost -ln cost t cost - sint ln cost X Ë t sin t + cost ln cost cost sin t Den allmänna lösningen är: X t cost -sin t ln cost C + Ë sin t -cos t Ë t sint + cost ln cost är två linjärt oberoende lösningar till det homogena systemet

6 SVAR: a Se ovan cost sin t b Den allmänna lösningen är: X t cost -sin t ln cost C + Ë sin t -cos t Ë t sint + cost ln cost Tillväxten av en cell beror av flödet av näringsämnen(som exemelvis aminosyror) genom det omslutande cellmembranet åt W (t) vara cellens massa i gram vid tiden t, mätt i timmar, med W () W Antag att massans tillväxthastighet är roortionell mot membranets yta och att densiteten (i g/volymsenhet) är konstant Cellen förutsätts ha formen av ett klot (en sfär) a) Härled att differentialekvationen för W bör ha formen dw kw 3 där k är en konstant b)bestäm W (t) om W -6 g och om massan efter timme är, 3-6 g (,33-6 g) c)antag att cellen börjar dela sig då massan fördubblats, dvs är -6 g 3 När startar celldelningen? (För ett numeriskt värde behövs att ª,6) ösning a) Cellens massa är W rv r 3 r3, r är densiteten och r är sfärens radie Membranets area är A r Uttryck A i W A (( 3W r ) 3 ) 3 (( 3 r ) W 3 k W 3 Massans tillväxthastighet är roortionell mot membranets area ger: dw dw b) k A k k W 3 kw 3 kw 3 är searabel, dock saknar den triviala lösningen intresse Omforma differentialekvationen: W - 3 dw k Vi integrerar med avseende å t: 3W 3 kt + C Begynnelsevillkoret W () -6 ger: 3( -6 ) 3 C, C 3-3W 3 kt Bestäm k Efter timme är massan, 3-6 g 3(, 3-6 ) 3 k + 3 -, k 3, - 3-3, 3W t Cellens massa vid tiden t ges av W (t) -6 (,t +) 3 g c) Bestäm tidunkten, t, då cellens massa är fördubblad -6-6 (,t +) 3, t ( 3 -) ª (,6 -), 6 Cellens massa är fördubblad efter, 6 timmar SVAR: a Se ovan b Cellens massa vid tiden t ges av W (t) -6 (,t +) 3 g c Cellens massa är fördubblad efter, 6 timmar 3 a Vad menas med att två funktioner är ortogonala å ett intervall? Ï b Undersök om följden sin x 3x 5x,sin,sin Ó, är ortogonal å intervallet x c Vad menas med att en reellvärd funktion f säges vara eriodisk med erioden T? Vad menas med f :s fundamentaleriod? Bestäm fundamentalerioden för följande funktioner c) f (t) cost c) f (t) sin t + sint ösning a Två funktioner, f och g, är ortogonala å intervallet [a,b] då Ú f (x)g(x)dx b a 6

7 (n +)x (m +)x b Vi undersöker om Ú sin sin dx med n m V Ú (cos (n - m)x (n + m)x - cos dx [ ] H V (n - m) sin (n - m)x - (n + m) sin (n + m)x c Den reellvärda funktionen f är eriodisk med erioden T då f (t + T) f (t) f :s fundamentaleriod är det minsta värde å T så att f (t + T) f (t) gäller c Fundamentalerioden T, ty f (t +) cos(t +) cos(t + ) cost f (t) c Fundamentalerioden T, ty f (t + ) sin(t + ) + sin (t + ) sin t + sin t f (t) SVAR: a Se ovan b Funktionsföljden är ortogonal c Fundamentalerioden T d Fundamentalerioden T Är följande åståenden, a-c, sanna eller falska? Motivera! dy a) Differentialekvationen Ë dx - y har reella lösningar i området (x, y): x <, y > - x b) åt y F(x ) vara en lösning till differentialekvationen y + y + { } Vidare går lösningskurvan genom unkten (,) Då går samma lösningskurva även genom unkten (3, ) c) Begynnelsevärdesroblemet y 3y 3, y() har ej entydig lösning d) Differentialekvationen dy dx P(x) + Q(x)y + R(x)y är en differentialekvation av Ricatti ty En Ricattiekvation kan lösas med hjäl av två succesiva substitutioner under förutsättning att en artikulärlösning y är känd Gör först substitutionen y y + u och därefter en lämlig andra substitution dy e) ös differentialekvationen dx - x - x y + y, x >, då en artikulärlösning är y x a Falskt, ty V medan H< b Falskt, ty y -y - < innebär att lösningen är en avtagande funktion Denna kan ej gå genom unkten (,) och unkten (3, ) c Sant, ty två lösningar till begynnelsevärdesroblemet ges av y och y x 3 d Insättning av y y + u i differentialekvationen dy dx P(x) + Q(x)y + R(x)y ger oss följande ( ) dy differentialekvation: dx + du dx P(x ) + Q(x )y + Q(x)u + R (x )y + R(x) y u + u Men y du är en artikulärlösning: dx Q(x )u + R(x) ( y u + u ) Vi har erhållit en differentialekvation av Bernoulli ty Omskrivning ger: u - du dx (Q(x) + y R(x))u - + R(x ) Substitutionen z u -, dz dx -u - du dz ger: dx dx + (Q(x ) + y R(x))z -R(x) Vi har omformat Ricatti s differentialekvation till en linjär av första ordningen 7

8 e Insättning av y x + u i differentialekvationen dy dx - x - x y + y ger oss följande differentialekvation: - x + du dx - x - x ( x + u) + ( x + u), vilken förenklad blir: du dx - 3 x u u, Bernoulli ty Omformas till u - du dx - 3 x u -, sätt z u -, dz dx -u - du dx : - dz dx - 3 x z, dz dx + 3 x z - Vi har i enlighet med föregående delugift erhållit en linjär differentialekvation av första ordningen Multilicera med x 3 : x 3 dz dx + 3x z -x 3, Den sökta lösningen blir: y x + x 3 SVAR: a Falskt b Falskt c Sant C - x d Den andra substitutonen är z u - e Den sökta lösningen blir: y x + x 3 d dx (x3 z) -x 3, x 3 z - x + C C - x C - x 8