y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1

Transkript

1 Lösningsförslg till tentmensskrivning i Diff & Trns I, 5B12 och Diff & Trns I för LV, 5B122 Fredgen den 2 ugusti 24, kl DEL1: 1 Betrkt differentilekvtionen y y (y -1)(y - 3), där y y(t) och t nger tiden Anlyser vd som händer efter lång tid Studer seciellt strtvärden y() 3 resektive y() 2 Vi estämmer först de sttionär lösningrn och finner tt dess är y, 1 resektive 3 En teckenstudie hos förstderivtn genomföres och följnde utfll erhålles: Ï y >, y > 3 Ï y växnde, y > 3 y <, 1 < y < 3 y vtgnde, 1 < y < 3 Ì Ì y >, < y <1 y växnde, < y < 1 y <, y < y vtgnde, y < För y() 3 förlir lösningen kvr å den sttionär lösningen För y() 2 inneär det tt strtvärdet ligger i ett intervll där lösningen är vtgnde och nedåt egränsd v y 1 SVAR: För strtvärdet y() 3 förändrs ej funktionsvärdet ty dett är en sttionär lösning För strtvärdet y() 2 kommer funktionsvärdet tt gå mot ett efter lång tid 2 En full tnk innehåller 3 liter vtten i vilket 5 grm slt är löst En nnn sltlösning med koncentrtionen 2 grm er liter ums in med en hstighet v 3 liter er minut Den vällndde lösningen ums ut med hstigheten 3 liter er minut Ställ u en differentilekvtion som eskriver dett förlo Ställ även u motsvrnde differentilekvtion då utumningshstigheten är 2 liter er minut Bestäm sltmängden vid tiden t för det fll då tnken ej srängs Låt S(t) vr sltmängden i tnken vid tiden t Förändringen v sltmängden er tidsenhet lir: ds dt S(t) 3 3 ds S(t) Vid den lägre umhstigheten erhålles istället differentilekvtionen: dt 3 2 För tt tnken ej skll srängs måste inumningshstigheten och utumningshstigheten vr lik Vi löser således den först differentilekvtionen Denn är linjär v först ordningen och en llmän lösning kn erhålls som lllmänn homogen lösningen lus en rtikulärlösning Den llmänn homogen lösningen ges v S h (t) Ae - t 1 och en rtikulärlösning är S (t) 6 Den llmänn lösningen är således S(t) S h (t) + S (t) Ae - t Vid tiden noll är sltmängden lik med 5 grm Det ger tt konstnten är lik med -55 Den sökt lösningen är S(t) 6-55e - t 1 SVAR: Den först differentilekvtionen lir ds dt S(t) 3 3 ds S(t) Den ndr differentilekvtionen lir dt 3 2 Den sökt lösningen är S(t) 6-55e - t 1 3 Ange en fundmentlmängd v lösningr till differentilekvtionen x( y - 2 y + y), x > smt en rtikulärlösning till differentilekvtionen x( y - 2 y + y ) e x, x > Den givn differentilekvtionen är linjär En strtegi är tt estämm en lösning till den homogen differentilekvtionen och därefter reducer ordningen Den homogen differentilekvtionen kn omforms till följnde differentilekvtion: y - 2 y + y

2 En lösning till denn ges v y 1 e x Sätt nu y e x z(x ) Insättning i den inhomogen differentilekvtionen ger oss följnde differentilekvtion: e x x(( z + 2 z + z) - 2( z + z) + z) e x, vilken förenkld lir z 1 x Integrtion ger oss z ln x + C 1 Ured integrtion ger: z x ln x - x + C 1 x + C 2 Allmänn lösningen till dufferentilekvtionen är y e x z e x (x ln x - x + C 1 x + C 2 ) C 1 xe x + C 2 e x + e x (x ln x - x ) En rtikulärlösning är y e x (x ln x - x) En fundmentlmängd v lösningr estår v två linjärt oeroende lösningr till den homogen differentilekvtionen I vårt fll hr vi xe x,e x { }, ty dess är linjärt oeroende { } En rtikulärlösning är y e x (x ln x - x) SVAR: En fundmentlmängd v lösningr är xe x,e x 4 Lös differentilekvtionen y + 9y f (t), där f (t) 3, 1 t 2 och noll för övrigt Vidre skll egynnelsevillkoren y() 1 och y () 3 vr ufylld Llcetrnsformer differentilekvtionen: s 2 Y (s) - sy() - y () + 9Y (s) F(s) Insättning v egynnelsevillkoren ger Y (s) s + 3 s F(s) s För estämning v högerledets Llcetrnsform nvänder vi dess definition(heviside går också r) 2 F(s) L{ f (t)} f (t)e -st dt 3e -st dt 3(e-s - e -2s ) 1 s Den sökt lösningens Llcetrnsform är Y(s) s + 3 s (e-s - e -2s ) s(s 2 + 9) Återtrnsformering ger oss vår sökt lösning: s + 3 s (e-s - e -2s )( 1 s - y(t) cos3t + sin3t U(t -1)(1- cos3(t -1)) U(t - 2)(1- cos3(t - 2)) Här är U(t - ) Hevisidefunktionen SVAR: Den sökt lösningen är y(t) cos3t + sin3t U(t -1)(1- cos3(t -1)) U(t - 2)(1- cos3(t - 2)) x Ë y 2x + 3y Ë 2x + y 5 Bestäm llmänn lösningen till systemet v differentilekvtioner Vi skriver det givn systemet å formen: Mtrisen A Ë 1 X 2 3 Ë 2 1 Dess egenvärden erhålles ur ekvtioen X Egenvärden och egenvektorer till mtrisen estämmes det(a - li) 2-2 l 1-3 l l2-3l - 4 (l + 1)(l - 4) l 1-1 och l l 3 Motsvrnde egenvektorer erhålles ur systemet: Ë l v 3 3 l 1-1 ger: Ë 2 2 v 1 1, v 1 Ë l 2 4 ger: Ë 2-3 v 2, v 2 3 Ë 2 s s )

3 Den llmänn lösningen är en linjärkomintion v de två linjärt oeroende lösningrn X 1 1 Ë -1 e- t e -t Ë -e - t X 2 3 Ë 2 e4t 3e4t e - t 3e 4t Ë 2e 4t Vi får X c 1 X 1 + c 2 X 2 c 1 Ë -e -t + c 2 Ë 2e 4t e-t 3e 4t c 1 Ë -e -t 2e 4t Ë c 2 e -t 3e 4t SVAR: Den llmänn lösningen är X c 1 Ë -e - t + c 2 Ë 2e 4t och 6 Betrkt ett linjärt system v differentilekvtioner X AX, där X x Ë y Låt mtrisen A vr konstnt och h egenvärden l 1 och l 2 Avgör om lösningrn är stil eller instil smt nge ty ( nod, sdelunkt, sirl, centrum) ) l 1 3, l 2-2 l 1,2-1 ± 9i c) l 1-4, l 2-3 ) I dett fll är egenvärden reell och med olik tecken Således är det en sdelunkt och därmed instil ) Komlex egenvärden med reldelen skild ifrån noll Dett är en sirl och negtiv reldel medför tt sirlen är stil c) Reell och skild egenvärden ger en nod och negtiv egenvärden medför stilitet SVAR: ) Sdelunkt, instil ) Stil sirl c) Stil nod 7 Bestäm den funktion, u(x,t), som ufyller differentilekvtionen u t u x och villkoret u(x,) 7e x + 5e 3x Vi nvänder vrielsertionsmetoden, dvs vi sätter u(x,t) X (x )T(t) och sätter in dett i den givn rtiell T (t) differentilekvtionen Vi får då: X (x) T (t) X (x )T(t), divider med X (x)t(t) Då erhålles T(t) X (x ) X (x ) Denn kvot är konstnt, ty vänstr ledet eror endst v t och högr ledet eror endst v x Kll konstnten för l Ï T (t) lt(t) Vi får då ett system v ordinär differentilekvtioner: Ì X (x ) lx (x) Ï T(t) Ae lt Dett system hr den llmänn lösningen Ì X (x) Be lx vilket ger u(x,t) Be lx Ae lt Ce l (x +t) Även linjärkomintioner v sådn lösningr är lösning till differentilekvtionen Vi skll estämm den lösning som ufyller villkoret u(x,) 7e x + 5e 3x Den sökt lösningen är u(x,t) 7e (x +t) + 5e 3(x +t) SVAR: Den sökt funktionen är u(x,t) 7e (x +t) + 5e 3(x +t) 8 Låt X 1 e- t Ë -e -t och X 2 3e4t Ë 2e 4t X AX Bestäm mtrisen A vr lösningr till systemet v linjär differentilekvtioner med konstnt koefficienter

4 Vi får följnde två ekvtioner: X 1 AX 1 och X 2 AX 2 Med de givn funktioner instt lir dett och 12e 4t Ë 8e 4t A 3e4t Ë 2e 4t eller Multilicer den sist ekvtionen med inversen till mtrisen 1 -e -t -e - t Inversen ges v -5e 3t Ë -2e 4t 3e 4t 1 5 Ë Den konstnt mtrisen är A 12e4t -e - t 1 Ë 8e 4t e -t 5Ë SVAR: Mtrisen A Ë 1 12e 4t -e -t Ë 8e 4t e -t A 3e4t e -t Ë 2e 4t -e -t 3e 4t e -t Ë 2e 4t -e -t e -4t e -4t 2e t -3e t e -4t e -4t 2e t -3e t DEL2: 11 ) Betrkt egynnelsevärdesrolemet y + 4y - x + 3, y(x ) Bestäm ett värde å x för vilket grfen till lösningen till egynnelsevärdesrolemet och dett från höger Ë Ë 2 1 tngerr x-xeln i unkten (x,) ) Låt y y 1 (x) vr en icke-trivil lösning till differentilekvtionen y + P(x)y Härled en rtikulärlösning till differentilekvtionen y + P(x)y f (x) giltig där y c) Bestäm en kontinuerlig lösning till egynnelsevärdesrolemet y + P(x)y 4x, y() 3, Ï 2, x 1 där P(x) Ì - 2 x, x > 1 ) Lösningskurvn tngerr x-xeln i unkten (x,) då derivtn är noll där Insättning i differentilekvtionen ger: + - x + 3, x 3 -e -t Ë +e - t A e-t Ë -e - t ) Vi nsätter y y 1 (x)z(x) och sätter in i den inhomogen differentilekvtionen Vi får y 1 (x)z(x ) + y 1 (x) z (x ) + P(x)y 1 (x)z(x) f (x ), y 1 (x) z (x) + ( y 1 (x) + P(x )y 1 (x ))z(x) f (x ) y y 1 (x) är en lösning till differentilekvtionen y + P(x)y vilket leder till tt y 1 (x) z (x) f (x) Vi får z (x) f (x) f (x) Integrer med vseende å x : z(x) y 1 (x) y 1 (x) dx + A f (x) Den llmänn lösningen ges v y y 1 (x)z(x) y 1 (x )( y 1 (x) dx f (x ) + A ) Ay 1 (x) + y 1 (x ) y 1 (x ) dx f (x) En rtikulärlösning ges v y y 1 (x ) y 1 (x) dx c) Differentilekvtionen är linjär v först ordningen och den löses med hjäl v integrernde fktor Vi skriver först om differentilekvtionen: Ï y + 2y 4x, x 1 Ì y - 2 y 4x, x >1 x Ï e 2x, x 1 Ì 1 x 2, x >1 Hel ekvtionen multilicers med integrernde fktor, vilken ges v

5 Vi får Ï y e 2x + 2e 2x y 4xe 2x, x 1 Ï (ye 2x ) 4xe 2x, x 1 Ì 1 y x x x 2 y 4x 1 x 2, x >1 eller Ì (y 1 x 2 ) 4 1, x > 1 x Ï ye 2x 2xe 2x - e 2x + C 1, x 1 Ì y 1 x 2 4 ln x + C 2, x >1 Integrer med vseende å x : Villkoret y() 3 ger tillsmmns med ekvtionen ye 2x 2xe 2x - e 2x + C 1 tt C 1 4 Ï y 2x e 2x, x 1 Insättning ger: Ì y 1 x 2 4 ln x + C 2, x >1 Det återstår tt estämm konstnten C 2 Kontinuerlig lösning söktes och kontinuitetsvillkoret ger: 2x e 2x x 1 x 2 (4ln x + C 2 ) x 1 Konstnten lir C e 2 Ï y 2x e 2x, x 1 och den sökt lösningen lir Ì y x 2 (4 ln x e 2 ), x >1 SVAR: ) x 3 ) Se ovn Ï y 2x e 2x, x 1 c) Den sökt lösningen är Ì y x 2 (4 ln x e 2 ), x >1 [ ] [ ] 12) Låt en oändlig ortogonl följd v funktioner vr given å intervllet, Låt vidre y f (x) vr en styckvis kontinuerlig funktion å intervllet, Bestäm f :s utveckling i den ortogonl funktionsföljden Ï, - < x < ) Utveckl f (x) Ì - x, x c) Bestäm seriens värde för x i funktionsföljden { 1, cos nx, sinmx}, n 1,2, 3,, m 1,2, 3, ) Låt den givn följden v ortogonl funktioner ges v { F n (x)} n1 Skriv f (x) som en linjärkomintion v de ortogonl funktionern f (x) c 1 F 1 (x) + c 2 F 2 (x)++c n F n (x )+ Multilicer ekvtionen med F m (x ) och integrer över intervllet [, ] f (x)f m (x)dx c 1 F 1 (x )F m (x)dx + c 2 F 2 (x)f m (x)dx ++c n F n (x)f m (x )dx+ Eftersom den givn funktionsföljden är ortogonl lir vrje integrl å höger sid lik med noll utom då n m Ekvtionen lir då f (x )F m (x)dx f (x)f m (x)dx c m F m (x)f m (x )dx, dvs c m F m (x )F m (x)dx

6 Den sökt utvecklingen lir f (x) f (x)f m (x)dx Â c m F m (x) Â F m (x) m1 m1 F m (x)f m (x )dx ) Vi estämmer koefficientern i utvecklingen f (x) c Â n cosnx + Â m sin mx n1 m 1 c 1 n f (x )F 1 (x )dx F 1 (x)f 1 (x)dx f (x)cos nxdx cos nx cos nxdx - f (x )1dx - 1dx f (x )cosnxdx - cos 2 nxdx - ( - x ) sinnx nx [ n ] - (-1)sin dx n n f (x)sin mxdx f (x)sin mxdx m sinmx sinmxdx - sin 2 mxdx ( - x)dx ( - x) cosnxdx [ - cos nx ] n 2 ( - x)sinmxdx 1 - cosn n 2 - ( - x) -cosmx -cosmx [ m ] - (-1) dx [ m m m - - sin mx ] m 2 1 m Den sökt utvecklingen är: f (x) cosn 1 Â n 2 cosnx + Â sin mx m n1 c) Seriens värde för x erhålles som medelvärdet v funktion i dett srång f (+) + f (-) Vi får tt värdet är f (x)f m (x)dx SVAR: ) f (x) Â F m (x) ) f (x) m cosn Â n 2 cosnx + F m (x)f m (x )dx n1 2 m 1 1 sin mx m 1 m Â c)

7 Ï 2 13 Härled utgående från definitionen Llcetrnsformtionen för funktionen f h (t) Ì h, t + h, t <, t > + h Benämn denn trnsformtion L{ f h (t)} Låt h Æ, dvs estäm gränsvärdet lim L{ f h (t)} hæ Lös slutligen egynnelsevärdesrolemet y + 4 y +8y f (t), y(), y () 2, då f (t) lim f h (t) hæ Omkstning v gränsövergång och integrtion förutsättes tillåten Insättning i Llcetrnsformtionens definition ger: + h { } e -st f h (t)dt L f h (t) e -st 2 + h h dt e -st 2 [ -sh] 2 sh (e-s - e -s( + h) ) 2e-s sh (1 - e-sh ) Nu över till gränsövergången och här nvänder vi McLurinutveckling v exonentilfunktionen lim L{ f h (t)} lim 2e -s hæ sh (1 - e-sh 2e -s ) lim hæ sh hæ Llcetrnsformer differentilekvtionen: s 2 Y (s) - sy() - y () + 4(sY (s) - y()) + 8Y (s) 2e -s Insättning v egynnelsevillkoren ger: 2 Y (s) s 2 + 4s s 2 + 4s + 8 e-s Kvdrtkomletter nämnren 2 Y (s) (s + 2) (s + 2) e-s Återtrnsformer: y(t) e -2t sin2t + U(t - )e -2(t-) sin2(t - ) SVAR: L f h (t) { } 2e-s sh (1- e-sh ), lim L{ f h (t)} 2e -s, hæ y(t) e -2t sin2t + U(t - )e -2(t-) sin2(t - ) 14 ) Definier egreet fundmentlmtris ) Låt F vr en given fundmentlmtris till systemet X AX Bestäm utgående från dett den konstnt mtrisen A c) Härled en rtikulärlösning till det inhomogen systemet X AX+ F ) En fundmentlmtris estår v linjärt oeroende kolonner, vilk är lösningr till systemet Antlet kolonner är lik med ordningen hos den kvdrtisk mtrisen A (1- (1 + (-sh) + h2 H(h))) lim hæ 2e -s (1 + hh(h)) X AX ) Den givn fundmentlmtrisen F stisfierr systemet X AX, dvs F AF Härur kn den konstnt mtrisen A Multilicer F AF från höger med inversen till fundmentlmtrisen F Då erhålles A F F -1, där F -1 är invers till fundmentlmtrisen F c) För tt estämm en rtikulärlösning till det inhomogen systemet X AX+ F nvänder vi vrition v rmetrr och nsätter en rtikulärlösning å formen X FU(t ) Insättning i det inhomogen systemet ger: (FU(t)) AFU(t) + F Deriver: F U(t) + F U (t) AFU(t) + F Omform: ( F - AF)U(t) + F U (t) F Fundmentlmtrisens kolonner är lösningr till det homogen systemet vilket inneär tt F - AF Vi får då F U (t) F Multilicer från vänster med fundmentlmtrisens invers F -1 Det ger U (t) F -1 F Integrer med vseende å t : U(t) F -1 (t)f(t)dt

8 Vår sökt rtikulärlösning är X F F -1 (t)f(t)dt SVAR: ) Se ovn, ) A F F -1, c) X F F -1 (t)f(t)dt