Sammanfattning, Dag 9

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Sammanfattning, Dag 9"

Gunnel Lindström
för 4 år sedan
Visningar:

1 Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet kn vi mät en vektors längd, vstånd melln två vektorer och en vinkel melln två vektorer. Vi undersöker ortogonlitet melln två vektoer och kn räkn frm en ortogonlprojketion v en vektor på en given nollskilld vektor, och vi nvänder ortonormerde bser som vår gl god vän stndrdrbs e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e e = (0, 0, 1). De görs genom sklärprodukt. Jg skriver ihop en list: I rummet definiers en sklärprodukt u v (därför klls iblnd dot-produkt) genom u v = u v cos α, α är vinkel melln u och v. Den uppfyller följnde egenskper (1) u u 0; u u = 0 om och endst om u = 0. (2) u v = v u (3) u (αv + βw) = αu v + βu w för ll α, β R I stndrdbs hr vi u v = u 1 v 1, +u 2 v 2 + u 3 v 3. u = u u2 2 + u2 3 (längden) α = rccos u v u v u och v är ortogonl mot vrndr (betckns u v) om u v = 0 eller ekvivlent, u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = 0. Låt v 0. Den ortogonl projektion v u på v är P v (u) = u v v 2 v Om dessutom v = 1 P v (u) = (u v)v. En snbb påminnelse: All vektorer i rummet kn skrivs u = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 eller i koordintformen (x 1, x 2, x 3 ) T. Definition. En sklärprodukt på vektorrumet V över Cär en funktion (, ) : V V C så tt följnde villkor är uppfylld: (1) u, u) 0 u V ; u, u) = 0 omm u = 0 (2) (u, v) = (v, u), u, V (3) (w,, αu + βv) = α(w, u) + β(w, u), u, v, w V, α, β C OBS!. Det är viktigt tt behåll ordning (u, v) om det är kroppen C. I fll V är ett vektorrum över R dår blir (2) (u, v) = (v, u). Någr enkl egenskper (αu + βv, w) = α(u, w) + β(v, w) (u, u) är lltid ett reellt tl (Dett är enkelt men mycket viktigt. Nu betecknr vi u 2 := (u, u) Då klls den en norm v u, lltså längden v u för ett llmänt vektorrum. Då måste vi bevis tt den uppfyller xiom i deinitionen om norm: Definition. En norm är en funktion : V R som uppfyller (1) v 0; v = 0 omm v = 0 (2) αv = α v

2 (3) u + v u + v (Tringelolikheten). Vi inser tt (1) är uppfylld och (2) fås genom direkt beräkning: αu 2 = (αu, αu) (3)i def = αα(u, u) = α 2 (u, u) Vi bevis tringelolikheten senre. Men vi tittr på Någr exempel Det är enkelt tt bevis följnde påståenden. Koll genom xiom i definitionen. Det svårste tt bevis är (u, u) = 0 u = 0. Om du kör fst fråg direkt. Skick ett mil till mig. V = R n. x i y i är en sklärprodukt.. Den skrivs även X Y = X T Y. Normen unducerd v denn sklärprodukt är X 2 = n x 2 i. V = C n. x i y i = X H Y är en sklärprodukt.. Där X H = X T, komplexkonjugte och trnspont v X. Normen unducerd v denn sklärprodukt är X = n x i 2. V = R n. i x i y i, i > 0, är en sklärprodukt. Normen X = n i x 2 i Generellt, X T AY är en sklärprodukt om mtrisen A är symmetrisk och hr ll positiv egenvärden. (Det kommer vi tt bevis näst gång. Normen X A = X T AX = n λ i Ui 2 Där λ i är egenvärden till A och U i är motsvrnde egenvektorer. En enklre vrint v det är tt Vi definier (AX, AX) där A är inverterbr. Normen är X A = AX index A står fär det är viktd norm med A. 2

3 V = C([, b]) (komplex-värd kontinuerlig funcktioner på [, b]). (f, g) = b är en sklärprodukt. Normen b f(x)g(x)dx f 2 = f(x) 2 dx V = C([, b]) (komplex-värd kontinuerlig funcktioner på [, b]). (f, g) = b f(x)g(x)α(x)dx är en sklärprodukt om α(x) > 0. Normen b f 2,α = f(x) 2 αdx Liksom i rummet definierr vi ortogonlitet och ON-bs. Definition. u säges vr ortogonl mot v (u v), om (u, v) = 0. Vektorer e 1,..., e n säegs vr en ortonormerd bs (ON-bs) om e 1,..., e n utgör en bs och (e; i, e j ) = δ ij /. Någr sster. Vi gick inte genom bevis på föreläsningen utom Pythgors och ortogonlprojektionen. Pythgors sts: Om u v så gäller u + v 2 = u 2 + v 2 = u v 2. Bevis. Den ndr likheten följs v den först ty v = 1 v och u v = u + ( v) 2 = u 2 + v 2 = u 2 + v 2. Den först likheten följs v u + v 2 = (u + v, u + v) (3) i def = (u, u) + (u, v) + (v, u) + (v, v) u v = u 2 + v 2. Ortogonluppdelning v vektor: Låt w 0, w V. Vrje u V finns det entydig vektorer u, u V sådn tt u = u + u där u = cw för något c C och u är ortogonl mot w. Bevis. Om u = u + u då gäller (w, u) = (w, u ) + (w, u ) u w = (w, cw) = c(w, w) c = (w, u) (w, w) u = cw, u = u cw u, u är entydigt bestämd, ty de fås v ortogonlprojektion. Det är lätt tt vis det omvänd påstående, Lät c = (w,u) (w,w), u = cw, u = u cw. Vi kollr om de uppfyller villkoren i stsen. (Övning!) Cuchy-Schwrz-olikheten: För ll u, v V gäller tt (v, u) u v. 3

4 Bevis. Om någon v vektorern är nollvekorn, säg v = 0. Då gäller likheten. Så vi ntr v 0. Enligt föregående stsen hr vi u = u + u u = (v,u) v v, 2 u u. Av Pythgors sts får vi u 2 = u 2 + u 2 u 2 (v, u) (v, u) = v 2 v 2 = v 2 2 v 2 vilket är vd vi önskr h. Tringelolikheten: För u, v V gäller tt u + v u + v. Bevis. Tillämpning v Cuchy-Schwrz: u+v 2 = (u+v, u+v) = u 2 +(u, v)+(v, u)+ v 2 = u 2 +2 u v + v 2 = ( u + v ) 2 Representtion i ON-bs: Vrje vektor u kn skrivs som u = (u, e 1 )e 1 + (u, e 2 )e (u, e n )e n där e 1,..., e n är en ON-bs i vektorrummet. I ON-bs gäller (u, v) = 0 x i y i = 0 där x i, y i är kordintern till u resp. v Nu kn vi påstå utn tt nsträng oss särskilt mycket tt listn i börjn kn generlisers till llmänn vektorrum. Bokstvligen byter vi dot-produkt till (, ). Längden erstts med normen u = (u, u). (u,v) Vinkeln melln två vektorer definiers som α = rccos u v u och v är ortogonl mot vrndr (betckns u v) om (u, v) = 0 eller ekvivlent, n x iy i = 0 i en ON-bs. Låt v 0. Den ortogonl projektion v u på v är P v (u) = (u, v) v 2 v Om dessutom v = 1 P v (u) = (u, v)v. I ON-bs hr vi u v är smm som n x iy i = 0 där x i, y i är kordintern till u resp. v Så cirkeln är sluten! Grm-Schmidts ortonormerings process Vi kn lltid omvndr en bs i ett vektorrum till en ON-bs som spänner upp smm vektorum. Denn procedur klls Grm-Schmidt ortonomerings process. Låt nu u 1,..., u n vr en bs. Vi väljer Välj nu Välj näst... e 1 = u 1 / u 1 e 2 = u 2 (u 2, e 1 )e 1, sätt e 2 = e 2/ e 2 e 3 = u 3 (u 3, e 1 )e 1 (u 3, e 2 )e 2, sätt e 3 = e 3/ e 3 Vi kn fortsätt så t ex i steg k då vi redn hr e 1,..., e k 1 e k = u k (u k, e 1 )e 1 (u k, e 2 )e 2 (u k, e k 1 )e k 1, sätt e k = e k/ e k 4

5 På föreläsningen diskuterde jg vrför det såg ut som det gjorde och hur vi skulle kunn komm ihåg det. Nykeln är ortogonluppdelningen v en vektor. I prktiken upprepr vi projektionen om ligger i boxen ovn tillsmmns med en vektors representtion i ON-bs.. Min poäng är tt det är mycket viktigt tt kunn nvänd vår geometrisk insikt. Funder någr gånger till! Fråg om du ändå inte förstår vd jg menr. Vi räknde på ett exempel i R 3 och förklrde med ett nnt exempel om hur vi kn hitt en ON-bs utifrån en given vektor, även dett i R 3. Vrfär R 3? Jo, det är lättre tt förklr idén v Grm-schmidt utn tt drunkn i beräkningsmässigt komplicerde räkningr v olik sklärprodukter. Det är lätt tt t till sig tt ll stndrdbs är en ON-bs. Dett är flskt. All stndrdbser behöver inte vr ON-bs. Ett typiskt exempel är t ex i ploynomrummet P 2 är 1, x, x 2 en stndrdbs men de är inte ON-bs om vi nvänder sklärprodukt (p, q) = 1 p(x)q(x)dx. Gör det till en ON-bs. 1 Till sist denn gång: Vr inte orolig eller ledsen om du inte lltid kn räkn till ett resultt som i fcit. Det finns fler nledningr, speciellt när du sk bild en ON-bs med något givn villkor. (i) Det finns mång sätt tt t frm den först vektorn. (ii) Det finns olik (smrt eller klumpig) sätt tt hitt näst vektor (iii) inte minst kn vi ll gör fel i beräkningr. Dett är oundvikligt eftersom vi ll är människor. Huvudsken är tt vi skulle kunn inse fel.... Yisho Zhou//

Relevanta dokument

RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell