ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT."

Lovisa Fredriksson
för 6 år sedan
Visningar:

1 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild en bs i D-rummet tre-dimensionell rummet behöver vi tre vektorer e e e som är skild från oh som inte är prllell med ett gemensmt pln mn säger oft de inte ligger i smm pln Då kn vrje v skrivs på ekt ett sätt som en linjär kombintion v e e oh nednstående figur e se Vi ser dett om vi prllell förflttr e e e oh v så tt de hr en gemensm strt punkt O Den rätt linje genom P v :s ändpunkt som är prllell med e måste skär plnet O e e -plnet i en punkt Q eftersom e e e är ej prllell med något gemensmt pln Linjen genom Q prllell med e skär eln i punkten R Då gäller v OR RQ QP Men eftersom OR e OR e RQ e Därför v e e e RQ e QP e QP e finns det tl så tt Anmärkning: I smbnd med bser oh bsvektorer nvänder vi följnde terminologi: Vi säger tt ovnstående e e e utgör en bs i D rummet oh tt

2 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet tlen oh är v :s koordinter i bsen e e e Vektorern e Betekning: Vektorn OP e OP e e oh e klls v :s komposnter i bsen e e e e nges oftst med endst koordinter på följnde sätt: Koordintsstem i D-rummet En punkt O oh tre bsvektorer ike-prllell med något gemensmt pln oh skild från e e e definierr ett prllellt koordint sstem i plnet med tre lr: -eln går genom O oh hr riktningsvektor e -eln går genom O oh hr riktningsvektor e oh -eln går genom O oh hr riktningsvektor e Koordinter för en punkt P definiers som koordinter med vektorn ortvektor Alltså OP e e e P OP punktens Anmärkning: Att en punkt P hr koordinter oh nges på två sätt: P eller P Den ndr betekningen nvänds oftst i nlsen Koordinter för en vektor melln två givn punkter Om A= oh B= är två punkter i rummet då gäller AB AO OB OB OA e e e e e e e e e Alltså AB = e e e eller kortre AB Eempel: A= B= AB

3 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERADE BASER OCH ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM I vår kurs nvänder vi sk ortonormert koordintsstem I ett sådnt sstem kn vi på enkelt sätt beräkn vstånd reor oh volmer Definition: Vi säger tt en bs i rummet e e e e e i pln är en ortonormerd bs om följnde villkor är uppflld: bsvektorern är prvis vinkelrät = ortogonl bsvektorern hr längden dvs e e oh e Då är tillhörnde O ett ortonormert kortre ON koordintsstem ONkoordintsstemet klls även det krtesisk koordintsstemet efter frnske mtemtiker Rene Desrtes Alltså i ett ortonormert sstem är lrn vinkelrät oh enhetssträkorn hr smm längd -eln -eln Betekning: Bsvektorer i ett ON-sstem betekns oftst i j oh k men även som ovn e e e eller e e e LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLAN TVÅ PUNKTER Det är väldigt enkelt tt gör vståndsberäkningr i ett ON-koordintsstem vi kn nvänd Ptgors sts på rätvinklig tringlr

4 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet v är längden v vektorn v Om A oh B är två punkter i plnet med ON koordintsstem då är AB oh längden blir enligt ovnstående formel AB Avståndet melln två punkter A oh B som vi beteknr dab är smm som längden v vektorn AB dvs dab = AB som vi kn även se direkt Ptgors sts på nednstående figur dab = AB På liknnde sätt beräknr vi längden v en vektor i D-rummet med ett ON koordintsstem Låt v Då är vektorns längden v Nednstående grf förklrr formeln v v d Därför v

5 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 5 v Vektorer oh koordinter i D-rummet Eempel: Beräkn längden v vektorn v v Avståndet melln två punkter i D rummet Avståndet melln A oh B som vi beteknr dab är smm som längden v vektorn dvs dab= AB Om A oh B är två punkter i D-rummet med ett ON koordintsstem AB då är dab= AB oh längden blir enligt ovnstående formel Eempel: Bestäm vståndet melln punktern A= oh B= Först AB dab= AB 5 le AB ================== ENHETSVEKTOR MED GIVEN RIKTNING Definition: En vektor vrs längd är klls för enhetsvektor Låt v Då är e v en enhetsvektor med smm riktning som v v medn f v är en enhetsvektor med motstt riktning v Eempel Låt v Då är e v v 9 hr smm riktning som e den enhetsvektor som

6 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 6 v Vektorer oh koordinter i D-rummet ================== MITTPUNKTEN Låt A oh B vr två punkter Då är S mittpunkten på sträkn AB Förklring Vi hr OS OA AB OA OB OA OA OB Eempel: Bestäm mittpunkten S på sträkn AB om A= oh B= S ================== TYNGDPUNKTEN Låt A B oh C vr tre punkter Tngdpunkten T för tringeln ABC ges v T Eempel: Låt A= B= oh C=5 Bestäm tngdpunkten v tringeln ABC

7 7 v Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Vektorer oh koordinter i D-rummet T Svr: 5 5 T CIRKEL oh CIRKELSKIVA Definition En irkel är mängden v ll punkter i ett pln som ligger på smm vstånd irkelns rdie till en given punkt irkelns entrum I ett ortonormert koordint sstem kn vi nge en irkel med rdien r oh entrum i punkten C som mängden v ll punkter P som stisfierr ekvtionen r Cirkelns ekvtion: r Definition En sluten öppen irkelskiv med rdien r oh entrum i punkten C är mängden v ll punkter i plnet vrs vståndet till C är r < r Alltså för vrje punkt P på en sluten irkelskivn med rdien r entrum i punkten C gäller r i ett ON koordint sstem O P r C

8 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 8 v Vektorer oh koordinter i D-rummet ========================== D motsvrigheter till irkel oh irkelskiv är sfär oh klot SFÄR OCH KLOT Definition En sfär är mängden v ll punkter i D-rummet som ligger på smm vstånd sfärens rdie till en given punkt sfärens entrum Sfärens ekvtion i ett ON sstem: r Definition Ett slutet öppet klot med rdien r oh entrum i punkten C är mängden v ll punkter i D-rummet vrs vståndet till C är r < r Slutet klot i ett ON koordintsstem: r Öppet klot i ett ON koordintsstem: r ========================== ELLIPS Definition En ellips är mängden v ll punkter i ett pln vrs vstånd till två givn punkter brännpunktern hr en konstnt summ d + d = = konstnt

9 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 9 v Vektorer oh koordinter i D-rummet Ellipsen med medelpunkten oh hlvlrn b som ligger på resp -eln hr ekvtionen b Brännpunktern om >b är F - oh F där b Anmärkning: Ellipsen med medelpunkten oh hlvlrn b som är prllell på resp -eln hr ekvtionen b ============================================================= ÖVNINGAR: Uppgift A= oh B= är två punkter i rummet Beräkn längden v vektorn AB b Bestäm två enhetsvektorer en med smm oh en med motstt riktning som är prllell med AB Bestäm två vektorer med längden 5 som är prllell med AB d Bestäm mittpunkten S på sträkn AB AB AB b v AB AB v AB AB 5 w 5v

10 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet w 5v d Mittpunkten på sträkn AB är S Uppgift Beräkn omkretsen v tringeln ABC där A= B= 5 C= b Använd Ptgors sts för tt bestämm om ABC är en rätvinklig tringeln Bestäm tngdpunkten T för tringeln ABC Först vektorn AB Avståndet melln AB är d A B AB 5 AC d A C AC BC d B C BC Därmed blir omkretsen 5++ = 8 b Ptgors sts gäller för en tringel om oh endst om tringeln är rätvinklig Sidn AB är störst i vårt fll Tringeln är INTE rätvinklig eftersom 5 d Tngdpunkten för tringeln ABC är T Svr: Omkretsen = Uppgift Bestäm en punkt P sådn tt b Nej T AP PB CD där A= B= C= oh D = är fr punkter i rummet Låt P= Vi beräknr vektorern AP PB CD substituerr i ekvtionen AP PB CD oh får Efter förenkling hr vi 7

11 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Härv = = oh += Till slut =/ = oh =/ Därmed P=/ / Svr: P=/ / v Vektorer oh koordinter i D-rummet Uppgift Låt A= B= Bestäm den punkt P som delr sträkn AB i förhållndet :7 Låt P= Från AP AB hr vi Härv -= -= 6/ oh - =9/ eller = = 6/ oh =9/ Svr: P= 6 9 Uppgift 5 Rit den irkel vrs ekvtion i ett ortonormerd O-koordintsstem är Tips Använd kvdrtkomplettering oh skriv irkeln på formen r vi grupperr termer oh -termer oh kvdrtkompletterr 9 Om vi jämför ovnstående med irkelns ekvtion på formen r ser vi tt oh r 9 dvs oh r Cirkeln hr entrum i punkten C- oh rdien r

12 Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet Uppgift 6 Rit elipsen vrs ekvtion är För tt skriv ellipsen på formen delr vi med ekvtionen b oh får som vi kn skriv på följnde sätt / Om vi jämför med får vi: b oh b / b / Alltså hr ellipsen hlvlrn oh b / 5 Uppgift 7 Härledning v ellipsens ekvtion Vi betrktr en ellips som hr brännpunktern F - oh F som består v de punkter vrs vstånd till två brännpunktern hr en konstnt summ d + d = Vi inför betekning b * Bevis tt ellipsen hr ekvtionen b Låt P vr en punkt på ellipsen

13 v Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Vektorer oh koordinter i D-rummet Från d + d = hr vi Vi flttr en rot till den vänstr sidn oh kvdrerr båd sidor : Efter förenkling hr vi Vi delr med oh igen kvdrerr båd leden för tt eliminer roten oh därefter förenklr ekvtionen : ] [ ] [ Enligt * inför vi betekningen b oh får ellipsens ekvtion b b Om vi delr med b hr vi ellipsens ekvtion på formen b

Relevanta dokument

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,