Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson"

Sven Danielsson
för 7 år sedan
Visningar:

1 Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när besläktde med Guss sts, vilk vi iblnd behöver nvänd. Dess stser kn härleds från Guss sts. Ansätt u = f, där är en konstnt vektor och f är ett sklärt fält. Då gäller tt u = (fu = f + f = f. Om vi sätter in dett i Guss sts hr vi: fd = f nd. (1 Då är konstnt kn vi t ut ur integrlen och skriv ( fd fnd = 0. ( Då är en godtycklig vektor, så måste uttrycket inom prentesen vr 0. Alltså hr vi fd = fnd. (3 Ansätt u = v, där är en konstnt vektor och v är ett vektorfält. Då gäller tt u = ( v = ( v ( v = ( v eftersom är konstnt. Om vi sätter in dett i Guss sts får vi ( v d = v nd = v n d. (4 om ovn kn vi nu bryt ut ur integrlern. Eftersom är godtycklig måste likheten melln integrlern gäll oberoende v och vi får vd = v nd. (5 1. tser nlog med tokes sts Det finns också ett pr stser som är nlog med tokes sts, vilk lätt kn härleds med hjälp v räknereglern för vektoropertorer. Ansätt u = f, där är en konstnt vektor och f är ett sklärt fält. Då gäller tt u = f = f + f = f, eftersom är en konstnt vektor. tokes sts ger då f nd = f dr. ( änsterledet kn vi skriv om som f nd = f n d, (7 och genom tt är en godtycklig vektor så måste det gäll tt f nd = fdr. (8 Mn kn också utgående från tokes sts vis tt (n vd = v dr. (9 1

2 ingulriteter Det finns tre viktig typer v singulriteter, vilk dyker upp i vektorfält: Punktkäll: ˆr. (10 r Linjeäll: irveltråd: 3 Källor 3.1 Punktkällor ˆ (11 ˆϕ. (1 Ett fält v formen ˆr (13 r svrr fysikliskt till exempel mot det fält som omger en elektrisk punktlddning. Punktlddningen är då källn till ett fält som överllt pekr rkt ut från lddningen. Överllt utnför origo hr fältet divergensen och rottionen 0. Den här typen v singulritet dyker upp i ytintegrler. nligen hnterr mn singulriteten genom tt lägg in en liten sfär med rdien ɛ kring densmm. Exempel: Beräkn integrlen F d (14 där är ytn = z, 0 z (15 med en norml som pekr uppåt, och fältet ges v [( r + r cos 3 θ ˆr r cos ] θ sin θ ˆθ. (1 F 0 och är konstnter. Lösning: i börjr med tt studer ytn som är en kon med spetsen i z =. Konen hr sin öppn bottenyt vid z = 0. Om vi tittr på fältet, så ser vi genst tt det hr en punktkäll i origo. För tt tolk de övrig termern så skriver vi om fältet som r ˆr + F 0 r cos θ ( cos θˆr sin θˆθ. (17 Uttrycket inom prentesen är bsvektorn ẑ, och r cos θ = z. i kn därför del upp fältet i två delr, en del som vi skriver i sfärisk koordinter, och som är singulär, och en ndr del som vi skriver i krtesisk koordinter: ( z ˆr + r ẑ (18 Divergensen v F blir z. (19 För tt nvänd Guss sts behöver vi dels isoler singulriteten i origo genom tt lägg in en hlvsfär, ɛ, med rdien ɛ runt origo för z > 0 och med en normlvektor som pekr mot origo.

3 Dessutom måste vi slut konen, vilket vi gör genom tt lägg till en cirkelskiv, 1, med ytterrdien och normlvektorn ẑ i xy-plnet. Guss sts ger oss nu i börjr med tt beräkn volymsintegrlen Fd = F d + F d + F d = Fd. (0 ɛ 1 πf 0 z d. (1 i noterr här tt vd vi gör är tt integrer över cirkelskivor med rdien z, så vår integrl kn skrivs F 0 z 0 π ( z dz = πf [ 0 z z3 + z ] = πf = πf 0. ( edn betrktr vi integrlen över ɛ (lägg märke till tt r = ɛ på ɛ. ( F d = F 0 ɛ ɛ ɛ ˆr + ɛ cos ( θ ẑ ( ˆr d = F 0 ɛ d + ɛ cos 3 θ d = ( F 0 ɛ πɛ + ɛ cos 3 θd π F 0 då ɛ 0. (3 lutligen hr vi integrlen över 1 F d = 1 1 F 0 ( z ˆr + r ẑ ( ẑ d. (4 Tänk nu på tt ˆr ẑ = 0 i xy-plnet, och tt z = 0 därstädes. Därv följer tt integrlen är 0. Det följer nu tt vår eftersökt integrl blir F d = πf 0 + πf 0 = 13πF 0. (5 3. Linjekällor Ett fält v typen ˆ ( svrr fysikliskt till exempel emot en lddning som är jämnt fördeld längs med en linje (i det här fllet z-xeln. Linjekälln är då källn till ett fält som överllt pekr rdiellt ut från z-xeln. Överllt utnför z-xeln hr fältet divergensen och rottionen 0. Den här typen v singulriteter dykerr också vnligen upp i ytintegrler. Mn kn isoler singulriteten genom tt inför en cylinder kring z-xeln. Exempel: Beräkn integrlen F d, (7 där ytn ges v r =, 0 ϕ < π och π 4 θ 3π 4 [( + och hr normlen ˆr, och fältet ges v ˆ + z ]. (8 ẑ F 0 och är här konstnter. Lösning: Ytn är den mitterst delen v en sfär. Den vgränss vid z = ±. 3

4 Fältet F är singulärt för = 0, det vill säg längs z-xeln. Fältets divergens är [ 1 ( + + ( z ] ( 1 = F 0 z + 1 = 3F 0. (9 i sluter volymen genom tt lägg till en cylinder, ɛ kring z-xeln melln z och med rdien ɛ. Normlen för ɛ är ˆ. Dessutom lägger vi till cirkulär skivor, + och, vid z = ± med normler ±ẑ. i kn nu skriv Guss sts som F d + F d + F d + F d = Fd. (30 ɛ + i börjr med volymsintegrlen Fd = 3F 0 d. (31 i kn se den här integrlen som om vi integrerr över cirkelskivor med rdien 4 z för z 3F 0 π 3F 0 π ( 4 z dz = 3F 0π ( ] [4 z z3 = 3 3 = 0 πf 0. (3 i tr nu hnd om ytintegrlern. Först ɛ, där = ɛ på ɛ [( F d = F 0 ɛ ɛ ɛ + ɛ ˆ + z ( ( ˆ d = F 0 ẑ ɛ ɛ + ɛ På ytn + hr vi F d = + + F 0 På + är z =, vilket också är skivns ytterrdie F 0 ( ɛ + ɛ ( d = F 0 ɛ + ɛ d = ɛ πɛ 4 πf 0 då ɛ 0 (33 [( + ˆ + z ] z ẑd = F 0 d. (34 ẑ + + F d = F 0 π = π F 0. (35 i inser tt v symmetriskäl får integrlen över smm värde. ummerr vi nu ihop integrlern får vi F d = 0 πf πf 0 πf 0 = 0 πf 0. (3 3.3 Källtäthet i hr nu sett hur olik singulriteter kn vr källor till ett fält F. Anlogt med dett kn vi tolk F som en utbredd käll till F. Därför kllr mn iblnd F för källtäthet. 4

5 4 irvlr 4.1 irveltråd Fältlinjern till det singulär fältet ˆϕ (37 bildr koncentrisk cirklr kring z-xeln. Därför säger vi tt det finns en virveltråd på z-xeln. Fältet från en virveltråd hr rottionen och divergensen 0 utnför = 0. Den här typen v singulär fält uppträder vnligen i kurvintegrler. I dess fll kn vi hnter singulriteten genom tt lägg in en cirkel med rdien ɛ runt z-xeln. Problem: Beräkn integrlen F dr, (38 där kurvn ges v x + y 4 =, och z = 0, (39 som genomlöps i positiv riktning, och fältet ges v [ ( sin ϕ ˆ + ] sin ϕ ˆϕ. (40 F 0 och är konstnter. Lösning: Kurvn är en ellips med centrum i origo och hlvxlrn och. Enligt högerhndsregeln så väljer vi ẑ som normlen till ellipsskivn. Fältet F är singulärt på z-xeln. Fältets rottion blir ˆ ˆϕ ẑ sin ϕ ϕ z sin ϕ 0 = F 0 ( sin ϕ cos ϕ ẑ = F 0 ẑ. (41 För tt nvänd tokes sts lägger in en cirkel, ɛ med rdien ɛ runt origo. i orienterr ɛ så tt vi följer den medurs, det vill säg dess tngentvektor blir ˆϕ. tokes sts ger oss sedn F dr + F dr = F d. (4 ɛ Först beräknr vi ytintegrlen F d = F 0 ẑ ẑd = F 0 π = πf 0, (43 där vi hr utnyttjt tt ellipsens re är π. edn beräknr vi integrlen längs kurvn ɛ där = ɛ F dr = ɛ ɛ F 0 [ ( sin ϕ ˆ + ] ( sin ϕ ˆϕ ( ˆϕ dr = F 0 ɛ ɛ dr ɛ sin ϕ dr = ɛ ( F 0 ɛ πɛ ɛ sin ϕdr πf 0 då ɛ 0. (44 ɛ Det följer tt integrlen blir F dr = 0. (45 5

6 4. irveltäthet i hr nu sett hur en virveltråd kn lstr en virvel i ett vektorfält. Det kn också uppstå virvlr i fält som sknr singulriteter, och för tt få ett mått på omfttningen v sådn virvlr inför mn virveltätheten F. 5 Multipoler Fältet ˆr (4 r är ett monopolfält. Det kn finns fält vrs styrk vtr snbbre med r, men dess fält innehåller prktiskt tget lltid ett vinkelberoende. Ett exempel på ett sådnt fält är dipolfältet F = F ( 0 r 3 cos θˆr + sin θˆθ. (47 Om mn integrerr dipolfältet över en sfär ser mn tt integrlen blir 0. Dett beror på tt mn kn se fältet som smmnstt v en positiv och en negtiv lddning på ett litet vstånd från vrndr. Det går också tt definier kvdrupolfält, oktopolfält och så vidre.

Relevanta dokument

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar FFM234, Klssisk fysik och vektorfält - Föreläsningsnteckningr Christin Forssén, Institutionen för fysik, Chlmers, Göteborg, verige ep 13, 218 4. Integrlstser Minnesregel för strukturen på ll integrlstser