Om stationära flöden och Gauss sats i planet
|
|
- Thomas Sandberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom ett område, så gäller tt nettoflödet ut ur området ges v hur mycket som bilds och försvinner i området. Den mtemtisk formuleringen v dett går under Guss sts och är en generlisering v insättningsformeln i endim.
2 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 1 (9) 1 En ny titt på nlysens huvudsts Anlysens huvudsts säger tt om f är en C 1 funktion v en vribel definierd på ett intervll [, b], så gäller tt b f ()d = f(b) f(). Vi sk i det här vsnittet ge denn formel en tolkning som gör det möjligt för oss tt få en nturlig generlisering till nlys i fler dimensioner. Betrkt därför en endimensionell, sttionär strömning v någon vätsk. En sådn strömning krkterisers v en funktion u() som nger hstigheten v vätskn i punkten. Som konvention säger vi tt om u() > så sker rörelsen åt höger i punkten och om u() < så sker den åt vänster. Att strömningen är sttionär innebär tt hstigheten är oberoende v tiden. Vidre ntr vi tt vätskn hr en täthet ρ, som vi för enkelhets skull ntr är konstnt. Funktionen u() mäter hstigheten v vätskn i punkten (enhet: m/s) medn tätheten mäter vikt per längdenhet (enhet: g/m). Produkten f() = ρ u() klls flödet i punkten och beskriver hur mycket, och i vilken riktning, vätsk som flöder genom punkten (enhet: g/s). Betrkt nu ett litet segment [, b] v -eln. Storheten f(b) f() f() f(b) mäter då nettoflödet ut ur intervllet [, b]. Kvoten b f(b) f() b mäter därför nettoflödet ut ur intervllet per längdenhet. Om vi sätter = och b = +h och sedn låter h, så ser vi tt f () mäter nettoflödet genom punkten per längdenhet. Det innebär tt om f () >, så är punkten en käll för vätskn, eftersom vätsk tillförs i denn punkt. En punkt i vilken f () < blir på motsvrnde sätt en brunn. I en punkt där f () = finns vrken en käll eller en brunn. Ett område i vilket f () = sägs därför vr källfritt. Vi kllr f () för källtätheten för den sttionär vätskn. Anlysens huvudsts b f ()d = f(b) f() får nu en enkel tolkning: netto-flödet ut ur ett intervll [, b] (högerledet) bestäms v hur stor produktion/konsumtion v vätsk som sker inne i intervllet (vänsterledet). Denn tolkning hr nturligtvis sin motsvrighet i högre dimensioner. Hr vi en sttionär vätsk i ett pln så gäller tt nettoflödet ut ur ett område bestäms v nettoproduktionen i området. Problemet består i tt hitt en br formulering v dett uppenbr påstående. Vi sk i fortsättningen nt tt ρ = 1, så tt vi kn tolk u både som en hstighet och ett flöde.
3 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 2 (9) 2 Flödesintegrler Låt = {c(t); t b} vr ett kurvstycke i plnet och N() en normlvektor v längden 1 till som beror kontinuerligt på punkten på. Dett innebär tt N() lltid pekr åt smm sid på. En formel för N() får mn genom tt mn observerr tt vektorn ( c 2(t), c 1(t)) är vinkelrät mot tngentvektorn c (t) = (c 1(t), c 2 (t)) till i punkten = c(t). Det betyder tt N() = ± 1 c (t) ( c 2(t), c 1(t)). Då N() sk bero kontinuerligt på måste smm teckenvl gäll på hel. Antg nu tt i vrje punkt på är givet en vektor u(). T.e. kn mn tänk sig tt en vätsk strömmr i närheten v och tt u() är strömningshstighet i punkten. Betrkt integrlen (u, N)ds (1) där (u(), N()) betecknr sklärprodukten v vektorern u() och N(). Om u() tolks som strömningshstighet och om vätskns msstäthet är 1, så mäter denn integrl hur mycket som strömmr igenom per tidsenhet åt det håll som N pekr. I dett kpitel sk vi se närmre på integrler v dett slg, och börjr då med tt påminn oss tt den kn uttrycks i prmetriseringen som (u, N)ds = ± b N() ( u 1 (c(t))c 2(t) + u 2 (c(t))c 1(t))dt. (2) Här hr vi nvänt tt ds = c (t) dt. Tecknet i (2) beror på vilket vl v normlriktning vi hr gjort på. Eempel 1 Låt vr den del v ellipsen 2 + 4y 2 = 4 som ligger i först kvdrnten och N den enhetsnorml på som pekr bort från origo. Definier u(, y) genom u(, y) = ( 2 y 2, y). För tt beräkn (u, N)ds y (, y) u(, y) väljer vi först prmeterfrmställningen c(t) = (2 cos t, sin t), t π 2 för. Den enhetsnorml som pekr bort från origo hr riktningen ( c 2(t), c 1(t)) = (cos t, 2 sin t),
4 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 3 (9) vilket svrr mot minustecknet frmför integrnden i högerledet v (2). Vi får π/2 (u, N)ds = ((4 cos 2 t sin 2 t) cos t + (2 cos t sin t)2 sin t)dt = π/2 (4 sin 2 t) cos tdt = Eempel 2 Låt vr en funktionskurv y = φ(), b. Då kn mn välj som prmeter för och formeln (2) tr formen b (u, N)ds = ± ( u 1 (, φ())φ () + u 2 (, φ()))d. I det speciell fllet då u(, y) för ll är prllell med y-leln, d.v.s. då u 1 (, y) =, får mn b (u, N)ds = ± u 2 (, φ())d. Här och i den föregående formeln svrr plusteckent frmför integrlen i högerledet mot tt N är den uppåtriktde normlen på, d.v.s. tt ndrkoordinten för N är positiv. 3 Guss sts och divergensen v ett vektorfält Guss sts hndlr om integrler v formen (1) där är en eller fler enkl slutn, styckvis C 1 kurvor. Låt vr en öppen, begränsd, mängd i plnet. Mn säger tt hr C 1 rnd om består v ändligt mång enkl, slutn, kurvor 1,..., n som inte skär vrndr och om mn på vrje kurv i kn välj en kontinuerlig enhetsnorml N() som pekr ut från. (Det sist villkoret grnterr tt endst ligger på en sidn om i.) Kurvintegrlen över definiers då genom tt summer integrlern över 1,..., n. Om rndbitrn endst är styckvis C 1 definierr vi inte normlen i hörnpunktern. Sts 1 (Guss sts) Låt vr en öppen, begränsd, mängd i plnet med styckvis C 1 rnd och låt N() vr den yttre enhetsnormlen till. Om u 1 och u 2 är C 1 funktioner definierde i en omgivning v och u = (u 1, u 2 ), så är (u, N)ds = ( 1 u u 2 )ddy. (3) Innn vi diskuterr beviset för stsen, låt oss tolk den fysikliskt. I dett ligger tt ge en tolkning v integrnden 1 u u 2 i (3). Denn klls divergensen v vektorfältet u och beteckns div u. För en cirkelskiv = {; < r} gäller tt den hr ren πr 2, och eftersom integrnden är kontinuerlig hr vi tt 1 ( 1 u u 2 )() = lim r πr 2 <r ( 1 u u 2 )ddy. Vidre gäller Guss sts för en cirkelskiv, och nvänder vi den på högerledet följer tt vi hr tt 1 div u() = lim (u, N)ds. (4) r πr 2 =r
5 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 4 (9) Den först konsekvensen v den är tt divergensen inte beror v vlet v ON-system i plnet, trots tt definitionen nvänder koordintuppdelningen u = (u 1, u 2 ) och tt vi deriverr i de speciell koordintriktningrn. Men högerledet i (4) beror inte v vl v ON-system, så då kn inte divergensen gör det. Anmärkning Vi kn också se direkt tt divergensen inte beror v vilken ON-bs vi nvänder. Vi hr nämligen tt divergensen är spåret v derivtn, funktionsmtrisen u (). Låt T vr en ortogonl trnsformtion i plnet och sätt y = T. Då gäller tt vektorfältet i den ny bsen blir v(y) = T u(t 1 y), och divergensen v den fås ur kedjregeln till Sp(T u (T 1 y)t 1 ) = Sp(T 1 T u (T 1 y)) = Sp(u (T 1 y) = div u(). Det vi nvänt här är tt Sp(AB) = Sp(BA). Om mn tänker på u som strömningshstighet, säger (4) tt div u() pproimtivt kn uppftts som den vätskemängd per reenhet och tidsenhet som strömmr ut genom en liten cirkel med centrum i. T.e. kn mn tänk sig tt vtten strömmr över ett stycke mrk på så sätt tt vtten på sin ställen tränger ner i mrken och på ndr ställen sipprr ut ur mrken. Divergensen v strömningshstigheten är då positiv där vtten sipprr ut och negtiv där vtten tränger ner i mrken. Som vslutning på dett vsnitt tr vi ett eempel på hur mn kn nvänd Guss sts till tt beräkn integrlen i Eempel 1. Dett trots tt kurvn ifråg inte är rnden till ett öppet område. Det bör dock påpeks tt denn lösning på inte sätt är enklre än den tidigre. Eempel 3 Låt vr det område i först kvdrnten som begränss v koordintlrn och ellipsen 2 + 4y 2 = 4. Om är den del v som ligger på ellipsen och 1, 2 de delr v som ligger på - respektive y-lrn, så är (u, N)ds = (u, N)ds+ (u, N 1 )ds+ (u, N 2 )ds 1 2 där N 1 = (, 1) och N 2 = ( 1, ) är de utåtriktde normlern på 1 och 2. Eftersom u(, y) = ( 2 y 2, y) så är (u, N 1 ) = y = på 1 och (u, N 2 ) = y 2 2 = y 2 på 2. Vi hr lltså 1 (u, N)ds = (u, N)ds + y 2 dy = Å ndr sidn ger Guss sts = Härur följer tt div uddy = 3ddy = 1 N 2 2 y (u, N)ds y 2 ( 3d)dy = (u, N)ds = = N 1 N 3(2 2y 2 )dy = 4.
6 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 5 (9) 4 Bevis för Guss sts Vi sk nu i steg hitt ett först bevis för Guss sts som är både illustrtivt och intuitivt. Ett mer generellt bevis finns i kpitlet Differentilformer i R n. Lemm 1 Låt T vr innehållet i en rätvinklig tringel. Då gäller Guss sts för godtycklig vektorfält u som är definierde på T. Bevis. Vi hr sett tt Guss formel inte beror v vilket ortonormert koordintsystem vi väljer, så vi därför nt tt tringeln hr hörn i punktern (, ), (, ) och (, b) där, b >. På 1 = {(t, ); t 1} gäller tt N = (, 1) och ds = dt, så 1 (u, N)ds = u 2 (t, )dt, 1 och på På 2 = {(, bt); t 1} gäller tt N = (1, ), ds = bdt, så 1 (u, N)ds = bu 1 (, bt)dt. 2 Vidre gäller på 3 tt N = ( b, )/c där c = 2 + b 2. En prmetrisering ges v t t(, b), t 1 för vilken det gäller tt ds = cdt. Vi får därför 1 (u, N)ds = ( bu 1 (t, bt) + u 2 (t, bt))dt 3 y T (, b) Adderr vi integrlern får vi tt 1 (u, N)ds = (u 1 (, bt) u 1 (t, bt))bdt + 1 (u 2 (t, bt) u 2 (t, ))dt = Men vi hr tt b u 1 (, y) u 1 ( y b, y)dy + u 2 (, b ) u 2(, ))d. u 1 (, y) u 1 ( y b, y) = y/b 1 u 1 (, y)dy, u 2 (, b ) u 2(, ) = b/ 2 u 2 (, y)dy så (u, N)ds = b ( y/b = 1 u 1 (, y)d)dy + T ( 1 u u 2 )ddy. Dett visr tt Guss sts gäller för dett speciell område. b/y ( 2 u 2 (, y)d)dy Näst lemm är närmst en självklrhet (se figur)
7 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 6 (9) Lemm 2 Antg tt dels v C 1 -kurvn i två öppn delr 1 och 2. Antg tt Guss sts gäller för ll vektorfält på två v 1, 2 och. Då gäller Guss sts också i den tredje delen. N 1 N 2 2 N 1 N Bevis. Skriv i = i +, i = 1, 2 och låt N i beteckn den utåtriktde normlen på rnden till i. Enligt förutsättningrn gäller då tt div u ddy = div u ddy+ div u(, y) ddy = (u, N 1 )ds+ (u, N 1 )ds = (u, N 1 )ds + (u, N 2 )ds + (u, N 1 )ds + (u, N 2 )ds = (u, N)ds. 1 2 I den sist likheten hr vi här nvänt tt = och tt N 2 = N 1 på, så tt de två sist integrlern är lik stor men med motstt tecken. Dett visr tt Guss sts gäller för om den gäller för 1, 2. 2 Om Guss sts istället gäller för 1 och får vi tt 1 div u(, y) ddy = div u ddy div u ddy = (u, N)ds (u, N)ds = (u, N 2 )ds (u, N 1 )ds = 1 2 (u, N 2 )ds. 2 Som en direkt konsekvens v dett hr vi tt Guss sts gäller för ett godtyckligt tringelområde i plnet, inte br för rätvinklig tringlr. Och dessutom för vrje område som kn dels upp i tringlr. Den totl dubbelintegrlen är summn v ll dubbelintegrler över tringlr och integrtionen längs rndbitr som dels v två tringlr tr ut vrndr, så endst integrtion längs de ytterst rndbitrn blir kvr. Men då gäller Guss sts för vrje område som godtyckligt väl kn pproimers med områden v denn typ, vilket betyder områden med styckvis C 1 rnd. Därmed är (det intuitiv) beviset för Guss sts klrt.
8 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 7 (9) 5 Flödet ur en punktkäll Vi sk nu betrkt flödet u(, y) = (, y)/( 2 + y 2 ). Denn är inte definierd i origo utn representerr en punktkäll i denn punkt. Låt vr ett öppet, begränst område med C 1 rnd sådnt tt origo inte ligger på dess rnd. Vi sk då beräkn nettoflödet ut ur dett område. Enligt vår tidigre diskussion ges denn v integrlen (u, N)ds. Vi sk nvänd Guss sts för tt beräkn denn integrl. Vårt först mål är då tt beräkn divergensen v vektorfältet. Denn är div u(, y) = y 2(2 + y 2 ) 2 ( 2 + y 2 ) =. 2 Vi ser lltså tt denn vätskeströmning är källfritt utom i origo. Vi hr nu två fll: ) Om origo inte ligger i gäller tt området är källfritt. Det sker lltså ingen nettoinströmning ut ur, så den sökt integrlen är noll. Dett följer direkt ur Guss sts. y b) Om origo ligger i kn vi inte nvänd Guss sts rkt frm. Det beror på tt u(, y) inte är definierd i denn punkt. För tt komm förbi dett problem tr vi en liten cirkelskiv C ɛ = {(, y); 2 + y 2 ɛ} kring origo med rdien ɛ >, så liten tt den helt ligger i. Att det är möjligt tt finn en sådn cirkelskiv följer v tt är en öppen mängd. Tr vi bort denn cirkelskiv från får vi en ny öppen mängd ɛ som inte innehåller origo och i vilken flödet är källfritt.
9 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 8 (9) y ǫ Nettoflödet ur ɛ är lltså noll. Men det betyder tt inflödet till ɛ över C ɛ är precis lik stort som utflödet över. Eftesom enhetsnormlen till C ɛ som pekr in i ges v N(, y) = (, y)/ɛ, vrför vi hr tt (u, N) = ( 2 + y 2 )/ɛ 3 = 1/ɛ på C ɛ på vilken 2 + y 2 = ɛ 2. Dett medför tt (u, N)ds = (u, N)ds = C ɛ Cɛ 2 + y 2 ds = 1 ɛ 3 ɛ ds = 2πɛ C ɛ ɛ Smmnfttningsvis får vi därför tt om origo ligger i, så gäller tt (u, N)ds = 2π. = 2π. Ett nnt sätt tt säg dett är tt genom vrje enkel sluten kurv som går ett vrv runt origo är utströmningen lltid 2π. 6 Strömning och diffusion i två rumsvribler Vi betrktr nu en gs eller vätsk som rör sig i ett pln. Beteckn med u(, y, t) och ρ(, y, t) strömningshstigheten respektive tätheten i punkten (, y) tid tiden t. Storheten q(, y, t) = ρ(, y, t)u(, y, t) mäter då flödet i denn punkt vid smm tidpunkt. Vårt mål är tt härled en ekvtion som relterr ändringen i täthet med ändringen i flöde. Låt B vr en godtycklig cirkelskiv i plnet. Den totl mängden gs/vätsk i B vid tiden t ges då v M(t) = ρ(, y, t)ddy. B
10 Om sttionär flöden och Guss sts i plnet 9 (9) Om vi förutsätter tt ρ är kontinuerligt deriverbr får vi genom tt deriver under integrltecknet tt M (t) = t ρ(, y, t)ddy, B som betyder mssökning i B per tidsenhet. Om vi förutsätter tt substnsen inte nybilds eller ombilds till något nnt, så beror denn ökning endst på inströmningen v mteri i B över rnden B. Låt N beteckn den utåtriktde normlen på B. Integrlen (q(, y, t), N(, y))ds B mäter då den mängd substns som strömmr in i B per tidsenhet. Vi hr lltså tt t ρ(, y, t)ddy = (q(, y, t), N(, y))ds. B Om q också är kontinuerligt deriverr kn vi här tillämp Guss sts på integrlen i högerledet och får då ( t ρ(, y, t) + div,y q(, y, t))ddy =. B (div,y betecknr divergensen v funktionen som funktion v, y för fit t.) Eftersom integrnden är kontinuerlig och B är en godtyckligt vld cirkeskiv följer tt dett endst är möjligt om integrnden är noll överllt: B t ρ(, y, t) + div,y q(, y, t) =. Denn ekvtion klls kontinuitetsekvtionen för gsen eller vätskn och är lltså ett uttryck för mssns oförstörbrhet. En diffusionsprocess krkterisers v tt flödet sker mot koncentrtionsgrdienten (Fick s lg), d.v.s q(, y, t) = k grd,y ρ(, y, t). Stoppr vi in dett i kontinuitetsekvtionen får vi Här hr vi infört den s.k. Lplce-opertorn Ekvtionen t ρ = k div,y (grd,y ρ) = k ρ. ρ = 2 ρ + 2 yyρ. t ρ = k ρ klls diffusionsekvtionen (eller värmeledningsekvtionen om det rör sg om värmeströmning, i vilket fll ρ är temperturen).
19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merGauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson
Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merFEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler
MVE255 Mtemtisk nlys i fler vribler M FEM2: Rndvärdesproblem och finit elementmetoden i fler vribler 1 1.1 Prtiell integrtion Kom ihåg tt finit elementmetoden bygger på den svg formuleringen v rndvärdesproblemet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merTATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merMängder i R n. Funktioner från R n till R p
Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs mer10. Tillämpningar av integraler
90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re
Läs mer6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill
6 Greens formel, tokes sts och lite därtill 6.1 Greens formel i låter de två sklärvärd funktionern P (, ) och Q(, ) vr kontinuerligt deriverbr i ett öppet område i -plnet. Området begränss v en positivt
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klssisk fysik och vektorfält - Föreläsningsnteckningr Christin Forssén, Institutionen för fysik, Chlmers, Göteborg, verige ep 13, 218 4. Integrlstser Minnesregel för strukturen på ll integrlstser
Läs merTATA42: Föreläsning 12 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler
TATA4: Föreläsning 1 Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 15 november 18 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer,
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merNågra partiella differentialekvationer med
Anlys 360 En webbserd nlyskurs Differentilklkyl Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH
Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs mer1.1 Sfäriska koordinater
Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merTillämpning av integraler
CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merTavelpresentation grupp 5E
Tvelpresenttion grupp 5E Elis Elmquist, Mtild Hnes, Isk Pettersson, Juli Wennerblom, John Jxing, Boel Brndström, Edvin Cllisen, Cjs Hjolmn 19 februri 2017 1 Multipelintegrler Frmställningen för definitionen
Läs merTyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2
Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merAnalys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53
Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merEn skarp version av Iliev-Sendovs hypotes
School of Mthemtics nd Systems Engineering Reports from MSI - Rpporter från MSI En skrp version v Iliev-Sendovs hypotes Elin Berggren Feb 009 MSI Report 09005 Växjö University ISSN 650-647 SE-35 95 VÄXJÖ
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs mer1 Föreläsning IX, tillämpning av integral
Föreläsning IX, tillämpning v integrl. Volym v någr kroppr.. Skiv- oc sklmetodern, m.m. Vi kn tänk oss en limp (röd) som längsledes är genomorrd v eln,. Limpn skivs i n lik tjock skivor, lltså med tjocklek
Läs merVolym och dubbelintegraler över en rektangel
Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =
Läs merFöreläsning 7: Trigonometri
ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi
Läs merOm konvergens av funktionsföljder
Anlys 36 En webbserd nlyskurs Anlysens grunder Om konvergens v funktionsföljder Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.om Om konvergens v funktionsföljder 1 (12) Introduktion I det här kpitlet
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. X. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH
Anlys 36 En webbserd nlyskurs Grundbok X. Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com X. Integrlklkyl (8) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn
Läs merÏ x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1
Tentmensskrivning i Mtemtik IV, 5B2 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 4-9 Hjälmedel: BETA, Mthemtics Hndook Redovis lösningrn å ett sådnt sätt tt eräkningr och resonemng är lätt tt följ Svren skll ges å reell
Läs mer1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14
Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given
Läs merENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT
ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär
Läs merStudieplanering till Kurs 3b Grön lärobok
Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentmen Vektorfält och klssisk fysik (FFM34 och FFM3) Tid och plts: Måndgen den 3 oktober 07 klockn 4.00-8.00 i Mskinslrn. Lösningsskiss: Christin Forssén Dett är enbrt en skiss v den
Läs merLösningsförslag till fråga 5
Lösningsförslg till fråg 5 Smmnfttning Följnde lceringr för unktern, som frmgår v Tbell, är de bäst vi hr funnit. Utförligre beskrivningr v ders lägen följer i texten: Fråg ), n unkter i en kvdrt n Plcering
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00
Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merAppendix. De plana triangelsatserna. D c
ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs mer9. Vektorrum (linjära rum)
9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,
Läs merPolynominterpolation av kontinuerliga
Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner Smmnfttning Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com I det här dokumentet diskuterr vi lite kring hur mn kn pproximer kontinuerlig funktioner med
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En irkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt
Läs merUttryck höjden mot c påtvåolikasätt:
Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:
Läs mera sin 150 sin 15 BC = BC AB 1.93 D C 39º 9.0
18 Trigonometri Övning 18.1 I tringeln är sidorn och lik lång. Tringelns störst vinkel är 10. eräkn förhållndet melln sidorn och. Svr med tre gällnde siffror. Mätning i figur godts ej. Tringeln är likbent.
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merLösningar till tentamen i EF för π3 och F3
Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr
Läs merArea([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)
Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner
Läs merDiskreta stokastiska variabler
Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt
Läs merSats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs mer0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.
Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs mer9 Dubbelintegralens definition
Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)
Läs mer16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga
Nr 6, ril -5, Ameli 6 Are- och volmberäkningr, reor v buktig tor 6. Någr reberäkningr Eemel (96e) Beräkn ren som begränss v =,=, = och =. 3.5.5.5.5.5.5 3 Lösning: En möjlighet är tt del tn enligt den streckde
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier
Läs merTATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merTillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.
TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys
Läs mery > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1
Lösningsförslg till tentmensskrivning i Diff & Trns I, 5B12 och Diff & Trns I för LV, 5B122 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 14-19 DEL1: 1 Betrkt differentilekvtionen y y (y -1)(y - 3), där y y(t) och t nger
Läs merSIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH
SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr
Läs merTATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018
TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men
Läs merTATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016
TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs mer14. MINSTAKVADRATMETODEN
4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 (ETEF1) och F3 (ETE55) Tid och plts: 7 jnuri, 215, kl. 8. 13., lokl: MA9, E F. Kursnsvrig lärre: Anders Krlsson, tel. 222 4 89. Tillåtn hjälpmedel:
Läs merTopologi och konvergens
Topologi och konvergens för viss kurser vid Uppsl universitet Smmnställt v Anders Vretbld 997 års upplg, översedd 28 Innehåll Topologisk grundbegrepp. Öppn och slutn mängder 3.2 Gränsvärde och kontinuitet
Läs mer