Några partiella differentialekvationer med

Transkript

1 Anlys 360 En webbserd nlyskurs Differentilklkyl Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr Anders Källén MtemtikCentrum LTH

2 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 1 (17) Introduktion Mång problem i verklig livet beskrivs mtemtiskt v differentilekvtioner på formen u (t) = f(t, u(t)). Här representerr u någon storhet som ändrr sig med tiden t. Iblnd sker inte ändringr br i tiden, utn även i rummet, och vi hr då en funktion v både tid t och rum x, u(x, t). Dett leder till ndr sorters ekvtioner, vilk oft beskriver någon form v konserveringslg. Här sk vi titt närmre på någr sådn problem. Den gemensmm nämnren är tt de hndlr om någon form v prtikelflöde, och tt en konserveringslg leder till tt det finns ett enkelt smbnd melln funktionens prtiell derivtor. En sådn ekvtion klls en prtiell differentilekvtion. Gemensmt för de prtiell differentilekvtioner som vi betrktr här, är tt lösningrn utgör någon form v vågrörelse. Som exempel sk vi titt både på vågrörelser i trfiken och på de vågor som definierr olik sorters ljud, såsom musik. I det här kpitlet kommer vi tt skriv prtiell derivtor i en kompkt form, för tt få så överskådlig formler som möjligt. Det innebär tt vi skriver t f = f t, 2 t f = 2 f o.s.v. t 2 Skulle vi behöv en blndd ndrderivt skrivs den xyf. 2 Om icke-sttionär flöden i en rumsvribel Vi tänker oss ett stort ntl identisk prtiklr v något slg som rör sig längs en endimensionell kurv. Längs denn lägger vi en rumskoordint som vi betecknr med x. Det kn rör sig om värme som rör sig längs en stv, om bilr som kör på en motorväg, om föroreningr som flyter med strömmen i en flod eller något liknnde. Eventuell rörelser i nnn riktning än längs kurvn nts vr försumbr. För tt beskriv prtiklrn och ders rörelse sk vi nvänd de två begreppen täthet och flöde. Tätheten, eller koncentrtionen, v prtiklr nts beskriven v en funktion ρ(x, t) (enhet: ntl per vståndsenhet, men kn även mäts i mss per vståndsenhet om vi tilldelr prtiklrn en grundvikt). Vi ntr tt denn funktion är en snäll funktion, vilket tills vidre betyder tt den är i C 1. Vd mer än tätheten kn en observtör vid vägen mät? Hn kn mät ntlet prtiklr som psserr per tidsenhet. Denn storhet, som vi betecknr q(x, t), klls flödet i punkten x, t och hr lltså enheten ntl per tidseneht (eller mss per tidsenhet om prtiklrn hr en mss). Att q > 0 innebär tt nettoflödet sker från vänster till höger. Vi sk härled en ekvtion som relterr funktionern ρ(x, t) och q(x, t) till vrndr. Antg först tt prtiklr vrken skps eller försvinner. Vi fixerr ett intervll [, b] på x-xeln och sk betrkt vd som händer i dett. Det totl ntlet prtiklr i [, b] vid tiden t ges v N(t) = ρ(x, t)dx. Det betyder tt derivtn N (t) ger ändringen i ntl prtiklr per tidsenhet i intervllet. Men den ändringen är nettoeffekten v ett inflöde över vänster ändpunkt v intervllet,

3 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 2 (17) q(, t), och ett utflöde över dess högr ändpunkt, q(b, t). Nettinflödet per tidsenhet till intervllet vid tiden t ges lltså v q(, t) q(b, t) och vi får ett smbnd N (t) = q(, t) q(b, t). Om prtiklr kn bilds eller försvinn i intervllet förändrs situtionen lite. Vi ntr då tt produktion/konsumtion kn beskrivs v en funktion k(x, t) som nger den hstighet med vilken produktionen sker på pltsen x vid tiden t (enhet: ntl prtiklr per längdenhet och tidsenhet). (Negtiv produktion är konsumtion.) I intervllet [, b] producers då prtiklr per tidsenhet. k(x, t)dx Eftersom ändringen v ntlet prtiklr bestäms v nettoflödet över gränsern till intervllet och nettoproduktionen i dett, får vi följnde blnsekvtion: Men vi hr tt N (t) = q(, t) q(b, t) + q(, t) q(b, t) = så högerledet i blnsekvtionen kn skrivs k(x, t)dx. x q(x, t)dx, ( x q(x, t) + k(x, t))dx. Vd gäller vänsterledet flyttr vi in derivtn innnför integrltecknet: N (t) = d dt ρ(x, t)dx = t ρ(x, t)dx. Dett förutsätter tt derivtn ρ/ t är kontinuerlig, vilket vi hr ntgit. Vi får lltså reltionen t ρ(x, t)dx = ( x q(x, t) + k(x, t))dx, och eftersom dett är snt för ll intervll [, b] kn vi håll fixt och deriver reltionen m..p. b. Dett ger oss reltionen t ρ(x, t) = x q(x, t) + k(x, t). Dett är vår bsl prtiell differentilekvtion. Anmärkning Noter tecknen i ekvtionen. Antg tt det inte sker någon nettoproduktion i intervllet, lltså tt k = 0. Om t ρ > 0 någonstns, innebär det tt det på denn plts nsmls prtilr (eftersom tätheten växer där). Då bör prtikelflödet förbi denn plts minsk med vståndet, dvs x q vr negtiv.

4 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 3 (17) Flödet kn skrivs q(x, t) = ρ(x, t)u(x, t). där u(x, t) betecknr hstigheten v prtikeln som är i punkten x vid tiden t. Stoppr vi in dett i differentilekvtionen får denn formen t ρ + x (ρu) = k. Det denn ekvtion beskriver är lltså hur msstätheten ändrs per tidsenhet när vi känner prtikelhstighetern; med k = 0 beskriver den mssblns i vrje punkt. Ekvtionen klls kontinuitetsekvtionen för strömningen. Exempel 1 Betrkt en orgnisk förorening som släpps ut från en fbrik och som rör sig medströms längs en flod, som vi ntr rinner med konstnt hstighet c. Vi ntr tt föroreningen är homogent fördeld i ll riktningr utom längs flodens förlopp och tt den bryts ner v i floden förekommnde bkterier. När vi modellerr dett inför vi som x-koordint vståndet medströms från fbriken (negtivt x betyder då en punkt i floden som ligger uppströms räknt från fbriken). Koncentrtionen v förorening på vståndet x från fbriken vid tidpunkten t betecknr vi med ρ(x, t). Enligt diskussionen ovn hr vi då ekvtionen t ρ + c x ρ = k, där k är den hstighet med vilken bkteriern i floden bryter ner föroreningen. Om vi hr gott om bkterier är det troligen rimligt tt nt tt denn nedbrytningshstighet är proportionell mot mängden förorening: k(x, t) = µρ(x, t). Dett ger oss därför följnde differentilekvtion som beskriver densiteten t ρ = c x ρ µρ. Ett flöde, såsom i föregående exempel, där vi hel tiden känner hstigheten u(x, t) klls ett konvektivt flöde. En sorts dimetrl motsts diskuters i näst exempel. Exempel 2 Betrkt encellig djur i en stillstående vätsk. Dess rör sig mer eller mindre slumpmässigt åt olik håll. Vd är det som bestämmer hur ett visst djur rör sig i ett visst ögonblick? En rimlig modell är tt det endst är den llr närmste omgivningen som påverkr dess beslut. En enkel modell, som går under nmnet Ficks lg, säger tt de flödr

5 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 4 (17) mot koncentrtionsgrdienten: q = D x ρ. Om x ρ > 0 ökr tätheten när vi rör oss åt höger, och djuret väljer därför tt rör sig åt vänster (så tt q < 0). Omvänd påståendet gäller också. Dett ger oss tt t ρ = x ( D x ρ) = D 2 xρ. Ekvtionen t ρ = D 2 xρ klls i dess smmnhng diffusionsekvtionen och konstnten D klls då diffusionskoefficienten. Anmärkning Diffusionsekvtionen går iblnd under nmnet värmeledningsekvtionen. Enligt Fouriers värmeledningslg uppfyller nämligen temperturen i en msshomogon kropp med konstnt värmekpcitivitet smm ekvtion som ρ. I dett fll klls D för värmeledningstlet. Vndrnde vågor och krkteristisk kurvor Vi sk nu se på hur mn kn lös konvektionsekvtioner då vi känner hstigheten u(x, t). Vi börjr med det enklste fllet, när hstigheten är konstnt. För tt konkretiser det hel tänker vi oss ett stort ntl bilr på en oändligt lång väg. Dess nts beskrivn v en täthetsfunktion ρ(x, t) vilken vid tiden t = 0 är lik med en given funktion ρ 0 (x). Vidre nts trfiken flyt med jämn hstighet c och det finns ing v- eller påfrter till vägen. Då gäller tt tätheten ρ sk uppfyll t ρ + c x ρ = 0, ρ(x, 0) = ρ 0 (x). Hur ser då x ρ(x, t) ut vid en senre tidpunkt t? Rent intuitivt gäller tt den hr en oförändrd form men hel tiden kontinuerligt flytts med jämn frt åt höger. Mer precist, en bil som är i punkten x vid tiden t, vr i punkten x ct vid tiden noll och omgivningen nu ser likdn ut som då, br på en ny plts. Det betyder tt tätheten vid tiden t borde ges v uttrycket ρ(x, t) = ρ 0 (x ct). y y = ρ 0 (x) y = ρ 0 (x ct) ct x

6 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 5 (17) Vi sk nu härled dett mtemtiskt, så tt vi får en metod tt lös även mer komplicerde problem. Låt oss följ med en bil som befinner sig i punkten x 0 vid tiden noll. Vid tiden t befinner sig denn i punkten x = x 0 + ct. Vi betrktr därför funktionen r(t) = ρ(x 0 + ct, t). Men ll bilr rör sig med smm jämn frt, ing försvinner och ing ny tillkommer. Då ändrr sig inte tätheten i omgivningen till vår bil. Följktligen måste r(t) = r(0) = ρ(x 0, 0) = ρ 0 (x 0 ) för ll t. Dett får vi mtemtiskt genom tt vi deriverr r(t) m..p. t med hjälp v kedjeregeln: r (t) = x ρ(x 0 + ct, t) c + t ρ(x 0 + ct, t) = 0. I den sist likheten nvände vi differentilekvtionen. Det gäller lltså tt r(t) = r(0) för ll t som vi redn insett! Anmärkning För tt ρ(x, t) = ρ 0 (x ct) verkligen sk vr en lösning måste ρ 0 vr i C 1. Men det är oft önskvärt tt lös ekvtionen även för ρ 0 som inte är deriverbr överllt eller t.o.m. diskontinuerlig. Vi säger då tt funktionen ρ är en svg lösning till ekvtionen. Vi ser tt linjern x = x 0 + ct hr en speciell betydelse för vår differentilekvtion. Dess linjer klls ekvtionens krkteristiker. Genom vrje punkt i xt-plnet går precis en krkteristik. t För tt få värdet v ρ(x, t) förfr vi på så sätt tt vi ser efter vilken krkteristik som punkten (x, t) ligger på. Sedn följer vi denn bkåt till t = 0. Om dett svrr mot x = x 0 (som lltså är x 0 = x ct), så gäller tt ρ(x, t) = ρ(x 0, 0) = ρ 0 (x 0 ) = ρ 0 (x ct). En lösning till en differentilektion i en rumsvribel x och en tidsvribel t som är en funktion endst v x ct klls en vndrnde våg, eftersom den innebär tt strttillstånd förflytts som en vågfront. (x 0, 0) x = x 0 + ct (x, t) x Anmärkning Observer tt figuren är missvisnde. De två funktionsgrfern som är ritde är y = ρ 0 (x) och y = ρ 0 (x ct) (för ett fixt t). De borde därför inte rits mot t-xeln, utn vi behöver en tredje xel, en y-xel, mot vilken funktionern är ritde. Krkteristikern leder frm till en llmän metod tt lös en viss typ v ekvtioner. Vi börjr med ett exempel.

7 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 6 (17) Exempel 3 Vi sk nu lös ekvtionen i exempel 1, lltså begynnelsevärdesproblemet t ρ + c x ρ = µρ, ρ(x, 0) = ρ 0 (x). För tt hitt ρ(x, t) betrktr vi föroreningrn som vid tiden t = 0 vr på pltsen x = x 0. Dess kommer tt följ med floden, som rinner med konstnt hstighet c. Dess föroreningrs läge vid tiden t är då x = x 0 + ct. Vi föjer nu med dess föroreningr, vilket betyder tt vi definierr funktionen r(t) = ρ(x 0 + ct, t). Vi hr då tt r(0) = ρ(x 0, 0) = ρ 0 (x 0 ), och enligt kedjeregeln och enligt differentilekvtionen gäller tt r (t) = x ρ(x 0 + ct, t)c + t ρ(x 0 + ct, t) = µρ(x 0 + ct, t) = µr(t). Ekvtionen r (t) = µr(t) hr lösningen r(t) = r(0)e µt, så vi får tt ρ(x 0 + ct, t) = ρ 0 (x 0 )e µt. Om vi slutligen inför x = x 0 + ct, så blir dett ρ(x, t) = ρ 0 (x ct)e µt. I det här fllet blir lltså lösningen inte en vndrnde våg, utn en dämpd sådn, med dämpningsfktorn e µt. Följnde exempel blir nvändbrt längre frm i dett kpitel. Exempel 4 Vi sk nu skriv upp en formel för den llmänn lösningen till problemet t ρ + c x ρ = k, ρ(x, 0) = ρ 0 (x) där k(x, t) är en känd funktion. Vi inför smm r(t) som ovn och får då r (t) = k(x 0 + ct, t), och lltså tt r(t) = r(0) + vilket med x = x 0 + ct blir ρ(x, t) = ρ 0 (x ct) + t 0 t k(x 0 + cs, s)ds, 0 k(x c(t s), s)ds. Vi sk nu se hur mn på motsvrnde sätt löser den llmänn ekvtionen t ρ + x (ρu) = b

8 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 7 (17) där funktionern u och b kn vr funktioner inte br v x och t, utn även v funktionen ρ som är den vi vill bestämm (dock ej ρ:s derivtor). Denn ekvtion beskriver tätheten ρ för en substns som rör sig med en vätsk vrs hstighet beskrivs v funktionen u. Dett är det sätt vi sk tänk på ekvtionen för tt förstå den lösningsmetod vi sk beskriv. Rent mtemtiskt är det emellertid lämpligt tt skriv ut derivtionen v produkten ρu, så tt ekvtionen istället får formen t ρ + u x ρ = b, b = b ρ x u. Betrkt nu en prtikel i vätskn som vid tiden t = 0 befinner sig i punkten x 0. Låt x(t) vr denn prtikels läge vid tiden t. Eftersom dess hstighet beskrivs v funktionen u(x, t), men också t x (t), så ser vi tt x(t) bestäms v differentilekvtionen x (t) = u(x(t), t), x(0) = x 0. Allmänt gäller tt lösningrn till denn ekvtion klls konvektionsekvtionens krkteristiker. Genom vrje punkt i plnet går precis en sådn krkteristik. Vi sk nu se hur tätheten ρ ändrr sig med tiden om vi följer en sådn krkteristik. Mer precis definierr vi funktionen r(t) = ρ(x(t), t). Enligt kedjeregeln gäller då tt r (t) = x ρ(x(t), t) x (t) + t ρ(x(t), t) = t ρ(x(t), t) + u(x(t), t) x ρ(x(t), t) = b(x(t), t). Högerledet kn här uppftt som en funktion B v t och r(t), så vi får en differentilekvtion r (t) = B(t, r(t)). Vidre vet vi tt r(0) = ρ(x 0, 0). Vi kn nu försök lös ekvtionen på följnde sätt: bestäm funktionen r(t) ur ovnstående differentilekvtion. Den kommer då tt vr en funktion v x 0 och t. Vi kn sedn uttryck x 0 som funktion v x och t med hjälp v krkteristikern. Ur det får vi den okänd funktionen ρ(x, t). Förhoppningsvis klrnr denn metod om vi genomför ytterligre ett exempel. Exempel 5 Antg tt hstighetsvektorn u ges v u(x, t) = x och tt det inte finns någr källor eller brunnr. Vi vill lltså lös ekvtionen t ρ + x (ρx) = 0, ρ(x, 0) = ρ 0 (x). Vi deriverr ut produkten och får ekvtionen t ρ + x x ρ = ρ. Krkteristikern ges v lösningrn till ekvtionen x (t) = x(t), x(0) = x 0, lltså v x(t) = x 0 e t. Funktionen r(t) = ρ(x(t), t) löser ekvtionen r (t) = r(t), r(0) = ρ 0 (x 0 ),

9 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 8 (17) och är därför r(t) = ρ 0 (x 0 )e t. Men vi hr tt x 0 = x(t)e t, så om vi sätter in definitionen v r(t) i uttrycket ovn får vi tt ρ(x(t), t) = ρ 0 (x(t)e t )e t. t x = x0e t (x, t) Så om vi befinner oss i punkten (x, t), så gäller tt ρ(x, t) = ρ 0 (xe t )e t. (x0, 0) x Kvsi-lineär ekvtioner Metoden tt lös en konvektionsekvtion som bygger på tt mn följer krkteristikern fungerr också br om hstighetsfunktionen u beror v ρ (men inte dess derivtor). Vi sk se närmre på dett, och de intressnt kompliktioner som kn inträff, i det enklste fllet när u = u(ρ) endst beror v ρ, och lltså v t, x endst genom ρ. Vi hr då tt flödet hr formen q = ρu(ρ) och konvektionsekvtionen utn produktion/konsumtion hr utseendet t ρ + x q(ρ) = 0. Om vi definierr (ρ) = q (ρ) får denn formen t ρ + (ρ) x ρ = 0. Krkteristikern till denn differentilekvtion är lösningen till differentilekvtionen [1] x (t) = (ρ(x(t), t), t). Om vi nämligen följer en sådn, d.v.s. betrktr funktionen r(t) = ρ(x(t), t), så gäller tt r (t) = x ρ(x(t), t)x (t) + t ρ(x(t), t) = ((ρ) x ρ + t ρ)(x, t) = 0, vilket betyder tt r(t) = r(0) för ll t. End problemet är tt vi inte känner ρ, och lltså hr problem tt beräkn x(t). Men det gör inte så mycket. Om nämligen krkteristiken går genom punkten (x 0, t 0 ) och ρ 0 = ρ(x 0, t 0 ), så gäller tt ρ(x(t), t) = ρ 0 för ll t. Då är lltså x (t) = (ρ 0 ) och därmed x x 0 = (ρ 0 )(t t 0 ). Krkteristikern är rät linjer, men med olik lutningr (ρ 0 ), vilk här klls den lokl våghstigheten. Känner vi ρ(x, 0) = ρ 0 (x) borde vi därför kunn bestämm ρ. Vi hr ju längs en krkteristik som går genom (x 0, 0) tt ρ(x, t) = ρ(x 0, 0) = ρ(x (ρ 0 (x 0 ))t, 0) = ρ 0 (x (ρ 0 (x 0 ))t),

10 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 9 (17) som liknr en vndrnde våg. Problemet är br tt våghstigheten är lokl, d.v.s. vrierr med strtpunkt. Dett leder till speciell problem, vilk vi nu sk se närmre på. Som exempel tänker vi oss trfiken på en tättrfikerd väg. Ser vi på denn från ett tillräckligt långt vstånd kn vi inte urskilj de enskild bilrn, utn tänker oss dess beskrivn i form v en täthetsfunktion ρ. Vi ntr tt den hstighet en bil håller på vägen bestäms v hur tätt det är melln bilrn. Låt u m vr den mximlt tillåtn hstigheten (som vi ntr inte överskrids!) och låt ρ m vr den mximl tätheten v bilr som är möjlig (som svrr mot tt bilrn står stötfångre mot stötfångre). En enkel modell för vilken hstighet en enskild förre väljer ges då v u(ρ) = u m (1 ρ ρ m ). Den är nturligtvis br en v mång möjlig modeller, och klls Greenshields modell. I denn modell ges flödet v q(ρ) = u m ρ(1 ρ ρ m ), vrs derivt är (ρ) = u m (1 2ρ ρ m ). Dett är formeln för den lokl våghstigheten. Vi sk nu se närmre på två exempel. Exempel 6 Betrkt en kolonn bilr som står och väntr vid ett rödljus. Vi plcerr trfikljuset i x = 0 och ntr tt det vrit rött så länge tt det inte finns någr bilr till höger om det, men en oändlig rd bilr, stötfångre mot stötfångre, till vänster om det. Vi hr lltså utgångstätheten ρ 0 (x) = { ρ m om x 0 0 om x > 0. Funktionen ρ 0 (x) hr ett hopp i x = 0. Vi får tt den lokl våghstigheten för punkter x 0 till vänster om trfikljuset är (ρ m ) = u m, medn den till höger är (0) = u m. Dett ger krkteristikern ) Om x 0 > 0 är den x = x 0 + u m t. b) Om x 0 < 0 är den x = x 0 u m t. Ritr vi ut dess i xt-plnet, ser vi tt de fyller ut hel övre hlvplnet utom konen x u m t. Den högr biten v dett, som utgörs v linjer med positiv lutning, representerr punkter (x, t) till vilk trfiken inte nått (trfiken hr vid tiden t inte nått punkten x. Den del i ndr kvdrnten som utgörs v krkteristiker med negtiv lutning representerr i sin tur punkter där trfiken inte börjt rör på sig (tätheten är mximl här) efter det tt det blev grönt ljus. Ju längre tid det gått, desto längre bk i den ursprunglig kön står bilrn ännu still.

11 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 10 (17) t Men vd händer i det konformde området som inte innehåller någr krkteristiker som utgår ifrån x-xeln. Vi förväntr oss tt tätheten här vtr från mximivärdet ρ m på rnden x = u m t till värdet 0 i motsvrnde punkt x = u m t. Den först bilen som kn rör sig kör med mximihstighet u m eftersom tätheten frmför den är noll. Bilrn bkom kommer tt strt mer långsmt, vilket innebär en successiv uttunning v trfiken. För tt få mtemtisk ordning på dett betrktr vi punkten (x, t) i konen. Ur formeln för (ρ) kn vi lös ut ρ som ρ = ρ m (ρ) (1 ), 2 u m och eftersom vi är i konen sk denn täthet uppfyll 0 < ρ < ρ m. Punkten (x, t) ligger vidre på en krkteristik och vi vet tt dess är rät linjer. End möjligheten för dett är tt den går genom diskontinuitetspunkten origo. Krkteristiken sk lltså h en ekvtion x = (ρ)t, d.v.s. (ρ) = x/t. Stoppr vi in dett i formeln för ρ ovn får vi tt ρ(x, t) = ρ m 2 (1 x u m t ). Vid en given tidpunkt representerr dett en vtgnde linjär funktion från mximivärdet ρ m i x = u m t till värdet noll i x = u m t. Punkten u m t är pltsen för näst bil som börjr rör sig tid tiden t, medn u m t är vståndet vid tiden t från ljuset till den först bilen i den ursprunglig kön (den kör med mximl hstighet). Strtsignlen för bilrn rör sig bkåt med hstigheten u m. Betrkt den bil som vid tiden för grönt ljus befinner sig på vståndet x 0 från dett. Dess strtsignl kommer då vid tiden t 0 = ( x 0 )/u m. När de senre är i punkten (x, t) hr den hstigheten u(x, t) = u m (1 ρ ) = u m (1 1 ρ m ρ m ρ m 2 (1 x u m t )) = 1 2 (u m + x t ). x

12 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 11 (17) Differentilekvtionen för dess väg är därför x (t) = 1 2 (u m + x(t) ), x(t 0 ) = x 0. t Löser vi dett kn vi bestämm denn bils väg och hstighet vid olik tidpunkter. Exempel 7 Vi betrktr nu det omvänd problemet till det i föregående exempel, nämligen en plötslig inbromsning. Vi hr lltså snbbre trfik bkom en långsmmre, vilket betyder tt en brupt ökning v tätheten är tt vänt någonstns. Vi tänker oss tt vi möter problemet när en trfik med tätheten ρ m /4 plötsligt möter en stillstående kö (med täthet ρ m ). Först krocken sk just till tt händ. I det ögonblicket hr vi strttätheten { ρ m /4 då x < 0 ρ 0 (x) = ρ(x, 0) = ρ m då x > 0. Vi hr tt vrför vi hr krkteristikern ) Om x 0 > 0 är den x = x 0 u m t, b) Om x 0 < 0 är den x = x 0 + u m t/2. (ρ m /4) = u m /2, (ρ m ) = u m, Om vi ritr ut dess linjer i plnet finner vi denn gång inte en kon utn linjer, utn ett konformt område i vilket vrje punkt ligger på två krkteristiker. Dett sklle medför tt tätheten i dett område hr två olik värden, vilket är orimligt. Hur löser vi det problemet? t x

13 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 12 (17) Intuitivt gäller tt bilrn krockr och tt det bör sprids en krockvåg bkåt med tiden. Men hur sk vi finn denn krockvåg? För det först innebär denn tt täthetsfunktionen ρ(x, t) inte är en kontinuerlig funktion. Mer precist, det finns en kurv x = ξ(t) sådn tt funktionen ρ(x, t) för fixt t hr en diskontinuitet i ξ(t). Men då duger inte härledningen v den grundläggnde ekvtionen längre! Den förutstte tt ρ vr deriverbr med kontinuerlig derivt. Vi går därför ett steg bkåt och påminner oss om mssblnsekvtionen d dt ρ(x, t)dx = q(, t) q(b, t) som bildde grunden för härledningen v den prtiell differentilekvtion vi studerr. Antg tt < ξ(t) < b, så tt intervllet innehåller diskontinuitetspunkten. Vi sk då utnyttj tt ρ(x, t)dx = ξ(t) ρ(x, t)dx + ξ(t) ρ(x, t)dx, där ingen v integrlern i högerledet innehåller någon diskontinuitetspunkt. Där där skulle vi därför kunn flytt in tidsderivtn om det inte vore för det lill problemet tt integrtionsgränsen också beror v t. Men om vi sätter F (u, t) = u ρ(x, t)dx så gäller tt den först integrlen är F (ξ(t), t), och deriverr vi den med hjälp v kedjeregeln får vi tt d dt ξ(t) ρ(x, t)dx = ξ(t) t ρ(x, t)dx + ξ (t)ρ(ξ(t), t). Utnyttjr vi dett på båd integrlern får vi tt mssblnskevtionen kn skrivs t ρ(x, t)dx + ξ (t)(ρ ρ + ) = q(, t) q(b, t). Här gäller tt ρ + är högergränsvärdet v ρ(x, t) då x ξ(t) och ρ motsvrnde vänstergränsvärde. Låter vi nu närm sig ξ(t) från vänster och b närm sig ξ(t) från höger, så får vi (med nlog beteckningr för gränsvärden v q) tt ξ (t)(ρ ρ + ) = q q +. Om ingående funktioner är kontinuerlig står här br tt 0 = 0. Det är därför vi inte stött på dett hoppvillkor tidigre. Nu hr vi emellertid råkt i en sitution när vi behöver det, nämligen till tt bestämm diskontinuitetskruvn x = ξ(t).

14 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 13 (17) I vårt exempel hr vi tt ρ + = ρ m och ρ = ρ m /4. Vidre gäller tt q + = 0 och q = 3u m ρ m /4, vilket ger oss tt ξ (t) = u m. Vidre är ξ(0) = 0, så vi får tt diskontinuitetskurvn är den rät linjen ξ(t) = u m t. Det är lätt tt förstå vrför mn säger tt dett är krkteristiken för en chock-våg. Den tlr om vr diskontinuiteten i trfiktätheten är vid vrje tidpunkt, d.v.s. är gränsen melln stillstående bilr och körnde bilr. Denn chock-våg rör sig bkåt (hr du sett en vågrörelse v röd bromsljus slå emot dig i tät trfik hr du stött på denn chock-våg i verkligheten.) Anmärkning Dess två exempel hr det gemensmm tt vi hr en strt-täthet som vr diskontinuerlig i en punkt. I det först fllet lyckdes vi trots det finn en snäll, kontinuerlig lösning på vårt problem för ll positiv tider. I det ndr fllet blev vi inte v med diskontinuiteten utn den spred sig i form v en chock-våg. Om vi hde rundt v strtfunktionen lite, så tt den inte vr diskontinuerlig, så skulle det inte förvån oss tt vi får en snäll lösning i det först exemplet. I det ndr däremot blir vi inte v med chock-vågen! Den är inte en konsekvens v en diskontinuerlig strtfunktion, utn resulttet v tt hstigheten på bkomvrnde bilr är högre än på frmförvrnde. Om ljudvågor och vågekvtionen När ljud går genom en gs sätts gsmolekylern i små svängningr i ljudets riktning. Gsens täthet ρ är inte konstnt, utn beror v trycket p. Om vi ntr tt de förtunningr och förtjockningr som äger rum i gsen då prtiklrn svänger sker så långsmt tt temperturen väsentligen är konstnt, och gsen dessutom är en idel gs, så gäller enligt llmänn gslgen tt p = kρ. Anmärkning För mång gser kn mn inte nt dett enkl smbnd melln p och ρ, utn måste hänvis till termodynmiken för tt få en nnn reltion melln tryck och täthet: p = p(ρ).

15 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 14 (17) Om vi låter u vr gshstigheten, så hr vi från ovn ekvtionen t ρ = x (ρu). Smbndet p = kρ ger tt t p = k t ρ, så vi får följnde ekvtion melln tryck och täthet: t p + k x (ρu) = 0. Denn ekvtion, som beskriver mssblnsen för gsen, kompletters med en liknnde som bygger på Newtons ndr lg d(mv) dt där mv = mssn hstigheten=rörelsemängden och F krften. I vårt fll ges rörelsemängden v uttrycket ρu, och är lltså inget nnt än det vi tidigre kllde flödet. Betrkt nu åter ett litet intervll [, b]. Den totl rörelsemängden vid tiden t i dett intervll ges då v uttycket = F ρ(x, t)u(x, t)dx. Ändringen i rörelsemängd per tidsenhet bestäms v två sker: flödet v rörelsemängd ut och in i intervllet och den krft som påverkr intervllet i dess ändpunkter. Flödet v rörelsemängd ges v Q = (ρu)u = ρu 2. Nettoflödet över intervllet är därför Q(, t) Q(b, t). Då vidre den krft som påverkr intervllet ges v p(, t) p(b, t) säger Newtons ndr lg tt d dt ρ(x, t)u(x, t)dx = Q(, t) Q(b, t) + p(, t) p(b, t), och dett är snt för ll sådn intervll. Stoppr vi in tidsderivtn i vänsterledet under integrltecknet och sedn deriverr reltionen m..p. b får vi följnde ekvtion: t (ρu) = x (ρu 2 ) x p. Smmnfttningsvis hr vi lltså följnde system v ekvtioner: { t p + k x (ρu) = 0 t (ρu) + x (ρu 2 ) + x p = 0 Som de står är dess ekvtioner svår tt nlyser. Vi sk emellertid gör pproximtioner som gör det möjligt för oss tt bestämm de ingående funktionern i det fll som är relistiskt för ljudvågor, nämligen när gsens rörelse är liten. Vi gör dett genom tt linjäriser ekvtionern. Ett jämviktsläge hr vi när bsen står still, d.v.s. u(x, t) = 0, ρ(x, t) = ρ 0 och p(x, t) = p 0. Här är ρ 0 gsens vilotäthet och p 0 dess vilotryck. Oft är mn intresserd v små vvikelser från dett. Vi kn skriv sådn vvikelser på formen u = ɛu 1, ρ = ρ 0 + ɛρ 1, p = p 0 + ɛp 1, där ɛ > 0 är ett litet tl. Då gäller tt ρu = ɛρ 0 u 1 +ɛ 2 ρ 1 u 1 ɛρ 0 u 1 och därför tt ρu 2 0. Inför vi dess pproximtioner i ekvtionern och dividerr med ɛ får vi de linjäriserde ekvtionern { t p 1 + kρ 0 x u 1 = 0 ρ 0 t (u 1 ) + x p 1 = 0.

16 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 15 (17) Dess linjäriserde ekvtioner nvänds inom t.ex. kustiken. Vi kn lätt härled en end ekvtion för vilken som helst v funktionern u 1 och p 1. T.ex. hr vi tt 2 t p 1 = kρ 0 t ( x u 1 ) = kρ 0 x ( t u 1 ) = k x ( x p 1 ) = k 2 xp 1. Det är bekvämt tt inför c = k. Vi hr då tt både u = p 1 och u = u 1 uppfyller vågekvtionen 2 t u = c 2 2 xu. För tt lös vågekvtionen skriver vi om denn ekvtion som Om vi därför sätter så sk v lös ekvtionen ( t c x )( t u + c x u) = 0. v(x, t) = t u(x, t) + c x u(x, t) t v c x v = 0. Men den vet (ersätt c med c i diskussionen ovn) vi hr den llmänn lösningen v(x, t) = f(x + ct). För tt finn u(x, t) sk vi därför lös ekvtionen t u(x, t) + c x u(x, t) = f(x + ct). Men vi såg ovn tt den llmänn lösningen till den ekvtionen är u(x, t) = G(x ct) + t 0 f(x + ct c(t s))ds = G(x ct) + = F (x + ct) + G(x ct) där F = f. Här är lltså både F och G godtycklig funktioner. t 0 f(x + cs)ds Strikt sett måste F och G vr i C 2 för tt vr en lösning till vågekvtionen, men vi kn uppftt u(x, t) = F (x + ct) + G(x ct) som en svg lösning till ekvtionen även om så inte är fllet. För t = 0 hr vi tt u(x, 0) = G(x) + F (x). Geometriskt betyder då formeln för u(x, t) tt funktionen u(x, 0) splittrs i två vågor som går åt vrt sitt håll på x-xeln med hstigheten c. y y = F (x) + G(x) y = F (x + ct) y = G(x ct) x

17 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 16 (17) D Alemberts formel Vi hr sett tt vågekvtionen hr den llmänn (svg) lösningen 2 t u = c 2 2 xu, x R, t > 0 u(x, t) = F (x + ct) + G(x ct). Vi hr också sett tt för tt F och G sk bli fullständigt specificerde räcker det inte med tt nge u(x, 0). Vnligen föreskriver mn s.k. Cuchy-dt u(x, 0) = f(x), t u(x, 0) = g(x), x R. Att npss F och G till dess Cuchy-dt innebär tt vi skll lös F (x) + G(x) = f(x), c(f (x) G (x)) = g(x), x R. Genom tt integrer den ndr ekvtionen får vi det ekvivlent systemet F (x) + G(x) = f(x), F (x) G(x) = 1 c x 0 g(s)ds + F (0) G(0). Löser vi dett får vi, med C = F (0) G(0) F (x) = 1 2 (f(x) + 1 c G(x) = 1 2 (f(x) 1 c x 0 x 0 g(s)ds + C). g(s)ds C) Sätter vi in dett i formeln för u(x, t) försvinner C och vi får ur tt u(x, t) = F (x + ct) + G(x ct) tt u(x, t) = 1 2 (f(x + ct) + f(x ct) + 1 c x+ct x ct g(s)ds). Vi ser tt om f är i C 2 och g i C 1 så löser denn funktion verkligen vågekvtionen med Cuchy-dt. Om f eller g är mindre reguljär än så säger vi tt u(x, t) är en svg lösning till vågekvtionen. Ur d Alemberts formel följer tt u:s värde i punkten (x, t) är entydigt bestämt v f:s värde i de två punktern x ± ct smt g:s värden i hel intervllet (x ct, x+ct). För tt se i vilk punkter f och g måste vr känd för tt u(x 0, t 0 ) sk vr känd, drr vi därför linjern x x 0 ± c(t t 0 ) = 0 från (x 0, t 0 ) tills de skär x-xeln. Dess två skärningspunkter bestämmer ett intervll, nämligen [x 0 ct 0, x 0 + ct 0 ], och det är f:s och g:s värden här som bestämmer t x x 0 = c(t t 0 ) (x 0, t 0 ) x x 0 = c(t t 0 ) x 0 ct 0 x 0 + ct 0 x

18 Någr prtiell differentilekvtioner med våglösningr 17 (17) u(x 0, t 0 ). Vi ser tt linjern x+ct = konstnt och x ct = konstnt hr en speciell innebörd då vi studerr vågekvtionen. Vi kllr dem för vågekvtionens krkteristiker. Genom en given punkt (x 0, t 0 ) går precis två krkteristiker, nämligen x x 0 ± c(t t 0 ) = 0. Om vi genom punkten (x, 0) drr de två krkteristikern ser vi tt i övre hlvplnet är det endst punktern på dess krkteristiker som påverks v f:s värde i x. Däremot påverkr g:s värde i x lösningen u i hel det streckde området i figuren.