Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Transkript

1 Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet i A (på motsvrnde sätt är min A det minst elementet) men problemet är tt det inte lltid finns ett störst (eller minst) element, som tex. i mängden { x R : 0 < x < 1 } och då kn mn inte tl om mx A (eller min A). Supremum och infimum är generliseringr v mximum och minimum så tt dett problem inte uppstår. Supremum och infimum Ifll A R så är sup(a) = R {± } ifll Om x A så gäller x ; Om α < så finns ett tl x A så tt x > α. Således är sup(a) minst möjlig övre gräns för elementen i A. Ifll A R så är inf(a) = b R {± } ifll Om x A så gäller x b; Om β > b så finns ett tl x A så tt x < β. Således är inf(a) störst möjlig nedre gräns för elementen i A. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

2 Supremum och infimum v den tomm mängden Obs! sup( ) = och inf( ) = +. Det är en egenskp hos de reell tlen tt sup(a) och inf(a) esisterr för vrje mängd A R. Motsvrnde gäller tex. inte om mn byter ut de reell tlen mot de rtionell och då också kräver tt sup(a) och inf(a) skll vr rtionell tl. Obs! sup f (x) def def = sup({ f (x) : x A }) och inf f (x) = inf({ f (x) : x A }). x A x A G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Gränsvärde, informell definition x x0 f (x) = L ifll det är snt tt f (x) L är litet när x x 0 är tillräckligt litet och x x 0. Gränsvärde, formell definition x x 0 f (x) = L ifll det för vrje ɛ > 0 finns ett tl δ > 0 så tt om 0 < x x 0 < δ och x Ω så gäller f (x) L < ɛ. Kommentr I Observer tt gränsvärdets vr eller icke vr och eventuell värde inte är beroende v om f (x 0 ) är definierd och i så fll vd värdet är! Om Ω = R eller det nnrs är klrt vd Ω är skriver mn x x0 f (x). G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

3 Kommentr II Vnligtvis ntr mn tt f (x) är definierd för ll x Ω men om dett inte är snt så kn mn lltid tolk påståendet f (x) L < ɛ som flskt om f (x) inte är definierd. Kommentr III Definitionen med ɛ on δ är komplicerd och visr sitt värde i jämförelse med mer flummig vrinter egentligen br i de verkligt knepig fllen. I de enklre fllen är det ntingen självklrt vd gränsvärdet är, eller så kn mn med frmgång nvänd räkneregler för gränsvärden. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Ifll Räkneregler för gränsvärden x x0 x x 0 x x 0 x x 0 f (x) = F och x x0 g(x) = G så gäller ( αf (x) + βg(x) ) = αf + βg, f (x)g(x) = FG, f (x) g(x) = F G om G 0 och G, F G om f (x) g(x) då 0 < x x 0 < c där c > 0. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

4 Instängningsprincipen Ifll x x0 g(x) = 0 och f (x) g(x) då 0 < x x 0 c där c > 0 så gäller f (x) = 0. x x 0 Aningen mer llmänt: Ifll x x0 g(x) = x x0 h(x) = L och g(x) f (x) h(x) då 0 < x x 0 c där c > 0 så gäller Vribelbyte f (x) = L. x x 0 Om x x0 f (x) = F, y F g(y) = G och g(f ) = G eller f (x) F då x x 0, så gäller g ( f (x) ) = g(y). x x 0 y F G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Gränsvärdet v en tlföljd n n = L: För ll ɛ > 0 finns ett tl N 0 N så tt om n > N 0 så gäller n L < ɛ. Tlföljder som hr ett gränsvärde Om ( n ) n=n 0 är en sådn tlföljd tt n+1 n får ll n n 0 så hr tlföljden gränsvärdet n n = sup n n0 n. Om istället n+1 n för ll n n 0 så gäller n n = inf n n0 n Inget gränsvärde Gränsvärdet x x0 f (x) finns inte ifll det finns två tlföljder ( n ) j (b n ) så tt n x 0 och b n x 0 för ll n, n n = n b n = x 0, n f ( n ) = A och n f (b n ) = B där A B. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

5 Ensidig gränsvärden f (x) = f (x) x x 0 + x x 0 x (x 0, ) f (x) = L x x 0 Vrinter v gränsvärden x x 0 f (x) = x x 0 + f (x) = f (x). x x 0 x x 0 x (,x 0 ) f (x) = L. x x 0 f (x) = ifll för vrje M finns ett tl δ > 0 så tt om 0 < x x 0 < δ och x Ω så gäller f (x) > M. x f (x) = L ifll för vrje ɛ > 0 finns ett tl N så tt om x > N och x Ω så gäller f (x) L < ɛ. x f (x) = ifll för vrje M finns ett tl N så tt om x < N och x Ω så gäller f (x) < M. Andr vrinter definiers på smm sätt. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Räkneregler med Om > 0 så gäller = och ( ) = + = och = = = 0 0 =?, =?, 0 0 =?, =? och 0 =? (± ) Räkneregler, forts. f (x) = L f x x 0+ f (x) = L x x x 0 x 0+ f f (x) = x x0 ( ) 1 = L x ( 1 ) = L x 1 f (x) = 0 ifll f (x) > 0 då x Ω G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

6 Kontinuerlig funktioner Funktionen f : Ω R är kontinuerlig i punkten x 0 ifll x 0 Ω och x x f (x) = f (x 0 0). Funktionen f : Ω R är kontinuerlig (i Ω) om den är kontinuerlig i vrje punkt i Ω dvs. ifll x x f (x) = f (x 0 0) för vrje x 0 Ω. Egenskper hos kontinuerlig funktioner Om f : Ω R och g : Ω R är kontinuerlig så är också funktionern αf (x) + βg(x) och f (x)g(x) kontinuerlig i Ω och f (x) g(x) är kontinuerlig i mängden { x Ω : g(x) 0 }. Om f : D f R och g : D g R är kontinuerlig och g(x) D f för ll x D g så är den smmnstt funktionen (f g)(x) = f (g(x)) kontinuerlig: D g R. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Bolznos teckenbytessts Om f : [, b] R är kontinuerlig och f ()f (b) < 0 (dvs. f hr olik tecken i intervllets ändpunkter) så finns det en punkt x 0 (, b) så tt f (x 0 ) = 0. Mx och min uppnås på ett slutet intervll Om f : [, b] R är kontinuerlig så finns det punkter x 1 och x 2 [, b] så tt f (x 1 ) f (x) f (x 2 ), x [, b] dvs. f (x 1 ) = inf x [,b] f (x) = min x [,b] f (x) och f (x 2 ) = sup x [,b] f (x) = mx x [,b] f (x). n+1 = f ( n ): Ifll tlföljden ( n ) n=1 definiers med ekvtionen n+1 = f ( n ) och ifll gränsvärdet = n n existerr och är ändligt och f är kontinuerlig så är en lösning till ekvtionen x = f (x). G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

7 Serier eller oändlig summor Serien n=n 0 n konvergerr ifll tlföljden (s k ) k=n 0 där s k = k n=n 0 n hr ett ändligt gränsvärde k s k och då skrivs gränsvärdet, dvs. summn, som n=n 0 n Geometrisk serie Serien n=0 qn konvergerr om och endst om q < 1 (eller = 0) och då är q n = n=0 1 q = Först termen 1 Kvoten v två på vrndr följnde termer Absolut konvergens, Om serien n=n 0 n konvergerr (dvs. serien P n=n0 n konvergerr bsolut) så konvergerr också serien n=n 0 n. Om det finns ett tl C < så tt k n=n 0 n C för ll k n 0 så konvergerr serien n=n 0 n. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Kvottestet Serien n=n 0 n konvergerr bsolut ifll n+1 n n = q < 1 och konvergerr inte (dvs. divergerr) om q > 1. Serien Exponentfunktionen exp(x) = konvergerr för ll x R (eller C) och och därför skriver mn oft n=0 x n n! exp(x + y) = exp(x)exp(y) exp(x) = e x. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

8 Derivt f (x) = h 0 f (x + h) f (x) h Om gränsvärdet existerr och är ändligt (lltså inte eller ) så säger mn tt f är deriverbr i punkten x och derivtn är f (x). Dett förutsätter tt f är definierd åtminstone i intervllet (x δ, x + δ) för något tl δ > 0. Andr beteckningr för derivtn är f (x) = d dx f (x) = Df (x) = D xf (x). Räkneregler för derivtn (αf + βg) (x) = αf (x) + βg (x) (fg) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ( ) f (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) g (g(x)) 2 h(x) = f (g(x)) h (x) = f (g(x))g (x) G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Obs! Om f är deriverbr i punkten x så är f kontinuerlig i x. Derivtn är tngentens vinkelkoefficient. Derivtn är förändringshstighet, tex. om en kropp befinner sig i punkten f (t) vid tidpunkten t så är f (t) hstigheten med vilken den rör sig. d dx f (x) = f d (x), dx f (x) = f (x) = f (3) d (x), dx f (k) (x) = f (k+1) (x). Ensidig derivtor f +(x) f (x + h) f (x) = h 0+ h f (x) = h 0 f (x + h) f (x) h f är deriverbr i punkten x f +(x) och f (x) existerr och f +(x) = f (x). G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

9 Prtiell derivtor f (x + h, y) f (x, y) f x (x, y) = h 0 h f (x, y + k) f (x, y) f y (x, y) = k 0 k Andr beteckningr: f x = f x = D xf = f 1 = D 1 f..., f xy = (f x ) y = f y x = 2 f y x Implicit derivering Ifll F (x 0, y 0 ) = 0, F y (x 0, y 0 ) 0 och F och F y är kontinuerlig så finns det en deriverbr funktion y(x) så tt F (x, y(x)) = 0 y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = F x(x 0, y 0 ) F y (x 0, y 0 ) (då x x 0 är tillräckligt litet), G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Optimeringens huvudsts Ifll f är deriverbr i punkten x 0 och f (x) f (x 0 ) då x x 0 < δ där δ > 0 så gäller f (x 0 ) = 0 dvs. i en lokl mximipunkt (eller minimipunkt) är derivtn 0. Rolles sts Ifll f : [, b] R är kontinuerlig, f är deriverbr i intervllet (, b) och f () = f (b) så finns det en punkt c (, b) så tt f (c) = 0. Medelvärdesstsen Ifll f : [, b] R är kontinuerlig och f är deriverbr i intervllet (, b) så finns det en punkt c (, b) så tt Linjär pproximtion f (b) f () = f (c)(b ). f (x + h) f (x) + f (x)h G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

10 Monoton funktioner Antg tt I är ett intervll, f : I R och x 1, x 2 I. f är icke-vtgnde om f (x 1 ) f (x 2 ) då x 1 > x 2. f är strängt växnde om f (x 1 ) > f (x 2 ) då x 1 > x 2. f är icke-växnde om f (x 1 ) f (x 2 ) då x 1 > x 2. f strängt vtgnde om f (x 1 ) < f (x 2 ) då x 1 > x 2. Om f dessutom är deriverbr i I så gäller f (x) 0 f är icke-vtgnde. f (x) 0 f är icke-växnde. f (x) 0 och inte identiskt 0 på något öppet delintervll f är strängt växnde. f (x) 0 och inte identiskt 0 på något öppet delintervll f är strängt vtgnde. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Konvex funktioner Ifll f : (, b) R är två gånger deriverbr så är f konvex ifll något,och därmed också ll, v följnde villkor gäller: f ((1 t)x 0 + tx 1 ) (1 t)f (x 0 ) + tf (x 1 ) t [0, 1] x 0, x 1 (, b), dvs funktionens värde i en medelvärdespunkt är mindre än medelvärdet v funktions värden. f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), dx, x 0 (, b), dvs. funktionens grf ligger ovnför tngenten. f (x) är en icke-vtgnde funktion i intervllet (, b). f (x) 0, x (, b). Funktionen f är konkv om f är konvex. Konvex mängder En delmängd Ω v ett vektorrum är konvex ifll (1 t)x 1 + tx 2 Ω när x 1 och x 2 Ω och t [0, 1]. De konvex delmängdern v R är intervll och en funktion f : I R är konvex om och endst om mängden { (x, y) : x I, y f (x) } R 2 är konvex. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

11 Invers funktioner Ifll f : I R, där I R är ett intervll, är strängt växnde (vtgnde) och kontinuerlig så finns det en strängt växnde (vtgnde) och kontinuerlig funktion g så tt g(f (x)) = x, x I, f (g(y)) = y, y J, där J = { y R : y = f (x) för något x I } också är ett intervll. Om f är kontinuerligt deriverbr och f (x) 0 så är också g deriverbr i punkten f (x): g(f (x)) = x g (f (x))f (x) = 1 f (g(y)) = y f (g(y))g (y) = 1 G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Exponentfunktionen e x = Sinus och cosinus n=0 x n n! e x+y = e x e y, e 0 = 1, e x 0 d dx ex = e x x e x x m =, x m e x = 0 x sin(x) = 1 ( e ix e ix) 2i cos(x) = 1 ( e ix + e ix) 2 d d sin(x) = cos(x), cos(x) = sin(x) dx dx G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

12 Logritmfunktionen ln(e x ) = x, x R e ln(x) = x, x > 0 d dx ln(x) = 1 x x Allmänn exponenter Av dett följer tt d dx x = d ln(x) x α = x 0+ x α ln(x) = 0, α > 0 b = e b ln(), > 0 dx ex ln() = e x ln() ln() = x ln() då > 0 d dx x = d dx e ln(x) = e ln(x) d dx ln(x) = x 1 x = x 1 då x > 0 Om b > 0 är 0 b = 0 och om b = m n där n är udd kn mn definier b = (sign() 1 n ) m då 0 där sign () = +1 då > 0 och 1 då < 0. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Arcusfunktioner rcsin(sin(x)) = x, x [ π 2, π 2 ] sin(rcsin(x)) = x, x [ 1, 1] d dx rcsin(x) = 1, x ( 1, 1) 1 x 2 rctn(tn(x)) = x, x ( π 2, π 2 ) tn(rctn(x)) = x, x R d dx rctn(x) = x 2 rccos(cos(x)) = x, x [0, π] cos(rccos(x)) = x, x [ 1, 1] d dx rccos(x) = 1, x ( 1, 1) 1 x 2 G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

13 Differentilekvtion v först ordningen Om mn skll lös differentilekvtionen y (t) = y(t) kn mn gör ett försök med funktionen y(t) = e rt c och genom tt sätt in dett uttryck får mn re rt c = e rt c. Eftersom e rt 0 och mn kn nt tt c 0 får mn r = och mn kn vis tt vrje lösning kn skrivs i formen y(t) = e t c. Om y(0) är given kn mn skriv lösningen i formen y(t) = e t y(0). G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Differentilekvtion v ndr ordningen Om mn skll lös differentilekvtionen y (t) + y (t) + by(t) = 0 kn mn gör ett försök med funktionen y(t) = e rt och genom tt sätt in dett uttryck får mn r 2 e rt + re rt + be rt = 0. Eftersom e rt 0 och får mn den krkteristisk ekvtionen r 2 + r + b = 0. Antg tt lösningrn är r 1 och r 2. Eftersom ekvtionen är linjär (så tt summn v två lösningr också är en lösning) så är den llmänn lösningen y(t) = c 1 e r 1t + c 2 e r 2t y(t) = c 1 e r 1t + c 2 te r 1t om r 1, r 2 Rr 1 r 2, om r 1 = r 2 R, y(t) = c 1 e αt cos(βt) + c 2 e αt sin(βt) om r 1, r 2 = α ± iβ. Om tex. y(0) och y (0) är givn kn mn bestämm c 1 och c 2. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

14 Linjär differentilekvtionssystem Om mn skll lös differentilekvtionssystemet, där A är en m m mtris, Y (t) = AY (t) kn mn gör ett försök med funktionen Y (t) = e rt X och genom tt sätt in dett uttryck får mn re rt X = e rt AX och eftersom e rt 0 måste r och X uppfyll ekvtionen rx = AX. Om X 0 så är r ett egenvärde för A och X en egenvektor. Eftersom ekvtionen är linjär är också m Y (t) = c j e λ j t X j, j=1 en lösning där λ j är A:s egenvärden och X j motsvrnde egenvektor. Om egenvektorern X 1,..., X m är linjärt oberoende kn vrje lösning skrivs i denhär formen. Lösningen kn också skrivs i formen Y (t) = e At Y (0) där e At = n j=0 1 n! (At)n. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Extremvärden Ifll f : [, b] R är kontinuerlig så finns det tl x 1 och x 2 [, b] så tt f (x 1 ) f (x) f (x 2 ), x [, b], x 1, x 2 {} {b} { x (, b) : f är inte deriverbr i punkten x } Lokl extremvärden { x (, b) : f (x) = 0 } Ifll f : (, b) R är deriverbr, x 0 (, b), f (x 0 ) = 0 och f (x 0 ) > 0 så finns det ett tl δ > 0 så tt f (x) f (x 0 ) då x x 0 < δ och x (, b). G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

15 Extremvärden i öppn intervll Ifll f : (, b) R är kontinuerlig och det finns ett tl x 0 (, b) så tt f (x 0 ) x + f (x) och f (x 0 ) x b f (x) så finns det ett tl x 1 (, b) så tt f (x 1 ) f (x), x (, b), x 1 { x (, b) : f är inte deriverbr i punkten x } { x (, b) : f (x) = 0 } G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Newton-Rphsons metod Om mn vill lös ekvtionen f (x) = 0 och hr en pproximtion till lösningen kn mn välj x n+1 = x n + h så tt och då får mn f (x n+1 ) = f (x n + h) f (x n ) + f (x n )h = 0 x n+1 = x n f (x n) f (x n ). Ifll f (x) C och f (x) c > 0 så konvergerr metoden snbbt vilket den gör om f är två gånger kontinuerligt deriverbr, lösningen x är sådn tt f (x ) 0 och x 0 x är tillräckligt litet. Men i llmänhet finns det ing grntier för tt metoden skll konverger. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

16 Fixpunktsitertion För tt lös ekvtionen x = g(x) kn mn välj x 0 och räkn x n+1 = g(x n ), n 1. Tlföljden (x n ) konvergerr åtminstone om g (t) K < 1. Feluppskttning Om mn för tt lös ekvtionen f (x) = 0 på något sätt beräknt pproximtionern x 0, x 1, x 2,... och vill bestämm lösningen med noggrnnheten δ så kn mn slut då f (x n δ)f (x n + δ) < 0 eller då ntingen f (x n δ)f (x n ) < 0 eller f (x n )f (x n + δ) < 0. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 f (x) = O(g(x) Uttrycket f (x) = O(g(x)) betyder tt det finns en konstnt C så tt f (x) C g(x) (då x (, b), eller x x 0 är tillräckligt litet, x är tillräckligt stort eller något motsvrnde beroende på smmnhnget). f (x) = O(f (x)) f (x)o(g(x)) = O(f (x)g(x)) ( ) O(g(x)) g(x) = O f (x) f (x) f (x) = O(g(x)) O(f (x)) + O(g(x)) = O(g(x)) f (x) = O(g(x)) O(f (x) + g(x)) = O(g(x)) G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

17 Tylorutveckling Om f är k + 1 gånger deriverbr så är f (x) = f () + f ()(x ) + f () 2 (x )2 + f () (x ) 3 + 3!... + f (k) () (x ) k + f (k+1) (t) k! (k + 1)! (x )k+1, där (t )(x t) > 0 dvs. t ligger melln och x och uttrycket f () + f ()(x ) f (k) () k! (x ) k är funktionens f Tylorpolynom med grdtlet k i punkten. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Någr Tylorutvecklingr e x = 1 + x + x x 3 sin(x) = x x x k k! + O(x k+1 ) ( 1)n x 2n+1 (2n + 1)! + O(x 2n+3 ) cos(x) = 1 x 2 x 2n ( 1)n 2 (2n)! + O(x 2n+2 ) ln(1 + x) = x x x x k ( 1)k+1 k + O(x k+1 ) Tylorutvecklingen är entydig Om f är k gånger kontinuerligt deriverbr och f (x) = c 0 + c 1 (x ) + c 2 (x ) c k (x ) k + O ((x ) k+1) så är c 0 = f (), c 1 = f (), c 2 = f () 2!,..., c k = f (k) (). k! G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

18 l Hopitls regel I Om f och g är deriverbr, f () = g() = 0, g (x) 0 då x så gäller f (x) x g (x) = L f (x) x g(x) = L. Här är L [, ] och på kn ersätts med +,, eller +. l Hopitls regel II Om f och g är deriverbr, x g(x) =, g (x) 0 då x så gäller f (x) x g (x) = L f (x) x g(x) = L. Här är L [, ] och på kn ersätts med +,, eller +. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Antiderivt eller integrlfunktion f (x) dx = F (x) + C F (x) = f (x) och mn säger då tt F är funktionens f ntiderivt eller integrlfunktion. Observer tt mn lltid kn dder en konstnt till ntiderivtn. Någr exempel e x dx = e x + C x dx = x +1 + C, 1, dx = ln( x ) + C x sin(x) dx = cos(x) + C, cos(x) dx = sin(x) + C f (x) dx = F (x) + C f (x + b) dx = 1 F (x + b) + C G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

19 f (x) dx, informell definition Om f (x) 0 då x [, b] så är f (x) dx ren v området under f (x) melln och b. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Trppfunktioner En funktion f : R R är en trppfunktion om den kn skrivs i formen m f (x) = c j 1 [j 1, j )(x), j=1 där < 0 < 1... < j 1 < j <... m <, c 1 0, c m 0, c j c j+1 då j = 1, 2..., m 1 och { 1, x Ω, 1 Ω (x) = 0, x / Ω. Observer tt en trppfunktion br kn skrivs på ett sätt i formen m j=1 c j1 [j 1, j ) så tt villkoren ovn är uppfylld. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

20 f (x) då f är en trppfunktion Om f = m j=1 c j1 [j 1, j ) är en trppfunktion så är f (x) dx = m c j m([ j 1, j ) (, b)) j=1 där m(i) är längden v intervllet I dvs. ren under f beräkns som en summ v ren v rektnglr (med minustecken om de ligger under x-xeln). Nästn överllt Ett påstående sägs gäll nästn överllt om det gäller för ll punkter utom de x som hör till en mängd A vrs mått är 0, dvs. är sådn tt det för vrje tl ɛ > 0 finns intervll I j så tt A j=1 I j och j=1 m(i j) < ɛ (där m(i) är längden v intervllet I). G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 f (x) dx Om f : (, b) R ( < b ) är sådn tt det finns en följd (g n ) n=1 trppfunktioner så tt n g n (x) = f (x) nästn överllt i (, b), n=1 g n(x) g n+1 (x) dx <, så är f integrerbr och f (x) dx = n g n(x) dx. Kommentr I För tt denn definiton skll vr förnuftig bör mn vis tt om f (x) = 0 nästn överllt så är n g n(x) dx = 0. Kommentr II Med definitionen ovn är en funktion f integrerbr om och endst om funktionern f + = mx{0, f } och f = mx{0, f } är integrerbr. Dett är inte fllet med diverse ndr definitioner för integrler v obegränsde funktioner eller integrler över oändligt lång intervll. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

21 Kommentr III Vrje lite också förnuftig funktion är sådn tt den är gränsvärdet nästn överllt v en följd trppfunktioner (och då säger mn tt funktionen är mätbr) och mn kn vis tt frågn om funktionen är integrerbr då br gäller huruvid f (x) dx får ett ändligt värde, vilket är det smm som tt min{n, f (x) }1 [ n,n](x) dx C för ll n där C är en konstnt som inte beror på n. För tt vis dett kn mn oft nvänd den sk. mjorntprincipen. Om f är mätbr, f (x) 0 men inte integrerbr kn mn skriv f (x) dx = +. Mjorntprincipen Funktionen f : (, b) R är integrerbr ifll n g n(x) = f (x) nästn överllt i (, b) där funktionern g n är trppfunktioner och det finns en funktion h som är integrerbr i (, b) så tt f (x) h(x) nästn överllt. När mn nvänder mjorntprincipen är det oft viktigt tt vet tt dx < α < 1 och x α 1 1 dx < α > 1. x α G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Två specilfll f (x) dx = 0 och f (x) dx = b f (x) dx Egenskper hos integrler c f (x) dx + b ( αf (x) + βg(x) Om < b gäller dessutom f (x) dx = ) dx = α f (x) g(x), x (, b) f (x) dx f (x) dx c f (x) dx f (x) dx + β g(x) dx f (x) dx g(x) dx G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

22 Ifll Monoton konvergens funktionern f n, n = 1, 2,... är integrerbr i (, b), f 1 (x) f x (x)... nästn överllt i (, b), n f n (x) = f (x) nästn överllt i (, b) sup n 1 f n(x) dx <, så är f integrerbr i (, b) och f (x) dx = n f n(x) dx. Ifll Begränsd konvergens funktionern f n, n = 1, 2,... är integrerbr i (, b), n f n (x) = f (x) nästn överllt i (, b) det finns en funktion g som är integrerbr i (, b) så tt f n (x) g(x) nästn överllt i (, b) för ll n 1, så är f integrerbr i (, b) och f (x) dx = n f n(x) dx. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Anlysens huvudsts Ifll f är kontinuerlig i intervllet [, b] (och < < b < ) så är d dx x f (t) dt = f (x), x (, b) Om F är kontinuerligt deriverbr i ett intervll som innehåller (, b) och < < b < så är F (x) dx = / b F (x) = F (b) F (). Anlysens huvudsts, version II Om f är integrerbr i (, b), x c f (t) dt = F (x) för ll x (, b) där c (, b) så är f (t) dt = / b F (x) def = F (x) F (x). x b x + G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44