V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
|
|
- Thomas Andreasson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ±. V. Funktionen f () är egränsd i intervllet [,]. Då definiers def n f ( ) d lim m k k k f ( c k )( k k ) GENERALISERADE INTEGRALER Definition. Om minst en v ovnstående villkor V, V inte är uppfylld säger vi tt integrlen f ( ) d är en generliserd integrl. Vi etrktr två grundtyper v generliserde integrler:. (Typ I i Adms) Generliserde integrler med oändligt integrtionsintervll och f ( ) d, f ( ) d och f ( ) d.. (Typ II i Adms) Generliserde integrler med en oegränsd integrnd Vi etrktr eller. f ( ) d där f () är oegränsd (eller ej definierd) i en ändpunkt I slutet v denn stencil etrktr vi lndde eempel. v
2 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler Viktig generliserde integrler. d konvergerr om och endst om p > p. d konvergerr om och endst om p < p. (Typ I i Adms) Generliserde integrler med oändligt integrtionsintervll: f ( ) d, f ( ) d och f ( ) d. * Vi definierr När vi eräknr f ( ) d med hjälp v gränsvärdet lim f ( ) d. lim f ( ) d kn tre fll förekomm: i) lim f ( ) d A, där A är ett reellt tl. I dett fll säger vi tt integrlen konvergerr, hr värdet A, och skriver f ( ) d A ii) iii) lim f ( ) d (eller ). Vi säger tt integrlen divergerr. lim f ( ) d eisterr inte. Vi säger tt integrlen divergerr. ** På liknnde sätt definiers f ) d *** Vi säger tt f ( ) d konvergerr om och endst om åde konvergerr. Stser om konvergent integrler: Jämförelsestsen för icke-negtiv integrnder. Om f ( ) g( ) för ll då gäller ( smt konvergensen / divergensen v denn integrl. f ( ) d och f ( ) d v
3 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler ( ) d g( d och därför f ) f ( ) d g ( ) d. Följnde sts nvänder vi oft för tt evis tt en generliserde integrl konvergerr/ divergerr utn tt eräkn integrlens värde: Sts. Jämförelsestsen för positiv integrnden. i) Låt f ( ) g( ) för ll. Om den generliserde integrlen g ( ) d är konvergent så är f ( ) d också konvergent. ii) Låt g( ) f ( ) för ll. Om den generliserde integrlen g ( ) d är divergent så är f ( ) d också divergent. Sts. ( Andr jämförelsestsen) Låt f () och g() två egränsde, icke-negtiv funktioner för. f ( ) Om lim A > g( ) ( A är ett reellt tl > ). Då är integrler f ( ) d och g ( ) d ntingen åd konvergent eller åd divergent. Liknnde stser gäller för generliserde integrlen intervllet [,]. f ( ) d om funktionen är oegränsd i Sts. Jämförelsestsen för positiv integrnden. Låt f ( ) g( ) för ll i intervllet (, ) i) Om den generliserde integrlen g ( ) d är konvergent så är konvergent. f ( ) d också v
4 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler ii) Om den generliserde integrlen f ( ) d är divergent så är g ( ) d också divergent. Sts. ( Andr jämförelsestsen) Ant tt f () och g() är egränsde i intervllet [c,] där < c medn f () och g () då. f ( ) Om lim A > g( ) ( A är ett reellt tl > ). Då är integrler f ( ) d och g ( ) d ntingen åd konvergent eller åd divergent. ÖVNINGAR: Uppgift. Undersök om följnde integrler är konvergent och nge i så fll ders värden. ) e d ) d c) d d) cos( ) d ) e e e d. e lim Integrlen konvergerr och hr värdet e d. ) d då Integrlen konvergerr och hr värdet d. v
5 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler c) d 8 8 d lim Integrlen divergerr. d) sin() sin( ) cos() d sin( ) lim eisterr inte. Därmed integrlen cos( ) d divergerr. Uppgift. Undersök om följnde integrler är konvergent och nge i så fll ders värden. ). d Lösning. ) d, c).8 d ).. d.... då Integrlen är konvergent och hr värdet d.. ) d [ ln ] ln( ) ln då Integrlen d är divergent c).8 d.... [ ] då integrlen divergerr. Anmärkning. Mn kn generliser ovnstående uppgift till följnde viktig resultt (som vi oft nvänder i smnd med nednstående jämförelsests) v
6 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler konvergerr om p > d p divergerr om p Om funktionen f ( ) för då är ren v det oändlig området R {(, y) :, y < f ( )} lik med f ( ) d. Uppgift. eräkn ren v området R {(, y) : <, y < f ( )} då Svr: ) R {(, y) : <, y < } ) R {(, y) : < <, y < } rctn c) R {(, y) : <, y < } d) R {(, y) : <, y < } ) Aren d [ rctn ] lim[ rctn rctn ] ) π π Aren π d π d d c) Ledning : Med hjälp v sustitutionen rctn t d dt 6 v
7 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler rctn får vi d (rctn ). rctn Aren d [(rctn ) ] d) Aren d [ ln ]. π Trots tt vi inte kn eräkn ekt värde v en generliserd integrl är det oft intressnt tt undersök om en integrlen konvergerr eller divergerr. Uppgift. Vis med hjälp v jämförelsestsen tt följnde integrler konvergerr. ) d ) e d c) d ln Lösning ) Eftersom i) e e för > ii)integrlen, med den större integrnden, d konvergerr (, eräkn integrlen e själv), iii) åd integrnder är positiv för >, hr vi enligt jämförelsestsen tt ( den mindre integrlen) d också e konvergerr. ) Eftersom i) < för, 7 v
8 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler ii) ( den större integrlen) d konvergerr ( eräknintegrlen själv) iii) åd integrnder är positiv för, hr vi enligt jämförelsestsen tt ( den mindre integrlen) d också konvergerr. c) d ln Integrnden är positiv eftersom > ln ( och ln < ) för > och därmed ln > > om > ( vi hr ). Uppskttningen lir svårre på grund v differensen i nämnren. I nämnren dominerr med den konvergent integrlen d [ För tt vis konvergensen v funktion () som tyder på tt integrlen konvergerr. Men en direkt jämförelse g, dvs f ( ) g( ) går ej eftersom > ln för >. f ( ) d med jämförelsestsen måste vi finn en större, sådn tt g ( ) d konvergerr.] k k Därför sk vi välj ett liknnde funktion, men sådn tt ln för stor k. Vi skriver om Integrnden ( ryter ut dominernde term) ln ln för stor, dvs för ll större än något. [ Förklring: ln då och därför är uttrycket mindre än för stor.] Nu hr vi ln för >, Integrlen >). d konvergerr så är d också konvergent ( för någon ln 8 v
9 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler Därmed är d d d konvergent. ln ln ln ( Lägg märke till tt den först integrlen d ln Riemnnintegrl.). är en vnlig Uppgift. Vis med hjälp v jämförelsestsen tt följnde integrl divergerr. d ln ) d ln Lösning. ) d ln Eftersom i) ln för > ii) integrlen ( med mindre integrnden) d ln( ) divergerr, iii) åd integrnder är positiv för >, hr vi enligt jämförelsestsen tt integrlen (med större integrnden) d ln också divergerr ( d v s d ) ln ) ln d Vi etecknr f ( ) ln och gör en kvlificerd gissning om konvergensen. 9 v
10 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler Eftersom där går mot då ser vi tt, för ln ln ln stor, ( dvs då ) är integrnden ekvivlent med. ln Därför påstår vi tt integrlen divergerr och nvänder jämförelsestsen tt evis dett. Direkt jämförelse med går ej eftersom f(). Vi måste finn en icke-negtivfunktion g() f() men sådn tt g ( ) d. Eftersom går mot då hr vi tt det finns ett stort tl så tt ln > om. ln Därför ln ln om. Vi hr > ln för och d dvs divergerr. Enligt jämförelsestsen är d ln ( divergent). Härv d d d dvs divergerr. ln ln ln (Noter tt den först integrlen d ln är en vnlig Riemnnintegrl.) Uppgift. estäm om följnde integrl konvergerr eller divergerr. ) Lösning. d ) d v
11 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler Först måste vi gör en kvlificerd gissning om integrler konvergerr eller divergerr. Därefter kn vi nvänd jämförelse kriterium och evis vårt påstående. För stor etrktr vi dominerde termer i täljre och nämnre. Integrnden är, för stor, ekvivlent med. Eftersom d är konvergent påstår vi tt evisr med hjälp v jämförelse stsen. d också konvergerr, som vi Vi hr tt ) i) åd integrnder är positiv i intervllet [, ) ii) i intervllet [, ) iii) och integrlen ( med större integrnden d konvergerr. Därför, enligt jämförelsestsen, är integrlen d också konvergent. För stor etrktr vi dominerde termer i täljre och nämnre. Integrnden är, för stor, ekvivlent med. Eftersom d med hjälp v jämförelse stsen. är divergent påstår vi tt d också divergerr, som vi evisr Först finner vi en funktion g() som är, för stor, mindre än f ( ). Eftersom f ( ), v
12 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler och uttrycket då hr vi tt och därmed f ( ) för stor, säg >. Eftersom divergent. d divergerr hr vi, enligt jämförelsestsen tt d är också Därmed divergerr integrl över hel intervllet [, ), d d d. Vi smmnftt ovnstående metoder i följnde sts som är (i mång fll) ett enkelt sätt tt estämm om en integrl konvergerr eller divergerr : Uppgift. ) evis nednstående sts. Sts. ( finns ej i kursoken) Låt f () och g() två egränsde, icke-negtiv funktioner för. f ( ) Om lim A > g( ) ( A är ett reellt tl > ). Då är integrler f ( ) d och g ( ) d ntingen åd konvergent eller åd divergent. ) Använd sts för tt estämm om följnde integrl konvergerr eller divergerr.. d. d. e e d evis. Eftersom lim f ( ) g( ) A v
13 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler kn vi för ett godtyckligt positivt tl ε > välj så tt för > f ( ) A ε < < A ε, som medför g( ) ( A ε ) g( ) < f ( ) < ( A ε ) g( ). Om vi nu väljer ε A, då hr vi A A g( ) < f ( ) < g( ), för >. i) Om g ( ) d konvergerr ( därmed konvergerr g ( ) d ) hr vi från olikheten A f ( ) < g( ) och jämförelsestsen tt f ( ) d och därmed f ( ) d också konvergerr. ii) Om A g ( ) d divergerr hr vi från olikheten g( ) < f ( ) tt f ( ) d också divergerr. f ( ) d och därmed Alltså vi hr evist tt, under förutsättningr i sts, integrlern är ntingen åd konvergent eller åd divergent.. Låt f ( ), vi väljer g ( ). f ( ) Då hr vi lim >, där åde f () och g () är positiv i [,] g( ) Dessutom g ( ) d Enligt sts konvergerr också. d d konvergerr. f ( ) d d. f ( ) d och g ( ) d Låt f ( ), vi väljer g( ). v
14 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler f ( ) Då hr vi lim > g( ) dessutom g ( ) d, där åde () d divergerr. Enligt sts divergerr också f och g () är positiv i [,) och f ( ) d d. f ( ). Integrlen konvergerr. (Tipps om g( ) så är e lim > g( ) ) v
15 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler. (Typ II i Adms) Generliserde integrler med en oegränsd integrnd: * Vi etrktr f ( ) d där f () är oegränsd i ändpunkten ( mer precis, f () oegränsd i vrje omgivning ( ε, ) ). är Vidre ntr vi tt integrlen Vi definierr f ( ) d eisterr för ll där < < f ( ) d med hjälp v gränsvärdet lim f ( ) d. När vi eräknr lim f ( ) d kn tre fll förekomm: i) lim f ( ) d A, där A är ett reellt tl. I dett fll säger vi tt integrlen konvergerr, hr värdet A, och skriver f ( ) d A ii) iii) lim f ( ) d (eller ). Vi säger tt integrlen divergerr. lim f ( ) d eisterr inte. Vi säger tt integrlen divergerr. ** På liknnde sätt, med hjälp v lim f ( ) d, definiers konvergensen / divergensen v denn integrl om integrnden f () ändpunkten. *** Om f () f ( ) d smt är oegränsd i är oegränsd i en punkt c som ligger melln och då är c konvergent om och endst om åde f ( ) d och c f ( ) d f ( ) d konvergerr; i dett fll v
16 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler c f ( ) d f ( ) d c f ( ) d. Uppgift. i) Förklr vrför följnde integrler är generliserde och ii) estäm om integrlern är konvergent. ) / d ) d c) ( ) / d d) / d Lösning: ) i) / d är en generliserd integrl eftersom integrnden är oegränsd inom intervllet [,]. { Integrnden om / } ii) / / / / d [ ] [ ] / / om. Därmed konvergerr integrlen och hr värde / d /. ) i) d är en generliserd integrl eftersom integrnden [,]. { Integrnden om } är oegränsd i intervllet 6 v
17 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler ii) d [ ] [ ] 8 om. Integrlen divergerr. c) i) ( ) / d intervllet [,]. { Integrnden är en generliserd integrl eftersom integrnden är oegränsd i ( ) / om } ii) Svr: Integrlen konvergerr, d. / ( ) d) / d intervllet [,]. { Integrnden är en generliserd integrl eftersom integrnden är oegränsd i / om } ii) Från f ( ) / ( ) ( ) / / < < hr vi 7 v
18 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler / [ ( ) ] d / d / ( ) / [ ( ) ] d / d / ( ). Alltså, åd integrler hr värdet f ( ) d, f ( ) d konvergerr, därmed konvergerr f ( ) d och f ( ) d f ( ) d f ( ) d Uppgift 6. Vis tt d konvergerr om och endst om p <. p Lösning: ) Om p< hr vi p p d p ( där eponenten -p >) p p p går mot p då. Därmed konvergerr integrlen om p <. ) ) Om p hr vi d [ ln ] ln ln går mot då. Därmed divergerr integrlen om p. c) Om p > hr vi p p d p ( där eponenten -p <) ( p) p ( p) p p går mot då. Därmed divergerr integrlen om p>. 8 v
19 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler Vi hr därmed vist tt d konvergerr om och endst om p <. p Anmärkning. Ovnstående integrl nvänds oftst vid tillämpning v jämförelsestsen. Uppgift 7. estäm om nednstående generliserde integrler konvergerr eller divergerr. ) / d ) / d / c) / d Lösning: ). Eftersom < i intervllet (,) och / /. integrlen / d konvergerr. Därför, enligt jämförelsestsen, konvergerr också / d. / / ) Svr. Integrlen divergerr (Ledning: ) / c) För tt gör en kvlificerd gissning ryter vi ut potenser med minst eponenter i täljren och nämnren ( dominernde termer då går mot ) och förkortr råket: / / / / / / / / / / Eftersom / går mot då går mot hr vi tt / integrnden / är ekvivlent med / om är när. / Därför påstår vi tt / d konvergerr ( ty / d konvergerr) Vi kn nu nvänd jämförelse stsen ( i ett intervll när ) och evis påstående: 9 v
20 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler / Eftersom / går mot då går mot hr vi tt utrycket är mindre än / i ett Intervll (, c] och därmed / / / / / / c Eftersom konvergerr. / d / / konvergerr hr vi, enligt jämförelse stsen, tt / c d också Därför är / / d c d / / / c / d konvergent. ( Lägg märke till tt ndr integrlen är INTE generliserd utn en vnlig Riemnnintegrl). lndde eempel. Uppgift 8. Nednstående integrler är generliserde på två sätt. Integrtionens intervll är oändligt och. Integrnden är oegränsd ( går mot då går mot ). estäm om integrlern konvergerr. ) / d ) d c) / d d) e d Lösning. )För tt estämm om I / d konvergerr etrktr vi integrlern I / d och I / d. ( Noter tt integrlen I konvergerr endst om åde I och I konvergerr. ) Integrl I / d divergerr ( integrl d p divergerr om p ). Därmed I / d också divergerr. v
21 Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler ) d divergerr eftersom d divergerr c) Svr: konvergerr. / d konvergerr eftersom åde / d och / d Tipps. Använd jämförelsestsen för tt evis tt de två sist integrler konvergerr. / d konvergerr eftersom < / / om > och därmed även i intervllet <. / d konvergerr eftersom < / om > och därmed i intervllet <. d) e d e konvergerr eftersom åde d och e d konvergerr. Tips. Använd jämförelsestsen för tt evis tt de två sist integrler konvergerr. e d konvergerr eftersom e i intervllet <. e d konvergerr eftersom e e i intervllet <. v
V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merSats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merKontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj
Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merAlgebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )
Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs merArea([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)
Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En irkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merIntegration: Kvadratur
F6 Integrtion: Kvdrtur Upprepd trpetsregel, Simpsons ormel Etrpoltion Generliserde integrler Guss-kvdrtur MATLAB Monte Crlo -- BE HT F 9? Kvdrtur, I Beräkn I Integrnd n d som I w Vikter Askissor också
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merTATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018
TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merSERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER
SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merFöreläsning 7: Trigonometri
ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs mervara n-dimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b betecknas a b ) vara tvådimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b är
Armin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Sklärprodkt och ektorprojektion SKALÄRPRODUKT. EGENSKAPER. GEOMETRISK TOLKNING. PROJEKTION AV EN VEKTOR PÅ EN RÄT LINJE Sklärprodkt i R n, R och R : Definition. Låt,,...,
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs merHF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER
DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER Den trigonometrisk enhetscirkeln är en cirkel med rdie = och mittpunkt i origo B(0,) C(,0) O D(0,) I en rätvinklig tringel definierr vi
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merÏ x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1
Tentmensskrivning i Mtemtik IV, 5B2 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 4-9 Hjälmedel: BETA, Mthemtics Hndook Redovis lösningrn å ett sådnt sätt tt eräkningr och resonemng är lätt tt följ Svren skll ges å reell
Läs merENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT
ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. Definition. Mängden av alla lösningar till en ekvation kallas ekvationens lösningsmängd.
H009, Introuktionskurs i mtemtik Armin Hlilovi LINJÄRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER Inlening: Definition. Mängen v ll lösningr till en ekvtion klls ekvtionens lösningsmäng. Eemelvis är {-, } lösningsmängen
Läs merTopologi och konvergens
Topologi och konvergens för viss kurser vid Uppsl universitet Smmnställt v Anders Vretbld 997 års upplg, översedd 28 Innehåll Topologisk grundbegrepp. Öppn och slutn mängder 3.2 Gränsvärde och kontinuitet
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt
Läs merByt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.
LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,
Läs merSvar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.
Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)
Läs merAnalys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013
Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs mer1 Föreläsning IX, tillämpning av integral
Föreläsning IX, tillämpning v integrl. Volym v någr kroppr.. Skiv- oc sklmetodern, m.m. Vi kn tänk oss en limp (röd) som längsledes är genomorrd v eln,. Limpn skivs i n lik tjock skivor, lltså med tjocklek
Läs merETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Matematisk Analys
Mtemticentrum Mtemti NF ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Mtemtis Anlys en vribel Toms Clesson och Per-Anders Ivert Generliserde integrler och summor. Generliserde integrler över obegränsde intervll
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs mer1. (6p) (a) Använd delmängdskonstruktionen för att tillverka en DFA ekvivalent med nedanstående NFA. (b) Är den resulterande DFA:n minimal? A a b.
UPPSAA UNIVERSITET Mtemtisk institutionen Slling (070-6527523) PROV I MATEMATIK AUTOMATATEORI 18 okt 2012 SKRIVTID: 8-13. HJÄPMEDE: Ing. MOTIVERA AA ÖSNINGAR NOGGRANT. BETYGSGRÄNSER: För etygen 3, 4 respektive
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs mer9 Dubbelintegralens definition
Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)
Läs merUppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Läs merLöpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab
Löpsedel: Integrler Block : Integrler Grundidé, numerisk kvdrtur Noggrnnet, teoretiskt Prktisk feluppskttning med ricrdsonextrpoltion Adptiv kvdrtur Noggrnnet, inverkn v mätfel/vrundningsfel Lärook Kp
Läs merSammanfattning, Dag 9
Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet
Läs merVolym och dubbelintegraler över en rektangel
Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =
Läs merInför tentamen i Analys I och II, TNA008
Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2
Läs merKomplexa tal. j 2 = 1
Komplex tl De komplex tlen nvänds när mn behndlr växelström inom elektroniken. Imginär enheten beteckns i elektroniken med j (i, som nvänds i mtemtiken, är ju upptget v strömmen). Den definiers v j = 1
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merEnvariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik
Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................
Läs merKOORDINATVEKTORER. BASBYTESMATRIS
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR KOORDINATVEKTORER ASYTESMATRIS yemri Koordiner för en vekor i en given Om (vv vv vv nn ) är en för vekorrumme ( eller underrumme) V då gäller följnde: Vrje vekor i rumme
Läs mer93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar
15825 93FY51 1 93FY51/ STN1 Elektromgnetism Tent 15825: svr och nvisningr Uppgift 1 Från Couloms lg och E F/q hr vi uttrycket: E 1 4πε ρl dl r Vi väljer cylindrisk koordinter och sätter r zẑ ˆR och dl
Läs mery > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1
Lösningsförslg till tentmensskrivning i Diff & Trns I, 5B12 och Diff & Trns I för LV, 5B122 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 14-19 DEL1: 1 Betrkt differentilekvtionen y y (y -1)(y - 3), där y y(t) och t nger
Läs merTeorifrå gor kåp. 5.2 9.3
Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså
Läs merf(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.
Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln
Läs merTillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.
TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys
Läs merStudieplanering till Kurs 3b Grön lärobok
Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång
Läs mer1 Bestäm Théveninekvivalenten med avseende på nodparet a-b i nedanstående krets.
(9) 2 oktoer 2008 Institutionen för elektro- och informtionsteknik Dniel Sjöerg ETE5 Ellär och elektronik, tentmen oktoer 2008 Tillåtn hjälpmedel: formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte
Läs merI den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR SERIER (OÄDLIGA SUMMOR) Defiitio E serie är e summ v oädligt måg termer I de här stecile etrtr vi huvudslige reell tlserie, dvs serier vrs termer är reell tl (I slutet v stecile
Läs merTentamen TEN1, HF1012, 30 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic
Tentmen TEN, HF, mj 8 Mtemtis sttisti Kursod HF Srivtid: 4:-8: Lärre och emintor : Armin Hlilovic Hjälmedel: Bifogt formelhäfte ("Formler och teller i sttisti " och miniränre v vilen ty som helst Förjudn
Läs merTyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2
Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merTATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merTILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING.
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning TILLÄMPNINGA A INTEGALE. OLYMEÄNING. uvud verktg för volmeräkning är duelintegrl som tillör kursen i flervrielnls, men någr volmeräkningr kn vi gör med jälp v enkelintegrl.
Läs merKVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER
rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn
Läs merListor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.
1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",
Läs mer14. MINSTAKVADRATMETODEN
4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv
Läs merdefinitioner och begrepp
0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00
Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,
Läs merEnvariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik
Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?..................... 5.2 Uppmning till läsren v dett häfte............. 5.3 Definitioner, stser och
Läs merMatematiska uppgifter
Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs mer10. Tillämpningar av integraler
90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re
Läs merDiskreta stokastiska variabler
Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merExponentiella förändringar
Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt
Läs merMatris invers, invers linjär transformation.
Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH
Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del II
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 28 mj 209 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs mer