I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak"

Viktor Hansson
för 8 år sedan
Visningar:

1 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR SERIER (OÄDLIGA SUMMOR) Defiitio E serie är e summ v oädligt måg termer I de här stecile etrtr vi huvudslige reell tlserie, dvs serier vrs termer är reell tl (I slutet v stecile hr vi ågr oft föreommde Mcluris serier) Amärig: Serie strtr oftst med ide 0 eller me vr vile som helst heltl Defiitio Låt vr e serie E ädlig summ delsumm (eller rtilsumm) s lls Defiitio Om gräsvärdet s S, där S är ett tl säger vi tt serie overgerr och hr summ S I dett fll sriver vi S Serie divergerr om de ite overgerr dvs om gräsvärdet om gräsvärdet ite eisterr s är, eller Sts Om serie overgerr då är 0 Vi uttryc stse å földe (mer vädrt) sätt: Sts ' 0 (serie divergerr) Bevis v sts : Atg tt serie overgerr Frå s s får vi, för, S S 0 vsv Sid v

2 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Amärig: Om de llmä terme divergerr serie, i e serie ite går mot 0 då då me om går mot 0 då serie åde diverger och overger Med dr ord : 0 är ett ödvädigt me ite tillräcligt villor för series overges Te, serie 0 divergerr (som vi visr ed med itegrlriterium) trots tt Ugift Vis tt földe serier divergerr: ), ) c) ( ) ) Serie divergerr eftersom ite går mot 0 ( de går mot /) då ) Serie divergerr eftersom ite går mot 0 ( de går mot ) då c) Serie ( ) eisterr ite eftersom divergerr eftersom ) ( ite går mot 0 då om är ämt - om är udd Gräsvärdet Földe sts får vi diret frå defiitioe v egreet " overget serie" (Defiitio ) och egeser för gräsvärde Sts Om ( A B och är två overget serier och A, B två ostter så är serie ) ocså overget och ( A B ) A B Sid v

3 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Egese overgese/ divergese för e serie åvers ite v ädligt måg termer Vi reciserr dett i äst sts Sts Låt > vr ett heltl Serie overgerr om och edst om serie overgerr Bevis: Låt > vr ett heltl Vi hr är ett tl Vi hr edst om serie ( ) är ett tl Med dr ord serie overgerr DE GEOMETRISKA SERIE där de ädlig summ Härv ser vi tt ( ) är ett tl om och overgerr om och edst om De gemetris serie är summ 0 q q q q Serie overgerr om q < som vi visr med häl v de äd formel för ädlig geometris summor: s q q Om q < och då q 0 q q q om q q Därför s 0 q q Alltså q 0 q om q < Om q då q går e mot 0 då och därför divergerr serie i dett fll Smmfttigsvis De geometris serie overgerr och hr summ q 0 q om q < De geometris serie 0 q divergerr om q Sid v

4 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Ugift Bestäm om földe geometris serier är overget och erä summ om dett är fll ) ) 8 c) e) 0 g) 0 d) f) h) Lösig c) Svr: ), ) 9 c) 8 7 d) e) f) g) serie divergerr mot h) serie divergerr mot POSITIVA SERIER Defiitio E serie är ositiv om > 0 för ll Eftersom delsummor v e ositiv serie ildr e väde ositiv tlföld e ositiv serie tige overger, eller diverger mot Serie overgerr om och edst om delsummor serier: s ildr e egräsd tlföld Därmed hr vi földe sts om ositiv Sts Låt vr e ositiv serie dvs > 0 Serie är overget om och edst om det fis ett ostt M sådt tt M för ll Sid v

5 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR KOVERGESKRITERIER (TEST) FÖR POSITIVA SERIER Sts ITEGRALKRITERIUM (eller Cuchys ITEGRALKRITERIUM) Atg tt f () är e ositiv, vtgde futio å itervllet och otiuerlig futio å itervllet [, ), där är ett heltl Då är åd overget eller åd diverget ( och itegrle f ) f ( ) d tige Bevis: f() f() f() Eftersom f () är e ositiv och vtgde futio gäller det f ( ) f ( ) f ( ) i itervllet [,] och därmed földe usttig (oter tt ) : f ( ) f ( ) d f ( ) Härv drr vi földe slutstser: Om serie overgerr så overgerr ocså itegrle, eftersom f ( ) d f ( ) Om serie divergerr ( dvs f ( ) ) så divergerr ocså itegrle, eftersom f ( ) f ( ) d Amärig Vi oftst väder itegrle d som overgerr om och edst om > Sid v

6 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Ugift Bestäm om földe serier overgerr eller divergerr: ) ) c) d) e) l f) l l(l ) g) l h) l ) Låt f ( ) Då är f () e ositiv futio, ( uert) å itervllet [, ), e vtgde futio (ämre är e väde futio) å itervllet [, ) Eftersom d ocså serie R d l l R l R R divergerr { [ ] [ ] } så divergerr ) Låt f ( ) Då är f () e ositiv, vtgde och otiuerlig futio å itervllet [, ) d som overgerr om och edst om > I vårt fll > och därför itegrle d overgerr Serie overgerr eftersom d overgerr c) Låt f ( ) Då är f () e ositiv och vtgde futio å itervllet [, ) overgerr för > och divergerr för eftersom smm gäller för ( de äd) itegrle d Sid 6 v

7 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR d) Låt f ( ) Då är f () e ositiv och vtgde futio å itervllet [, ) d rct R R [ ] [ rct R rct ] R π π π (tl) Alltså itegrle d overgerr och därmed gäller smm för serie e) Låt f ( ) Då är f () e ositiv och vtgde futio å itervllet [, ) l Först l d [sustitutio l v d dv ] dv l v C l(l ) C v R d l(l ) l(l R) l(l ) l R R Därför [ ] [ ] Slutlige l divergerr eftersom l d divergerr ( ) f) Låt f ( ) Då är f () e ositiv futio å itervllet [, ) { lägg l l(l ) märe till tt l(l ) > 0 om l > dvs om > e 7 } f () är vtgde futio å itervllet [, ) eftersom ämre l l(l ) är väde i itervllet Vi erär d l l(l ) [sustitutio l(l ) v d dv ] l dv l v C l(l(l )) C v l l(l ) R Därför d [ l(l(l )) ] [ l(l(l R)) l l(l ) ] Slutlige l l(l R ) R d [ l(l(l )) ] R l l(l ) R divergerr serie eftersom divergerr ( ) Sid 7 v

8 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Svr: ) divergerr, ) overgerr, c) overgerr för > och divergerr för d) overgerr e) divergerr f) divergerr g) overgerr ( tis: ( ), itegrl-sustitutio l v ) l f h) overgerr om och edst om > ( tis: ) f ( ), itegrl-sustitutio l v l JÄMFÖRELSEKITERIER FÖR POSITIVASERIER Sts 6 Jämförelseriterium I Låt Då gäller földe: och för vr två ositiv serier, såd tt Om ( "de större") serie overgerr, så overgerr ocså serie Om ( "de midre ") serie divergerr, så divergerr ocså serie Bevis: Oserver tt e ositiv serie tige overgerr ( summ är ett ositivt tl) eller divergerr mot Frå för hr vi 0 Sid 8 v

9 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Härv ( overgerr) < < och ( divergerr) Amärig: Vid tillämig v ämförelsestse väder vi oftst földe serier: serie och som overgerr om och edst om >, de geometris serie q som overgerr om och edst om q < Ugift Bestäm om földe ositiv serier overgerr eller divergerr: ) l ) Lösig: ) Eftersom l < < för och l divergerr ( divergerr för ) föler eligt ämförelsestse tt l ocså divergerr ) Eftersom > ) för och overgerr ( overgerr för föler eligt ämförelsestse tt ocså overgerr edståede sts som är diret åföld v Jämförelseriterium I är i måg fll elre tt väd e sälv Jämförelseriterium I Sts 7 Jämförelseriterium II ( A it comriso test ) Låt ositiv serier Om Sid 9 v och vr två

10 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR A där 0 < A < så är tige åd serier overget eller åd diverget Bevis: Atg tt Då fis det ett tl K så tt K A där 0 < A < Låt ε > 0 vr ett litet tl sådt tt A ε > 0 A ε A ε eller ( A ε ) ( A ε ) för ll Atg tt K K overgerr Då overgerr ocså K K ( sts ) Därmed overgerr ( A ε ) ( A ε ) Frå ( A ε ) och ämförelseriterium I, föler då tt overgerr Därmed (sts ) overgerr ocså serie At u tt och därmed K ( A ε ) ( A ε ) divergerr Då gäller Frå ( A ε ) hr vi då tt och därmed K Ugift Bestäm om földe ositiv serier overgerr eller divergerr: ) ) c) d) e) Lösig: ) För stor är "evivlet" med uttrycet som vi får geom tt ehåll edst domierde termer i tälre och ämre ( de termer som väer sst då går mot oädlighete) : Alltså ~ (vi etecr ) Sid 0 v

11 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Med dett vl lir Vi ämför och Eftersom och K divergerr, så eligt ämförelseriterium, divergerr ocså serie K ) För stor är "evivlet" med Vi ämför med Eftersom och overgerr () så, eligt ämförelseriterium, overgerr ocså serie c) För stor är "evivlet" med Eftersom och divergerr, så divergerr ocså serie Sid v

12 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR d) För stor är "evivlet" med ( oter tt domierr i tälre med domierr i ämre ) Först ) ( ) ( ) ( ) ( Serie är e geometris serie med vote < och därför overget Alltså och serie overgerr Därför, eligt ämförelseriterium overgerr ocså serie e) För stor är "evivlet" med Eftersom (erä sälv) och serie divergerr ( de llmä terme går e mot 0) så divergerr ocså serie Svr: ) divergerr ) overgerr c) divergerr d) overgerr e) divergerr ÅGRA VIKTIGA MACLAURIS SERIER 0 < Sid v

13 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR e cos( ) si( )!! 0!! 0 0 l( ) ( ) ()! ( ) ( )! 0 ( )!!!! 6! 7! 6 7 < < < < < < < Ugift 6 Berä földe summor med häl v ovståede Mcluris serier )!!! ) c) 7 0! ( ) 0! d) 8 0! e)!!! f) 6!! 6! 7 g)!! 7! g) Svr: ) e ) 7e c) e d) / 8 e e) e f) cos( ) g) si( ) h) l Sid v

Relevanta dokument

INTEGRALKRITERIET ( även kallas CAUCHYS INTEGRALKRITERIUM )

INTEGRALKRITERIET ( även kallas CAUCHYS INTEGRALKRITERIUM ) Armi Hlilovic: EXTA ÖVIGA Cuchys itegrlriterium ITEGALKITEIET ( äve lls CAUCHYS ITEGALKITEIUM ) POSITIVA SEIE Defiitio E serie är ositiv om 0 för ll Eftersom delsummor v e ositiv serie bildr e väde ositiv