f(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s.

Transkript

1 Dg. Remsummor och tegrler Rekommederde uppgfter 5.. Del upp tervllet [, 3] lk stor deltervll och väd rektglr med dess deltervll som bs för tt beräk re v området uder = +, över =, smt mell = och = 3. V delr först upp tervllet [, 3] st deltervll med lk lägder. Om v låter tlet delrektglr ök så borde v få e llt bättre ppromto v de verklg re A. I gräsfllet får v de ekt re, A = lm = =. 5.. Del upp ett tervll lk stor deltervll och väd rektglr med dess deltervll som bs för tt beräk re v området över = och uder =. = 3 3 = Frå de förr uppgfte får v ett uttrck för deltervlles ädpukter, = + 3 = 3. Om v låter re v delrektgel, med, + som bs, betecks med A, då är A = bse höjde = + f. Eftersom v hr ett eplct uttrck för och + så k v äve ställ upp ett eplct uttrck för A, 3 + A = = = Områdets ekt re A k v ppromer med summ v delrektglrs re, 8 A A = = = = = = + 3 A + = = f Låt oss först rt upp området. Fuktoe = är e tpsk drgrdsfukto. Geom tt kvdrtkompletter får v tt =. I dett uttrck ser v drekt tt mmum fs = där = och tt då ±. Rtr v upp grfe hr de e tpsk prbelform V söker re v det gråfärgde området ov. Området begräss -led v de två -värde där kurv = skär =, d.v.s. = = eller =. V delr upp -tervllet [, ] st deltervll med lk lägder. = 3 = Ett uttrck för deltervlles ädpukter { } är = + =.

2 Om v låter A beteck re v de delrektgel med, + som bs, då är A = bse höjde = + f. Ett eplct uttrck för A är A = + = Områdets ekt re A ppromerr v med summ v delrektglrs re, A A = = = 4 4 = = = = = f + A = = När v låter tlet delrektglr får v de ekt re 4 A = lm = Låt P vr prttoe v tervllet [, 4] st deltervll med lk lägd = b. Beräk Lf, P 4 och Uf, P 4 för f =. där m och M är f:s mst respektve störst värde de olk deltervlle [, ], [, ], [, 3] och [3, 4]. Eftersom f = är strägt väde [, 4] ts m och M deltervlles västr respektve högr ädpukter. V får och summor blr m = f = m = f = 4 M = f = M = f3 = 9 m = f = m 3 = f3 = 9 M = f = 4 M 3 = f4 = 6 Lf, P 4 = = 4 Uf, P 4 = = 3 Lf, P 4 Uf, P Låt P vr prttoe v tervllet [, 4] st deltervll med lk lägd = b e. Vs tt lm Lf, P = lm Uf, P. Därmed är f tegrerbr [, 3]. Vrför? Vd är f d? Uder- och översumm är Lf, P 4 = Uf, P 4 = 3 m, = 3 M, = Uder- och översumm är Lf, P = m, = Uf, P = M, =

3 där m och M är f:s mst respektve störst värde de olk deltervlle. Eftersom f = e är e strägt väde fukto ts m och M deltervlles västr respektve högr ädpukter. Ädpukter är = + 3 = 3 så v får 3 m = f = ep, M = f + = ep = ep + 3 = m e 3/. Alltså är 3 Lf, P = ep 3 = 3 e 3/ = = {geometrsk sere} = 3 Uf, P = m e 3/ 3 = Låter v fås tt = lm Lf, P 3 = lm = = e 3/ 3 m = e3/ Lf, P. e 3/ e 3/ = 3 e 3 e = 3 e 3 3/ lm e3/ e 3 e 3/, 3 e 3 = {Mclurutvecklg} = lm O 3 e 3 = lm + O = e3 lm Uf, P = lm e3/ Lf, P = lm e3/ lm Lf, P = e 3 = e 3. Alltså är lm Lf, P = lm Uf, P = e 3. Om v går tllbk tll deftoe v tegrl så ser v tt f är tegrbel [, 3] om det fs ekt ett tl I så tt Lf, P I Uf, P för ll prttoer P. I vårt fll låter v I = lm Lf, P = lm Uf, P. Lf, P I: Eftersom e översumm lltd är större ä e udersumm, är Låter v fås Uf, P I: På smm sätt är I uk: Låter v fås Lf, P Uf, P. Lf, P I. Uf, P Lf, P. Uf, P I. Gpet mell ll över- och udersummor måste lltd lgg tervllet [Lf, P, Uf, P ] för ll. Eftersom ädpukter dett tervll kovergerr mot I, är gpet ekt e pukt I. V får därmed tt f är tegrbel [, 3] och 5.3. Uttrck gräsvärdet som e bestämd tegrl. e d = I = e 3. lm = Del upp tervllet [, ] st deltervll med lk lägd. I vrje deltervll [ k, ] k+ väljer v e pukt ck = k/. Då är Remsumm v fuktoe f = lk med k Rf, P, c = debte = = k + k= =. k = =

4 Eftersom prttoes fhet går mot oll är d.v.s Beräk tegrle lm R f, P, c = lm = = 3 + d d, d. geom tt väd tegrles egeskper och tolk tegrler som reor. Ljärtete ger tt 3 + d = 3 d + }{{} d. V udersöker de två tegrler högerledet vr för sg. Itegrles värde är re v det gråfärgde området fgure ed. = re = bse höjde = Itegrles värde är re v det gråfärgde området fgure ed. Alltså är 3 + d = 3 + = Beräk tegrle s ds geom tt väd tegrles egeskper och tolk tegrler som reor. Låt oss för ekelhets skull t tt. Ljärtete ger tt s ds = ds }{{} V udersöker de två tegrler vr för sg. s ds. Itegrles värde är re v det gråfärgde området fgure ed. Alltså är =. Sätt fs = s. V hr tt = f s = s = s = fs. d.v.s. f är e jäm fukto, och då är re = bse höjde = = re = bse höjde = = s ds = { s = s för s } = s ds.

5 Itegrle högerledet hr smm värde som re v det gråfärgde området fgure ed. Alltså är =. = re = bse höjde = / Med fu = u 3 oterr v tt f u = u 3 = u 3 = fu, d.v.s. tegrde är udd. Eftersom v tegrerr över ett orgosmmetrskt tervll är tegrle oll. Itegrles värde är re v det gråfärgde området fgure ed. = π Smmtget får v tt Am. Om < blr svret 3. s ds = = =. Alltså är = π. re = π = π 5.4. Beräk tegrle u 5 3u 3 + π du geom tt väd tegrles egeskper och tolk tegrler som reor. Smmtget är det br de tredje tegrle som ger ett bdrg u 5 3u 3 + π du = 3 + = π. Ljärtete ger tt u 5 3u 3 + π du = V udersöker tegrler vr för sg. u 5 du Om v sätter fu = u 5 så oterr v tt u 3 du f u = u 5 = u 5 = fu, + π du d.v.s. tegrde är udd. Eftersom v tegrerr över ett orgosmmetrskt tervll är tegrle oll Beräk tegrle + t 9 t dt geom tt väd tegrles egeskper och tolk tegrler som reor. Ljärtete ger tt + t 9 t dt = 9 t dt V behdlr tegrler högerledet seprt. + t 9 t dt.

6 Om v kvdrerr fuktoe = 9 får v = 9 + = 9. Vår fukto beskrver lltså övre dele v e crkel med rde 3 och mttpukt orgo. Itegrles värde är re v det gråfärgde området fgure ed. Alltså är = 9 π. Sätt ft = t 9 t. V hr tt 3 re = π rde = 9 π f t = t 9 t = t 9 t = ft, d.v.s. tegrde är e udd fukto. Eftersom v tegrerr över ett orgosmmetrskt tervll är tegrle. Smmtget är + t 9 t dt = + = 9 π + = 9π. Sätt f =. V hr då tt f = = = f, d.v.s. tegrde är jäm. V får tt = Med formel uppgftstete får v tt Sätt f = s. V hr tt d. = 6 3 /3 = 44. f = s = s = s = f, d.v.s. fuktoe är udd. Eftersom v tegrerr över ett orgosmmetrskt tervll är tegrle oll. Smmtget är 6 + s d = + = 44 + = Gvet tt d = 3 /3, beräk Ljärtete ger tt 6 + s d = + s d. 6 6 d + V beräkr de två tegrler högerledet seprt. 6 s d F medelvärdet v g = + tervllet [, b]. Medelvärdet ges v tegrle Ljärtete ger tt ĝ = b ĝ = b g d = b d }{{} V behdlr de två tegrler seprt. + b + d. d. }{{}

7 V k skrv om tegrle som [ d = ] d = d d. De två tegrler högerledet hr smm värde som re v respektve trgel fgure ed. Alltså är b b = = b = b. = Itegrles värde är re v det gråfärgde området ed. Alltså är Medelvärdet är lltså b = b. re = b = b ĝ = b + b = b b + b b = + b Beräk 4 d. V vet tt Alltså är d d 3/ = 3 / = 3. d d 3 3/ =. Dett vsr tt 3 3/ är e prmtv fukto tll. Itegrlklkles huvudsts ger tt 4 [ ] 4 d = 3 = = 6/ Beräk 3 d. E prmtv fukto tll är Itegrlklkles huvudsts ger tt. [ 3 d = + ] = + + = + 8 = 7 8.

8 5.5.8 Beräk 9 4 d. E prmtv fukto tll / / är Itegrlklkles huvudsts ger tt Beräk 9 4 3/ 3/ / /. [ d = 3 ] 9 4 = = = = 3/3. e e d Beräk V hr tt d. d d = log Itegrlklkles huvudsts ger tt [ d = log Beräk V errr oss tt / d. Itegrlklkles huvudsts ger tt / ] d =. d log = log log = 3/ log. d d rcs =. d [ ] / = rcs = rcs rcs = π/6. E prmtv fukto tll e e är Itegrlklkles huvudsts ger tt e e = e + e. e e [ ] d = e + e = e + e e + e =. Am. Altertvt k m lägg märke tll tt tegrde är udd och tt tegrtostervllet är orgosmmetrskt, vrför tegrle är oll Beräk re v området som begräss v = /, =, = e och = e. V rtr först upp e skss v hur området ser ut = e = e = /

9 Are v området ges v tegrle e d [ ] e = log = log e log e = log e log e = log e =. e e Beräk re v området över = och uder =. V rtr först e skss v området Beräk re v området uder = och över = /. = V rtr e skss v området. = Områdets re ges v tegrle b Områdets re ges v tegrle d, / d, där är -koordte för de pukt området som är lägst tll höger, d.v.s. -koordte för skärgspukte mell = och = /. Låt oss först bestämm v ger oss på tt beräk tegrle. I pukte = sk kurvor h smm -koordt, d.v.s. = /. V kvdrerr. = /4 4 =. V ser tt = 4 är de lösg v söker. Eftersom v som först steg kvdrerde ekvtoe fs rske tt v troducerde flsk rötter. V kotrollerr därför tt = 4 verklge är e rktg lösg tll. vl v = 4 =, hl v = 4/ =. Områdets re är lltså 4 [ ] 4 / d = 3 /4 = /4 = 4/3. där och b är -koordter för skärgspukter mell = och =. Eftersom = är deferd v två olk uttrck för < resp. > udersöker v dess tervll seprt. < : > : I dett tervll är = =. Skärgspukte mell kurvor ges v ekvtoe = =. De drgrdre hr lösgr = 4 och =. Eftersom edst egtv går dett tervll är skärgspuktes -koordt =. I dett tervll är = =. Skärgspukte mell kurvor ges v ekvtoe = + =. De drgrdsekvto hr lösgr = 3 och = 4. V är br tresserde v postv, så skärgspukte är b = 3.

10 Områdets re ges lltså v tegrle d. Noter tt tegrde är e jäm fukto, så tegrles värde är lk med d = d [ ] = = = 45. Elgt tegrlklkles huvudsts är vrför v får tt Bestäm d dθ cos θ s θ F t = s t, t d 3 s dt t d. d = s t. t F medelvärdet v f = e 3 tervllet [, ]. Medelvärdet ges v tegrle f = Itegrlklkles huvudsts ger tt Bestäm d dt f = 4 t f d = e 3 d. 4 s e 3 d = 4 d. [ ] 3 e3 = e6 e 6. Om F beteckr e prmtv fukto tll, då är d cos θ dθ s θ d = d F cos θ F s θ dθ Elgt tegrlklkles huvudsts är vrför v hr tt d dθ cos θ s θ = F cos θ s θ F s θ cos θ. F =, d = cos θ s θ s θ cos θ = s θ s θ cos θ cos θ = s θ cos θ. Om v låter F beteck e prmtv fukto tll s, då är d 3 s dt t d = d F 3 F t = F t. dt