Korrelationens betydelse vid GUM-analyser

Transkript

1 Korrelatoes betydelse vd GUM-aalyser Hela koceptet GUM geomsyras av atagadet att gåede mätgar är okorrelerade. Gude betoar och för sg att ev. korrelato spelar, me ger te mycket vägledg för hur ma då ska gå tllväga. I dea PM redovsas ågra ekla metoder för korrelatosaalys samt de korrektoer som det vd påvsad korrelato blr ödvädgt att göra. Texte är praktskt rktad bakomlggade teorresoemag redovsas edast summarskt. Scearot är e sere mätgar tdsföljd, e s.k. tdssere, vars vätevärde och mätosäkerhet är okäda och ska skattas. Samma tdsavståd mella mätgara förutsätts. Ett umerskt exempel llustrerar beräkgsgåge och ytterlgare beräkgsdetaljer redovsas ett appedx. Okorrelerade mätgar t-fördelge Låt oss utgå frå okorrelerade mätgar och det förfarade som då tllämpas. Vätevärdet skattas med medeltalet x. Stadardosäkerhete skattas med de tradtoella stadardavvkelse 2 ( ) /( s x x ) där är atalet mätgar och är atalet frhetsgrader (överbestämgar). Det är de esklda mätges stadardosäkerhet. Medeltalets stadardosäkerhet blr och ur t-fördelge får v täckgsfaktor ux ( ) s/ k t ( ) där är kofdesvå. Ett %-gt kofdestervall för vätevärdet ges seda av uttrycket P x k u( x) P x t ( ) s/ % Det är samma sak som att säga att de utvdgade mätosäkerhete för medeltalet är U ( x) k u( x) t ( ) s/ Exempel: Beräka de utvdgade mätosäkerhete för medeltalet av följade mätsere, uder atagadet att mätgara är okorrelerade. Tllämpa kofdesvå 95%. 0,090 0,003 9,947 9,864 0,063 0,02 9,955 9,895 0,083 0,0 9,954 9,97 0,043 0,33 9,884 0,020 9,987 0,023 9,92 0,096 (Kolum är mätg r. -5, kolum 2 är mätg r. 6-0 osv.)

2 Mätmateralet ger x 0, 000, s 0,08, 20 och 9 frhetsgrader. Det ebär att ux ( ) s/ 20 0,08 k t (9) 2,093 Medeltalets utvdgade mätosäkerhet på 95% kofdesvå blr alltså dvs. U ( x) k u( x) 0,038 P 0,000 0,038 95% Korrelerade mätgar Vad häder då om mätgara är korrelerade? I vårt scearo betraktar v de tdsmässga korrelatoe, dvs. korrelatoe mella mätgar tdssere som lgger ära varadra tde. Korrelato ebär att resultate av ärlggade mätgar tederar att följas åt på ett mer eller mdre regelbudet sätt. De brukar vara som störst på korta avståd, för att därefter successvt avta och så smågom upphöra helt. De cetrala storhete dessa sammahag är korrelatoes räckvdd eller verkgsområde (eg. rage), dvs. det (tds)avståd som krävs för att mätgara ska kua betraktas som okorrelerade. Ett sätt att bestämma räckvdde är att beräka semvarase för olka tdsavståd och upprätta ett expermetellt varogram (se GIB, avstt 8.4.7, sd. 77 varfrå edaståede fgur är hämtad). Ett aat sätt är att bestämma de s.k. kovaras- eller korrelatosfuktoe. s = sll = ugget r = rage Om v utgår frå att v (på det ea eller adra sättet) har bestämt räckvdde här beteckad så får v följade modferade formler för skattg av stadardosäkerhet och utvdgad mätosäkerhet. Det effektva atalet mätgar ges av /

3 dvs. atalet okorrelerade mätgar som går tdssere. Om 5 så är fortsatt aalys megslös mätmateralet är för ltet. Det effektva atalet frhetsgrader blr. Med dessa förädrade gågsdata ka hela aalysapparate frå föregåede avstt modferas tll att äve gälla korrelerade data. Vätevärdet skattas fortfarade med medeltalet x. Med det effektva atalet frhetsgrader stället fö r övergår skattge av stadardosäkerhete tll Medeltalets stadardosäkerhet blr ( 2 ) /( ) s x x s s ( ) ( ) u ( x) s / s u( x) och ur t-fördelge får v täckgsfaktor k t ( ) där är kofdesvå. Ett %-gt kofdestervall för vätevärdet ges seda av uttrycket ( ) ( ) / P x k u x P x t s % Det är samma sak som att säga att de utvdgade mätosäkerhete för medeltalet är U x k u x t s ( ) ( ) ( ) / ebär okorrelerade data. Då blr samtlga formler detska med dem föregåede avstt. Exempel: Aalysera korrelatoe föregåede exempel och modfera vd behov osäkerhetsskattgara. Om v studerar edaståede grafska redovsg av mätgara så ka v sköja e vss regelbudehet e vadrg upp och ed som te ser helt slumpmässg ut. 0,5 0, 0,05 0 9,95 9,9 9,

4 V börjar med att beräka korrelatoskoeffcete mella ärlggade mätgar (ett alteratvt sätt att skatta korrelatoes räckvdd). V väljer att göra detta Excel med fuktoe KORREL (se appedx för detaljer). Det ger: 0,73 2 0,37 3 0, 4 0,00 5 0,02 6 0,04 osv. där dexet ager tdsavstådet mella mätgara ( tdsehet, 2 tdseheter etc.). 0, autokorrelatoe, är deftosmässgt =. Om v plottar dessa data får v e approxmato av de s.k. korrelatosfuktoe: 0, ,5 V ser att korrelatoe går ed mot oll vd ugefär 3,5-4 tdseheter. Låt oss säga 4, dvs. v får följade uttryck för korrelatoes räckvdd 4 Det s tur ger oss / 20/45 effektva mätgar och effektva frhetsgrader. V får vdare och s 9 s 0, u ( x) s / u( x) 0,039 6

5 Ur t-fördelge får v täckgsfaktor k t (6) 2,20 Ett 95%-gt kofdestervall för vätevärdet ges seda av uttrycket P x k u ( x) P 0, 000 0, % D.v.s de utvdgade mätosäkerhete för medeltalet är U x k u x ( ) ( ) 0,083 De utvdgade mätosäkerhete, lksom kofdestervallet, förstoras alltså 2,2 gåger p.g.a. korrelatoe. Huvuddele av detta härrör sg frå att atalet effektva mätgar mskar. Det påverkar storleke med e faktor / 4 2. Slutord Äve gaska måttlga korrelatoer ka alltså påverka mätosäkerhete betydlgt. Det före- faller därför självklart att göra ågo form av korrelatosaalys sambad med rapporterge av mätosäkerhet te mst som merarbetet är överkomlgt. Edast om ma ka vsa att ågo korrelato te förelgger ka ma utesluta de dele av aalyse. A ppedx: Fuktoe KORREL Excel Med fuktoe KORREL Excel ka ma beräka korrelatoskoeffcete för olka tds- Lägg de st. mätgara cellera A:A ett excelark. Med hjälp av Ifoga fukto avståd. aropas fuktoe KORREL, och korrelatoskoeffcetera för olka tdsavståd ka be- räkas elgt: KORREL( A: A( ); A( ): A), 0, där är aktuellt tdsavståd och tllhörade korrelatoskoeffcet. I exemplet ova var 20, dvs. 0 KORREL( A: A20; A: A20) KORREL( A: A9; A2 : A20) 2 KORREL( A: A8; A3: A20) 3 KORREL( A : A7; A4 : A 20) osv. E plot av dessa ger e approxmato av korrelatosfuktoe och ur dea ka korrelato- ågo korrelato överhuvudtaget. Approxmato- es räckvdd beräkas om det u fs e är tllfyllest om atalet mätgar är ågorluda stort, dvs. på korta tdsavståd. Ju större tdsavstådet är desto sämre blr resultatet vlket för övrgt gäller all korrelatosaalys om mätmateralet är begräsat. /Clas-Göra Persso