Centrala gränsvärdessatsen

Transkript

1 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Cetrala gräsvärdessatse Cetrala gräsvärdessatse Vätevärdet och varase för e ljär kombato av stokastska varabler beräkas elgt följade: S Låt c, c,, c vara kostater,,,, stokastska varabler, E ( och V ( ) = Då gäller: E ( c + c + + c ) = cµ + c µ + + c µ, V oberoede ( c c + + c ) = c + c + + c + om,,, är E ljär kombato av oberoede ormalfördelade s v är också ormalfördelad sv: S Låt c, c,, c vara kostater,,,, oberoede stokastska varabler och N( µ, ) Då gäller: c + c + + c N( cµ, c = S Låt,,, vara oberoede stokastska varabler och N( µ, ) Då gäller: N( µ, ) S 4 Låt,,, vara oberoede stokastska varabler och N( µ, ) Då gäller: N( µ, ) Cetrala gräsvärdessatse,,, Om INTE är ormalfördelade då ovaståede formler gäller APPROXIMATIVT ( elgt edaståede cetrala gräsvärdessatse) = S 5 (Cetrala gräsvärdessatse) Låt,,, vara oberoede stokastska varabler med samma saolkhetsfördelg med vätevärdet µ och stadardavvkelse Då gäller: är approxmatvt N( µ, ) fördelad då är stort är approxmatvt N( µ, ) fördelad då är stort ) av 6

2 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Cetrala gräsvärdessatse Uppgft Låt X, X, X vara ormalfördelade och oberoede sv sådaa att E ( X = 0, E ( X = 0, E ( X = 5 ; D ( X ) = =, D ( X ) = =, D ( X ) = = ; och Y = X + X X Beräka saolkhete Y 50) Lösg: a) E Y ) = X ) + X ) X ) = V ( Y ( = ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = = D ( Y ) = V ( Y ) = Därför Y N(40, ) =N(40, 458) Y 50) = F(50)= Φ((50-40)/458)= Φ(8)= 0985 Svar: 0985 Uppgft Vd tllverkg av motståd av e vss typ blr resstase N(40,) fördelad (ehet kloohm) Vad är saolkhete att 9 serekopplade sådaa motståd skall få e resstas mella 54 och 66 kloohm? Lösg: m = k ) = 40, s = Låt = Då gäller N(9 m, s ) (formelblad) d v s N(60,6) < < 66) = F(66) F(54) = Φ( ) Φ( ) 6 6 = Φ() Φ( ) = 0686 Svar: 0686 Uppgft I ett kotorshus fs e hss med aslaget max 6 persoer eller 500 kg V vll därför veta hur stor saolkhete är att hsse överlastas Ata att vkte av e aställd är ormalfördelad med vätevärde 80 kg och stadardavvkelse 0 kg Olka persoers vkt är oberoede Beräka saolkhete att vkte av 5 persoer överskrder 500 kg Lösg: Låt betecka total vkt av 5 persoer, då = där kk NN(80, 0) Därför NN(5 80, 0 5) = NN(400, 6) P > 500) = P 500) = FF(500) = ΦΦ( 6 ) = ΦΦ(447) = 0 Svar: Saolkhete är 0 Uppgft 4 av 6

3 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Cetrala gräsvärdessatse Vd tllverkg av kolvar och cyldrar ka dameter för e vss typ av kolv betraktas som e ormalfördelad stokastsk varabel med vätevärdet 8,0 mm och stadardavvkelse 0, mm För cyldrara ka hålets dameter betraktas som e ormalfördelad stokastsk varabel med vätevärdet 8,5 mm och stadardavvkelse 0,6 mm E cylder ases passa tll e kolv om hålets dameter större ä kolves dameter och om skllade ej överstger 0,6 mm Hur stor är saolkhete att kolve passar tll cylder vd ett slumpmässgt val? Lösg: X N(8,5;0,6) Y N(8,0;0,) Z = X Y N(0,5; 0,6 + 0, ) 0 Z 0,6) = Z 0,6) Z 0) = 0,6 0,5 0 0,5 Φ( ) Φ( ) = Φ(,75) Φ(,5) = 0,854 0, 0, Svar: 0, 854 Uppgft 5 E tekolog vet av erfarehet att has morgoaktvtet ka struktureras på följade sätt: Tvättg och påklädg, vlket tar muter, där N(4,) Frukost, vlket tar muter, där N(5,) Promead tll skola, vlket tar muter, där N(5,) På grud av detta ställer ha e kväll väckarklocka på rgg kl 8:00 förhoppg att ha tll första lektoe kl 8:0 Hur stor är saolkhete att ha lyckas? Lösg: Låt = + + Då gäller N ( , ) dvs N(4,) Tekologe kommer td om P ( 0) = F(0) = Φ ( ) = Φ () = 0977 Svar: 0977 Uppgft 6 (Cetrala gräsvärdessatse) Lägde hos e vss typ av byggadselemet, mätt cm, är e sv (ej ormalfördelad) med medelvärdet 5 och stadardavvkelse 0 4 Ma lägger 0 slumpmässgt valda elemet tll varadra Hur stor är saolkhete att deras sammalagda lägd överstger 505 cm? Lösg: Kalla lägdera, 0 Ma får X = x + x + + x0 är approxmatvt N(0 5, 0 04) = N(500, 8) P ( X > 505) = Φ( ) = Φ(77) = Uppgft 7 (Cetrala gräsvärdessatse) Flygpassagerara frå e stor stad har e kroppsvkt som ka betraktas som e s v med vätevärdet 80 kg och stadardavvkelse 5 kg Hur stor är saolkhet att 49 sådaa passagerare väger mer ä 4000 kg? Lösg: av 6

4 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Cetrala gräsvärdessatse m = ) = 80, s = 5 k Låt = Då gäller x + x + + x49 är approxmatvt N(49 m, s 49) (formelblad) d v s x + x + + x49 är approxmatvt N(90, 5) > 4000) = F(4000) = Φ( ) = 5 80 Φ( ) = 00 5 Svar: 00 Uppgft 8 Lvslägde hos e vss kompoet är e expoetalfördelad stokastsk varabel med parameter λ = 0 0 (tde räkas tmmar) E såda kompoet går e radarutrustg på ett fartyg När e kompoet går söder byts de geast ut mot e y Beräka e td T såda att lagret med 64 sådaa kompoeter räcker åtmstoe dea td med saolkhet 095 Lösg: Låt k betecka lvslägde hos kompoete k Eftersom k Exp(λ) får v m = k ) = = 50, λ s = = 50 λ Låt = Då gäller elgt cetrala gräsvärdessatse N( 64 m, s 64) d v s N(00, 400) V får då T ) = 095 F( T ) = 095 F( T ) = 005 T T Φ( ) = 005 Φ( ) = T = 6449 T = T = 54 Svar: 54 tmmar Uppgft 9 (Tetame , bygg) Tll e betogbladg behövs 000 kg torrt bruk som levereras säckar som väger c:a 0 kg Varje säcks massa är N(0, 40)-fördelade ehete kg a) Hur stor är saolkhete att 4 säckar räcker? b) Hur måga säckar behöver ma beställa om ma vll att saolkhete för att bruket skall räcka skall vara mst 90 %? 4 av 6

5 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Cetrala gräsvärdessatse = varje säcks massa ehete kg N(0,40) h = sökt : h 000) ) = 4 0 kg = 680 kg V ( ) = 4 40 total massa = 40 4 kg CGS : η N(680,40 4) η 000) = η 000) = φ( ) = φ(,4) = 0,988 = 0, b) (Svårare dele) η ) = 0 V ( η ) = 40 = 40 CGS : η N( 0,40 ) η 000) = 0,90 η 000) = 0, φ( ) = 0,0 40 Frå formelsamlge har v =,8, =,8 substtuto : t = 50 t =,8 t t,8t 50 = 0 t = 0± 4,08, t > 0 t = 4, = 4, Svar : 9 = 8,5 Uppgft 0 Vd tllverkg av skruvar och muttrar ka dameter för e vss typ av skruv betraktas som e ormalfördelad stokastsk varabel med vätevärdet 8,0 mm och stadardavvkelse 0, mm För muttrara ka hålets dameter betraktas som e ormalfördelad stokastsk varabel med vätevärdet 8,5 mm och stadardavvkelse 0,6 mm E skruv ases passa tll e mutter om hålets dameter är större ä skruves dameter och om skllade ej överstger 0,6 mm Hur stor är saolkhete att mutter passar tll skruve vd ett slumpmässgt val? Lösg N(8,5;0,6), η N(8,0;0,), X = η N(0,5; 0,6 + 0, ) 0,6 0,5 0 0,5 0 X 0,6) = X 0,6) X 0) = Φ ( ) Φ( ) 0, 0, = Φ(,75) Φ(,5) = 0,9599 0,056 = 0, 85 5 av 6

6 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Cetrala gräsvärdessatse Uppgft (Te 0/5 0) E deell föreg plaerar e samlg och skckar därför tll var och e av de 000 medlemmara ett brev, vlket ma ber om ett bdrag på 50 eller 00 kroor Frå tdgare erfarehet gör ma uppskattge att det är lka valgt med det större som det mdre bdraget och att 0% av medlemmara te ger ågot bdrag alls Beräka, med e lämplg approxmato, saolkhete att förege får mst kr Lösg: = atal kroor / pero ) = 0, 0 + 0, ,40 00 = 60 kr V ( ) = 0,0 (0 60) + 0,40 (50 60) + 0,40 (00 60) = 400 = 7,4 kr Χ = ( Summa blr e v Χ om elgt ΧGS är approx ormalfördelad ) Χ) = kr = kr V ( Χ) = V ( ) = Χ = 8 kr ΧGS : Χ N(60000,8) ) Χ 58000) = Χ < 58000) = φ( ) = φ(,69) = 0, av 6