Lycka till och trevlig sommar!

Transkript

1 UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematsk statstk Statstk för lärare, MSTA38 Lef Nlsso TENTAMEN TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för lärare, 5 poäg Skrvtd: Tllåta hjälpmedel: Tabellsamlg, ege mräkare och kluderad formelsamlg. Egelsk-leko för egelsktalade Studetera får behålla tetamesuppgftera. Tabellera återlämas efter tetame. poäg ger godkät och 8 poäg ger väl godkät. Lösgsförslag kommer att läggas ut på hemsda. Om vll ha resultatet va mal, age maladresse på försättsbladet. Lycka tll och trevlg sommar!. Gymaselärare Bertl udervsar e klass med fyra elever. I kurse är övgstmmara frvllga. För att udersöka om övgstmmara har ågo effekt på tetamesresultatet vll ha göra e ekel ljär regresso där de beroede varabel är tetamesresultatet och de oberoede varabel är ärvarotd tmmar. Följade resultat erhölls: Nam Klas Eva Pär Adam Medelvärde Stckprovsstadardavvkelse Närvaro Resultat a) Apassa e regressos lje, y = a + b. (p) b) Bestäm korrelatoskoeffcete. (p) c) Tolka verbalt betydelse av parametrara a och b detta fall. Vad ka det bero på att resultatet blev som det blev? (p). Atag att det kommer att aläda totalt 3 blar tll e rockkosert. Av erfarehet vet ma att saolkhete att två persoer färdas e bl är 5 %. Saolkhete att tre persoer färdas e bl är 50 % och saolkhete att fyra persoer färdas e bl är 5 %. Ugefär hur stor är saolkhete att mst 385 blbura åskådare såg koserte? (3p)

2 3. Tllstådet hos persoer som aläder tll e akutmottagg klassfceras som krtskt, allvarlgt eller stablt. Av erfarehet vet ma att de tre tllståde förekommer proportoera ::7. Blad dem som har krtskt tllståd avlder 30% a de her skrvas ut frå sjukhuset. Motsvarade sffror för de med allvarlgt och stablt tllståd är 0% respektve %. a) Gvet att e perso som alät tll akutmottagge avlder a utskrvg, vad är saolkhete att persoes tllståd klassfcerades som krtskt? (.5) b) Vad är saolkhete att e godtycklg perso som aläder tll akutmottagge avlder a ha/ho skrvs ut frå sjukhuset? (.5) 4. Följade tabell över mjölkprser ka ma fa SCB:s statstska årsbok. De ager löpade prser och fasta prser med 00 som basår. a) Årsmedeltalet för KPI (kosumetprsde) år 99 (basår 980) är 7.. Vad är årsmedeltalet för KPI år 00? (p) b) Uppskatta de geomsttlga procetuella prsökge (löpade) frå 93 tll 00 på mjölk. (p) c) Uppskatta mjölkprset (fasta) 006 med de geomsttlga procetuella prsökge som bestämdes b och med utgågspukt frå mjölkprset (löpade) 93. Räka seda om detta löpade prs tll 00 års prs (fast). Årsmedeltalet för KPI år 006 är 84.. (p) 5. Ma drar på måfå ett kort ur e kortlek. a) Är hädelsera det draga kortet är e hjärter och det draga kortet är ess oberoede? (.5p) b) Ur kortleke plockar ma seda bort följade kort: spader, 3, 4 och 5. Ma drar på måfå ett kort blad de återståede 48. Eftersom de bortplockade korte varke är hjärter eller ess, ka ma msstäka att samma resultat som a) gäller. Udersök om så är fallet. (.5p)

3 6. För att jämföra två olka odlgsmetoder av gra aväds totalt 400 plator. E metod A tllämpas på 35 slumpmässgt utvalda plator och resterade 65 odlas elg metod B. Låt X och Y vara två slumpvarabler som beskrver tllvätera för metod A respektve metod B. Ige specell fördelg förutsätts för X och Y, uta edast att vätevärdea µ och µ samt att stadardavvkelsera σ och σ esterar. Låt de observerade värdea på medelvärdea och stadardavvkelsera vara: = 344., y = 353., s = 6.5 resp. s y = 75.9 Udersök om det fs ågo systematsk skllad mella odlgsmetodera A och B med ett 99%-gt kofdestervall. (3p) 7. Två skolor (A och B) tllämpar olka pedagogska metoder. I skola A går det 00 elever och skola B går det 50 elever. För att jämföra de pedagogska metodera valdes slumpmässgt 30 elever ut frå vardera skola. Dessa elever fck geomföra ett test och 80 % av elevera frå skola A blev godkäda meda 60% av elevera frå skola B blev godkäda. Skapa ett 90%-gt kofdestervall för skllade av adele godkäda. Fs det ågot belägg för säga att de ea metoder är bättre ä de adra? (3p) 8. Ata att slumpmässgt valda mäs vkter följer e ormalfördelg med vätevärde 77 kg och stadardavvkelse 8 kg, meda slumpmässgt valda kvors vkter är ormalfördelade med vätevärde 66 kg och stadardavvkelse 7 kg. Olka persoers vkter är oberoede. a) Beräka saolkhete för att kvor totalt väger mer ä 0 mä. (.5p) b) Beräka saolkhete för att medelvärdet av kvors vkter är större ä medelvärdet av 0 mäs vkter. (.5p)

4 UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematk och matematsk statstsk MSTA38, Statstk för lärare Lef Nlsso Formelsamlg Räkelagar för saolkheter Låt A och B vara två hädelser addtossats P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) oberoede hädelser P(A B) = P(A) P(B) P(B A) betgade saolkheter P(B A) = P(A) P(B A) P(A B) P(B) Bayes sats P(B A) = = P(A) P(A B) P(B) + P(A B C C ) P(B ) Räkelagar för vätevärde och varas Om a är e kostat och X e slumpvarabel (s.v) gäller följade E[a X] = a µ V[a X] = a σ E[a + X] = a+µ V[a + X] = σ Om a, a,...,a är kostater och X, X,..., X är oberoede slumpvarabler har v att E[ a X ] = = a µ + a µ a µ V[ a X ] = a σ + a σ a σ = Dskreta fördelgar bomalfördelg : P(X = k) = k p k (-p) -k, Np N(- p) k -k hypergeometrsk fördelg: P(X = k) = N Posso fördelg: P(X = k) = e - λ k λ. k!,

5 Vätevärde och varas µ = E(X) = P( X = ) σ = V(X) = ( µ ) P( X = ) = ( P( X = ) )- µ Beteckg vätevärde varas Bomalfördelg B(,p) p p(-p) Hypergeometrsk Hypgeo(N,,p) p p(-p)(-/n) fördelg Posso fördelg Po(λ) λ λ Normalfördelg N(µ,σ) µ σ Cetrala gräsvärdessatse (CGS) Om X,X,...,X är lkafördelade, samt om 30 gäller att X-µ N(0,) σ samt X µ N(0,) σ Appromatoer Po(p) ka appromera B(,p) om >0 och p<0.. Po(p) ka appromera Hypgeo(N,,p) om >0 och p+ N < 0.. B(,p) ka appromera Hypgeo(N,,p) om N < 0.. N(p, p(- p) ) ka appromera B(,p) om p>0 och (-p)>0. Appromatoe blr bättre om ma utyttjar halvkorrekto. Puktskattgar Atag att v har observatoer,,..., frå e fördelg. Om v vll puktskatta populatosstorheter är följade lämplga att aväda. ˆµ = = = ˆ σ = s = ( ( ) ) ) = = = - - $ σ = s $p = = relatva frekvese.

6 Kofdestervall Puktskattg, $ θ Stadardavvkelse, D (θˆ ) Puktskattg, D$ ( θ $) σ s σ σ - + s + s $p p$ p$ p( p) p$( p$) p( p) p( p) p$ ( $ ) $ ( $ p p p) + + Atag att ma skattar e parameter θ med skattge $ θ, där stadardavvkelse tll skattge är D( θ $). Ett 00(-α )%-gt kofdestervall för θ är θ$ ± λ D α / ( θ$) - om D( θ $) är käd, och ormalfördelad populato eller - för stora stckprov ( 30) elgt CGS eller - för adelar om ormalappromato uppfyllt. θ$ ± t $ α / D( θ$) - om D( θ $) är okäd, och små stckprov frå ormalfördelade populatoer. Om ma plockar stycke frå e ädlg populato med N dvder så ska ma ta med ädlghetskorrektoe, (-/N). Ma ersätter då / på respektve ställe med. N Kovaras Kov(, y) = ( )(y y) ( y ) y) = = = - - Korrelato Regressosaalys Korr(, y) = = ( )(y y) = ( ) (y y) = Om ma söker ljärt sambad mella två varabler, dvs y = α+β och utyttjar mk-skattg blr skattgara av α och β α $ =a=y-b respektve β $ =b= = ( )(y y) ( ) =