Tentamen STA A15 delkurs 1 (10 poäng): Sannolikhetslära och statistisk slutledning 3 november, 2005 kl

Transkript

1 Tetame STA A5 delkurs ( poäg): Saolkhetslära och statstsk slutledg 3 ovember 5 kl Tllåta hjälpmedel: Räkedosa bfogade formel- och tabellsamlgar vlka skall retureras. Asvarg lärare: Ja Rudader För att få maxmala poäg på e uppgft krävs att lösge är så utförlg att de uta svårghet ka följas! För godkäd tetame krävs mst 4 poäg. Uppgft Strålskyddsmydghete har tttat över sa rekommedatoer är det gäller hur stor mägd strålg e bradvarare får ge frå sg. När ma mäter mägde strålg frå e vss bradvarare bör dea strålgsmägd te överstga ( e vss ehet) om ma täker ha dea bradvarare exempelvs e bostad där folk vstas daglge. a E tllverkare av bradvarare vlle kotrollera hur has bradvarare lgger tll. Ha valde därför slumpmässgt ut bradvarare ur produktoe syfte att ta fram ett kofdestervall för µ med 99 % kofdesgrad. I stckprovet fck ha ett medelvärde på 9 och e stadardavvkelse på 39. Hjälp tllverkare beräka stt kofdestervall (dubbelsdgt). b Tllverkare käde sg gaska öjd är ha fått fram stt kofdestervall me har ha egetlge aledg tll detta? Ka ma med take på de ya rekommedatoera verklge räka med att få e bra bradvarare om ma köper e bradvarare frå hoom? Förklara! Uppgft E etrepreör byggbrasche har lagt abud på fyra olka byggprojekt projekt A B C och D. Chase att ha ver respektve abudsförfarade bedömer ha vara elgt följade: A: 6 % B: 5 % C: 3 % D: % Vdare aser ha saolkhete att ha ver ett vsst projekt te påverkas av hur det går beträffade de övrga tre projekte. Låt betecka atalet projekt ha ver. a Beräka ( 3) P (med utgågspukt byggares gssade procettal). b Beräka vätevärdet ( ) E. Ledg: Räkgara föreklas betydlgt om du deferar och aväder lämplga dkatorvarabler c Beräka stadardavvkelse V ( ).

2 Uppgft 3 Följade är ett stckprov frå e slumpvarabel med fördelgsfukto ( x) x >. x: a Ta fram täthete ( x) f. 3b Ta fram e skattg av med hjälp av mometmetode. 3c Ta fram e skattg av med hjälp av maxmumlkelhoodmetode. F x Uppgft 4 Skattemydghete hade för seaste deklaratoe fört e y deklaratosblakett som berörde 8 småföretagares deklaratoer. Beskrvge av hur de ya blakette skulle fyllas var dock te så bra formulerad vlket hade tll följd att måga deklarater mssuppfattade det hela och fyllde deklaratoe felaktgt. För att få e bld av hur lla det var valde mydghete ut deklaratoer slumpmässgt och specalgraskade dessa. Det vsade sg att det blad dessa fas 38 stycke som haterat de ya blakette felaktgt. 4a Skatta adele av de 8 småföretagara som haterat blakette felaktgt. 4b Ata att varje felaktgt fylld blakett drar med sg e merkostad för mydghete på 3:- kroor. Skatta de totala merkostade som de olycklga formulerge drar med sg. 4c Ta fram ett kofdestervall med 95 % kofdesgrad för de totala merkostade. Uppgft 5 På ya platta datorskärmar förekommer då och då felaktga pxlar. Atalet felaktga pxlar på e slumpmässgt vald skärm av e vss modell ka betraktas som e slumpvarabel. E skärmtllverkare har kommt fram tll att det geomstt är µ E( ). 4 felaktga pxlar på has skärmar. Det ha u fuderar på är om evetuellt är Possofördelad. I e kotroll av slumpmässgt valda skärmar vsade det sg att 7 var felfra stycke hade e felaktg pxel meda resterade skärmar hade två felaktga pxlar. Testa på 5 % sgfkasvå om Possofördelge är e möjlg modell.

3 Uppgft 6 E hadlare äger två butker. Låt betecka vste frå butk A e vss måad och låt vara motsvarade för butk B. V atar det följade att det är två ormalfördelade slumpvarabler. Geomsttsvste frå A är :- meda B har ett geomstt på 5 :-. Stadardavvkelse för vste frå A är 4:- meda motsvarade för B är 3:-. 6a Beräka saolkhete att de sammalagda vste är mst 4 :- uder förutsättge att och är oberoede. 6b Som a-uppgfte me u är förutsättge att och är smultat ormalfördelade med korrelatoskoeffcet ρ. 5. Ledg: Du behöver aväda ett resultat som säger att om och är smultat ormalfördelade så är ljärkombatoer av och också ormalfördelade. 6c Samma förutsättg som b-uppgfte me u ska du beräka saolkhete att vste frå butk A är mer ä dubbelt så stor som vste frå butk B. Uppgft 7 Frå e ormalfördelad populato har ma tagt ett stckprov av storlek 5. Medelvärdet stckprovet var 7 meda stadardavvkelse var 4. Ur e aa ormalfördelad populato har ma tagt ett stckprov av storlek 6. I detta stckprov fck ma medelvärdet 54 och stadardavvkelse 8. Test på 5 % sgfkasvå om de båda populatoera har samma stadardavvkelse. Uppgft 8 Atalet trafkolyckor som träffade på e vss vägsträcka år 3 var 7 stycke. Detta värde ka betraktas som ett observerat värde av slumpvarabel Po( λ ). Iför årsskftet satte ma upp ett atal hastghetskameror på vägsträcka hopp om att hastghete skulle sjuka och därmed äve atalet olyckor. Uder år 4 träffade edast olyckor på vägsträcka vlket Po. ka betraktas som ett observerat värde av slumpvarabel ( ) Ka det faktum att y är mdre ä x 7 tas som bevs för att äve λ är mdre ä λ? Geomför ett statstskt test på % sgfkasvå geom att ta fram ett lämplgt ekelsdgt kofdestervall för dfferese λ λ. Formulera da slutsatser dels statstska termer dels mer vardaglgt ordaval så att det äve ka förstås av ågo som te läst statstk. Du får uder da uträkgar förutsätta att och är oberoede. λ 3

4 Kortfattade lösgar σ a Elgt CGS gäller N µ approxmatvt (tumregel 3 OK med bred margal). s 39 I µ x ± z.5 9 ±.58 ( 9 ± 7) ( 83998) med approxmatvt 99 % kofdesgrad. b Nej! Äve om det elgt a-uppgfte är så gott som säkert att geomsttsvå på bradvarara lgger uder de rekommederade maxgräse betyder te detta att värdet på e eskld bradvarare med stor saolkhet lgger uder. Amärkg: Om exempelvs vore NF så skulle ett 8 % -gt predktostervall bl PI x ± z s + ± + ( 9 ± 5) ( 44). Trots att v har valt så lågt procettal som 8 % fs det med värde predktostervallet lågt över de rekommederade maxgräse. a P ( 3) P( får alla utom A) P( får alla utom D) b Låt I A vara dkatorvarabel för hädelse att ha får jobb A motsvarade för B C och D. blr då summa av de fyra dkatorvarablera. Idkatorera är oberoede bomalfördelade slumpvarabler alla med me med olka p-värde. Vätevärdet blr E ( ) E( I ) E( I ) A D c Varase blr V ( ) obeoede V ( I A ) V ( I D ) stadardavvkelse blr ( ) V. 3a F ( x) x ger f ( x) F' ( x) x. 3b Mometmetode: Sätt x E( ) xf ( x) dx och lös ut parameter. Ma får då + skattge ˆ x.6. 5 x.6 L x x är ekvvalet g l( L ) l( ) + ( ) l x. 3b Att maxmera lkelhoodfuktoe ( ) f ( x ) med att maxmera ( ) ( ) 4

5 Dervata blr g' ( ) + Σl( ) adra dervata g ''( ) < ˆ tll ekvatoe '( ) Σl( ) 3.76 x vår sökta ML-skattg. x. Lösge g är alltså det -värde som ger ett max x 38 4a p ˆ. 9. 4b Skattad totalkostad p ˆ N c är Hyp(N p) approx B( p) tumregel. OK med margal. N 8 B approx NF tumregel p 5 och q 5 verkar OK eftersom pˆ 38 och qˆ 6. Därmed är äve p ˆ approx NF. pq ˆ ˆ.9.8 I p ˆ p ± z ± (.9 ±.544) ( ) Med approxmatvt 95 % säkerhet gäller alltså.356 < p < < p 8 3 < < kostad < Med approxmatvt 95 % säkerhet bör de totala merkostade hama ågostas mella 35 och 587 kroor. 5 Testa H : är Po(.4) mot H : ej H. Aväd ett goodess-of-ft -test. Atalet frhetsgrader är k--p 3--. α 5%. Förkasta ollhypotese om χ Data: klass ( ) o p E p E obs o ( o E ) 7. 4 e e e summa χ obs E V ka te förkasta hypotese att är Po(.4) eftersom observerat värde te lgger det krtska området. Det är alltså mycket möjlgt att atalet felaktga pxlar på e skärm följer e Possofördelg med vätevärde.4. Amärkg: Ur tabelle får v att % > p-värdet > % (eftersom 3.9 < < 4.65). 5

6 Amärkg: För att testvarabel ska vara approxmatvt ch-två-fördelad uder ollhypotese krävs att E -värdea te är för små. I vårt fall är alla E -värdea större ä 5 vlket är e valgt förekommade tumregel för att approxmatoe med ch-två-fördelge ska gå bra. 6 N( 4) och N( 53) 6a W + N( µσ ) ehet :- kroor. där µ och σ σ + σ V söker 4 35 P ( W 4 ) P Z P( Z ) Φ( ) b W + N( µσ ) där µ som a-uppgfte me σ σ + σ + ρ σ σ P ( W 4 ) P Z Φ(.39) (.5) c V söker P ( > ) P( > ). Sätt W N( µσ ) σ σ + ( ) σ + ρ σ σ ( ) ( ) ( ) P W P Z Φ(.5) V söker där µ 5 och. V söker 7 5 s 4 6 s 8. Sätt σ. Skattge ˆ s är ett σ s 8 observerat värde av slumpvarabel ˆ S ˆΘ Θ. Kvote är F4 5 -fördelad. S ˆ H : För att testa på α 5% sgfkasvå ka v göra ett kofdestervall I med H : 95 % kofdesgrad. Beslutregel: förkasta ollhypotese om värdet te fs tervallet..95 P a < F < b Θˆ Θˆ P a < < b... P < 4 5 Θˆ <. Härledg: ( ) b a Kravet.5 P ( F > b) ger b.7 ur tabelle P 45 < < < F5 4 ger. 44. a F45 a a ˆ ˆ (.37.47) b a.7 Kravet ( F a) P P I. Eftersom värdet te fs tervallet så förkastas ollhypotese. Med 95 % säkerhet ka v säga att populatosstadardavvkelsera är olka. 6

7 8 Po( ) 7 λ y. x meda Po( ) λ Sätt λ λ. Ma hoppas att åtgärdera ska ha gett resultat dvs. att > vlket alltså är det v vll bevsa. Testa H H : : > på α % sgfkasvå. Kofdestervallet som svarar mot detta test är e edre gräs. Θˆ är approxmatvt NF ty Observerat värde ˆ x y 7 6. Vätevärdet µ ( ) λ λ Θˆ E dvs. e vvr-skattg. Varase σ ˆ V ( ) σ + σ possoförd λ + λ Θ skattade varase σ ˆ λ + ˆ λ x + y ˆ ˆ Θ Kofdestervall med approxmatvt 9 % kofdesgrad blr ( ˆ σ ˆ ) ( ) ( ) (.9 ) I z Θ α Eftersom värdet fs tervallet så ka v te förkasta ollhypotese. Att atalet olyckor mskat ka alltså mest bero av e slump. Det är te statstskt säkerställt ( med % felrsk) att det beror på att de geomsttlga årlga olycksfrekvese skulle vara lägre efter åtgärdera ä före.. 7