Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Borel-Cantellis sats och stora talens lag"

Transkript

1 Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi betraktar e följd hädelser A, A 2, A 3,... och är itresserade av fråga om oädligt måga av dessa iträffar eller om möjlige bara ett ädligt atal av dem iträffar. Vi bildar F = A k och G = A k. Att G iträffar iebär att alla A k för k iträffar. Om det fis ågot sådat iebär det alltså att frå och med detta iträffar alla A k för k. Med H = G = iebär detta att om H iträffar fis ett så att alla A k med k iträffar. Iblad beteckas H med lim if A k. Att F iträffar iebär att det fis ågot A k för k som iträffar. Om F iträffar för alla iebär detta att oädligt måga av A k :a iträffar. Vi bildar därför E = F = A k. Om E iträffar, så iträffar alltså oädligt måga av A k :a. Iblad skrives detta lite behädigt som E = {A i.o.} där i.o. står för ifiitely ofte, dvs oädligt måga gåger. E beteckas iblad med lim sup A k. Ma oterar att F avtar i och att alltså P (E) = P ( A k F ) = lim P (F ) = lim P ( A k ).

2 Vi har dock eligt Booles sats att P ( A k ) P (A k ) och dea serie 0 då om serie P (A k) kovergerar. Detta iebär att vi visat följade sats som kallas Borel-Catellis sats. Sats Borel-Catellis sats Om P (A ) < så gäller att P (E) = P (A i.o) = 0, dvs att med saolikhet iträffar bara ädligt måga A. Ma ka otera att det i satse ite krävs ågo form av oberoede uta satse gäller helt geerellt. Det fis e omvädig av Borel-Catellis sats om ma atar att hädelsera A, A 2,... är oberoede. Sats 2 Omvädig till Borel-Catellis sats Om A, A 2,... är oberoede och P (A ) = så gäller att P (E) = P (A i.o) =, dvs att det med saolikhet iträffar oädligt måga A. Bevis: Vi har P ( A k) = P (A k) = ( P (A k )). Eftersom x e x erhålls P (A k ) e P (A k) och vi får P ( A k) exp( P (A k )). Om u P (A ) = så gäller att serie i expoete divergerar och ma får P ( A k) = 0. Alltså gäller äve som iebär att P ( P ( A k ) = P ( A k) = 0. A k) = 0 = dvs att oädligt måga A k : iträffar med saolikhet. 2

3 2 Några exempel på tillämpigar Exempel 2. Låt X, X 2, X 3... vara oberoede likafördelade med kotiuerlig fördelig. Vi låter { om X > X j för j =, 2,... U = 0 aars. Detta betyder att U = om X utgör ett rekord, dvs är det hitills största värdet. Vi låter A = {U = }. Ma iser att P (U = ) = / eftersom saolikhete att det största av värde skall komma i omgåg är / av symmetriskäl. Vidare är A, A 2,... oberoede. Vi har ju P (A m A m+... A m+k ) = P (A m A m+... A m+k )P (A m+... A m+k ) och A m och A m+... A m+k är aturligtvis oberoede eftersom A m bara berör storleksförhålladea blad de första m av X-variablera. Vi får då eftersom P (A ) = = att P (A i.o.) = dvs oädligt måga A iträffar. Vi får oädligt måga rekord ett resultat som kaske (?) är självklart. Vidare får vi E( U U + ) = E(U U + ) = P (A )P (A + ) = ( + ) < och alltså är U U + ädlig med saolikhet. Slutsatse är att det bara iträffar ett ädligt atal dubbelrekord, dvs rekord två gåger i rad ett resultat som på itet sätt är trivialt. Exempel 2.2 Låt X, X 2,... vara oberoede och likafördelade. Då gäller att E( X ) = me också E( X ) = 0 P ( X > x)dx = + P ( X > x)dx + P ( X > x)dx P ( X > ) + P ( X > ), P ( X > + ) = P ( X > ). Om u E( X ) < ser vi att P ( X > ) < som eligt Borel- Catellis sats medför P ( X > i.o.) = 0. Å adra sida, om E( X ) = och alltså P ( X > ) =, så ger omvädige till Borel-Catellis sats att P ( X > i.o.) =. Om E( X k ) är ädligt (respektive oädligt) kommer X att bli större ä oädligt måga gåger med saolikhet 0 (respektive ). 3

4 3 Bevis av stora tales lag i stark form Vi låter X, X 2,... vara oberoede likafördelade med E(X i ) = m och V (X i ) = σ 2 < och defiierar S = X + X X. Vi är itresserade att visa att med saolikhet gäller att S / m då. Detta betyder alltså att vi vill visa att S P ( lim = m) =, dvs att det fis e mägd Ω 0 med P (Ω 0 ) = där för varje ω Ω 0 gäller att lim S m = 0. Vi behöver alltså visa att för varje ω Ω 0 och för varje ε > 0 fis ett N(ω, ε) så att om N(ω, ε) gäller att S / m ε. Det räcker att visa att lim P ( S m > ε ågot N) = 0. N Notera skillade mot stora tales lag i svag form, som säger att för alla ε > 0 P ( S m > ε) 0 då. I stora tales lag i stark form måste S / m vara litet för alla tillräckligt stora för alla ω Ω 0 där P (Ω 0 ) =. Vid slatsiglig ka vi koda kroa och klave som 0 respektive, och ka idetifiera ett ω med ett på måfå valt tal på itervallet [0, ] där biärbråksutvecklige ger sekvese. Vad stora tales lag då säger är att vi med saolikhet får ett tal sådat att adele :or i sekvese kovergerar mot /2. Det ka fias udatags -ω - t ex är vid slatsiglig sekvese möjlig, me sådaa udatagssekveser har sammalagt saolikhet 0. Uta iskräkig ka vi ata att E(X i ) = m = 0 eftersom vi aars ka betrakta X i m. Vi har V (S ) = σ 2. Eligt Tjebyshovs olikhet gäller P ( S > ε) V (S ) (ε) 2 = σ2 (ε) 2 = σ2 ε 2. Tyvärr divergerar de harmoiska serie / så vi ka ite aväda Borel- Catellis sats direkt. Dock gäller /2 < och detta betyder att vi ka aväda satse för 2, =, 2,.... Vi har P ( S 2 > 2 ε) σ2 2 ε 2. Alltså gäller eligt Borel-Catellis sats att P ( S 2 > ε i.o.) = 0 som visar att 2 (med saolikhet ) S/ Vi har alltså lyckats visa att för delsekvese 2, =, 2,... så har vi koverges med saolikhet. Återstår att reda ut vad som ka häda mella dessa 2. Vi defiierar därför D = max S k S 2, 2 k<(+) 2 4

5 dvs de största avvikelse frå S 2 som ka iträffa mella 2 och ( + ) 2. Vi får (+) 2 D 2 = max 2 k<(+) 2(S k S 2) 2 (S k S 2) 2, 2 där vi gjort de grova uppskattige att max( x, y ) ( x + y ). Detta ger E(D 2 ) (+) 2 2 E((S k S 2) 2 ). Me E((S k S 2) 2 ) = (k 2 )σ 2 2σ 2 då 2 k < ( + ) 2 och det är 2 termer i summa och det ger Med Tjebyshovs olikhet ger detta E(D 2 ) (2)(2)σ 2 = 4 2 σ 2. P (D > 2 ε) 42 σ 2 ( 2 ε) 2 = 4σ2 2 ε 2. Alltså gäller D / 2 0 med saolikhet. Till slut ger detta för k mella 2 och ( + ) 2 S k k S 2 + D S 2 + D 0. k 2 Detta iebär att vi lyckats visa att S / 0 med saolikhet. Vi har gjort detta uder tilläggsvillkoret att V (X i ) = σ 2, me med stor möda ka ma visa att detta tilläggsvillkor ej är ödvädigt. 5

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a. Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm

Läs mer

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) = Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF955 f d 5B555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN AUGUSTI 008 KL 400 900 Examiator: Guar Eglud, tel 790746 Email: guare@mathkthse Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren? Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars

θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF903 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH TORSDAGEN DEN TREDJE JUNI 200 KL 4.00 9.00. Examiator: Guar Eglud, tel. 790 74 06 Tillåta hjälpmedel: Läroboke.

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x) Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås

Läs mer

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera Matematisk statistik slumpes matematik Saolikhetsteori hur beskriver ma slumpe? Statistikteori vilka slutsatser ka ma dra av ett datamaterial? Statistikteori översikt Puktskattig Hur gör ma e bra gissig

Läs mer

. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.

. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet. Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd familj av stokastiska variabler Xt arameter t är oftast me ite alltid e tidsvariabel rocesse kallas diskret om Xt är e diskret s v för varje

Läs mer

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R. P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x Uppgift 1 a) Vi iför slackvariabler x 4, x 5 och x 6 och löser problemet med hjälp av simplexalgoritme. Z -2-1 1 0 0 0 0 x 4 1 1-1 1 0 0 20 x 5 2 1 1 0 1 0 30 x 6 1-1 2 0 0 1 10 x 1 blir igåede basvariabel

Läs mer

Tentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000

Tentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klitberg Lösigar Tetame i Saolikhetsteori III 13 jauari 2000 Uppgift 1 a) Det mest detaljerade utfallsrummet är med uppebara beteckigar Ω = {(B1, B2),

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik MSTA3, Saolikhetsteori A, 5 p 5--7 Tetame i matematisk statistik Saolikhetsteori A, 5 poäg Skrivtid: 9.-5.. Tillåta hjälpmedel: Tabellsamlig, ege miiräkare. Studetera får behålla tetamesuppgiftera. På

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska

Läs mer

TAMS15: SS1 Markovprocesser

TAMS15: SS1 Markovprocesser TAMS15: SS1 Markovprocesser Joha Thim (joha.thim@liu.se) 21 ovember 218 Vad häder om vi i e Markovkedja har kotiuerlig tid istället för diskreta steg? Detta är ett specialfall av e kategori stokastiska

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

Föreläsning 2: Punktskattningar

Föreläsning 2: Punktskattningar Föreläsig : Puktskattigar Joha Thim joha.thim@liu.se 7 augusti 08 Repetitio Stickprov Defiitio. Låt de stokastiska variablera X, X,..., X vara oberoede och ha samma fördeligsfuktio F. Ett stickprov x,

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3150 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 29 maj 2007 Lösig till tetame för kurse Log-lijära statistiska modeller 29 maj 2007 Uppgift 1 a Modelle uta ågra

Läs mer

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider... Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................

Läs mer

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner. Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A)

Läs mer

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b]. MÄNGDER Stadardtalmägder: N={0,, 2, 3, } mägde av alla aturliga tal (I ågra böcker N={,2,3, }) Z={ 3, 2,,0,, 2, 3, 4, } mägde av alla hela tal m Q={, där m, är hela tal och 0 } mägde av alla ratioella

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa

Läs mer

Induktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1

Induktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1 duktio LCB 2000 Ersätter Grimaldi 4. Rekursio och iduktio; ekla fall E talföljd a a 0 a a 2 ka aturligtvis defiieras geom att ma ager e explicit formel för uträkig av dess elemet, som till exempel () a

Läs mer

Bertrands postulat. Kjell Elfström

Bertrands postulat. Kjell Elfström F r å g a L u d o m m a t e m a t i k Matematikcetrum Matematik NF Bertrads ostulat Kjell Elfström Bertrads ostulat är satse, som säger, att om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2.

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}: CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal

Läs mer

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23 1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grudläggade matematisk statistik Puktskattig Uwe Mezel, 2018 uwe.mezel@slu.se; uwe.mezel@matstat.de www.matstat.de Saolikhetsteori: Saolikhetsteori och statistikteori vad vi gjorde t.o.m. u vi hade e give

Läs mer

TENTAMEN Datum: 16 okt 09

TENTAMEN Datum: 16 okt 09 TENTAMEN Datum: 6 okt 09 Kurs: KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK HF00 TEN (Matematisk statistik ) Te i kurse HF00 ( Tidigare k 6H0), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF00, 6H000, 6L000 MATEMATIK

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH 1 Matematiska Istitutioe KTH Lösig till tetamesskrivig på kurse Diskret Matematik, momet A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, de 5 jui 2009 kl 08.00-13.00. DEL I 1. (3p) Bestäm e lösig till de diofatiska

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

TAMS79: Föreläsning 9 Approximationer och stokastiska processer

TAMS79: Föreläsning 9 Approximationer och stokastiska processer TAMS79: Föreläsig 9 Approximatioer och stokastiska processer Joha Thim 18 ovember 2018 9.1 Biomialfördelig Vi har reda stött på dea fördelig flera gåger. Situatioe är att ett slumpförsök har två möjliga

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )

Läs mer

Inledande matematisk analys. 1. Utred med bevis vilket eller vilka av följande påståenden är sana:

Inledande matematisk analys. 1. Utred med bevis vilket eller vilka av följande påståenden är sana: TATA79/TEN3 Tetame, 08-04-06 Iledade matematisk aalys. Utred med bevis vilket eller vilka av följade påståede är saa: (a) Om x 7 är x(x 3) 5; (b) Om (x )(x 6) 0 är x 6; (c) (x + 6)(x ) > 0 om x > 6. Solutio:

Läs mer

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

101. och sista termen 1

101. och sista termen 1 Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

(a) Skissa täthets-/frekvensfunktionen och fördelningsfunktionen för X. Glöm inte att ange värden på axlarna.

(a) Skissa täthets-/frekvensfunktionen och fördelningsfunktionen för X. Glöm inte att ange värden på axlarna. 1 0,5 0 LÖSNINGAR till tetame: Statistik och saolikhetslära (LMA120) Tid och plats: 08:30-12:30 de 6 april 2016 Hjälpmedel: Typgodkäd miiräkare, formelblad Betygsgräser: 3: 12 poäg, 4: 18 poäg, 5: 24 poäg.

Läs mer

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN INLEDNING LINJÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER E DE är lijär om de är lijär med avseede å de obekata fuktioe oc dess derivator

Läs mer

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio

Läs mer

1. Test av anpassning.

1. Test av anpassning. χ -metode. χ -metode ka avädas för prövig av hypoteser i flera olika slag av problem: om e stokastisk variabel följer e viss saolikhetsfördelig med käda eller okäda parametrar. om två stokastiska variabler

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

a) Beräkna E (W ). (2 p)

a) Beräkna E (W ). (2 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF19 och SF191 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 13:E MARS 18 KL 8. 13.. Examiator: Björ-Olof Skytt, 8 79 86 49. Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig

Läs mer

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten Statistik Språkligt och historiskt betyder statistik ugefär sifferkuskap om state E Statistisk udersökig består av fyra delar: Plaerig Dataisamlig Bearbetig Beskrivade statistik (kap 1) Statistisk aalys

Läs mer

Matematisk statistik TMS063 Tentamen

Matematisk statistik TMS063 Tentamen Matematisk statistik TMS063 Tetame 208-05-30 Tid: 8:30-2:30 Tetamesplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamlig och tabell samt Chalmersgodkäd räkare. Kursasvarig: Olof Elias Telefovakt/jour: Olof Elias,

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK TETAME I MATEMATISK STATISTIK Te i kurse 6H, KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse 6H, 6L MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: :-7: Lärare: Armi Halilovic Kurskod 6H, 6H, 6L, 6A Hjälpmedel:

Läs mer

b) Bestäm det genomsnittliga antalet testade enheter, E (X), samt även D (X). (5 p)

b) Bestäm det genomsnittliga antalet testade enheter, E (X), samt även D (X). (5 p) Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF922, SF923 och SF924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 29:E MAJ 208 KL 0800 300 Examiator för SF922/SF923: Tatjaa Pavleko, 08-790 84 66 Examiator för SF924:

Läs mer

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp) KTH-Matematik Tetameskrivig, 2008-0-0, kl. 4.00-9.00 SF625, Evariabelaalys för CITE(IT) och CMIEL(ME ) (7,5h) Prelimiära gräser. Registrerade å kurse SF625 får graderat betyg eligt skala A (högsta betyg),

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

Lösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =

Lösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) = Lösigar till tetamesskrivig i kompletterigskurs Lijär Algebra, SF605, de 0 jauari 20,kl 4.00-9.00. 3p Visa med hjälp av ett iduktiosbevis att m= mm + = +. Lösig: Formel är uppebarlige sa är = eftersom

Läs mer

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P( Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Thomas Erladsso LÄSANVISNINGAR VECKA -5 BINOMIALSATSEN Ett uttryc av forme a + b allas ett biom eftersom det är summa av två moom. För uttrycet (a + b) gäller de

Läs mer

1. Hur gammalt är ditt barn?

1. Hur gammalt är ditt barn? Förskoleekät 2017 Filtrerigsvillkor: Villkor: 1: Svarsalterativ Björkduge (Fråga: Vilke förskola går ditt bar i?) 1. Hur gammalt är ditt bar? 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 1-2 22% 3-4 50% 5-6

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

Högskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00

Högskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00 Lösigsförslag UPPGIFT 1 Kvia Ma Högskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00 Pr(ej högskoleutbildad kvi=0,07=7% Pr(högskoleutbildad)=0,87 c) Pr(Kvi*Pr(Högskoleutbildad)=0,70*0,87=0,609

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1917/SF1918/SF1919 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 8 JANUARI 2019 KL 8.00 13.00. Examiator för SF1917/1919: Jörge Säve-Söderbergh, 08-790 65 85. Examiator

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

Skattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas?

Skattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas? Skattig / Iferes Saolikhet och statistik Puktskattig Försöket att beskriva e hel populatio pga ågra få mätvärde! Oberservatio = Populatio HT 2008 UweMezel@mathuuse http://wwwmathuuse/ uwe/ Populatio har

Läs mer

Ekvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp.

Ekvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp. VÅGEKVATIONEN Vi betratar följade PDE u( u( x t, där > är e ostat, x, t (ev) Evatioe (ev) a besriva vågutbredig, trasversella svägigar i e sträg och adra fysialisa förlopp Radvärdesproblemet består av

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1

Läs mer

Fourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL

Fourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL Fourierserie fortsättig Ortogoalitetsrelatioera och Parsevals formel Med hjälp av ortogoalitetsrelatioera Y Â m W t, Â W t ] =, m ¹, m = () där Xf, g\ = Ÿ T f HtL g HtL, där W ã p, ka ma bevisa följade

Läs mer

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor 3.01 101. E talföljd defiieras geom formel a 8 + 6. a) Är det e rekursiv eller e

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

För att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ

För att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ 1 February 1, 2018 1 Förel. VII Puktskattigar av parametrar i fördeligar 1.1 Puktskattig För att skatta vätevärdet för e fördelig är det lämpligt att aväda Medelvärdet ξ = 1 ξ j. Vi tar u vätevärdet av

Läs mer

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta. KOD: Kurskod: PC106/PC145 Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 4/5 014 Hel- och halvfart VT14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare: Niklas Frasso

Läs mer

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Formelblad Sannolikhetsteori 1 Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

Tenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2

Tenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2 Teta i MVE5/MVE95, Komplex (matematisk) aalys, F och TM/Kf 6, 8.3-.3 Hjälpmedel: Formelblad som delas ut av tetamesvaktera Telefovakt: Mattias Leartsso, 3-535 Betygsgräser: -9 (U), -9 (3), 3-39 (4), 4-5

Läs mer

F3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index.

F3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index. F3 Lite till om tidsserier Deflaterig, att justera för iflatioe tatistikes gruder dagtid 4 3,5 3,5,5 Mjölk ockerdricka HT,5 975 976 977 978 979 98 98 98 Löpade priser År Mjölk ockerdricka KPI 945 = 975,34,

Läs mer

Vid mer än 30 frihetsgrader approximeras t-fördelningen med N(0; 1). Konfidensintervallet blir då

Vid mer än 30 frihetsgrader approximeras t-fördelningen med N(0; 1). Konfidensintervallet blir då Stat. teori gk, ht 006, JW F7 ENKEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT.5-.7) Statistisk iferes rörade β Vi vet reda att b är e vätevärdesriktig skattig av modellparameter β. Vi vet också att skattige b har

Läs mer

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ) Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =

Läs mer

UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor

UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR Om vi betratar e futio ff() som är otiuerlig i itervallet [aa, bb] då atar futioe sitt mista

Läs mer

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt Lektio 3 Kära Bidigseergi och assdefekt Några begre och beteckigar Nuklid Nukleo Isotoer Isobarer Masstal A Atouer Z E ato ed ett bestät atal rotoer och eutroer. Beteckas ofta A ed skrivsättet Z Xx där

Läs mer

Föreläsning 10: Kombinatorik

Föreläsning 10: Kombinatorik DD2458, Problemlösig och programmerig uder press Föreläsig 10: Kombiatorik Datum: 2009-11-18 Skribeter: Cecilia Roes, A-Soe Lidblom, Ollata Cuba Gylleste Föreläsare: Fredrik Niemelä 1 Delmägder E delmägd

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik Matematik tatitik KTH Formelamlig i matematik tatitik Vårtermie 07 Kombiatorik! = k k! ( k)!. Tolkig: mägd med elemet. = atalet delmägder av torlek k ur e k Stokatika variabler V (X) = E X (E (X)) C (X;

Läs mer