Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

Transkript

1 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm met. Exempel. ( Tärigskast) Vi har sex möjliga utfall,, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {,, 3, 4, 5,6}. ågra exempel på hädelser: = {,, 3}, = {3}, 3 = {, 4, 6 }, 4 = {} = (de tomma mägde är också e hädelse), 5 = {,, 3, 4, 5, 6}= Ω,( hela utfallsrummet är också e hädelse ) De klassiska SOLIKHETSDEFIITIOE tag att utfallsrummet Ω består av lika saolikaa utfall och e hädelse med g elemet (g= atalet gysamma fall ). Saolikhete för hädelse är De geometriska tolkige av saolikhete Saolikhete för hädelse är Relatioer mella hädelser ka åskådliggöras med hjälp av mägddiagram.. Komplemet till. av

2 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR. uio. eller eller båda iträffar. 3. sittt. åde och iträffar. 4. Differese \. iträffar me ite. 5. Disjukta ( oföreliga) hädelser. De ka ite iträffa samtidig. 6. Symmetrisk differes. Exakt e av, iträffar. 7. är delmägd till beteckas ( iträffar) ( iträffar) av

3 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR Sambadet mella mägdoperatioer och hädelser. Operatio ägdbeteckig Komplemet Sittet Uioe Differese \ = Symmetrisk = differes eskrivig iträffar ite åde och iträffarr eller eller båda iträffar me ite iträffar Exakt e av, iträffar VIKTIG EGESKER ====== ========= ========= ======== ========= ========= === Kolmogorovs axiom: xiom () 0 xiom (, xiom 3 Om och är disjukta hädelser dvs då ====== ========= ========= ========= ========= ========= === Frå axiom,, 3 följer följade egeskaper: i) ( 0 ii) 0 ( ) iii) () () iv) ( ) ( ) mootoi i saolikhete för komplemethädelse Viktig: Om och ite är disjukta då beräkas saolikhete för uioe eligt följadee ====== ========= ========= ======== ========= ========= ==== 3 av

4 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR DE ORGS LGR De orgas lagar är två regler som iom logike formuleras eligt följade:. ite( och Q) = (ite ) eller (ite Q), ite( eller Q) = (ite ) och (ite Q) otsvarade lager iom mägdlära är:. Detta ka geeraliseras till De orgas lagar: L. Komplemet till uioe: L. Komplemet till sittet: Geom att aväda komplemet på båda sidora i L får vi följade yttiga formel för uioe: ( Vi skriver uioe som ett komplemet till sittet) L3. och frå L får vi L4 ( I L4 uttrycker vi sittet som ett komplemet till uioe.) ====================================================== ÖVIGR: Uppgift. För hädelsera och gäller ( ) 0. 6, och ( ) 0. 3 och ( ) 0.. a) estäm ( ). b) estäm ([ ] ) c) estäm ([ ] ) d) vgör om och är oberoede hädelser. Lösig: 4 av

5 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ([ ] ) c) ([ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.8 d) Två hädelser och ärr oberoedee om och edast om ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. Svard d) och är ite oberoede eftersom () ( ) ( ) ( ). Uppgift. E bilverkstad har kommit fram till att bilar av ett visst märke ka k ha följade motorfel. Saolikhete förr att e slumpmässigt vald bil har feltyp f resp. är 0,6 och 0,3. Saolikhete att e bil har feltyp, me ite feltyp är 0,36. eräka saolikhete för att e slumpmässigt vald bil av märket ifråga har båda feltypera. Lösig. a) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,36 0,4 Uppgift 3. För två hädelser och gäller: ()=0,6, () )=0,5 och ( ) 0,7. a) eräka p( ). 5 av

6 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR b) eräka p( ). Svar. a) ( ) 0,, b) ( ) 0,3 Uppgift 4. I e stad med ivåare fis dett 3 lokala tidigar, och. Vid e udersökig får ma att ivåare ( totalt) läser tidige läser både och läser läser både och läser läser både och 000 läser alla tre:, och Hur stor är saolikhete att e slumpmässigt vald ivåare i stade läser a) tidigara och me ite i? b) mist e av tidigara,,? c) ige av tidigara,,. Lösig: Vi aväder följade mägddiagram: a) och me ite läser = =3000 ivåare. Därför a=3000/00000=0.03=3% b) mist e av tidigara,, läserr =6000 ivåare. Därför b=6000/00000=0.6=6% c) ivåare läser ite ågo av tidigara,, lltså c=74000/00000=0.74=74% Svar: a) 3% b )6% c) 74% 6 av

7 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR Uppgift 5. I Estad som har ivåare görs e tittarudersökig för yhetsprogram i TV: 4000 ser Rapport 4000 ser både Rapport och ktuellt 6000 ser ktuellt 9000 ser både Rapport och yhetera 000 ser yhetera 000 ser både ktuellt och yhetera 000 ser alla tre programme Hur stor är saolikhete att e slumpmässigt vald ivåare i Estad ser mist e av de tre yhetsprogramme? Lösig: : Ser Rapport, Sökt : ( ( 4000 ) ( 6000 Ser ) ) ( 000 ktuellt, : Ser ) ( 4000 ) ( 9000 yhetera ) ( 000 ) ( ) ( ) 000 0,467 Uppgift 6. De sex sidora på e tärig är märkta med,,3,4,5 och 6. a kastar två tärigar samtidigt och beräkar summa av resultat. estäm saolikhete att a) summa är 8. b) summa är midre ä 5. Lösig: är ma kastar två tärigar samtidigt ka ma få följade 36 fall: (,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6) (,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6) (3,), (3,), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (4,), (4,), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,), (5,), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,), (6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) a) Summa är 8 i följade 5 fall (6,), (5,3), (4,4), (3,5), och (,6) Saolikhete a= g/= 5/36 b) Summa är midre ä 5 i följade 6 fall (,), (,), (,3), (,), (,), (3,), Saolikhete b= g/= 6/36=/6 Svar a) 5/36 b) /6 DE ORGS LGR: 7 av

8 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR 8 av Uppgift 7. väd De orgas lagar L. Komplemet till uioe: L. Komplemet till sittet: L3. och förekla a) D b) Lösig: a) D D D b) Svar: a) D b) Uppgift 8. väd De orgas lag L3 och skriv följade uioer som sitt a) Q b) R Q Lösig: a) Q Q (eligt L3) Q Svar b) R Q DRGIG ED HÄSY TILL ORDIG Uppgift 9. Vi har 0 produkter, 5 av typ, 6 av typ och 9 av typ och väljer 4 av de på måfå uta återläggig. Hur stor saolikhete är att vi får produkter a) i ordige,,,? b) i ordige,,, Lösig: Dragig: Saolikhete att få i första dragige är 5/0. Dragig: [otera att vi har kvar 9 produkter (dragig uta återläggig) ; 6 av dem är av typ ]. Saolikhete att få i adra dragige är 6/9 Dragig 3: [otera att vi har kvar 8 produkter (dragig uta återläggig) ; 4 av dem är av typ ]. Saolikhete att få i tredje dragige är 4/8 Dragig 4: [otera att vi har kvar 7 produkter (dragig uta återläggig) ; 5 av dem är av typ ]. Saolikhete att få i fjärde dragige är 5/7

9 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR lltså (,,, ) (med häsy till ordig uta återläggig)= Svar: a) (,,, )= (med häsy till ordig uta återläggig)= b) (,,,)= Uppgift 0. Vi har 0 produkter, 5 av typ, 6 av typ och 9 av typ och väljer 4 av de på måfå med återläggig. Hur stor saolikhete är att vi får produkter a) i ordige,,,? b) i ordige,,, Lösig: Dragig: Saolikhete att få i första dragige är 5/0. Dragig: [otera att vi lämar tillbaka så att vi har samma situatio ige dvs vi har med 0 produkter (dragig med återläggig) ; 6 av dem är av typ ]. Saolikhete att få i adra dragige är 6/0 Dragig 3: Saolikhete att få i tredje dragige är 5/0 Dragig 4: Saolikhete att få i fjärde dragige är 6/0 lltså (,,, ) (med häsy till ordig och med återläggig)= = Svar: a) (,,, ) (med häsy till ordig och med återläggig) = b) (,,,)= = DRGIG UT HÄSY TILL ORDIG Uppgift. lad 0 produkter fis 6 defekta. a tar 5 produkter på måfå uta återläggig och uta häsy till ordig. Vad är saolikhet att få a) exakt 3 korrekta (och därmed defekta) i vilke ordig som helst? b) alla 5 defekta? Lösig a) talet gysamma fall: 4 6 Vi ka välja 3 korrekta blad 4 och samtidigt defekta blad 6 på g= 3 talet alla möjliga fall: 0 Vi ka välja 5 produkter blad 0 på = sätt 5 sätt 9 av

10 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR Därmed blir de sökta saolikhete g Svar: 4 6 a) b) (=0.35) (= ) ====== ========= ========= ======== ========= ========= ======== Uppgift. Vi placerar slumpvis 9 idetiska bollar i 4 stora lådor,, och D. (Ett exempel på placerig) a) å hur måga olika sätt ka ma göra det? b) estäm saolikhete att ige låda ärr tom. Lösig a) Vi betraktar ett ekvivalet problem: ermutatioer av 5 bokstäver I och 9 bokstäver O (se bilde). T ex: ermutatioe IOOIOOOOIIOOOII svarar mot ovaståede exempel. Varje permutatio måste börja och slutaa med I (aars hamar ite bolle i ågo låda) Därför permuterar vi 3 bokstäver I ochh 9 bokstäver O.! 0 a) Det fis 0 sådaa permutatioer. 3!9! 3 Svar a) 0 b) 0 av

11 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR Ige låda är tom om det fis mist e boll i varje låda. Reste, d v s 5 bollar, ka placeras på godtyckligt sätt. Detta betyder att vi permuterar fritt 3 bokstäver I och 5 bokstäver O. 8! Det fis k 56 sådaa permutatioer. 3!5! 3 Om vi atar att alla placerigar är lika saolika då gäller: k 56 4 Saolikhete att ige låda är tom = Svar b) p 55 av