Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson"

Gösta Roger Lind
för 5 år sedan
Visningar:

1 Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Thomas Erladsso LÄSANVISNINGAR VECKA -5 BINOMIALSATSEN Ett uttryc av forme a + b allas ett biom eftersom det är summa av två moom. För uttrycet (a + b) gäller de fudametala Biomialsatse, som på egelsa heter The Biomial Theorem. Dea sats hittar ma i Adams Ch 9.8. Biomialsatse Om är ett positivt heltal gäller Symbole (a + b) a + a 1 ( 1) b + a 2 b ab 1 + b 2! a b. 0! ( )!! allas alltså biomialoefficiet eftersom de föreommer som fator i biomialsatse. Vi har i satse avät att! 0!0!!! 1 1 samt! 0!!! 1! 1 EXEMPEL Följade specialfall av biomialteoremet förvätas ma ua som matematier och matematistudet. (a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 a 2 2ab + b 2 (a + b) a + a 2 b + ab 2 + b (a b) a a 2 b + ab 2 b

2 Beviset i Adams för biomialsatse utyttjar Taylors sats om futiosserier. Detta är aledige till att Adams betratar uttrycet (a + x) istället för (a + b). Vi är ju vaa vid att e futio beror av e variabel som oftast heter x. Futiosserier vet vi igetig om äu. Ett aat bevis a ma få geom att aväda ombiatori. Betrata (a + b) (a + b)(a + b)... (a + b). Termer av type a b får ma geom att multiplicera styce b som väljs ur olia pareteser med ( ) styce a som väljs ur ( de ) återståede paretesera. De paretesera ur vila vi väljer b a väljas på olia sätt eftersom ordige mella paretesera ite spelar ågo roll. Det hadlar alltså om ombiatioer. Det fis måga fascierade matematisa sambad som iehåller biomialoefficieter. Här följer ågra exempel. EXEMPEL Detta följer diret ur biomialsatse tillämpad på 2 (1+1). Äu itressatare är tolige i termer av delmägder av e ädlig mägd M med elemet. Höger led är det totala atalet delmägder som a erhållas ur M. Observera att 1 0 är atalet delmägder med oll elemet, dvs de tomma mägde. De tomma mägde ases vara delmägd av varje mägd och fis alltså med i det totala atalet delmägder av M. Vidare är 1 atalet delmägder med elemet. dvs M. Varje mägd ases vara delmägd av sig själv. Väster led 2 är ocså atalet delmägder av M eligt multipliatiospricipe. Då vi ostruerar alla delmägder a vi ämlige atige ta med ett elemet i delmägde eller ite ta med elemetet. Varje sådat val a göras på två sätt så totala atalet val blir 2. Det är amärigsvärt hur sabbt atalet delmägder växer med atalet elemet. Talet 2 är e så allad expoetialfutio som har e extrem tillväxt. De som är itresserad a läsa om detta reda u i Adams Ch., Theorem 5. Ma a ocså börja fudera över t ex atalet delmägder av de reella tale R. Hur måga delmägder fis det av R? Svaret är att de är alldeles rusigt måga, till och med fler ä de reella tale! Vill ma veta mer om sådaa fascierade frågeställigar a ma börja söa på cardial umber.

3 EXEMPEL 2 Visa att a) b) LÖSNING: a) Varje gåg vi väljer e delmägd av {1, 2,..., } med elemet väljer vi ocså e omplemetmägd med elemet och därav följer a). + 1 b) är atalet delmägder med elemet valda ur {1, 2,...,, + 1}. Av dessa iehåller elemetet + 1 och iehåller ite + 1. Härav 1 följer b). Exempel 2 a) visar varför uttryce för (a + b) är symmetrisa, t ex varför (a + b) 1 a + a 2 b + ab b. Här oterar vi ocså att summa av oefficietera precis som Exempel 1 garaterar Av Exempel 2b) följer ett itressat sätt att successivt beräa biomialoefficieter. Vi försöer beräa (a + b). Eftersom 1 och utveclige av (a + b) visar att så fier vi eelt att (a + b) a + a b + 6a 2 b 2 + a b + b. ÖVNING 1 Beräa (a + b) 5 (a + b). med hjälp av bl a Exempel 2 och utveclige av

4 ÖVNING 2 Visa att dvs jämt ( 1) 0, 0 udda. Detta betyder att hälfte av delmägdera iehåller att jämt atal elemet och de adra hälfte ett udda atal elemet. Eftersom totala atalet delmägder eligt Exempel 1 är 2 är halva atalet 2 1. De tomma mägde som svarar mot 0 ger samma tece som delmägdera med jämt atal elemet eftersom ( 1) 0 1. Ledig: T ex tillämpa biomialsatse på (1 + ( 1)) 0. SVAR OCH ANVISNINGAR

5 KOMPLEXA TAL Allt vi behöver veta om KOMPLEXA TAL står i Adams Appedix I sidora A-1 till A-10. Varje meig och exempel i texte måste läsas och begrudas. Jag har iga förslag på förbättrigar eller tillägg till Adams text förutom ågra persoliga refletioer över omplexa tal i allmähet. Några persoliga refletioer Jag tycer persolige att beämige tal på omplexa tal a ge felatiga associatioer. De reella tale R a represeteras på tallije och additio och multipliatio av två reella tal ger ett ytt tal på dea lije. De omplexa tale C däremot är vetorer i plaet. Additio och multipliatio a ädra både lägd och ritig på det ya talet jämfört med de giva termera eller fatorera. När jag aväder omplexa tal täer jag alltid på att dessa tal är vetorer i plaet. Orsae till att omplexa tal allas tal och ite vetorer är att additio och multipliatio uppfyller samma räelagar som de reella tale och är precis som R e så allad talropp. Det fis doc e vitig sillad mella R och C. Det fis ige ordigsrelatio för omplexa tal, dvs reglera för oliheter på sida i Adams avsitt P.1 fis ite för omplexa tal. Låt ämlige det omplexa talet i, som uppfyller i 2 1, uppfylla e olihet, säg i > 0. Då sall eligt Regel för oliheter på sida följa att i i > i 0 0. Me detta gäller ju ite eftersom i 2 1 < 0. Om vi låter i < 0 sall eligt Regel gälla att i i > i 0 0. Det fugerar ite heller. Målet med studiera av texte är att ua lösa ågra represetativa övigar. Exercises Adams sida A-10 1,, 5, 7, 1, 15, 17, 2, 25, 29, 1, 7, 9, 1, 51 SVAR OCH ANVISNINGAR

Relevanta dokument

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).