Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis

Transkript

1 Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor E talföljd defiieras geom formel a a) Är det e rekursiv eller e slute formel? b) Beräka a 4. a) Formel a är e slute formel. b) a Age det femte elemetet i talföljde som beskrivs av a) a + 3 b) b 3 1 a) a 5 7,5 b) b Skriv summora uta att aväda summatecket. a) 5 4k b) k1 4 (3 k + 1) k0 a) b) Skriv summora med hjälp av summatecket och tillhörade formel. a) b) c)

2 a) 7 k1 k b) 5 k Figurera är byggda av tädstickor. 3k 1 c) 19 k1 7k a) Hur måga stickor behövs för att bygga de 10:e figure? b) Beskriv atalet stickor i varje figur med e rekursiv respektive slute formel. a) 31 st b) Rekursiv formel: a 1 4; a a för > 1. Slute formel: a Beskriv följade talföljder med e slute formel. a) 1, 4, 9, 16, 5 b) 1, 1, 1 3, 1 4, a) a för 1 5 b) a Vilket elemet har värdet 98 i talföljde som beskrivs av a) a + 4 b) b 7 1 a) elemet r 19 b) elemet r Tecka summa med hjälp av summatecket och tillhörade sluta formler. a) b) a) 6 k1 k b) 6 k0 3 k

3 Hur måga stickor fis det i de a) 4:a figure b) :te figure a) 0 st b) + st Aritmetiska talföljder och summor Age e aritmetisk talföljd med 8 elemet, vars första elemet är 7 och differese är d 4. 7, 11, 15, 19, 3, 7, 31, I e aritmetisk talföljd är a 1 3 och d 1,. Bestäm a 10. a 10 a 1 + (10 1) d 3 + (10 1) 1, 13, Summa iehåller 3 termer. a) Varför är det e aritmetisk summa? b) Beräka summa. a) Differese mella varje term är kostat (d 3). b) s 3 3 (a 1 + a 3 ) 3 (4 + 70) E aritmetisk talföljd har a 1 10 och d 3. a) Bestäm a 1. b) Bestäm summa av de 1 första elemete. a) a 1 a 1 + (1 1) d ( 3) 4 b) s 1 1 (a 1 + a 1 ) 1 (10 + 4) 151 3

4 De sluta formel a 3 1, där Z +, beskriver e talföljd. a) Bestäm de 4 första elemete i talföljde. b) Är talföljde aritmetisk? c) Beskriv talföljde med e rekursiv formel. a), 5, 8, 11 b) Ja; differese mella varje term är kostat (d 3). c) a 1 ; a a för > Hur måga elemet fis i de aritmetiska talföljde 7, 10, 13, 16,, 98? 98 st. Eligt formel för det :te elemetet har vi a a 1 + ( 1) d och här mera specifikt att ( 1) Geom att lösa för får vi Beräka de aritmetiska summa De agiva summa har 15 elemet: Vi vet att a a 1 + ( 1) d och här mera specifikt att ( 1) ; geom att lösa för får vi 15. Eligt formel för aritmetiska summor gäller s (5 + 61) I e aritmetisk talföljd är a 5 41 och a Bestäm talföljdes första elemet, a 1. Eftersom differese mella varje term är kostat gäller a 9 a 5 4d och därmed d 7. Eligt formel för det :te elemetet har vi a 5 a 1 + (5 1) d och här mera specifikt 41 a 1 + (5 1) 7. Geom att lösa för a 1 får vi a Beräka summa av de 5 första termera i de aritmetiska talföljd som beskrivs av formel a) a + 6 b) b 1 4; b 11 + b 1 för > 1 4

5 a) s 5 5 (a 1 + a 5 ) b) s 5 5 (b 1 + b 5 ) 5 (8 + 15) 5 (4 + 68) Figurera visar ett möster som bildas av prickar. a) Hur måga prickar behöver ma för att bilda figur 4 respektive figur 5? b) Age e slute formel som beskriver atalet prickar i figur. c) Hur måga prickar iehåller figur 1 till och med 100 sammalagt? a) 15 st respektive 19 st b) a 3 + ( 1) 4 c) s (a 1 + a 100 ) 100 ( ) E aritmetisk talföljd iehåller elemete 9, 7, 5, 3,. a) Beskriv talföljde med e slute formel. b) Bestäm e föreklad formel för summa av de första termera i talföljde. a) a 9 + ( 1) ( ) 11 b) s (a 1 + a ) (9 + (11 )) 0 10 Geometriska talföljder och summor a) Bestäm a 1 och k i de geometriska talföljde, 6, 18, 54, b) Beskriv talföljde med e formel. 5

6 a) a 1 ; k 3 b) a E geometrisk talföljd beskrivs av formel a 0,7 ( 5) 1 för 1,, 5 a) Hur måga elemet iehåller talföljde? b) Bestäm det första och det sista elemetet. a) 5 st b) a 1 0,7; a 5 0,7 ( 5) , Uttrycket , , ,8 14 är e geometrisk summa. a) Hur måga termer fis i summa? b) Beräka summas värde. a) 15 st b) s 15 a 1(k 1) k 1 5 (1,815 1) 1, Beräka de geometriska summa , , ,05 7 s (1,058 1) 1,

7 Beräka värdet av de geometriska summora a) 1 m1 1,0 m b) 0 m1 0,9 m a) 1 m1 1,0 m 1 m1 1,0 1,0 m 1 1 (1,01 1) 1,0 1 47,5 b) 0 m1 0,9 m 0 m1 0,9 0,9 m 1 0,9 (0,90 1) 0,9 1 7, Lidas hud Karo ska äta e peicillikur. Ha ska ha e tablett på 0 mg varje morgo och kväll i 7 dagar. Ma uppskattar att ugefär 35% av peiciliet bryts er mella varje tablett. a) Hur skulle de geometriska summa se ut som visar mägde peicilli i Karos kropp direkt efter det sista itaget? b) Hur stor mägd peicilli fis i så fall i Karos kropp efter itag av de sista tablette? a) ,65 i 1 b) 0 (0,6514 1) 0, Josefi sätter i kr på bake i börja av varje år i 10 år. Räta är 1,75%. Hur mycket har ho på bake direkt efter de 10:e isättige? ,0175 i (1, ) 1, Tale x 4, x och x + 1 är tre på varadra följade elemet i e geometrisk talföljd. Bestäm vilka tal det är. I e geometrisk talföljd är kvote mella två på varadra följade elemet kostat. Vi måste alltså ha x/(x 4) (x + 1)/x. Geom att lösa för x får vi x 6, så tale är, 6 och (utelämad; ivå B) 7

8 (utelämad; ivå B) Iduktiosbevis Likhete ( + 1) + gäller för alla värde av 1. a) Visa att likhete gäller för 1. b) Visa att (p + 1) + ((p + 1) + 1) (p + 1) + (p + 1) om ma atar att (p + 1) p + p. c) Förklara vad du har bevisat i a) och b). a) Likhete gäller för 1 eftersom b) Vi räkar ut västerledet och högerledet separat och kostaterar att de är lika: VL (p + 1) + ((p + 1) + 1) p + p + ((p + 1) + 1) (eligt atagadet) p + p + p HL p + 4p + 3 (p + 1) + (p + 1) p + + p + p + 1 p + 4p + 3 c) Delara a) och b) är basfallet och iduktiossteget i ett bevis med hjälp av iduktio av att påståedet gäller för alla Betrakta de aritmetiska talföljde 1, 3, 5, av de första positiva udda tale. a) Hur ka talet a skrivas med hjälp av? b) Kostruera e formel för att beräka de aritmetiska summa s. c) Visar med hjälp av iduktio att di formel gäller för alla värde på. a) a 1 + ( 1) 1 b) s (a 1 + a ) (1 + 1) c) (utelämad; görs på lektioe) 8

9 (utelämad; görs på lektioe) (utelämad; görs på lektioe) (utelämad; görs på lektioe) (utelämad; görs på lektioe) (utelämad; görs på lektioe) Ytterligare uppgifter om iduktiosbevis 3.38 Visa att summa av de första jäma tale ( 1) är lika med + : i + Iduktio över. Vi visar först att ekvatioe gäller då 1 (basfall). Vi tar alltså ekvatioe, substituerar värdet 1 för variabel och verifierar att vi då får samma värde på båda sidora: VL: 1 i 1 1 HL: Nu atar vi att påståedet gäller för ett godtyckligt värde k 1 och visar att det då också gäller för värdet k + 1 (iduktiossteg). Vårt iduktiosatagade får vi alltså geom att ta ekvatioe och substituera värdet k för. Det påståede som vi måste bevisa får vi på likade sätt geom att substituera k + 1 för. Explicit: Iduktiosatagade (IA): k i k + k Att visa: k+1 i (k + 1) + (k + 1) Hittills har vi bara substituerat variabler, ite räkat ågotig. Nu verifierar vi att båda sidor av de ekvatio som vi måste bevisa ger samma värde. I detta bevis får vi aväda vårt iduktiosatagade (IA). k+1 i ( i) + (k + 1) IA (k + k) + (k + 1) (k + k) + (k + ) k + 3k + k (k + 1) + (k + 1) (k + k + 1 ) + (k + 1) k + 3k + 9

10 3.39 Visa att det totala atalet riskor som skulle behövas för att uppfylla schackspelsuppfiares öska på ett bräde med stycke rutor är 1. Börja med att ställa upp e summaformel. (Kom ihåg att vi räkade ut att atalet riskor som skulle behöva läggas på de ite ruta är i 1.) Summaformel som vi kommer att bevisa är i 1 1 ( ) Bevis med iduktio över. Vi visar först att påståedet gäller då 1: 1 i Nu atar vi att ekvatio ( ) gäller för k 1 och visar att de också gäller för k + 1. Geom att substituera k + 1 för och aväda iduktiosatagadet (IA) får vi k+1 i 1 ( i 1 ) + k+1 1 IA k 1 + k k+1 1 k vilket är vad vi ville bevisa. (Här behövde vi alltså ite räka ut bägge sidor separat som i föregåede uppgift uta kom frå de västra till de högra sida i ett svep.) 3.40 Visa att summa av de första Fiboacci-tales kvadrater ( 1) är lika med F F +1 : F i F F +1 Bevis med iduktio över. Basfall 1: 1 F i F F 1 F 1+1 F 1 F Vi atar att ekvatioe gäller för k 1 och visar att de äve gäller för k + 1. k+1 F k i ( Fi ) + Fk+1 IA Fk F k+1 + Fk+1 (F k + F k+1 ) F k+1 F k+1 F k+1 Här aväde vi Fiboacci-tales defiitio (F F 1 F ) i sista steget. 10

11 3.41 Nivå B. Visa att följade gäller för ästa alla aturliga tal :! > Vad betyder ästa alla i det här sammahaget? Påståedet gäller edast för 4 då 3! Basfall 4: 4! > 4 16 Nu atar vi att olikhete gäller för k 4 och visar att de äve gäller för k + 1. (k + 1)! k! (k + 1) IA > k (k + 1) > k k+1 Fler iduktiosbevis 3.4 Visa att följade gäller för alla aturliga tal 1: (k 1) 3.43 Visa att följade gäller för alla aturliga tal 0: k1 (4k + 3) ( + 1)( + 3) 3.44 Visa att följade gäller för alla aturliga tal 0: k0 (5k + 1) k0 ( + 1)(5 + ) 3.45 Visa att följade gäller för alla aturliga tal 1: 1 i0 k i k 1 k 1 (k R) 3.46 Visa att följade gäller för alla aturliga tal 1: (k) k1 ( + 1)( + 1) 3 11

12 3.47 Visa att följade gäller för alla aturliga tal 1: (k 1) k1 ( + 1)( 1) Visa att följade gäller för alla aturliga tal 1: k(k + ) k1 ( + 1)( + 7) Visa att följade gäller för alla aturliga tal 1: k1 k 3 ( + 1) 4 1