Tenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2

Transkript

1 Teta i MVE5/MVE95, Komplex (matematisk) aalys, F och TM/Kf 6, Hjälpmedel: Formelblad som delas ut av tetamesvaktera Telefovakt: Mattias Leartsso, Betygsgräser: -9 (U), -9 (3), 3-39 (4), 4-5 (5). a) Aväd residykalkyl för att beräka Fouriertrasforme av fuktioe x +. b) Aväd resultatet i a) för att bestämma Fouriertrasforme av fuktioe Lösig: a) Låt då har vi eligt defiitio att Vi sätter Vi vet då att cos x x +. f(x) := x +, ˆf(t) = e itx x + dx. g() := e it +. ˆf(t) = lim g()d. R [ R,R] (p) Vi atar först att t. Låt R (s) := Re is, s [, π] samt σ R := [ R, R] R som då är e slute kurva. Vi har att gd max e it R R + R πr R då R. Här aväde vi först triagelolikhete för itegraler, seda att e it = e ty på R samt att + = R på R tack vare de omväda triagelolikhete. Detta implicerar att ˆf(t) = lim gd. R σ R

2 Vi oterar u att + = ( + i )( i ) så g() är holomorf i C förutom isolerade sigulariteter i ±i, där bara i ligger i det ire av σr, R > R. Eligt räkeregler för residyer har vi att Res e it i g = + i = e t i. Residysatse säger u att så sammataget får vi att för t är =i gd = πires i g = πe t, σ R ˆf(t) = πe t. Eftersom f är reellvärd gäller räkeregel ˆf(t) = ˆf( t) så vi får att för t är Sammataget får vi därför att ˆf(t) = πe t. ˆf(t) = πe t. b) Låt h(x) := f(x) cos x. Eftersom får vi att ĥ(t) =. Låt cos x = eix + e ix f(x) eix + e ix e itx dx = f(x)e i(t )x dx + f(x)e i(t+)x dx = = ˆf(t ) + ˆf(t + ) = π t (e + e t+ ). f() := + e e och A := { : Re() <, π < Im() < π}. Bestäm bilde f(a). (Tips: aväd att f() = M(e ) där M() := +.) Lösig: Vi oterar att e = e x samt att Arg() = y + πk där k Z är valt sådat att Arg() ( π, π]. Det följer att bilde av A uder avbildige e blir B := { : < <, π < Arg() < π} = D(, ) \ (, ]. (p)

3 Vi har att f(a) = M(B) där M() := + är e Möbiusavbildig. Vi oterar att M( ) =, M() =, M() =. Eligt sats avbildar Möbiusavbildigar lijer och cirklar på lijer och cirklar. Vi får därför att M(R {}) = R {}. M((, ]) måste dåvara e del av de reella axel som förbider pukera och. M((, ]) iehåller ite oãd dlighetspukte, så vi får att M((, ]) = (, ]. Dessutom avbildas ehetscirkel på e cirkel eller lije som går geom och, dvs e lije geom origo. Eftersom ehetscirkel skär de reella axel i rät vikel i pukte och Möbiusavbildigar eligt sats är koforma måste M(C(, )) skära de reella axel i rät vikel i origo, vilket implicerar att M(C(, )) = ir {}. Då M() = följer det att M(D(, )) = { : Re() > }. Eftersom M är e bijektio får vi slutlige att f(a) = M(B) = M(D(, )) \ M((, ]) = { : Re() > } \ (, ]. 3. a) Aväd Laplacetrasforme för att ge e lösigsformel för begyelsevärdesproblemet: u (t) + u (t) + u(t) = f(t), t, u() =, u () =, där f är e give fuktio såda att f(t) Ae B t för ågra A, B R. b) Bestäm lösige u explicit (dvs iga itegraler i uttrycket) är f ges av f(t) = för t π meda f(t) = för t > π. (p) Lösig: a) Laplacetrasforme av ekvatioe ger att vilket vi skriver om som ũ = Eligt räkeregler för LT har vi att samt L(e t si t) = (s + s + )ũ = f + s +, f (s + ) + + s + (s + ) + + (s + ) +. (s + ) +, L(e t cos t) = L(e t si t f) = L(e t si t)l(f) = s + (s + ) +, f (s + ) +. Vi får alltså att ũ = L(e t si t f +e t si t+e t cos t) och det följer då frå iversiosformel att u = e t si t f + e t si t + e t cos t. b) Per defiitio är faltige e t si t f givet av: (e t si t f)(t) := t Då t π får vi för vår giva fuktio f att t e r si rf(t r)dr = t e r si rdr = [ e r 3 e r si rf(t r)dr. ] t (si r + cos r) = e t (si t+cos t)+,

4 där vi aväde att (e t /)(si t+cos t) är e primitiv fuktio till e t si t (hittas mha partiell itegratio). Då t π får vi istället att t e r si rf(t r)dr = Sammasatt betyder detta att t t π e r si rdr = [ e r ] t (si r + cos r) = t π = eπ e t (si t + cos t). meda u(t) = e t (si t + cos t) + då t π u(t) = eπ + e t (si t + cos t) då t π. 4. Bestäm atalet ollställe till polyomet p() = i området G := { : < Re() < }. (p) Lösig: Vi hittar först atalet ollställe i högra halvplaet. Låt R (t) := Re it, t [ π/, π/] och σ R := [ir, ir] R. Vi ser att ( p(re it ) = R 4 e 4it 4i R 3 + ) R 4 så arg(p(re it )) 4t + πk för stora R vilket implicerar att argvar(f( R )) 4π för stora R. Vi har också att p(iy) = y i( 4y). Speciellt får vi att p(ir) = R 4 + 4iR så arg(p(ir)) + πk och vi ser också att p(ir) ligger i edre halvplaet. Vidare ser vi att p( ir) = R iR så arg(p( ir)) +πk och vi ser också att p( ir) ligger i övre halvplaet. Då Im(p(iy)) = omm y = ser vi att kurva p([ir, ir]) edast passerar x-axel i pukte. Detta betyder dels att p på de imagiära axel, samt att kurva p([ir, ir]) ej ka gå rut är de går frå p(ir) till p( ir) (visas bäst med figur). Detta implicerar att argvar(p([ir, ir])). Vi får att W (p(σ R )) = π argvar(p(σ R)) = π (argvar(p( R) + argvar(p([ir, ir]))) för stora R. Me vidigstal är heltal så vi får att för stora R är W (p(σ R )) =. Argumetpricipe säger då att p har ollstãd lle i it(σ R ) för stora R, dvs p har ollställe i det öppa högra halvplaet. 4

5 Nu ska vi hitta atalet ollställe i { : Re() }. Låt R (t) := Reit +, t [ π/, π/] och σ R := [ + ir, + ir] R. Först oterar vi att p( + ) = Detta ger att p(re it + ) = R 4 ( e 4it + 4 R e3it + 6 R eit R 4 ) så arg(p(re it + )) 4t + πk för stora R vilket implicerar att argvar(f( R )) 4π för stora R. Vi har också att Speciellt får vi att p( + iy) = y 4 6y + i( 4y 3 ). p( + ir) = R 4 6R + i( 4R 3 ) så arg(p( + ir)) + πk 3 och vi ser också att p( + ir) ligger i edre halvplaet. Vidare ser vi att p( ir) = R 4 6R + i4r 3 så arg(p( ir)) + πk 4 och vi ser också att p( ir) ligger i övre halvplaet. Då Im(p( + iy)) = omm y = ser vi att kurva p([ + ir, ir]) edast passerar x- axel i pukte. Detta betyder dels att p på lije { : Re() = }, samt att kurva p([+ir, ir]) går rut e gåg i egativ riktig är de går frå p(+ir) till p( ir) (visas bäst med figur). Detta implicerar att argvar(p([ + ir, ir])) π. Vi får att W (p(σ R)) = π argvar(p(σ R)) = π (argvar(p( R) + argvar(p([ + ir, ir]))) för stora R. Me vidigstal är heltal så vi får att för stora R är W (p(σ R)) =. Argumetpricipe säger då att p har ollställe i it(σ R ) för stora R, dvs p har ollställe i det öppa halvplaet { : Re() > }. Eftersom vi såg att p ite hade ågra ollställe på lije { : Re() = } får vi att atalet ollställe i G är lika med atalet ollställe i det öppa högra halvplaet mius atalet ollställe i det öppa halvplaet { : Re() > }, dvs p har ett ollställe i G. 5. Beräka itegralera: a) = si(/) ( ) d, (4p) b) =3 si(/) ( ) d. (3p) 5

6 Lösig: a) f() := si(/) ( ) är holo i C förutom isolerade sigulariteter i puktera och. Av dessa ligger edast i det ire av C(, ). Notera att i C \ {}. Vi utvecklar och därför Sammataget får vi si(/) = 3! 3 + 5! 5... = si(/) ( ) = = ( ) = = ( m= m= k+ k ) ( ( ) m (m + )! m där (eftersom m k = omm k = m) Alltså är c = m= och Residysatser ger oss därför att = ( ) m m + (m + )! m+ = 4 m= k= ( ) m (m)! ( ) m (m + )! m k + k+ k. si(/) Res ( ) = 4 cos(/) si(/) ( ) d = πires ) k + k = k+ l= c l l, m = 4 cos(/). si(/) ( ) = πi cos(/). b) Båda sigularitetera och ligger i C(, 3). Eligt räkeregel för residyer har vi si(/) cos(/) Res ( ) = si(/) = = = 4 cos(/). Residysatser ger oss därför att =3 si(/) d = πi ( ) Alterativ lösig av b) är att otera att Cauchys sats ger att si(/) ( ) d = ( ) si(/) si(/) Res ( ) + Res ( ) =. =R är oberoede av R dår >, samt att ma ka visa att itegrale går mot oll dår (mha triagelolikhete för itegraler). 6

7 6. Formulera satse om klassifikatio av ollställe. Bevisa satse i specialfallet att fuktioe är holomorf i ehetsskiva D(, ) med ollställe i pukte. Lösig: Se bok eller föreläsigsateckigar.. Formulera och bevisa Rouchés sats. Lösig: Se bok eller föreläsigsateckigar. 8. Visa att ζ() := = defiierar e holomorf fuktio i halvplaet { : Re() > } (kom ihåg att := e l ). (ζ() är käd som Reimas eta-fuktio.) Lösig: Vi oterar att =. Vi vet också (via t ex itegralkriteriet) att x är x koverget för alla x >. Eftersom e absolutkoverget serie är koverget följer det att serie = är koverget i halvplaet { : Re() > }, och defiierar därför e fuktio ζ() := = där. Låt a >. På { : Re() a} får vi att N ζ() = N+ N+ Re() N+ a då N, dvs serie = kovergerar likformigt på { : Re() a}. Varje eskild term / är kotiuerlig i såeligt sats är ζ() kotiuerlig på { : Re() a}. Låt u vara e styckvist glatt slute kurva i { : Re() > a}. Eftersom N kovergerar likformigt mot ζ() på{ : Re() a} ka vi eligt sats föra ut summatioe frå itegrale: ζ()d = Varje eskild term / är holomorf i hela C. Då är slute är de automatiskt ollhomotop i C, såfrå Cauchys sats följer det att =. Som e kosekves blir alltså ζ()d =. =. Eftersom ζ är kotiuerlig i området { : Re() > a} samt kurvitegrale krig varje styckvist glatt slute kurva i { : Re() > a} blir oll säger Moreras sats att ζ() är holomorf i { : Re() > a}. Eftersom att vara holomorf är e lokal egeskap och ζ är holo i alla { : Re() > a} för a > följer att ζ() är holo i { : Re() > }. Lycka till! David