MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

Transkript

1 MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober / 19 Mägder Det eklaste sättet att beskriva e mägd är att räka upp de elemete i mägde, tex. A = {2, 4, 5, 8} och B = {4, 5, }. Ma skriver x A om x är ett elemet i A och x / A om x ite är det, så att tex. 2 A, 375 B me 6 / A och 3 / B. Mägdera {2, 3, 2} och {3, 2} är desamma eftersom de iehåller samma elemet och upprepigar och ordige ite har ågo betydelse. Ofta ages mägder som de elemet i e mägd A som har e viss egeskap P, dvs. B = { x A : P(x) } där P(x) för varje x A atige är sat eller falskt. Tex. är { x R : x 4 } alla reella tal som är midre eller lika med 4. = {} är de tomma mägde som ite har ågra elemet alls. A B = { x : x A eller x B } A B = { x : x A och x B } A \ B = { x : x A och x / B } A B om x B för alla x A A c = Ω \ A ifall A Ω och det är klart vad Ω är. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober / 19

2 Satslogik Om a och b är satser eller påståede som ka vara saa eller falska, me ite ågotig mitt emella, så gäller satse a & b är sa då a och b är saa, satse a b är sa då a eller b är sa (och också då både a och b är saa). satse!a är sa då a ite är sa, dvs. falsk. satse a b är sa då (!a) b är sa, dvs. då atige b är sa eller a är falsk. I matematisk logik aväds valige istället för &, istället för och istället för! och a b är e förkortig av (a b) & (b a). Implikatioe Observera att implikatioe a b som logisk sats ite alltid motsvarar vad ma i dagligt tal mear med e implikatio, dvs. av a följer b eftersom a b är sa då a är falsk och de ite ödvädigtvis har ågot med orsakssambad att göra. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober / 19 Predikatlogik Predikatlogike är e utvidgig av satslogike så att ma förutom satser har variabler x, y,... och predikat P, Q,... (eller hur ma u vill betecka dem). Predikate har ett ädligt atal argumet, tex. P(x), Q(x, y), osv. och ett predikat uta argumet är e sats. Förutom de operatioer (!, &, och ) som fis i satslogike aväder predikatlogike all- och existeskvatorera och som uttrycker för alla och det existerar. Förutom predikat ka ma också aväda fuktioer vars värde hör till det område som behadlas ( domai of discourse ). E fuktio med oll argumet är då e kostat. Fuktioer och kostater ka också uttryckas med hjälp av predikat, me det blir lätt oödigt klumpigt. Operatorordig Om ma ite vill aväda pareteser, som aturligtvis har högsta prioritet) ka ma utyttja att de logiska operatorera (valigtvis) evalueras i följade ordig: Först!, seda och, seda & och och till sist. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober / 19

3 Peaos axiom och de aturliga tale Vi har e kostat o ( det första talet, urspruglige 1, u ofta 0), e fuktio S(x) ( successor, dvs. följade tal ) och ett predikat L(x, y) med två argumet (som uttrycker att x och y är lika) som här skrivs i forme x == y. De två första axiome är P1 x(!(s(x) == o)) (det första talet följer ite efter ågot tal) P2 x( y((s(x) == S(y)) (x == y))) (om de följade tale är lika är tale lika) Det tredje axiomet är egetlige ett axiomschema eller oädligt måga axiom eftersom det skall gälla för alla predikat P: P3 (P(o) & ( x(p(x) P(S(x))))) ( xp(x)) (iduktiospricipe) Eftersom P3 egetlige säger vad som gäller för alla predikat, P är det här fråga om adra ordiges predikatkalkyl. Observera också att P3 säger att de aturliga tale är precis {o, S(o)), S(S(o)),...} och ite ågot mera. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober / 19 Iduktiospricipe Om P() är ett påståede (som för alla 0 atige är sat eller falskt) så att P( 0 ) är sat P(k + 1) är sat ifall P(k) är sat (dvs. P(k) P(k + 1)) då k 0 så är P() sat för alla 0. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober / 19

4 Kartesisk produkt De kartesiska produkte X Y av två mägder X och Y består av alla ordade par (a, b) eller [a, b] där a X och b Y, dvs. X Y = { [a, b] : a X och b Y }. Det fis olika sätt att defiiera paret [a, b] edast med hjälp av mägdteoretiska beteckigar och ett ofta avät sätt är att säga att [a, b] är mägde {{a}, {a, b}}. Relatioer E relatio mella mägdera X och Y (eller i X om Y = X ) är e delmägd av de kartesiska produkte X Y. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober / 19 Vad är e graf? E graf består av e mägd oder och e mägd bågar mella odera, tex. såhär: I e riktad graf har varje båge e startpukt och e slutpukt, meda ma i e icke riktad graf ite gör skillad mella start och slutpukte. E riktad graf ka ekelt beskrivas som ett ordat par [V, E] (V som vertex, E som edge ) där V är e mägd (valigtvis ädlig och ite tom) och E V V, dvs. E är e relatio i V. E icke riktad graf ka beskrivas som ett ordat par [V, E] där V är e mägd (ige valigtvis ädlig och ite tom) och E { {a, b} : a V, b V }. E icke riktad graf ka förstås (?) också beskrivas som e riktad graf där relatioe E är symmetrisk, dvs. [a, b] E [b, a] E. Observera att med igedera av dessa defiitioer ka ma ha flera bågar mella samma oder me og e båge frå e od till samma od. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober / 19

5 Olika slag av relatioer i e mägd X E relatio W i mägde X är reflexiv ifall [x, x] W för alla x X. symmetrisk ifall [x, y] W [y, x] W för alla x och y X. trasitiv ifall [x, y] W & [y, z] W [x, z] W för alla x, y och z X. e ekvivalesrelatio om W är reflexiv, symmetrisk och trasitiv. atisymmetrisk om [x, y] W & x y [y, x] / W för alla x och y X. e partiell ordig om de är reflexiv, atisymmetrisk och trasitiv. asymmetrisk om [x, y] W [y, x] / W för alla x och y X. total om [x, y] w [y, x] W för alla x och y X. Ofta skrivar ma xwy istället för [x, y] W, tex. x < y (istället för [x, y] <). G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober / 19 Fuktioer Om X och Y är mägder så är e fuktio f : X Y e relatio mella X och Y dvs. e delmägd i X Y så att för varje x X fis det ett y Y så att [x, y] f. om [x, y 1 ] f och [x, y 2 ] f så är y 1 = y 2. Valigtvis skriver ma relatioe så att [x, y] f om och edast om y = f (x), äve om y = xf eller y = x.f kude vara bättre om ma läser frå väster till höger. Med adra ord, e fuktio f frå X till Y är e regel som för varje x X ger som svar ett etydigt elemet y = f (x) i Y. Mägde { f : f är e fuktio frå X till Y } beteckas ofta med Y X. Ijektioer, surjektioer och bijektioer E fuktio f : X Y är e ijektio om f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 för alla x 1, x 2 X. surjektio om det för varje y Y fis ett x X så att f (x) = y. bijektio om de är e ijektio och e surjektio. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2 oktober I / 19

6 Sammasatta och iversa fuktioer Om f : X Y och g : Y Z är två fuktioer så är h = g f : X Z fuktioe h(x) = g(f (x)). Om f : X Y, g : Y Z och h : Z W är fuktioer så är (h g) f = h (g f ) så att dea fuktio ka skrivas som h g f. Om f : X Y är e fuktio så att det fis e fuktio g : Y X så att (g f )(x) = x och (f g)(y) = y för alla x X och y Y så är f iverterbar, g är dess ivers och ma skriver ofta g = f 1. E fuktio f : X Y är iverterbar om och edast om de är e bijektio. Om f : X Y är iverterbar så är (f 1 ) 1 = f. Observera att f 1 ite är samma sak som fuktioe h(x) = f (x) 1 som förutsätter att ma i Y ka räka iverser, vilket är fallet i R \ {0} me ite i Z. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2 oktober I / 19 Ordo eller Stora O: f O(g) Om g är e fuktio som är defiierad för alla tillräckligt stora heltal så betyder f O(g) att f också är defiierad för alla tillräckligt stora heltal och att det fis e kostat C och ett heltal 0 så att f () C g(), 0, Avädige av dea beteckig betyder också att ma ite är speciellt itresserad av, eller ite exakt vet, vad C och 0 är. Ofta skriver ma f () = O(g()) istället för f O(g), me om ma då istället för O() + O( 2 ) O( 2 ) skriver O() + O( 2 ) = O( 2 ) så måste ma ise att ma ite ka förkorta bort O( 2 )! Det är iget speciellt med att fuktioera här atas vara defiierade bara för (edel) heltal och att ma ser vad som häder då. Tex. gäller också x 4 x 3 x 3 +x 2 O(x) då x 0. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2 oktober I / 19

7 Atalet elemet i e mägd Två mägder A och B har samma atal elemet (eller kardialiteter) A och B om det fis e bijektio A B. Mägde A har färre ä eller lika måga elemet som mägde B, dvs., A B, om det fis e ijektio A B. Mägde A har färre elemet ä mägde B, dvs., A < B, om det fis e ijektio A B me ige bijektio A B. Ifall A = {0, 1, 2,..., 1} så är A =. E mägd A sägs vara ädlig om det fis e bijektio A {0, 1, 2,..., 1} för ågot heltal 0, dvs., om A =. Obs! För att dessa defiitioer skall vara föruftiga måste ma visa att det fis e bijektio {0, 1, 2,..., 1} {0, 1, 2,..., m 1} om och edast om m = och att ifall det fis ijektioer A B och B A så fis det e bijektio A B. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2 oktober I / 19 Summerigsregel, ekel form Om A och B är två (ädliga) mägder så att A B = så är A B = A + B. Av detta följer att om B A så är A \ B = A B. Produktregel, ekel form Om A och B är två (ädliga) mägder så är A B = A B. Lådpricipe: Ekel me yttig! Ifall m 1 föremål placeras i 1 lådor så måste e låda iehålla mist m föremål! Varför? Om det största atalet föremål som fis i ågo av lådora är k så är k m så att k m och eftersom m defiieras som det mista heltal som är m så måste vi ha k m. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2 oktober I / 19

8 Summerigs eller iklusios-exklusiospricipe Om A och B är två (ädliga) mägder så är A B = A + B A B, och mera allmät (förutsatt att alla mägder A j eda är ädliga) Ifall k A j = j=1 k ( 1) r+1 r=1 E allmä form av produktregel 1 j 1 <j 2 <...<j r k r. A ji C = { (x 1, x 2,..., x k ) : x 1 A 1, x 2 A 2,x1,..., x k A k,x1,...,x k 1 }, där A 1 = 1, for varje x 1 A 1 gäller A 2,x1 = 2 och så vidare så att för alla x 1 A 1, x 2 A 2,x1,..., x k 1 A k 1,x1,...,x k 2 gäller A j,x1,x 2,...,x j 1 = j, 1 j k, så är C = k. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2 oktober I / 19 i=1 Välj r föremål ur e mägd med föremål eller elemet Det fis (åtmistoe) två sätt skilja på olika situatioer: Ordat val: Det har betydelse vid vilket val föremålet väljs Ite ordat val: Det har ite ågo betydelse vid vilket val föremålet väljs. Ige upprepig: ett föremål ka väljas bara e gåg Upprepig möjlig: samma föremål ka väljas måga gåger. Atalet olika sätt på vilket detta ka göras blir därför: Ige upprepig Upprepig möjlig Ordat ( 1). (.. ) ( r + 1) ( r ) + r 1 Ite ordat r r ( ) m m! Här är = j j! (m j)!. Upprepig ka både tolkas så att ma väljer ett föremål, oterar vilket det är, och sätter tillbaka det, och så att elemete i mägde är de olika slag av föremål som ma ka välja. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2 oktober I / 19

9 Plocka bollar ur e låda eller sätta bollar i e låda? Ett aat sätt att se på situatioe där ma väljer r föremål ur e mägd med föremål (med ett ordat eller ite ordat val, med upprepigar eller uta) är att täka på föremåle i mägde, ite som bollar i e låda, uta som lådor i vilka ma väljer att placera ett föremål, tex. e boll, som i det ordade fallet ka vara umrerade eller på aat sätt idetifierbara och i det ite ordade fallet idetiska. Ett val uta upprepigar iebär då att i varje låda ka sättas högst e boll och ett val med upprepigar att flera bollar ka sättas i samma låda. I ett ordat val är det alltså ite ordige som är det viktiga, det avgörade att vale är olika på ågot aat sätt ä blad vilka föremål det görs, dvs. bollara som sätts i lådor är ite idetiska. Om ma seda på ågo sätt ordar de valda föremåle eller lådora i det ite ordade fallet har ige betydelse. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2 oktober I / 19 Atalet fuktioer A B Atag A = m och B =. Atalet fuktioer: A B is är m (och därför är det föruftigt att betecka mägde av fuktioer A B med B A ). Observera att e fuktio är ett ordat val med upprepigar av m elemet ur e mägd med elemet. Atalet ijektioer A B är ( 1)... ( m + 1) =! ( m)! m. Varför? Orda elemete i A och gör seda ett ordat val uta upprepigar av m elemet ur mägde B (som har elemet) så att de blir värdea av fuktioe. ( ) Atalet surjektioer A B är ( 1) r r m. r r=0 Varför? Atalet surjektioer är atalet fuktioer mius atalet fuktioer till e strikt delmägd av B och detta seare atal ka ma räka med hjälp av iklusios-exklusiospricipe vilket efter diverse räkigar ger formel ova. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2 oktober I / 19

10 Multiomialtal ( ) = 1, 2,..., k! 1! 2!... k! = k. Om ma har valt föremål med upprepigar frå e mägd med k elemet så att ma har tagit 1 av typ y 1, 2 av typ y 2 och så vidare, då är ( ) 1, 2,..., k atalet sätt på vilka dessa föremål ka ordas så att föremål av samma typ ite ka skiljas åt. Om A är e mägd med elemet och B = {y 1,..., y k } är e mägd med k elemet och 1, 2,..., k är icke-egativa tal så att k = så då är ( ) 1, 2,..., k atalet fuktioer f : A B så att { x A : f (x) = y j } = j. Om 0 och k 1 så är (x x k ) = k = j 0 ( 1, 2,..., k ) x x k k. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2 oktober I / 19