ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist

Transkript

1 Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist

2 Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa är skillade mella varje par av på varadra följade termer kostat. Exempel Summa är aritmetisk, med differes fyra

3 Summatecke I hadskakigsexemplet fick vi beräka summa Vi iför skrivsättet för dea summa. Mer allmät låter vi a k = a 1 + a a 1 + a. Vi kallar k ova för summatiosidex. Varje aritmetisk summa ka alltså skrivas (a 0 + kd) = a 0 + (a 0 + d) + (a 0 + 2d) + + (a 0 + d). k=0 k

4 Beräkig av aritmetisk summa Sats 4.1 Det gäller att k = ( 1) + = ( + 1). 2 Exempel Atalet hadskakigar i exemplet ova är alltså = Vi kommer sart ge ett ytt sätt att tackla samma problem.

5 Summerig är lijär Det räcker att lära sig formel ova (eller kua ta fram de!), ty summerig är lijär: (a k + b k ) = c a k = c a k + a k. b k, Exempel (a 0 + kd) = k=0 k=0 a 0 + d k = ( + 1)a 0 + d ( + 1). 2

6 Kom-i-håg för aritmetisk summa Kom-i-håg E aritmetisk summa ges som atalet termer multiplicerat med medelvärdet av de första och sista terme. Bevis Det följer direkt ur räkige: ( + 1) ( + 1)a 0 + d 2 = ( + 1)( a 0 + (a 0 + d) ). 2

7 Geometrisk summa Exempel Om ma på ett schackbrädes rutor lägger riskor så att ma på de första ruta placerar ett riskor och därefter dubblar atalet för varje ruta, det vill säga på de adra ruta lägger 2, på de tredje 4, på de fjärde 8 etcetera, hur måga riskor kommer då att ligga på schackbrädet är det lagts ut riskor på samtliga 64 rutor? Defiitio I e geometrisk summa är kvote mella varje par av på varadra följade termer kostat. Exempel Summa är geometrisk, med kvot tre.

8 Beräkig av geometrisk summa Sats 4.2 k=0 Det gäller att x k = 1 + x + x x = { { x +1 1 x 1, x 1, + 1, x = 1. Exempel Med x = 2 och = 63 som i fallet med schackbrädet gäller alltså 63 k=0 2 k = = =

9 Måga riskor blir det! Vi fa alltså att det skulle bli = riskor totalt. Det är måga riskor! Om vi täker oss att varje riskor är 1 cm lågt och att jordes omkrets är km så iebär det att om vi lägger dem på rad så år de drygt 4.6 miljarder varv rut jorde!

10 Kom-i-håg för geometrisk summa Kom-i-håg a 0 + a 0 x + a 0 x 2 + a 0 x = a 0 x +1 1 x 1 = första terme kvoteatal termer 1. kvote 1 Exempel Här är första terme 2, kvote 3 och atalet termer 5: = = 242.

11 ! (-fakultet) Exempel Atag att det här ie fis 150 studeter och 150 sittplatser. På hur måga sätt ka i placera er? Defiitio Vi defiierar! (utläses -fakultet) som:! = ( 1) 2 1, 0! = 1. Exempel (forts.) Svaret på fråga ova blir alltså 150! Det tal ka jämföras med atalet atomer i uiversum som uppskattas till storleksordige

12 Urval av studeter Exempel Atag u att vi på grud av besparigar måste byta klassrum till ett med edast 10 platser, där platsera ka ragordas efter hur bra ma ser ifrå dem. På hur måga sätt ka det urvalet av studeter göras? 150! 140! = Exempel Atag u slutlige att vi får tillgåg till ett klassrum för 10 persoer, me där alla platser är likvärdiga. På hur måga sätt ka vi välja 10 persoer blad 150, om ordige ite spelar ågo roll? 150! 140!10! =

13 Biomialkoefficiet Defiitio Vi defiierar biomialkoefficiete ( k ) över k, som ( k ) =! ( k)!k!. Tolkig Tolkas som atalet sätt att välja k elemet ur e mägd med elemet, uta häsy till ordig. Exempel (ige!) I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? ( ) = 100! 2!98! = =

14 Biomialsatse Sats 4.3 För varje 0 gäller (a + b) = k=0 ( k )a k b k = ( 0 )a + ( 1 )a 1 b + + ( 1 )ab 1 + ( )b. OBS Det gäller att ( 0 ) = ( ) = 1. Det gäller allmät att ( k ) = ( k ).

15 Ett exempel Exempel 4.7 Bestäm koefficiete framför x 8 i utvecklige av (2x 2 3) 7. Lösig Biomialsatse ger (2x 2 3) 7 = 7 k=0 ( 7 k )(2x2 ) 7 k ( 3) k = 7 k=0 ( 7 k )27 k ( 3) k x 14 2k. Koefficiete framför x 8 fier vi geom att udersöka de term för vilke 14 2k = 8. Det ger k = 3. För k = 3 har vi koefficiet ( 7 3 )27 3 ( 3) 3 = 7! 4!3! = Som paretes ka ämas att utvecklig av (2x 2 3) 7 ger (2x 2 3) 7 = 128x x x x x x x , vilket stämmer fit med vårt svar.

16 Pascals triagel ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 (1) 1 ( 2 ) 0 (2) 1 (2) 2 ( 3 ) 0 (3) 1 (3) 2 (3) 3 ( 4 ) 0 (4) 1 (4) 2 (4) 3 (4) 4 ( 5 ) 0 (5) 1 (5) 2 (5) 3 (5) 4 (5)

17