Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n

Transkript

1 Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A) Lite mägdlära Lite mägdlära, forts. Låt e 1, e, osv. betecka elemet Låt A, B betecka mägder av elemet Klamrar brukar avädas { } Ex. A = {1,} Om e i tillhör A skriver vi e i A Ex. 1 {1,} Om A är e delmägd av B skriver vi A B Ex. A = {1,} B = {1,,3,4,5,6} Strikt delmägd beteckas Delmägd beteckas Atag att Ω = {1,,3,4,5,6} och att A = {1,}, B = {,3,4} och C = {3} Komplemetet till e mägd är allt som ite igår i mägde och beteckas med Ā eller A Ex. Ā = {3,4,5,6} Uioe av mägder beteckas med Ex. A B = {1,,3,4} Sittet av mägder beteckas med Ex. A B = {} 1

2 Lite mägdlära, forts. Övig Tomma mägde är delmägde till Ω som ite iehåller ågra elemet alls. Beteckas med. Två mägder är disjukta (oföreliga) om sittet är tomt Ex. A = {1,} och C = {3} A B = Ett kort dras slumpmässigt ur e kortlek beståede av de valiga 5 korte. Deiiera hädelsera A = rött kort, B = kug C = spader (a) Vilka par av A, B och C är disjukta? (b) Tolka följade hädelser och rita Vediagram: i. Ā ii. A B iii. A C iv. A B v. A C vi. (A C) E axiomatisk teori E axiomatisk teori, forts. Kolmogorovs axiom: E saolikhet är e fuktio P som tilldelar varje möjlig hädelse A i ett utfallsrum Ω ett tal P (A), så att följade villkor är uppfyllda: A) 0 Ω) = 1 Om A 1, A,..., A k, är parvis disjukta hädelser i S, då är A 1 A... A k ) = A 1 ) + A ) A k ) Samtliga tre sysätt (defiitioer) på vad e saolikhet egetlige är, är föreliga med Kolmogorovs axiom. Kom ihåg att vi har e formell defiitio på vad e saolikhet är också Massor av ya påståede ka u härledas ur dessa tre axiom dvs. bevisas vara saa iom det geerella formella systemet

3 E axiomatisk teori, forts. F4 Matematikrep Ā) = 1 - A) ) = 0 Om A B så gäller A) A) Ω) = 1 A = A) + A Summatecket Potesräkig Logaritmer Kombiatorik Summatecke Summatecke, forts. Säg att vi har stycke tal x 1,, x Summa av dessa tal (alltså x x ) skrivs kortfattat med hjälp av summa-tecke: x i i1 summa x i då i går fr.o.m. 1 t.o.m. Vad betyder följade? i1 x i i1 x i i1 i1 i1 i1 c cx i ( x i y i ) x i y i 3

4 Summatecke, forts. Summatecke, forts. Ex. Atag att x 1 = 3, x = -, x 3 = 5, x 4 = 3 Beräka: 4 i1 x ; Medelvärde: Varias: i k1 x ; k j1 x j ; i1 1; i0 3x i x1 x... x xi x 1 i 1 i1 x x s i Övig: Utveckla (dvs. lista termera) i1 k jx i k jx i k 1 k jx i j1 Stadardavvikelse: s s a b = a a a a b ac = a (b+c) (a b ) c = a (bc) a b = 1 / a b a 0 = 1 Potesräkig b ggr E komboövig Beräka följade för = 0, 1,, 3 k 0 Svar: = 0; 0 = 1 = 1; = 1 + = 3 = ; = = 7 = 3; = 15 k a 1/b = b a k0 k 1 1 4

5 Logaritmer Atag att vi har följade: Vi vet a och c och söker b b = log a c a b = c Ex. 10 x = x = log = log10000 = lg10000 = 4 Obs! a,b > 0 och a 1 Det tal som vi upphöjer a till för att få c Några olika beteckigar för 10-logaritm Ex. e x = 80 x = l80 = 4, Naturliga logaritm Logaritmer, forts. e = base för de aturliga logaritme =, Räkeregler: l(x y) = lx + ly l(x/y) = lx ly l x k = k lx l 1 = 0 l e = 1 Obs! x, y > 0 e lx = x l(e x ) = x Logaritmer, forts. Logaritmer, forts. Ex. Bevisa första räkeregel: Vi defiierar a, b och c 1. e a = x a = l x. e b = y b = l y 3. e c = (x y) c = l(x y) el. defiitioe av logaritmfuktioe. Vi har alltså x y = e a e b = e a+b Eligt regel för poteser l(x y) = a + b = l x + l y Övigar: l 1 = l 3 + l 4 l 0,5 = l(1/4) = l1 l4 = l4 l 64 = l 6 = 6 l l(3/9) = l3 l9 = l 5 l3 = 5l l3 Eligt defiitioe för logaritmfuktioe Eligt defiitioe ova 5

6 Kombiatorik Att räka ut hur måga sätt ågot ka göras. Ex. Matsedel med tre förrätter, fyra huvudrätter och två efterrätter. På hur måga olika sätt ka e trerätters måltid kompoeras? Svar: Illustratio: Träddiagram Multiplikatiospricipe Ett experimet har m 1 möjliga utfall Ett aat efterföljade experimet har m möjliga utfall Vi gör först det ea seda det adra experimetet Totalt fis det m 1 m möjliga utfall. Exempel Påse med umrerade kulor 1,, Vi drar e kula slumpmässigt och oterar dess ummer Hur måga möjliga utfall? Exempel, forts Samma påse med kulor 1,, Vi har de totala hädelse (kula 1 s ummer, kula s ummer) Hur måga möjliga utfall? Vi drar e kula till slumpmässigt och oterar dess ummer Hur måga möjliga utfall? Uta återläggig: Med återläggig: 6

7 Exempel, forts Spelar ordige ågo roll? Dvs. skiljer vi t.ex. på (1,3) och (3,1) eller betraktar vi det som samma sak? Två fall som uppstår: Ordige spelar roll Ordige spelar ige roll Permutatioer Ett arragemag av olika objekt i e bestämd ordig kallas för e permutatio av objekte. Hur måga olika permutatioer ka ma bilda av olika objekt? Atalet olika permutatioer av olika objekt är:! = 1 3 (-1) -fakultet; (eg. factorial) Permutatioer Ex. På hur måga olika sätt ka vi permutera de tre objekte A, B, C? Svar: 3! = 1 3 = 6 olika sätt, ämlige ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. OBS! Vi defiierar 0! = 1 Dragig uta återläggig Vi drar e kula slumpmässigt och oterar dess ummer och lägger ite tillbaks de iför ästa dragig Vi ka bara få ett ummer e gåg Dragig med återläggig Vi drar e kula slumpmässigt och oterar dess ummer och lägger tillbaks de iför ästa dragig Vi ka dra samma ummer flera gåger i e sekves av dragigar 7

8 På hur måga sätt ka vi välja ut k objekt frå objekt (k ), ifall vi bryr oss om ordige? Och uta återläggig? Svar:! (- k)! Ex. = 5, k = 5! (5-)! Kombiatioer På hur måga sätt ka vi välja ut k objekt frå objekt (k ), ifall vi ite bryr oss om ordige? Uta återläggig? Svar:! k! (- k)! över k, biomialkoefficiet Obs! Vi defiierar k - k F5 Saolikheter Framförallt Nyquist Kap 5 Me först lite repetitio och lite mer kombiatorik Multiplikatiospricipe Ett experimet har m 1 möjliga utfall Ett aat efterföljade experimet har m möjliga utfall Vi gör först det ea seda det adra experimetet Totalt fis det m 1 m möjliga utfall. 8

9 Dragig uta återläggig Vi drar e kula slumpmässigt och oterar dess ummer och lägger ite tillbaks de iför ästa dragig Vi ka bara få ett ummer e gåg Dragig med återläggig Vi drar e kula slumpmässigt och oterar dess ummer och lägger tillbaks de iför ästa dragig Vi ka dra samma ummer flera gåger i e sekves av dragigar Ordad Vi drar ett atal kulor slumpmässigt och oterar deras ummer Ordige spelar roll, dvs. vi skiljer t.ex. på (1,,5), (1,5,), (,1,5), (,5,1), (5,1,) och (5,,1) Ej ordad Vi drar ett atal kulor slumpmässigt och oterar deras ummer Ordige spelar ige roll, utfalle ova betraktas som samma utfall Om vi har dragit k olika ummer av möjliga, hur måga sätt ka de ordas på? Permutatioer Ett arragemag av k olika objekt i e bestämd ordig kallas för e permutatio av objekte. Hur måga olika permutatioer ka ma bilda av k olika objekt? Atalet olika permutatioer av k olika objekt är: Ordat med återläggig Dra k stycke ur möjliga. 1:a kula möjligheter, :a kula möjligheter, osv. Multiplikatiospricipe ger... k k! = k (k-1) 3 1 k-fakultet; (eg. k factorial) 9

10 Ordat uta återläggig Dra k stycke ur möjliga. 1:a kula möjligheter, :a kula (-1) möjligheter, osv. Multiplikatiospricipe ger ( 1)... ( k ) ( k 1) k stycke faktorer... ( k 1) ( k)... 1 ( k)... 1! ( - k)! Atag att vi har = 5 objekt A, B, C, D, E och att vi slumpmässigt väljer k = 3. Vi ka få!/(-k)! = 5! / (5-3)! = 60 olika utfall om vi tar häsy till ordige. Av alla dessa 60 utfall, hur måga iehåller objekte A, B och C? Svar: Vi ka lista dem: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA; 6 utfall Eller ise att de k objekte ka ordas på k! = 3! = 6 sätt Ej ordat uta återläggig Dra k stycke ur möjliga. 1:a kula möjligheter, :a kula (-1) möjligheter, osv. Ger! ( - k)! Justera seda för att ordige ite spelar roll geom att dela med atal möjliga permutatioer av k objekt! k!( - k)! k Kombiatioer Välja ut k objekt frå objekt där k, och struta i ordige! k! (- k)! k - k över k, biomialkoefficiet Pascals triagel k:te koeffeiciete i (a+b) 10

11 Kombiatioer Sammafattig Några särskilda resultat:!! 1 0!( - )!!0! 0 0 0! 0!0! Med återläggig Uta återläggig Ordad! (- k)! Ej ordad k -1 ( k -1)! k k k!( 1)!! k k!( k)! Ex. På hur måga sätt ka ma dra fem kort ur e valig kortlek? 5 5 5! 5!47! Itressat sambad? 1 1 e k0 k! 0! 1 1! 1! 1 3! ! Exempel Saolikheter Hur måga olika urval ka vi dra frå Sveriges befolkig ( = ca 9 miljoer) av storlek k = 1000? Uta återl. Med återl. Uta återl. Med återl. Ej ordad siffror till siffror till Ordad ! ! 6950 siffror till siffror till Att beräka saolikheter Hädelser; A, B, C osv. Saolikhete för att A ska iträffa; A) Alla hädelser; 0 A) 1 Omöjlig hädelse; ) = 0 Säker hädelse; Ω) = 1 A och/eller B (uio); A A och B (sitt); A Ite A (komplemet); Ā) = 1 - A) 11

12 Additiossatse Saolikhete att A eller B eller både A och B iträffar. A = A) + A Exempel Dra ett kort ur e kortlek och låt A = Hjärter, B = Klätt, C = Spader Kug A) = 13/5 = 1/4 = 1/5 = 3/13 C) = 1/5 Specialfall om A och B disjukta dvs. A B = vilket ger A = A) + A = A) + ) = A) + Jmfr med Kolmogorovs axiom A = Klätt hjärter ) = 3/5 A = Hjärter och/eller Klätt ) = A) + A = 1/4 + 3/13 3/5 = (13+1-3)/5 = /5 = 11/6 A C) = hj och/eller spk ) = A) + A = (13+1)/5 Addera mera Betigade saolikheter Tre hädelser A, B och C A B C) = A) + + A A C) B C) + A B C) Rita ett Vediagram! Övig: A = Hjärter, B = Klätt, C = jämt (dam = 1, ess = 1). Beräka varje term i additiossatse ova! Saolikhete att A iträffar givet att B iträffar eller har iträffat. Exempel: Saolikhete att det blev 6 givet att det blev jämt? Saolikhete att det blev 6 givet att det blev udda? Saolikhete att det blev 6 givet att det ite blev 5? Vad är det som häder med utfallsrummet? 1

13 Betigig Betigig Geom att hädelse B har iträffat så ka vi säga att utfallsrummet Ω har påverkats. B har ite hät, dvs. vi ka stryka bort de dele av Ω. Saolikhete för A beräkas geom att titta på de del av A som sammafaller med B dvs. sittet och jämföra med B Dvs. istället för att titta på stlk(a) / stlk(ω) = A) tittar vi på stlk(a / stlk( = A A utläses saolikhete för A givet B och beräkas eligt (Klassiska tolkige) A A Betigig, forts. Vi ka äve uttrycka det som A = A Vi ka äve väda på betigige och se på saolikhete att B har iträffat givet A: eller A B A) A) A = B A) A) och därmed att A = B A) A) Exempel Iblad är faktiskt de betigade saolikhetera käda sarare ä sittet. T.ex. Ma har två modeller av e produkt i lager, 30 % av e gammal modell M 1 och 70 % av e yare M. Av M 1 brukar 8 % vara behäftade med fel (hädelse F) av de M brukar 3 % vara fel. Om ma tar e ehet på måfå ur lagret, vad är saolikhete att a) det är fel på de? b) det är M 1 givet att det är fel på de? 13

14 a) F) Exempel, forts. = F M 1 ) + F M ) = F M 1 ) M 1 ) + F M ) M ) = 0,08 0,3 + 0,03 0,7 = 0,045 dvs. 4,5 % Obs! M 1 = M Oberoede: Exempel Slumpmässigt urval av = ur e grupp av N = 10 objekt. Vi drar först e (experimet 1) och seda e till (experimet ) b) M 1 F) = F M 1 ) M 1 ) / F) = 0,08 0,7 / 0,045 = 0,53333 dvs. ca 53 % Är experimete oberoede? om det sker med återläggig om det sker uta återläggig Är detta vettiga svar? Oberoede: Exempel 1 Oberoede: Exempel 3 Vi fågar e fisk i e sjö. Vi oterar kö, mäter vikt och lägd, bedömer evetuella skador etc. Vi kastar seda tillbaks de. Vi upprepar detta k gåger. Är fågstera oberoede? Hur ka våra mätresultat och observatioer evetuellt påverkas om det fis ett beroede? Ex) Du är i Stockholm och e kompis i Las Vegas och i kastar samtidigt varsi rättvis tärig. Vi vet (atar) att X du = 6) = X kompis = 6) = 1/6 Vad är saolikhete att i båda får e sexa? Dvs. X du = 6 X kompis = 6) Vad är saolikhete att di kompis fick e sexa givet att du fick det? Dvs. X kompis = 6 X du = 6 ) 14

15 Oberoede Oberoede Två hädelser / experimet är oberoede om A = A) Och omvät om ma ka visa att de är oberoede så är A = A). Om A och B är oberoede så ises att följade gäller: A = A) Hur ser vi det sista? Jo, A A) A A) Om A och B är oberoede, så är de äve oberoede av varadras komplemet och komplemete är också oberoede av varadra. Dvs. varje par ( A, ; ( A, ; ( A, ; ( A, är också oberoede F6 Nyquist kap 6 Additiossatse Vad är e stokastisk variabel Diskreta och kotiuerliga sv Frekvesfuktio (diskr.) Täthetsfuktio (kot.) Fördeligsfuktio Me först lite repetitio Additiossatse Betigade saolikheter Oberoede Saolikhete att A eller B eller både A och B iträffar. A = A) + A Specialfall om A och B disjukta dvs. A B = vilket ger A = A) + A = A) + ) = A) + Jmfr med Kolmogorovs axiom 15

16 Exempel Betigig Vi vet vad A är, beräka A A) - A Additiossatse [1- A)] [1 ]-[1- A] Saolikheter för komplemet 1- A) 1-1 A 1- A) A) - A 1- A A Kräver lite takearbete Dvs. istället för att titta på stlk(a) / stlk(ω) = A) tittar vi på stlk(a / stlk( = A A utläses saolikhete för A givet B och beräkas eligt A A (Klassiska tolkige) Betigig, forts. Oberoede Vi ka äve uttrycka det som A = A Vi ka äve väda på betigige och se på saolikhete att B har iträffat givet A: eller A B A) A) A = B A) A) och därmed att A = B A) A) Två hädelser / experimet är oberoede om A = A) Och omvät, om de är oberoede gäller att A = A). Om A och B är oberoede så ises att följade gäller: A = A) 16

17 Exempel Övig Atag att vi har följade saolikheter: A) = 0,8; = 0,; A = 0,16 a) Beräka de betigade saolikhete för A givet B A 0,16 A 0,8 0, b) Är A och B oberoede? a) Beräka Ā Atag att vi har följade saolikheter: a) Beräka A E 1 ) b) Beräka A E 3 ) c) Är A och E 3 oberoede? d) Beräka E 1 Ā) e) Är E 1 och Ā oberoede? f) Beräka A) g) Beräka E 3 ) E 1 E E 3 A 0,1 0,48 0,19 Ā 0,07 0,06 0,08 Övig, forts. Stokastiska variabler 1 a) A E 1 ) = [avläst frå tabelle] = 0,1 b) A E 3 ) = A E 3 ) / E 3 ) = A E 3 ) / [A E 3 ) + Ā E 3 ) ] = 0,19 / (0,19 + 0,08) 0,704 c) A) = [A E 1 ) + A E ) + A E 3 )] = 0,1 + 0,48 + 0,19 = 0,79 0,704 (frå b) A och E 3 är beroede. d) E 1 Ā) = Ā E 1 ) / Ā) = Ā E 1 ) / [Ā E 1 )+Ā E 3 )+Ā E )] = 0,07 / (0,07 + 0,06 + 0,08) 0,333 e) E 1 ) = [aalogt med c] = 0,19 0,333 f) A) = [frå c] = 0,79 g) E 3 ) = [frå b] = 0,7 Utfall av ett experimet och som resulterar i e siffra hur mycket, hur läge osv. Variabler: ågot som varierar, typiskt ett tal Stokastiska variabler: ågot som varierar slumpmässigt Kallas äve slumpvariabel (s.v.) Beteckas typiskt med stor bokstav: X, Y, Z osv. 17

18 Stokastiska variabler Stokastiska variabler 3 Ett utfall eller hädelse beskrivs med de valda bokstave, t.ex. X =, X = 10, X = -0,5 X 3, X > 40, X 0,4 eller allmät X = x, X x, osv. X = x och likade beteckar alltså e hädelse/utfall. Seda vill vi veta X = x) för olika x Saolikhetsmodell Ett utfallsrum Ω Saolikheter A) för alla hädelser A Ω På motsvarade sätt ka vi formulera e modell är vi har e stokastisk variabel Utfallsrum Ω: x =.. Saolikheter A): X = x), X x), osv. Alla tillåta tal för x Exempel Exempel, forts. Vi kastar e tärig tre gåger och oterar hur måga ettor vi får. Betecka med A i att det blev e etta i kast r i = 1,, 3. Är kaste oberoede? Möjliga utfall (Ω): Ā 1, Ā, Ā 3 Ā 1, A, A 3 Ā 1, Ā, A 3 A 1, Ā, A 3 Ā 1, A, Ā 3 A 1, A, Ā 3 A 1, Ā, Ā 3 A 1, A, A 3 Möjliga utfall som de stokastiska variabel X ka ata: Ω x = {0,1,,3} el. x = 0,1,,3 Saolikhetera för alla A Ω x beräkas geom att summera alla utfall för de utfall som leder till A. a) Vad är saolikhete för X = 0? b) För X >? = X=3) c) För X? d) För X = 4? 18

19 Exempel, forts. Diskreta mägder a) X = 0) = Ā 1 Ā Ā 3 ) = = [ty oberoede] = = Ā 1 ) Ā ) Ā 3 ) = (5/6) 3 = = 15/16 0,579 b) X = 3) = A 1 A A 3 ) = = [ty oberoede] = = A 1 ) A ) A 3 ) = (1/6) 3 = = 1/16 0,00463 c) X ) = X=) + X=3) = 16/16 d) X = 4) = 0, ty 4 Ω x Diskreta mägder ka ses som e lista av värde. Består av estaka värde, oftast heltal. T.ex. {0, 1,, 3} {0, ±1, ±, ±3} {1, 1,, 3, 5} Äve oädliga diskreta mägder ka förekomma. T.ex. {0, 1,, 3, } {0, ±1, ±, ±3, } {1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, } Kotiuerliga mägder Frekvesfuktioe 1 Kotiuerliga mägder ka typiskt beskrivas med itervall. Består av samtliga värde iom ett väldefiierat område. [0,1] (0,5) (10,15) Sluta itervall [..., ] ikluderar ädpuktera Öppa itervall (, ) exkluderar ädpuktera Om Ω x för e s.v. X är diskret, kallas X e diskret s.v. Frekvesfuktioe för e diskret s.v. defiieras som saolikhete att X blir x och beteckas ofta med f(x) f(x) = X = x) (1,] Itervallgräsera ka vara oädliga (då ages gräse som öppet). T.ex. [0, ), (-, ) Exempel: Ω x = {0,1} och 0,6 f( x) 0 x (0,4) 1x x 0,1 aars 19

20 Frekvesfuktioe Exempel Frekvesfuktioe tillsammas med e tydlig beskrivig av utfallsrummet sammafattar allt vi behöver veta om X. Frekvesfuktioe kallas äve saolikhetsfuktioe ty de ger oss just saolikhetera för samtliga x som ligger i Ω x Eg. frequecy or probability mass fuctio. Atag följade frekvesfuktio: x f(x) F(x) 0 0,5787 0, ,347 0,959 0, , , Rita f(x) i ett lämpligt diagram! Vad är F(x) för ågot? Frekvesfuktioe illustreras ofta i stolpdiagram där höjde på varje stolpe är lika med saolikhete för motsvarade värde på x. Om vi summerar f(x) för alla värde på x Ω x, vad blir summa? Täthetsfuktioe 1 Täthetsfuktioe Om Ω x för e s.v. X är kotiuerlig, kallas X e kotiuerlig s.v. Täthetsfuktioe för e kotiuerlig s.v. defiieras ite som saolikhete att X blir x. Beteckas också ofta med f(x). Täthetsfuktioe är e beskrivig av hur saolikt det är att X hamar i ett delitervall till Ω x För att beräka e saolikhet att X ska ligga i itervallet mella säg a och b, beräkas area uder f(x) och över x- axel och mella a och b. Detta ka skrivas som e itegral: a X b) = Vi ka läma ea sida odefiierad också och skriver b a f ( x) dx (Se Figur 6., sid 7 Kap 6 i Nyquist) X c) = c f ( x) dx Notera gräse. Vad betyder det? 0

21 Täthetsfuktioe 3 Fördeligsfuktioe Vi defiierar e täthetsfuktio för e kotiuerlig s.v. i stil med ågofuktio x Ωx f( x) 0 aars Det fis vissa krav på hur fuktioe får se ut: f(x) ska vara kotiuerlig (betyder?) f(x) > 0 för alla x Ω x och = 0 aars Area uder f(x) mella ± ska vara =? För både diskreta och kotiuerliga s.v. defiieras fördeligsfuktioe eligt F(x) = X x) Diskreta fallet: Kotiuerliga fallet: F ( x) f( k) k x F ( x) f( t) dt x 1