SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs
|
|
- Sven-Erik Hellström
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: Författare: Viktor Cheg
2 Iehållsförteckig Grudläggade saolikhetsteori... 4 Mägdlära... 4 De Morgas lagar... 4 Kolmogorovs axiom... 4 Regler... 5 Klassisk saolikhet... 5 Kombiatorik... 5 Betigad saolikhet... 6 Regler... 6 Lage om total saolikhet... 6 Bayes sats... 6 Oberoede hädelser... 6 Diskreta stokastiska variabler (slumpvariabler)... 7 Saolikhetsfuktio... 7 Fördeligsfuktio... 7 Vätevärde och varias... 8 Diskreta fördeligar... 8 Kotiuerliga stokastiska variabler (slumpvariabler)... 9 Täthetsfuktio... 9 Fördeligsfuktio... 9 Vätevärde och varias Kotiuerliga fördeligar Stadardiserad ormalfördelig Regler för ormalfördelig Diskreta tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y)...11 Simulta saolikhetsfuktio Fördeligsfuktio Margiella saolikhetsfuktioer Margiella fördeligsfuktioer Oberoede s.v Kotiuerliga tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y) Simulta täthetsfuktio Fördeligsfuktio Margiella täthetsfuktioer Margiella fördeligsfuktioer Oberoede s.v Sida 2 av 16
3 Tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y) Vätevärde Varias Kovarias Korrelatio Simultaa fördeligar av oberoede s.v. (Χ, Y) Betigade fördeligar Betigad saolikhetsfuktio för diskreta s.v Betigad täthetsfuktio för kotiuerliga s.v Betigat vätevärde Avädbara olikheter Summor av oberoede stokastiska variabler Egeskaper hos ormalfördelade stokastiska variabler Stora tales lag Cetrala gräsvärdessatse (CGS) Sida 3 av 16
4 Grudläggade saolikhetsteori Defiitio Beteckig Betydelse Exempel Utfall Resultatet av ett slumpmässigt försök kroa Hädelse A, B, C, Samlig av utfall A = "högst 1 kroa" Utfallsrum Ω Mägde av möjliga utfall Ω = kroa,klave Mägdlära Defiitio Beteckig Betydelse Övrigt Komplemet A A iträffar ite A = A Uio A B A eller B eller båda A A = Ω Sitt A B A och B A A = Disjuktio A B = A och B ka ite iträffa samtidigt Kallas också parvis oföreliga De Morgas lagar A B C = A B A C A B C = A B A C A 1 A 2 A 3 A = A 1 A 2 A 3 A A 1 A 2 A 3 A = A 1 A 2 A 3 A Kolmogorovs axiom 1. För varje hädelse A gäller att: o 0 P A 1 2. För hela utfallsrummet Ω gäller att: o P Ω = 1 3. Om A, B, är e ädlig eller uppräkeligt oädlig följd av disjukta hädelser gäller att: o P A B = P A + P B + Sida 4 av 16
5 Regler Beskrivig Beteckig Komplemetsatse P A = 1 P(A) Omöjliga hädelse P = 0 Additiossatse för två hädelser P A B = P A + P B P(A B) Additiossatse för två oberoede hädelser P A B = P A + P B Om A B (dvs A B) P A P B Booles olikhet P A B P A + P B Klassisk saolikhet Atag att det i Ω fis m st utfall, x 1,x 2,, x m ( m = möjliga utfall ) Om varje utfall frå ett försök har samma saolikhet, dvs P x i = 1 m, i = 1,, m o så föreligger ett likformigt saolikhetsmått. Atag därefter att hädelse A har g st utfall ( g = gysamma utfall ) Då är P A = g atal gysamma utfall = m atal möjliga utfall OBS: Täk på att g och m bör beräkas på samma sätt (med avseede på häsy till ordig ) Kombiatorik Multiplikatiospricipe Om åtgärd 1 ka utföras på a 1 olika sätt och åtgärd 2 ka utföras på a 2 olika sätt, osv. så fis det a 1 a 2 sätt att utföra båda åtgärder. Atal sätt att välja k st elemet ur st elemet: Dragig med återläggig Dragig uta återläggig Med häsy till ordig k 1 k + 1 =! Uta häsy till ordig + k 1 k! k! k! = k Sida 5 av 16
6 Betigad saolikhet P B A = P A B P(A), givet att P A > 0 Betydelse: P B A är de betigade saolikhete för B, givet att A har iträffat. Regler Beskrivig Komplemetsatse Additiossatse (för två hädelser B och C, givet A) P B A = 1 P(B A) Beteckig P B C A = P(B A) + P(C A) P B C A Lage om total saolikhet B 1,, B disjukta hädelser B 1 B = Ω, dvs i ett försök iträffar precis e av hädelsera Då gäller, för varje hädelse A, där A Ω: P A = P(B i ) P(A B i ) i=1 Bayes sats B 1,, B disjukta hädelser B 1 B = Ω, dvs i ett försök iträffar precis e av hädelsera Då gäller, för varje hädelse A, där A Ω: P B i A = P(A B i ) P(B i ) P(A) eller ekvivalet: P F i A = P(A B i ) P(B i ) P(B i ) P(A B i ) i=1 Oberoede hädelser Om P A B = P(A) P(B) så är A och B oberoede hädelser Betydelse: Om P B A = P(B), dvs saolikhete för B är desamma oavsett om A iträffar eller ej, så ka A och B ases vara oberoede. Då blir: P B A = P A B P(A) Krav för tre oberoede hädelser: P B = P A B P(A) P A B = P(A) P(B) P A B = P(A) P(B) P A C = P(A) P(C) P B C = P(B) P(C) P A B C = P(A) P(B) P(C) Sida 6 av 16
7 Diskreta stokastiska variabler (slumpvariabler) E diskret s.v. Χ Är e fuktio frå utfallsrummet Ω till R, dvs Χ: Ω R Atar edast ädligt eller uppräkeligt oädligt måga olika värde Returerar ett tal som bestäms av ett utfall Saolikhetsfuktio p Χ k = P(Χ = k) för alla möjliga värde k som Χ ka ata Betydelse: Saolikhetsfuktioe returerar saolikhete för utfallet k (dvs. saolikhete att Χ atar värdet k) Egeskaper: p Χ k 0 för alla k Χ Ω k Χ Ω p Χ k = 1 P Χ A = p Χ k k A Fördeligsfuktio F Χ x = P Χ x, x R Betydelse: Fördeligsfuktioe returerar saolikhete att få ett värde som är midre ä eller lika med x Egeskaper: F Χ x 0,då x 1,då x + F Χ x = p Χ k k Χ Ω : k x F Χ x är icke-avtagade P Χ > x = 1 F Χ x F Χ x är högerkotiuerlig F Χ k F Χ k 1 = p Χ k för alla k Χ Ω Sida 7 av 16
8 Vätevärde och varias Vätevärde (μ) Varias (σ 2 ) Defiitio E Χ = k p Χ k Tolkig k Χ Ω Medelvärdet med avseede på fördelige av Χ. Vad vi ka förväta oss att Χ blir på ett ugefär. V Χ = k 2 p Χ k k Χ Ω E Χ 2 Hur saolikhetsmassa är kocetrerad krig vätevärdet. Hur utspritt det är. Regler E Χ 2 = k Χ Ω k 2 p Χ k E aχ + b = a E Χ + b E g(χ) = k Χ Ω g(k) p Χ k V Χ = E Χ 2 E Χ 2 V aχ + b = a 2 V X Stadardavvikelse D(X) = V X Diskreta fördeligar Fördelig Beteckig Situatio Saolikhetsfuktio Biomialfördelig Bi, p st oberoede försök där e hädelse A iträffar med saolikhet p. p Χ k = k pk 1 p k k = 0,1,, Hypergeometrisk fördelig Hyp N,, p Stor mägd med N st elemet av två typer, Np st av de ea och N(1 p) av de adra, välj ut st elemet och räka atalet som är av första type. p Χ k = Np k N 1 p k N k k = 0,1,, Np Poisso-fördelig Po λ Hädelser som iträffar slumpmässigt i tide med e viss itesitet λ > 0. p Χ k = λk k! e λ k = 0,1,, Sida 8 av 16
9 Kotiuerliga stokastiska variabler (slumpvariabler) E kotiuerlig s.v. Χ Är e fuktio frå utfallsrummet Ω till R, dvs Χ: Ω R Ka ata alla värde i ett itervall eller e uio av itervall. Täk kotiuum. Returerar ett tal som bestäms av ett utfall Täthetsfuktio Om det fis e fuktio f Χ : R [0, [ såda att P a < Χ < b = a b f Χ x dx för alla itervall (a, b) R så kallas f Χ x täthetsfuktioe för Χ OBS: P a < Χ < b = P a < Χ b om Χ är kotiuerlig. Betydelse: Täthetsfuktio ager hur mycket saolikhetsmassa det fis per lägdehet i pukte x. Nödvädiga egeskaper: f Χ x 0 för alla x R f Χ x dx = 1 Fördeligsfuktio F Χ x = P Χ x = P < Χ x = x f Χ t dt, x R Betydelse: Fördeligsfuktioe returerar saolikhete att få ett värde som är midre ä eller lika med x Egeskaper: F Χ x 0,då x 1,då x + F Χ x är icke-avtagade I alla pukter där f Χ x är kotiuerlig gäller att F Χ x = d dx F Χ x = f Χ x F Χ x är kotiuerlig överallt (itegralkalkyles huvudsats) P a < Χ b = b f Χ t a dt = F Χ b F Χ a, a < b Sida 9 av 16
10 Vätevärde och varias Defiitio E Χ = x f Χ x Tolkig Vätevärde (μ) Varias (σ 2 ) Medelvärdet med avseede på fördelige av Χ. Vad vi ka förväta oss att Χ blir på ett ugefär. dx V Χ = x 2 f Χ x dx E Χ 2 Hur saolikhetsmassa är kocetrerad krig vätevärdet. Hur utspritt det är. Regler E Χ 2 = x 2 f Χ x dx E aχ + b = a E Χ + b E g(χ) = g(x) f Χ x dx V Χ = E Χ 2 E Χ 2 V aχ + b = a 2 V X Stadardavvikelse D(X) = V X Kotiuerliga fördeligar Fördelig Beteckig Situatio Täthetsfuktio Rektagelfördelig Likformig fördelig Normalfördelig Re a, b U a,b N μ, ς Allt är lika saolikt f Χ x = Aväds ofta då variabler har okäd fördelig (se CGS) f Χ x = 1 ς 2π e 1 b a, a < x < b 0, aars x μ 2 2ς 2, x R Expoetialfördelig Exp λ Expoetiellt avtagade f Χ x = λ e λx, x 0 0, aars Stadardiserad ormalfördelig Låt Φ y vara (de fyrkatiga) fördeligsfuktioe för Y~N 0,1, dvs y y 1 t 2 Φ y = f Χ t dt = 2 dt 2π e Låt X vara e s.v. med vätevärde μ och stadardavvikelse ς, dvs. X~N μ,ς Då kallas Y = Χ μ e stadardiserad s.v. och Y~N 0,1 ς P a < X b = P a μ ς X μ b μ < ς ς = P a μ ς b μ < Y ς = Φ b μ ς Φ a μ ς Regler för ormalfördelig Atag att a > 0, b > 0 och Χ~N 0,1 Då gäller: Regel P Χ a = = Φ a = 1 Φ a P Χ > a = = 1 P Χ a = 1 Φ a P a < Χ b = = Φ b Φ a = Φ b 1 Φ a = Φ b + Φ a 1 Exempel P Χ 2 = = Φ 2 = 1 Φ 2 P Χ > 3 = = 1 P Χ 3 = 1 Φ 3 P 2 < Χ 3 = = Φ 3 Φ 2 = Φ 3 1 Φ 2 = Φ 3 + Φ 2 1 Sida 10 av 16
11 Diskreta tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y) Simulta saolikhetsfuktio p Χ,Y x,y = P(Χ = x, Y = y) för alla möjliga värde x och y som Χ respektive Y ka ata Egeskaper: p Χ,Y x, y 0 för alla x, y y=0 x=0 p Χ,Y x, y = 1 P Χ, Y A = p Χ,Y x, y x,y A Fördeligsfuktio F Χ,Y x, y = P Χ x, Y y = p Χ,Y x, y Margiella saolikhetsfuktioer y Y x X p Χ x = För Χ y=0 p Χ,Y x, y Håll x fixt, summera över alla y, dvs. p x 2 = p Χ,Y 2,0 + p Χ,Y 2,1 + p Χ,Y 2,2 + p Y y = För Y x=0 p Χ,Y x, y Håll y fixt, summera över alla x, dvs. p Y 2 = p Χ,Y 0,2 + p Χ,Y 1,2 + p Χ,Y 2,2 + Margiella fördeligsfuktioer För Χ För Y F Χ x = p Χ x = p Χ,Y x, y F Y y = p Y y = p Χ,Y x, y x=0 x=0 y =0 y =0 y =0 x=0 Summera Χ:s margiella saolikhetsfuktioer över alla x Summera Y:s margiella saolikhetsfuktioer över alla y Oberoede s.v. Två diskreta s.v. Χ och Y kallas oberoede om ågo av följade gäller (för alla möjliga x och y) p Χ,Y x,y = p X (x) p Y (y) F Χ,Y x, y = F Χ x F Y y Sida 11 av 16
12 Kotiuerliga tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y) Simulta täthetsfuktio Om det fis e fuktio f Χ,Y x,y såda att P Χ, Y A = f Χ,Y x, y A dx dy för alla A R 2 så kallas f Χ,Y x,y täthetsfuktioe för Χ, Y Nödvädiga egeskaper: f Χ,Y x, y 0 för alla x,y R 2 f Χ,Y x, y dx dy = 1 Fördeligsfuktio F Χ,Y x, y = P Χ x, Y y = y x f Χ,Y u, v du dv Margiella täthetsfuktioer För Χ f Χ x = f Χ,Y x,y Håll x fixt & itegrera över y så fås e fuktio av x, dvs. f x 2 = f Χ,Y 2, y dy För Y dy, x R f Y y = f Χ,Y x, y dx, y R Håll y fixt & itegrera över x så fås e fuktio av y, dvs. f Y 2 = f Χ,Y x,2 dx Margiella fördeligsfuktioer För Χ För Y F Χ x = f Χ x dx = f Χ,Y x, y dy dx F Y y = f Y y dy = f Χ,Y x, y dx dy Itegrera margiella täthetsfuktioe för Χ över alla x Itegrera margiella täthetsfuktioe för Y över alla y Oberoede s.v. Två kotiuerliga s.v. Χ och Y kallas oberoede om ågo av följade gäller (för alla möjliga x och y) f Χ,Y x, y = f X (x) f Y (y) F Χ,Y x, y = F Χ x F Y y Sida 12 av 16
13 Tvådimesioella stokastiska variabler (Χ, Y) Vätevärde E g Χ, Y = Regler: x=0 y=0 g x, y p Χ,Y x, y, (diskreta s.v. ) g x, y f Χ,Y x, y dx dy, (kotiuerliga s. v. ) E X + Y = E X + E Y E ax + by + c = a E X + b E Y + c E X Y = E X E Y om Χ och Y är oberoede Varias Regler: V X + Y = V X + 2 Cov X,Y + V Y V ax + by + c = a 2 V X + 2ab Cov X,Y + b 2 V Y V X + Y = V X + V Y om Χ och Y är oberoede Kovarias Cov Χ,Y = E Χ Y E Χ E Y Regler: Cov X, X = V(X) Cov X, Y = Cov Y,X Cov ax,by = a b Cov X, Y Cov X, Y = 0 om Χ och Y är oberoede Korrelatio Betydelse: ρ Χ, Y = Cov Χ, Y D X D(Y) = Cov Χ, Y V Χ V Y Mått på lijärt beroede mella Χ och Y 1 ρ 1 gäller alltid! Täk X är 100% respektive 100% beroede av Y Regler: Χ och Y är oberoede Cov X,Y = 0 Χ och Y är okorrelerade OBS: Implikatioe går ebart åt ea hållet! Sida 13 av 16
14 Simultaa fördeligar av oberoede s.v. (Χ, Y) Fördelig för Χ Fördelig för Y Fördelig för Χ + Y Po(λ 1 ) Po(λ 2 ) Po(λ 1 + λ 2 ) N μ 1,ς 1 N μ 2,ς 2 N μ 1 + μ 2, ς ς 2 2 X~Bi m, p Bi,p Bi(m +, p) Betigade fördeligar Betigad saolikhetsfuktio för diskreta s.v. Betigad saolikhetsfuktio för Χ, givet Y = y: p Χ Y =y x = P Χ = x Y = y = p Χ,Y x, y p Y y Betigad täthetsfuktio för kotiuerliga s.v. Betigad täthetsfuktio för Χ, givet Y = y: Betigat vätevärde Betigat vätevärde för Χ, givet Y = y: Lage om total förväta: E X Y = y = E X = E E X Y = Avädbara olikheter f Χ Y =y x = P Χ = x Y = y = f Χ,Y x,y f Y y x=0 x p Χ Y=y x, (diskreta s.v. ) x f Χ Y=y x y=0 dx, (kotiuerliga s. v. ) E X Y = y p Y y, (diskreta s.v. ) E X Y = y f Χ Y =y y dy, (kotiuerliga s. v. ) Markovs olikhet Chebyshevs olikhet a > 0 X 0 Förutsättigar E X = μ D X = ς > 0 eller V X = ς 2 < Gäller för alla k > 0 Resultat P X a E X a P X μ kς 1 k 2 eller P X μ k ς 2 k 2 Sida 14 av 16
15 Summor av oberoede stokastiska variabler Förutsättigar OBS: Kräver ite att X 1,, X är oberoede X 1,, X har alla samma vätevärde μ Resultat E X X = μ X 1,, X har alla samma varias ς 2 V X X = ς 2 X 1,, X har alla samma stadardavvikelse ς D X X = ς X 1,, X har alla samma vätevärde μ X 1,, X har alla samma stadardavvikelse ς X = X 1 + +X är det aritmetiska medelvärdet E X = μ V X = ς2 D X = ς Egeskaper hos ormalfördelade stokastiska variabler X~N μ, ς Y = ax + b Förutsättigar Resultat Y~N(a μ + b, a ς) X~N μ 1,ς 1 Y~N μ 2,ς 2 X och Y oberoede (Χ ± Y)~N μ 1 ± μ 2, ς ς 2 2 X 1,, X är oberoede X 1 ~N μ 1,ς 1,, X ~N μ,ς 1 a i Χ i + b ~N 1 a i μ i + b, a 2 2 i ς i 1 X 1,, X är oberoede X 1 ~N μ, ς,, X ~N μ, ς X = X 1 + +X är det aritmetiska medelvärdet Alla s.v. är oberoede X 1 ~N μ 1,ς 1,, X ~N μ 1,ς 1 Y 1 ~N μ 2, ς 2,, Y ~N μ 2, ς 2 X = X 1 + +X är det aritmetiska medelvärdet Y = Y 1 + +Y är det aritmetiska medelvärdet ς X~N μ, X Y ~N μ 1 μ 2, ς ς 2 2 Stora tales lag X 1,, X är oberoede X 1,, X är likafördelade med vätevärde μ X = X 1 + +X För alla ε > 0: P X μ ε 0 eller ekvivalet: P X μ < ε 1, då Sida 15 av 16
16 Cetrala gräsvärdessatse (CGS) Formellt: X 1,, X är e följd av oberoede och likafördelade s.v. X 1,, X har samtliga vätevärde μ X 1,, X har samtliga stadardavvikelse ς > 0 eller varias ς 2 < Då gäller, för Y = X X : Iformellt: Y μ P a < b Φ b Φ a, ς då eller ekvivalet, med X = X X X μ P a < b Φ b Φ a, då ς E summa av oberoede och likafördelade s.v. är ugefär ormalfördelad så läge atalet s.v. är tillräckligt stort. Detta gäller oavsett vilke fördelig de egetlige har! Alltså ka okäda eller svårberäkade fördeligar approximeras med ormalfördelig. Poissoprocess E Poissoprocess med itesitet λ > 0 är e stokastisk process i kotiuerlig tid (dvs. e familj av s.v. X t, t 0) med följade egeskaper: För varje t 0: processes värde X t är e s.v. som ka ata värde 0,1,2 och X 0 0 Varje utfall (realiserig) är e icke-avtagade högerkotiuerlig fuktio För varje följd av tidpukter 0 = t 0 < t 1 < t 2 < < t gäller att: o X 1 X 0, X 2 X 1, X 3 X 2,, X X 1 är oberoede s.v För varje t 0: P X t+ X t = 1 = λ + O, då 0 För varje t 0: P X t+ X t > 1 = O, då 0 Egeskaper: o O() är e restterm som defiieras eligt lim 0 O = 0. Förutsättigar 0 t 1 < t 2 X t ~Po λ t Hopptider T 1, T 2,, T Vätetider T 1, T 2 T 1,, T T 1 Fixt t 0 0 Y t = X to +t X t 0 för t 0 X t, t 0 med itesitet λ 1 Y t, t 0 med itesitet λ 2 X t och Y t oberoede Resultat X t2 X t1 ~Po λ t 2 t 1 Speciellt: X t ~Po λ t E X t = λ t T 1, T 2,, T är oberoede och Exp(λ)-fördelade s.v. T 1, T 2 T 1,, T T 1 är oberoede och Exp(λ)-fördelade s.v. Y t, t 0 är också e Poissoprocess med samma itesitet λ X t + Y t, t 0 är också e Poissoprocess med itesitet λ 1 +λ 2 Sida 16 av 16
Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00. Kap 2: Sannolikhetsteorins grunder
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 10, HT-00 Saolikhetsteori Kap : Saolikhetsteoris gruder Följade gäller för saolikheter: 0
Läs merP (A) = k A P (A ) = 1 P (A) P (A B) P (B) P (M i ) = 1 P (A) P (X = k) = p X (k) p X (k) = 1 P (A B) p X (k)
SVERIGES LANTBRUKSUNIVERSITET Istitutioe för eergi och tekik Uwe Mezel e-post: uwe.mezel@matstat.de Formelsamlig Grudläggade matematiskt statistik 2080822 Saolikhetslära Klassisk saolikhetsdeitio: P A
Läs merFormelblad Sannolikhetsteori 1
Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla
Läs merUppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik
Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601 Valiga fördeligar Fördelig Vätevärde Varias Biomialfördelig, Bi (, p ) P (X = x) = ( x) p x (1 p)
Läs merNormalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)
Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =
Läs merAntalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).
Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse
Läs merTAMS79: Föreläsning 9 Approximationer och stokastiska processer
TAMS79: Föreläsig 9 Approximatioer och stokastiska processer Joha Thim 18 ovember 2018 9.1 Biomialfördelig Vi har reda stött på dea fördelig flera gåger. Situatioe är att ett slumpförsök har två möjliga
Läs merSannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR CDEFI, NANO OCH PI, MAS233, 2004 FMS 012, FMS 022, FMS 121 OCH MAS233
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR CDEFI, NANO OCH PI, MAS233, 2004 FMS 012, FMS 022, FMS 121 OCH MAS233 Saolikhetsteori Kap 2: Saolikhetsteoris
Läs merTentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klitberg Lösigar Tetame i Saolikhetsteori III 13 jauari 2000 Uppgift 1 a) Det mest detaljerade utfallsrummet är med uppebara beteckigar Ω = {(B1, B2),
Läs merθx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF903 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH TORSDAGEN DEN TREDJE JUNI 200 KL 4.00 9.00. Examiator: Guar Eglud, tel. 790 74 06 Tillåta hjälpmedel: Läroboke.
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grudläggade matematisk statistik Puktskattig Uwe Mezel, 2018 uwe.mezel@slu.se; uwe.mezel@matstat.de www.matstat.de Saolikhetsteori: Saolikhetsteori och statistikteori vad vi gjorde t.o.m. u vi hade e give
Läs merTentamen i matematisk statistik
MSTA3, Saolikhetsteori A, 5 p 5--7 Tetame i matematisk statistik Saolikhetsteori A, 5 poäg Skrivtid: 9.-5.. Tillåta hjälpmedel: Tabellsamlig, ege miiräkare. Studetera får behålla tetamesuppgiftera. På
Läs merSANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.
rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.
Läs mer4.2.3 Normalfördelningen
4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett
Läs merSannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad
Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska
Läs merSannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11
rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)
Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,
Läs merLÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,
Läs merMinsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera
Matematisk statistik slumpes matematik Saolikhetsteori hur beskriver ma slumpe? Statistikteori vilka slutsatser ka ma dra av ett datamaterial? Statistikteori översikt Puktskattig Hur gör ma e bra gissig
Läs merTolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n
Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A)
Läs merFöreläsning 2: Punktskattningar
Föreläsig : Puktskattigar Joha Thim joha.thim@liu.se 7 augusti 08 Repetitio Stickprov Defiitio. Låt de stokastiska variablera X, X,..., X vara oberoede och ha samma fördeligsfuktio F. Ett stickprov x,
Läs merBorel-Cantellis sats och stora talens lag
Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi
Läs merSannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1
Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar
Läs merFör att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ
1 February 1, 2018 1 Förel. VII Puktskattigar av parametrar i fördeligar 1.1 Puktskattig För att skatta vätevärdet för e fördelig är det lämpligt att aväda Medelvärdet ξ = 1 ξ j. Vi tar u vätevärdet av
Läs merIntervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej
Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda
Läs mer(a) Skissa täthets-/frekvensfunktionen och fördelningsfunktionen för X. Glöm inte att ange värden på axlarna.
1 0,5 0 LÖSNINGAR till tetame: Statistik och saolikhetslära (LMA120) Tid och plats: 08:30-12:30 de 6 april 2016 Hjälpmedel: Typgodkäd miiräkare, formelblad Betygsgräser: 3: 12 poäg, 4: 18 poäg, 5: 24 poäg.
Läs merSAMMANFATTNING TAMS65
SAMMANFATTNING TAMS65 Matematisk statistik, fortsättigskurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, VT 016 Seast reviderad: 016-06-01 Författare: Viktor Cheg Iehållsförteckig
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1917/SF1918/SF1919 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 8 JANUARI 2019 KL 8.00 13.00. Examiator för SF1917/1919: Jörge Säve-Söderbergh, 08-790 65 85. Examiator
Läs merMatematisk statistik
Matematisk statistik (Corelia Schiebold) Iehåll:. Saolikhetsteori 2. Diskreta stokastiska variabler 3. Kotiuerliga stokastiska variabler 4. Oberoedemått, summor av stokastiska variabler och cetrala gräsvärdessatse
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade frå saolikhetsteori:
Läs mer1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig
Läs merTAMS15: SS1 Markovprocesser
TAMS15: SS1 Markovprocesser Joha Thim (joha.thim@liu.se) 21 ovember 218 Vad häder om vi i e Markovkedja har kotiuerlig tid istället för diskreta steg? Detta är ett specialfall av e kategori stokastiska
Läs merTentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 1: Matematik 7.5 hp
Tetame i Tillämpad Matematik och statistik för IT-foresik. Del 1: Matematik 7.5 hp 1 jui, 2017 Maxpoäg: 30p. Betygsgräser: 12p: betyg 3, 18p: betyg 4, 24p: betyg 5. Hjälpmedel: Typgodkäd miiräkare samt
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig,
Läs merStatistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?
Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel
Läs merb 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.
Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras
Läs merTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08
TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:
Läs merb) Bestäm det genomsnittliga antalet testade enheter, E (X), samt även D (X). (5 p)
Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF922, SF923 och SF924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 29:E MAJ 208 KL 0800 300 Examiator för SF922/SF923: Tatjaa Pavleko, 08-790 84 66 Examiator för SF924:
Läs merF3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index.
F3 Lite till om tidsserier Deflaterig, att justera för iflatioe tatistikes gruder dagtid 4 3,5 3,5,5 Mjölk ockerdricka HT,5 975 976 977 978 979 98 98 98 Löpade priser År Mjölk ockerdricka KPI 945 = 975,34,
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II
Stickprov MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig del II G Gripeberg Aalto-uiversitetet 4 februari 04 Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G Gripeberg
Läs merStatistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten
Statistik Språkligt och historiskt betyder statistik ugefär sifferkuskap om state E Statistisk udersökig består av fyra delar: Plaerig Dataisamlig Bearbetig Beskrivade statistik (kap 1) Statistisk aalys
Läs merSkattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas?
Skattig / Iferes Saolikhet och statistik Puktskattig Försöket att beskriva e hel populatio pga ågra få mätvärde! Oberservatio = Populatio HT 2008 UweMezel@mathuuse http://wwwmathuuse/ uwe/ Populatio har
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II Estimerig 2 Kofidesitervall G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 3 februari 205 3 Hypotesprövig 4 Korrelatio och regressio G. Gripeberg Aalto-uiversitetet
Läs merStokastiska variabler
TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)
Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematik tatitik KTH Formelamlig i matematik tatitik Vårtermie 07 Kombiatorik! = k k! ( k)!. Tolkig: mägd med elemet. = atalet delmägder av torlek k ur e k Stokatika variabler V (X) = E X (E (X)) C (X;
Läs merF10 ESTIMATION (NCT )
Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,
Läs merFöreläsning 3. 732G04: Surveymetodik
Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall
Läs mera) Beräkna E (W ). (2 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF19 och SF191 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 13:E MARS 18 KL 8. 13.. Examiator: Björ-Olof Skytt, 8 79 86 49. Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig
Läs merTentamen i Krypteringsmetoder och Säkring av Datasystem 7.5 hp
Tetame i Krypterigsmetoder och Säkrig av Datasystem 7.5 hp 2 jui, 2017 Maxpoäg: 30p. Betygsgräser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miiräkare samt formelsamlig som medföljer tetamestexte. Kursasvarig:
Läs merAnmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].
MÄNGDER Stadardtalmägder: N={0,, 2, 3, } mägde av alla aturliga tal (I ågra böcker N={,2,3, }) Z={ 3, 2,,0,, 2, 3, 4, } mägde av alla hela tal m Q={, där m, är hela tal och 0 } mägde av alla ratioella
Läs merTentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010
Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma
Läs merFöreläsning G70 Statistik A
Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive
Läs merTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK
TETAME I MATEMATISK STATISTIK Te i kurse 6H, KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse 6H, 6L MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: :-7: Lärare: Armi Halilovic Kurskod 6H, 6H, 6L, 6A Hjälpmedel:
Läs merTMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar
TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00
0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,
MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik,.hp, 019-0-1 Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas i!
Läs merExperiment, Försök, Utfall, Händelse, Sannolikhet. Kaptiel1: Slump, Utfall, Händelse, Sannolikhet... Kaptiel2: Stokastiska variabler
Kaptiel: lup Utall Hädelse aolikhet... Begreppe eperiet örsök hädelse utallsru saolikhet osv Diskreta/Kotiuerliga utallsru aasatta och betigade ( A B hädelser/saolikheter. ( A B ( A B ( B Bayes regel.
Läs merFöreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin
Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade
Läs mer. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.
Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd familj av stokastiska variabler Xt arameter t är oftast me ite alltid e tidsvariabel rocesse kallas diskret om Xt är e diskret s v för varje
Läs merMatematisk statistik TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS063 Tetame 208-05-30 Tid: 8:30-2:30 Tetamesplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamlig och tabell samt Chalmersgodkäd räkare. Kursasvarig: Olof Elias Telefovakt/jour: Olof Elias,
Läs merLycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =
Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF955 f d 5B555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN AUGUSTI 008 KL 400 900 Examiator: Guar Eglud, tel 790746 Email: guare@mathkthse Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 13 februari 015 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik
Läs merTENTAMEN Datum: 16 okt 09
TENTAMEN Datum: 6 okt 09 Kurs: KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK HF00 TEN (Matematisk statistik ) Te i kurse HF00 ( Tidigare k 6H0), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF00, 6H000, 6L000 MATEMATIK
Läs merStatistik för bioteknik SF1911 // KTH Matematisk statistik // Formler och tabeller. 1 Numeriska sammanfattningar (statistikor)
Statistik för biotekik SF9 // KTH Matematisk statistik // Formler och tabeller Ht 206 Numeriska sammafattigar (statistikor) För ett datamaterial x, x 2,..., x beräkas Stickprovsmedelvärde x = i= x i =
Läs mer1. Test av anpassning.
χ -metode. χ -metode ka avädas för prövig av hypoteser i flera olika slag av problem: om e stokastisk variabel följer e viss saolikhetsfördelig med käda eller okäda parametrar. om två stokastiska variabler
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,
MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.hp, 2018-08- Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 20 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas
Läs merTentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan
Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig och exempel, del II Stickprov Två yttiga fördeligar Estimerig G. Gripeberg 3 Kofidesitervall Aalto-uiversitetet 3 februari 05 4 Hypotesprövig
Läs merTENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN kl
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004 TEN 0-04-5 kl 8.5-.5 Hjälpmedel: Formler och tabeller i statistik, räkedosa Fullstädiga lösigar erfordras till samtliga uppgifter. Lösigara skall vara
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig och exempel, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 13 februari 015 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl
Läs merHögskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00
Lösigsförslag UPPGIFT 1 Kvia Ma Högskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00 Pr(ej högskoleutbildad kvi=0,07=7% Pr(högskoleutbildad)=0,87 c) Pr(Kvi*Pr(Högskoleutbildad)=0,70*0,87=0,609
Läs mer2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.
Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele
Läs merVäntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s.
Vätevärde, stadardavvkelse och varas Ett statstskt materal ka sammafattas med medelvärde och stadardavvkelse (varas, och s. På lkade sätt ka e saolkhetsfördelg med käda förutsättgar sammafattas med vätevärde,,
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Tetame TT091A KMASK14H 7,5 högskolepoäg Nam: (Ifylles av studet) Persoummer: (Ifylles av studet) Tetamesdatum: 2 jui 2015 Tid: 9:00-13:00 Hjälpmedel:
Läs mer732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann
73G70 Statistik A Föreläsigsuderlag skapad av Karl Wahli Föreläsigsslides uppdaterade av Bertil Wegma Istitutioe för dataveteskap (IDA) Liköpigs uiversitet vt 06 Kapitel Populatioer, stickprov och variabler
Läs mer732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann
73G70 Statistik A Föreläsigsuderlag skapad av Karl Wahli Föreläsigsslides uppdaterade av Bertil Wegma Istitutioe för dataveteskap (IDA) Liköpigs uiversitet vt 07 Kapitel Populatioer, stickprov och variabler
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merExempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler
Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,
MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp, 08-05-3 Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas i!
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl
Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober
Läs merF6 Uppskattning. Statistikens grunder 2 dagtid. Beteckningar, symboler, notation. Grekiskt-romerskt
01-10-19 F6 Uppskattig Statistikes gruder dagtid HT 01 Vi skattar populatiosparametrar (modellparametrar med olika statistikor: E. stickprovs- -medelvärdet X skattar μ -variase S skattar -adele P skattar
Läs merStat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT
Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,
MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik,.hp, 018-0-1 Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas i!
Läs merTentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 1: Matematik 7.5 hp
Tetame i Tillämpa Matematik och statistik för IT-foresik. Del 1: Matematik 7.5 hp 2015 kl. 9.00 13.00 Maxpoäg: 30p. Betygsgräser: 12p: betyg 3, 18p: betyg 4, 24p: betyg 5. Hjälpmeel: Typgokä miiräkare
Läs merId: statistik.tex :48:29Z joa
UTDRAG UR FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI PUNKT- OCH INTERVALLSKATTNINGAR SAMT HYPOTESTEST MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, È; FMS 012 JOAKIM LÜBECK, SEPTEMBER 2008 Iehåll 1 Puktskattigar
Läs mer732G70 Statistik A. Föreläsningsunderlag skapad av Karl Wahlin Föreläsningsslides uppdaterade av Bertil Wegmann
73G70 Statistik A Föreläsigsuderlag skapad av Karl Wahli Föreläsigsslides uppdaterade av Bertil Wegma Istitutioe för dataveteskap (IDA) Liköpigs uiversitet vt 08 Kapitel Populatio, stickprov och variabler
Läs merREGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:
CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merc n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.
P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt
Läs merF19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden
Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde
Läs merÖvningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp
Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik,.hp Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist
Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs mer