Matematisk statistik TMS063 Tentamen

Transkript

1 Matematisk statistik TMS063 Tetame Tid: 8:30-2:30 Tetamesplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamlig och tabell samt Chalmersgodkäd räkare. Kursasvarig: Olof Elias Telefovakt/jour: Olof Elias, Till sale ca 9.30 och.30 Betygsgräser: För betyg 3, 4 resp. 5 krävs mist 2, 8 resp. 24 poäg. För att bli godkäd på kurse krävs godkät på teta och godkät resultat på båda flervariabel-duggora. Till varje uppgift skall fullstädig lösig lämas!. Låt A B C vara tre hädelser med P (A) = 0.2, P (B) = 0.4, P (C) = 0.6. (a) Beräka saolikhete av att alla tre hädelser iträffar. (2 poäg) (b) Beräka saolikhete av att exakt två hädelser iträffar. ( poäg) (c) Beräka saolikhete av att exakt e av hädelsera iträffar. ( poäg) (Ledig: Rita ett Ve-diagram av hädelsera.) (a) Eftersom A B C så iebär det att om A iträffar så måste äve B och C iträffa. Vilket iebär att saolikhete av att alla tre hädelser iträffar ges av saolikhete att A iträffar. Alterativt så observerar ma: P ( A,B,C iträffar) = P (A B C) = P (A). (b) Samma resoemag ger att P ( Exakt två av hädelsera iträffar ) = P (B\A c ) = P (B) P (A) = 0.2. (c) Med hjälp av samma resoemag som tidigare så ser ma följade. Om C iträffar me ite B, så ka ite A iträffa heller eftersom A B. Detta ger oss att P (Exakt e av A, B, C iträffar ) = P (C B c ) = P (C) P (B) = E mackapär består av 30 likadaa elektriska kompoeter som fugerar oberoede av varadra. Livslägde (i år) för varje eskild kompoet ka atas vara expoetialfördelad med parameter λ = /5. (a) Beräka saolikhete att e give kompoet håller i mer ä 0 år? (2 poäg) (b) Vad är saolikhete att mist av kompoetera lever lägre ä 0 år? (2 poäg)

2 (c) Aväd cetrala gräsvärdessatse för att approximativt beräka saolikhete att de sammaslaga livslägde av alla kompoeter är lägre ä 50 år? (2 poäg) Lösig (a) Livslägde är expoetialfördelad med parameter λ = /5 vilket ger att om vi låter X vara livslägde för e give kompoet så söks P (X 0) = e 0/5 = e 2. (b) Om vi låter Y vara atalet kompoeter som lever lägre ä 0 år så är Y Bi(30, e 2 ). Vilket iebär att vi söker P (Y ) = P (Y = 0) = ( e 2 ) 30 (c) Låt W = 30 i= X i vara de totala livslägde, då har vi E[W ] = 30 E[X ] = 30 5 = 50, Var(W ) = 30 Var(X ) = = 750, vilket ger att det vi söker ges av ( ) W E[W ] P (W 50) = P Var(W ) 750 CLT P (Z 0) = E Poisso process har egeskape att de har så kallade oberoede ökigar. Detta iebär att om vi har fyra tidspukter t < t 2 < t 3 < t 4 så är de stokastiska variablera N(t 4 ) N(t 3 ) och N(t 2 ) N(t ) oberoede och Poissofördelade med parameter λ(t 4 t 3 ) respektive λ(t 2 t ). (a) Beräka saolikhete (2 poäg) P (N(4) N(3) = 0, N(2) N() = 0). (b) Vad är de gemesamma täthete för variablera N(4) N(3) och N(2) N(). (2 poäg) (a) Eftersom N(4) N(3) och N(2) N() är oberoede stokstiska variabler så ges saolikhete av P (N(4) N(3) = 0, N(2) N() = 0) = P (N(4) N(3) = 0)P (N(2) N() = 0) = e λ e λ där de sista likhete fås av att N(4) N(3) Po(λ) och N(2) N() Po(λ). 2

3 (b) Eftersom N(4) N(3) och N(2) N() är oberoede så fås de gemesamma täthete av produkte av de eskilda fördeligara. Låt X = N(4) N(3) och låt Y = N(2) N() då fås de gemesamma täthete f X,Y av: ( ) ( ) λ x λ y f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) = = λx+y x! e λ y! e λ x!y! e 2λ 4. Låt f(x α) = α, x, xα+ vara e täthet för e kotiuerlig stokastisk variabel X där α > är e okäd parameter. Låt x = (.853,.000,.047,.2724,.077,.973,.3335,.0298,.0807,.039) vara ett observerat stickprov frå fördelige. Beräka Maximum likelihoodskattare och mometmetodsskattare av α. (Beräkigshjälp: x =.260, 0 i= log(x i) = 2.05, = 0) (2 poäg för mometmetode och 4 poäg för maxmimum likelihoodmetode. Totalt 6 poäg.) Vi börjar med mometmetode. Låt x = (x, x 2,..., x ) vara ett observerat stickprov frå X, eftersom vi bara har e parameter vi vill skatta räcker det med att betrakta ekvatioe x = E[X] = x α dx = α xα+ Om vi löser ekvatioe för α får vi ˆα = x x. x α dx = α α. Sätter vi i våra värde får vi att ˆα = Nu väder vi oss till maximumlikehood-metode. Låt x vara som ova och bilda likelihoodfuktioe L(α x) = f(x i α) = i= i= Log-likelihoodfuktioe ges därefter av ( α x α+ = α i ) α+. x i l(α x) = log(l(α x)) = log(α) (α + ) log(x i ) och dess första och adra-derivata ges av l (α x) = α log(x i ), l (α x) = α 2. 3

4 Eftersom l (α x) < 0 så är l kokav vilket iebär att l har sitt maximum där derivata är oll: α log(x i ) = 0 α = / log(x i ) dvs. maximum-likelihood skattare ges av α = / log(x i ). Sätter vi i våra värde får vi i detta fall α = Ley och Carl siglar slat med varadra, visar de kroa bjuder Carl på ästa ruda meda om de visar klave så bjuder Ley. Eftersom Ley och Carl är så goda väer så vill dom försäkra sig om att mytet dom kastar är rättvist, dvs att proportioe av kroa och klave är lika, och ber Moe testa det. Moe gör 00 slatsigligar och skriver er om de visar kroa eller klave. Efter hudra kast har mytet visat kroa 43 gåger och klave 57 gåger. Hjälp Moe med att testa hypotese om mytet är rättvist: H 0 : p = 0.5 H : p 0.5, geom att ställa upp ett kofidesitervall för proportioe p med sigifikasivå α = 0.05 och avgör om mytet är rättvist eller ej. (5 poäg) Låt ˆp = vara de observerade proportioe av atalet kroa ( det går lika bra att betrakta proportioe av atalet klave). Kofidesitervallet ges av ˆp ± z α/2 ˆp( ˆp) = 0.43 ±.96 ( )/00 = [0.333, 0.527]. Eftersom 0.5 [0.333, 0.527] så ka vi ite förkasta H 0 vilket iebär att med e sigifikasivå på α = 0.05 så är mytet rättvist. 6. Låt x = (x, x 2,..., x ) vara ett observerat stickprov frå N(µ, 4), med x =.37, = 20. Testa hypotese H 0 : µ. H : µ >. med geom att beräka p-värdet och förkasta med lämpligt vald sigifikasivå. (5 poäg) Låt α = 0.05 och låt X = (X,..., X ) vara ett stickprov frå N(µ, 4), då gäller att Z = X µ σ/ N(0, ). 4

5 Vidare, låt z obs = x. 2/ 20 = 0.6 vara de motsvarade observerade kvatitete. Eftersom H 0 : µ. så ges p-värdet av p = P (Z > z obs ) = P (Z > 0.6) = 0.73 = Då p > α så förkastar vi ite H 0. 5