2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

Transkript

1 Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele persoer (p) på Chalmers som vuit på lotto. Vi går rut och frågar persoer på luche och oterar e etta om persoe vuit på lotto och olla aars. Vi får e dataserie I 1,..., I med 0/1-variabler där P(I k = 1) = p för varje k = 1,...,. Vi skattar p med ˆp = 1 I k och aväder cetrala gräsvärdessatse för att få e approximativ fördelig k=1 ˆp D N ( µ, σ2 ), µ = E[I k ] = p, σ 2 = Var[I k ] = p(1 p) att basera ett kofidesitervall på. Kofidesitervallet kostruerar vi utgåede frå statistika ˆp p D N(0, 1) p(1 p)/ me eftersom vi ite vet p så skattar vi variase för p med / och aväder ˆp p / D N(0, 1)

2 istället. Vi får P z 1 α/2 ˆp p / z 1 α/2 = 1 α P ˆp z 1 α/2 p ˆp + z 1 α/2 = 1 α och med alterativt skrivsätt p ˆp z 1 α/2, ˆp + z 1 α/2, (1 α) Atag att 27 av 764 persoer svarade ja i udersökige. Vi skattar ett 95 % kofidesitervall. Ur data : ˆp = 27/ Ur tabell : z = 1.96 Vi beräkar kofidesitervallet : ( ) ( ) p , = [0.0287, ], (0.95) Ett 95 % kofidesitervall för adele persoer på chalmers som vuit på lotta är alltså p [0.029, 0.042]. OBS!!! Det fis alltid e lite risk att ett kofidesitervall för p baserat på CGS iehåller orimliga värde. Om exempelvis edast 2 av de tillfrågade persoera hade svarat ja hade kofidesitervallet blivit p [ 0.001, 0.006], (0.95) vilket är helt orimligt eftersom p ite ka ata egativa värde. Samma sak häder om för måga svarar ja, exempelvis alla utom 2. Då blir itervallet p [0.994, 1.001], (0.95) vilket är lika orimligt. Observera att i de båda falle ka vi ite bara kapa itervallet i rätt äde eftersom det då ite har de rätta kofidesgrade.

3 Att beräka stickprovsstorleke Atag att vi vill skatta e parameter med e viss oggrahet. Vi eftersträvar ett kofidesitervall med e viss bredd, exempelvis att p = ˆp ± z 1 α/2 p(1 p) där vi vill att felterme ska vara midre ä ågot positivt ε, z 1 α/2 p(1 p) < ε. Egetlige ka vi ite beräka gfelterme förrä vi vet vilke skattig vi på p vi har, vilket vi ite vet i förväg. Däremot ka vi beräka e övre begräsig för felterme. Notera att p(1 p) 1 4 för alla p [0, 1] där likhete gäller om p = 1/2. Alltså är z 1 α/2 p(1 p) z1 α/2 4 < ε > z 1 α/2 4ε 2. Det betyder att om vi ska kostruera ett 95 % kofidesitervall (z = 1.96) med bredde midre ä 0.1 (ε < 0.05) så måste vi aväda > = 196 och för bredde som mest 0.01 krävs ite midre ä observatioer. > = Kofidesitervall för skillade mella två proportioer Ska vi studera kofidesitervall för skillade i proportioer aväder vi att ( D ˆp 1 ˆp 2 N p 1 p 2, ˆp 1(1 ˆp 1 ) + ˆp ) 2(1 ˆp 2 ) 1 2 där ˆp 1, ˆp 2 är skattigara för respektive stickprov och 1, 2 är de två stickprovsstorlekara.

4 Grafteori E graf G består av e mägd oder V = {fv 1, v 2,..., v } och e mägd kater E = {e 1, e 2,..., e m } där var och e av katera ges av de igåede odera, exempelvis e 1 = (v 1, v 2 ). Några grafbegrepp... Graar Två oder sägs vara graar om de båda igår i samma kat. Väg E väg (eg. walk) geom e graf är e serie oder v 1, v 2,..., v k såda att odera v i och v i+1 är graar. Stig E stig (eg. path) är e väg där alla igåede oder är olika. E stig återkommer alltså ite till samma od, me det ka e väg göra. Eulersk väg E Eulersk väg är e väg som iebär att grafes alla kater passeras exakt e gåg. Cykel E cykel är e väg v 1,...v k, v k+1 där alla oder är olika förutom att v k+1 = v 1. E cykel är alltså e stig som återväder till utgågspukte. Hamiltosk cykel E Hamiltosk cykel är e cykel där grafes alla oder igår. Kompoet E kompoet i e graf består av alla oder som är graar med varadra. Grafe i Figur 1 har tre kompoeter, G 1, G 2 och G 3. Om grafe edast har e kompoet sägs de vara kopplad (eg. coected) Träd Ett träd är e graf som är kopplad ite har ågra cykler. Notera att ett träd T = (E, V ) med oder har exakt 1 kater. I Figur 1 är kompoete G 3 ett träd är vi betraktar de som e ege graf. Isomorfa grafer Ett sätt att betecka idetiska grafer. Två grafer är isomorfa om det fis e bijektio α (1-1 och oto mappig) mella odera i två grafer G 1 och G 2 såda att om e = (v, w) E 1 (α(v), α(w)) E 2

5 dvs om de ka ritas på samma sätt. För att två grafer ska vara isomorfa måste de iehålla samma atal oder samma atal kater och alla oder måste ha samma vales. Vales Vales är e egeskap för e od och är atalet kater som ode igår i, exempelvis har oede v 5 i Figur 1 valese 4 vilket beteckas med δ(v 5 ) = 4. Teorem För e graf G = (V, E) gäller att δ(v) = 2 E. v V Bevis När vi summerar valese för alla oder kommer varje kat att vara med e gåg för varje igåede od och e kat har per defiitio två oder. Korrolarium Atal oder i e graf med udda vales är jämt. Bevis Summa av valeser är jäm och eftersom valessumma för oder med jäm vales är jäm måste atalet oder med udda vales vara jäm för att hela summa ska vara jäm. Ett exempel Professor Slump och has fru Fortua har e fest hemma och då kommer ytterligare fyra par. Folk skakar had med varadra lite slumpmässigt är de träffas uder kvälle, me aturligtvis skakar ite gifta maka had. När kvälle är slut frågar prof. Häggström alla gäster hur måga de skakat had me doch alla ger olika svar. Hur måga skakde ahd med Fortua?

6 v 1 e v e v 6 e 3 v 11 v 2 e 4 e 5 v 8 e 11 e 12 v 10 e 6 v 5 v 15 v 16 e 16 e 17 e 9 e 10 v 3 e 7 e 8 v 12 v 9 v 17 e 14 e 18 v 4 e 13 e 15 v 13 v 14 v 18 e 19 e 20 v 19 v 20 Figur 1: Ett exempel på e graf G = (V, E) med odmägd V = {V 1,...,v 20 och katmägd E = {e 1,..,e 20 }. G har tre kompoeter, G 1 = ({v 1,...,v 12 }, {e 1,...,e 12 }), G 2 = ({v 12,v 13,v 24 }, {e 13,e 14,e 15 }) och G 1 = ({v 15,...,v 20 }, {e 16,...,e 20 }), varav G 2 är de kompletta grafe K 3 och G 3 är ett träd (som käeteckas av att de ite har ågra loopar.)