4.2.3 Normalfördelningen

Transkript

1 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett resultat X frå ett (slumpmässigt) försök istället ett värde i ett itervall av täkbara värde. Ex 1. Lägde hos e 25-årig ma. Ex 2. Diameter hos e producerad kula till ett kullager Ex 3. Resistase i ett motståd X sägs då vara e kotiuerlig slumpvariabel.

2 4.2.3 Normalfördelige Ex. Lägde hos 100 stycke 25-åriga mä (simulerade värde). Klass frekves relativ frekves relativ frekvesdesitet relativ frekvesdesitet = relativ frekves/klassbredd

3 4.2.3 Normalfördelige Histogram of Lägd Histogram of Lägd 40 0, ,03 Frequecy 20 Desity 0, , Lägd , Lägd Area = (0.027) 10 = 0,27 Låt X = Lägde hos e slumpmässigt vald 25-årig ma. E rimlig uppskattig av P(185 < X 195) är 0,27.

4 4.2.3 Normalfördelige Histogram of Lägd, =1000 Histogram of Lägd, = ,05 0,04 0,04 Desity 0,03 0,02 Desity 0,03 0,02 0,01 0,01 0, Lägd , Lägd Lägde hos 1000 mä Lägde hos mä

5 4.2.3 Normalfördelige Histogram of Lägd, =10000 Normal Histogram of Lägd, =10000 Normal 0,04 Mea 180,1 StDev 9,932 N Mea 180,1 StDev 9,932 N Desity 0,03 0,02 Frequecy f(x) 0, , Lägd Lägd, = f(x) kallas frekvesfuktio (desity fuctio) P(185 < X 195) = f x dx

6 4.2.3 Normalfördelige E valigt (och aturligt) förekommade kotiuerlig fördelig är ormalfördelige. Dess frekvesfuktio f(x) är klockformad och beskrivs av två parametrar, ämlige µ = vätevärdet och σ 2 = variase. Beteckas N(μ, σ 2 ) Ata u att lägde X är N 181,6, 10,47 2 -fördelad. Descriptive Statistics: Lägd Variable N Mea StDev Miimum Maximum Lägd ,60 10,47 155,33 204,41 Vad är saolikhete att lägde hos e godtycklig 25-årig ma ligger mella 185 och 195 cm? P(185 < X 195) =?

7 4.2.3 Normalfördelige 0,04 Distributio Plot Normal; Mea=181,6; StDev=10,47 0,03 0,2724 Desity 0,02 0,01 0, X 195 Descriptive Statistics: Lägd Variable N Mea StDev Miimum Maximum Lägd ,60 10,47 155,33 204,41 Graph Probability Distributio Plot

8 4.2.3 Normalfördelige Histogram of Lägd, =10000 Normal Histogram of Lägd, =10000 Normal 100 Mea 180,1 StDev 9,932 N Mea 180,1 StDev 9,932 N Cumulative Percet Cumulative Percet F(x) Lägd, = Lägd, = F(x)=P(X x) kallas för fördeligsfuktio (som i det diskreta fallet).

9 4.2.3 Normalfördelige Distributio Plot Normal; Mea=181,6; StDev=10,47 Distributio Plot Normal; Mea=181,6; StDev=10,47 0,04 0,04 0,03 0,8997 0,03 Desity 0,02 Desity 0,02 0,6273 0,01 0,01 0,00 181,6 X 195 0, X F(195)=P(X 195) = 0, 8997 F(185)=P(X 185) = 0,6273 P(185 < X 195) = P(X 195) P(X 185) = = F 195 F 185 = 0,8997 0,6273 = 0, 2724

10 4.2.3 Normalfördelige Cumulative Distributio Fuctio Normal with mea = 181,6 ad stadard deviatio = 10,47 x P( X x ) 195 0, Cumulative Distributio Fuctio Normal with mea = 181,6 ad stadard deviatio = 10,47 x P( X x ) 185 0, F(195)=P(X 195) = 0, 8997 F(185)=P(X 185) = 0,6273 P(185 < X 195) = P(X 195) P(X 185) = = F 195 F 185 = 0,8997 0,6273 = 0, 2724 Calc Probability Distributios Normal

11 4.2.3 Normalfördelige Geerellt gäller P(a < X b) = P(X b) P(X a) = F b F a

12 4.2.3 Normalfördelige Egeskaper för ormalfördelige N(μ, σ 2 ) 68,3% av alla observatioer fis iom μ σ, μ + σ. 95,4% av alla observatioer fis iom μ 2σ, μ + 2σ. 99,7% av alla observatioer fis iom μ 3σ, μ + 3σ. Atar vi att lägde X är N 181,6, 10,47 2 -fördelad så kommer 68,3% av alla observatioer fis iom 181,6 10,47, 181,6 10,47 = (171,13, 192,07). 95,4% av alla observatioer fis iom 160,66, 202,54. 99,7% av alla observatioer fis iom 150,19, 213,01

13 4.2.3 Normalfördelige Histogram of Lägd, =10000 Normal 400 Mea 180,1 StDev 9,932 N Frequecy Lägd, = %: 171,13, 192,07, 95.4%: 160,66, 202,54, 99.7%: 150,19, 213,01

14 4.2.3 Normalfördelige 0,04 Distributio Plot Normal; Mea=181,6; StDev=10,47 0,03 Desity 0,02 0,01 0,00 0, ,7 181,6 X 202,5 0, %: , , 95.4%: , , 99.7%: ,

15 Exempel Atag att ett mätistrumet har ett mätfel X som är ormalfördelad med = 0 och = 1. Bestäm a) P(X < 0). b) P(X 1,05) c) P(X > 1) d) P( 0,5 X 1) e) värdet a så att P(X > a) = 0.05

16 Lösig Exempel Atag att ett mätistrumet har ett mätfel X som är ormalfördelad med = 0 och = 1. X är N(0,1). Bestäm a) P X < 0 = P X 0 = 0,5 (symmetrisk rut vätevärdet 0). b) P X 1,05 = F 1,05 = 0,853 c) P X > 1 = 1 P X 1 = 1 F 1 = 1 0,159 = 0,841

17 Lösig Uppgift 3 Atag att ett mätistrumet har ett mätfel X som är ormalfördelad med = 0 och = 1. X är N(0,1). Bestäm d) P 0,5 X 1 = F 1 F 0,5 = 0,841 0,309 = 0,532 e) värdet a så att P X > a = 0,05 Utyttja Iverse Cumulative probability uder Calc Probability Distributio Normal 1 P X > a = 1 0,05 = 0,95 P X a = 0,95 a = 1,64485

18 4.2.3 Normalfördelige När är datamaterialet ormalfördelat? E bedömig ka göras med histogram, ormal probability plot och ormality test. Stat Basic Statistics Normality Test Om P-value < 0.05 har ma statistiska belägg för att säga att data ite kommer frå e ormalfördelig. Ett P-value > 0.05 behöver emellertid ite betyda att data är ormalfördelat!

19 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Hur påverkas vätevärde och varias om data skalas om? Atag att vi adderar e kostat k till X E(X + k) = E(X) + k = μ + k V(X + k) = V(X) = σ 2 D(X + k)= V(X + k) = σ

20 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Atag att vi multiplicerar X med e kostat k Ex. Skala om lägdera till meter frå cm. Multiplicera X med k = 1/100. E(k X) = k E(X) = k μ V(k X) = k 2 V(X) = k 2 σ 2 D(k X)= V(k X) = k σ

21 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Vad blir vätevärde och varias är ma summerar flera slumpvariabler? Låt X 1, X 2,, X vara oberoede slumpvariabler med vätevärde μ 1, μ 2,, μ och stadardavvikelser σ 1, σ 2,, σ. E i=1 X i = i=1 μ i = μ 1 + μ μ V i=1 X i = i=1 σ i 2 = σ σ σ 2

22 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer I praktike har vi oftast summa av upprepade mätigar dvs slumpvariablera har samma vätevärde μ och varias σ 2. E i=1 X i = i=1 μ = μ + μ + + μ = μ V i=1 X i = i=1 σ 2 = σ 2 + σ σ 2 = σ 2

23 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Ex. Summa av 10 tärigskast upprepade 1000 gåger. Saolikhet 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0, Ett tärigskast 3 4 C6 5 6 Ma ka visa att vätevärde och varias för ett kast är 3.5 respektive Det betyder att summa av 10 kast bör ha vätevärde 35, varias 29.2 och stadardavvikelse 5.4. Utfallet av summa av 10 tärigskast är ett heltal mella 10 och 60.

24 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Ex. Summa av 10 tärigskast upprepade 1000 gåger. Frequecy Histogram of Summa Normal Summa Mea 34,83 StDev 5,390 N 1000 Som i ser påmier histogrammet om frekvesfuktioe för e ormalfördelad variabel. Medelvärde och stickprovsstadardavvikelse är ära de saa värdea 35 och 5,4. Calc Radom Data Iteger (skapa 10 kolumer, ett kast per kolum) Calc Row Statistics (summer radvis och spara i y kolum)

25 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Vad blir vätevärde och varias för medelvärdet X av flera slumpvariabler?? Låt X 1, X 2,, X vara oberoede slumpvariabler med vätevärde μ 1, μ 2,, μ och stadardavvikelser σ 1, σ 2,, σ. E X = E 1 i=1 X i = 1 i=1 μ i = μ 1 + μ μ V X = V 1 i=1 X i = 1 2 i=1 σ i 2 = σ σ σ 2 2

26 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer I praktike tar vi oftast medelvärdet av upprepade mätigar dvs slumpvariablera har samma vätevärde μ och varias σ 2. E X = E 1 i=1 X i = 1 i=1 μ = μ + μ + + μ = μ = μ V X = V 1 i=1 X i = 1 2 i=1 σ 2 = σ2 + σ σ 2 2 = σ2 D X = σ

27 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Om våra slumpvariabler X 1, X 2,, X är oberoede och ormalfördelade blir medelvärdet (och summa) ormalfördelad. X är N μ, σ2 i=1 X i är N μ, σ 2

28 4.2.3 Exempel Maliga flygpassagerare har e kroppsvikt (kg) som ka ases vara ormalfördelad med vätevärde 81 kg och stadardavvikelse 4 kg. a) Hur stor är saolikhete att e godtycklig malig flygpassagerare väger midre ä 80 kg? b) Vad är saolikhete att 25 maliga flygpassagerares sammalagda vikt uderstiger 2000 kg? c) Vad är saolikhete att medelvikte av 25 maliga passagerare uderstiger 80 kg?

29 Lösig Exempel Maliga flygpassagerare har e kroppsvikt (kg) som ka ases vara ormalfördelad med vätevärde 81 kg och stadardavvikelse 4 kg. a) Hur stor är saolikhete att e godtycklig maliga flygpassagerare väger midre ä 80 kg? Låt X = vikte på e godtycklig malig flygpassagerare X är N 81, 4 2 P X < 80 = P X 80 = F(80) = 0.4

30 Lösig Exempel Maliga flygpassagerare har e kroppsvikt (kg) som ka ases vara ormalfördelad med vätevärde 81 kg och stadardavvikelse 4 kg. b) Vad är saolikhete att 25 maliga flygpassagerares sammalagda vikt uderstiger 2000 kg? Låt X i = vikte på flygpassagerare ummer i (malig) och Y = vikte på 25 maliga flygpassagerare. Y = i=1 X i är N μ, σ 2 = N 25 81, = N 2025,400 P X 2000 = F(2000) =

31 Lösig Exempel (forts) c) Vad är saolikhete att medelvikte av 25 maliga passagerare uderstiger 80 kg? X = 1 i=1 X i är N μ, σ2 = N 81, P X 80 =

32 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Äve om observatioera ite är ormalfördelade kommer medelvärdet (och summa) approximativt att vara ormalfördelad. Detta approximativa resultat följer av cetrala gräsvärdessatse (cetral limit theorem). Cetrala gräsvärdessatse (CGS) säger att oavsett vad vi mäter för ågot, om vi bildar medelvärde (eller summor) av de observatioer som vi tar, kommer medelvärdets (summas) fördelig att efterlika ormalfördelig bara ma tar tillräckligt måga observatioer. X är approximativt N μ, σ2 i=1 X i är approximativt N μ, σ 2

33 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Cetrala gräsvärdessatse medför bl.a. att proportioer kommer att approximativt vara ormalfördelade (om är relativt stort). För biomialfördelige gäller: Låt A betecka e hädelse vid ett slumpmässigt försök. Upprepa försöket gåger (oberoede upprepigar). Vid varje upprepig iträffar A med saolikhete p. Y = atal gåger hädelse A iträffar är Bi, p

34 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Om vi låter X i = 1 om hädelse A iträffar och X i = 0 om hädelse A ite iträffar Då ka vi skriva Y = i=1 X i.

35 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Vi ka otera att varje X i är Bi 1, p med μ = 1p = p och σ 2 = 1pq = pq För stora stickprov gäller att i=1 X i är (approximativt) N μ, σ 2. Vi får att Y = i=1 X i är approximativt N p, pq. Bi, p approximeras med N p, pq om är relativt stort.

36 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer I praktike käer vi ite värdet på p uta vi måste uppskatta det. E rimlig och bra uppskattig är Y/, dvs adele gåger som A iträffar vid stycke upprepade försök. Vi fier att proportioe Y = N p, pq/ i=1 Xi = X är approximativt X är (approximativt) N μ, σ2

37 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Ex. Atag att felkvote vid e tillverkigsprocess är okäd och att vi kotrollerar e leveras om 1000 tillverkade eheter. Låt oss ata att vi käer felkvote (p = 0,03). Med Calc Radom Data Biomial ka vi simulera ett stickprov som får vara det atal defekta ma fa. Simulerige gav y = 28 defekta.

38 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Proportioe p uppskattas följaktlige till 28/1000 = 0,028 (relativt ära saige 0,03). Vi ka u uppskatta Y:s fördelig atige som Bi 1000, 0,028 eller som N 28, 27,216 (σ = 27,216 = 5,217). (N p, pq = N , (1 0,028) )

39 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Distributio Plot 0,08 0,07 0,06 Distributio p Biomial ,028 Distributio Mea StDev Normal 28 5,217 0,05 Desity 0,04 0,03 0,02 0,01 0, X Approximatioera är relativt likstämmiga!

40 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Distributio Plot 0,08 0,07 0,06 Distributio p Biomial ,03 Distributio Mea StDev Normal 28 5,217 0,05 Desity 0,04 0,03 0,02 0,01 0, X Beroede på hur utfallet blir (hur ära skattige av proportioe är saa p) kommer skattige av saa fördelige att vara bra och midre bra. Ju större desto bättre skattige av p (ärmare saige).

41 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Låt oss bestämma P(Y 32) exakt och med hjälp av approximatioera. Biomial with = 1000 ad p = 0,028 x P( X x ) 32 0, Normal with mea = 28 ad stadard deviatio = 5,217 x P( X x ) 32 0, Hyfsat lika resultat. Saige: Biomial with = 1000 ad p = 0,03 x P( X x ) 32 0,686568

42 4.3 Fördelig för medelvärde och proportioer Vi ka kostatera att båda approximatioe ger liktydiga resultat. Däremot ka överestämmelse med saige bli relativt fel. Ofta är ma itresserad av fel-proportioe p och framför allt e uppfattig om hur bra skattig Y/ är av saa p. Eftersom vi ka approximera skattige Y/ med N p, pq/ så vet vi t.ex. att ugefär 95.4% av utfalle för Y/ kommer att ligga i itervallet μ 2σ, μ + 2σ = p 2 pq, p + 2 pq. Ju större stickprov () desto sävare itervall rut p. Skattigara ka ite avvika alltför mycket frå saa p om är stort. I kapitel 7 kommer vi att bestämma itervall som täcker i p med e give saolikhet, så kallade kofidesitervall.