Tentamen i matematisk statistik

Transkript

1 Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst risk att råka ut för e skada eligt dea udersökig. (Motiverig krävs för att få poäg.) Uppgift : E etrepreör har lämat i abud på tre olika jobb, A, B och C. Ha bedömer saolikhete att få de olika jobbe till 0.5 för A, 0.8 för B och 0. för C. Hädelsera att få olika jobb ases oberoede. Låt ξ vara totala atalet jobb av dessa tre som etrepreöre får. a) Skriv upp utfallsrummet för ξ. b) Bestäm saolikhetsfördelige för ξ. c) Vad är P(0 < ξ )? Uppgift : Livslägde för e viss sorts glödlampa är expoetialfördelad med de geomsittliga livslägde 00 timmar. a) Hur stor är motsvarade stadardavvikelse? b) Jag har just satt i e glödlampa av ovaståede slag i e armatur. Hur stor är saolikhete att lampa har e livslägd som överstiger 65 timmar? c) Efter 50 timmars britid fugerar lampa fortfarade. Hur stor är saolikhete att dess livslägd är ytterligare mist 65 timmar, d.v.s. totalt mist 5 timmar? Uppgift 4: I e gruva ka de malm som bryts per dag ases vara approximativt ormalfördelad med medelvärdet 785 to/dag och stadardavvikelse 60 to/dag. a) Hur stor är saolikhete att det e give dag bryts mer ä 800 to malm? b) Ata att ma studerar 5 arbetsdagar. Vad är saolikhete att ma uder dessa arbetsdagar totalt bryter mer ä to malm? c) Ata att ma studerar 5 olika dagar. Vad är saolikhete varje dag (av dessa 5) bryter mer ä 800 to malm? (8 poäg) Uppgift 5: I e affär hadlar varje tisdag 400 kuder. Atal liter mjölk e kud köper ka betraktas som e stokastisk variabel, ξ, med P(ξ 0) 0., P(ξ ) 0.5 och P(ξ ) 0.. Olika kuders köp är oberoede. Beräka approximativt saolikhete att lagret räcker till tisdages kuder om iköpare i affäre tar hem 90 liter.

2 Uppgift 6: America Express gjorde e udersökig för att ta reda på hur stor adel av deras kudkrets som var itresserad av e y övergripade försäkrig. Ma valde slumpmässigt ut 50 persoer ur sitt kudregister. Av dessa svarade persoer att de var itresserade av de ya försäkrige. a) Bilda ett 99%-igt kofidesitervall för totala adele kuder hos America Express som var itresserade av försäkrige. b) Ata att det krävdes att mist 55% av kudera var itresserade av försäkrige för att America Express skulle iföra de. Aväd kofidesitervallet för att ge företaget råd om försäkrige bör iföras eller ej. Uppgift 7: Uder åre gjordes oterigar om medelpriset och efterfråga på e speciell vara: ÅR Efterfråga i to (y) Medelpris i 000 kr (x) a) När ma gör aalys av efterfråga aväds ofta e matematisk modell av type ya x b. Observera att detta ite är e expoetialfuktio, (som skulle ha skrivits yab x ). När kostatera a och b beräkas med hjälp av mista kvadratmetode logaritmeras efterfrågemodelle på motsvarade sätt som expoetialfuktioe. Bestäm a och b i modelle ya x b med hjälp av mista kvadratmetode. b) Hur mycket får vara i geomsitt kosta om ma (eligt modelle) skall kua förväta sig e efterfråga på 75 to? Uppgift 8: E viss maski aväds för precisiostillverkig av eheter som bör väga 785 gram. Ma misstäker e viss dag systematiska avvikelser i produktioe så att ehetera blir för lätta. För att kotrollera detta tar ma ut ett slumpmässigt urval om 8 eheter ur dea dags produktio. Resultatet blev (i gram): Formulera lämplig ollhypotes och mothypotes för att kotrollera om misstake stämmer. Geomför testet på 5%:s sigifikasivå uder förutsättig att mätvärdea är ormalfördelade.

3 Lösigar till tetame i matematisk statistik Uppgift : S skadade M mä K kvior P(S) 0.0 P(K) 0. P(M S) 0.6 P(M S) P(M S) P(S) M K S S C P(S M) P(S M) P(M) P(S K) P(S K) P(K) dvs Kvior löper störst risk. Uppgift Ω {0,,, } P(A) 0.5 P(B) 0.8 P(C) 0. a) P(ξ 0) P(A C B C C C ) P(ξ ) P(A B C C C ) + P(A C B C C ) + P(A C B C C) P(ξ ) P(A B C C ) + P(A B C C) + P(A C B C) P(ξ ) P(A B C) b) P(0 < ξ ) P(ξ ) + P(ξ ) 0.8 Uppgift ξ livslägd ξ Exp(λ) E(ξ) λ 00 timmar a) Var(ξ) λ 00 S(ξ) Var( ξ ) 00 timmar 65 b) P(ξ > 65) P(ξ < 65) ( 00 e ) 0.5 c) P(ξ > 5 ξ > 50) P( ξ > 5 ξ > 50 ) P( ξ > 50 ) P( ξ> 5 ) P( ξ > 50) e e e 0.5

4 Uppgift 4: ξ atal to malm brute uder e dag ξ N(µ, σ) N(785, 60) a) P(ξ > 800) P(ξ < 800) P( Z < ) P(Z < 0.5 ) b) η atal to malm brute uder 5 dagar η ξ + ξ ξ 5 E(η) E(ξ ) + E(ξ ) E(ξ 5 ) to Var(η) Var(ξ ) +. + Var(ξ 5 ) 5 60 S(η) to P(ξ > 0 000) P(ξ < 0 000) P( Z < P(Z <.5 ) ) c) ζ atal dagar som uppfyller villkoret i a-uppgifte ζ Bi(, p) Bi(5, 0.40) P(ζ 5) ( 0.40) Uppgift 5: ξ atal liter mjölk som köps av e perso P(ξ 0) 0. P(ξ ) 0.5 P(ξ ) 0. E(ξ) Var(ξ) η atal liter mjölk som köps av 400 persoer η ξ + ξ ξ 400 E(η) E(ξ ) + E(ξ ) E(ξ 400 ) Var(η) Var(ξ ) +. + Var(ξ 400 ) P(η < 90) P( Z< ) P(Z <.4)

5 Uppgift 6: 50 pˆ a) p( p) 0.484( 0.484) pˆ ± ± ± [ ] b) ovaståede itervall iehåller 0.55 som är de edre gräse för att företaget skall våga iföra försäkrige. Kofidesitervallet är ju bildat så att det i 99 fall av 00 täcker över de saa adele. Me vi ka ite utesluta ågot av de värdea som fis i itervallet. De saa adele ka vara 0.55 eller större me de ka också vara midre ä Vårt råd blir därför att ma ite med stöd av dea udersökig bör iföra försäkrige. Uppgift 7: y ax b logaritmeras till ly la + b lx a) ly lx y x ( x)( y) ( x) l. 50 l 8 l l l i i i i b ( lx)( ly) i i ( ) lx lxly i i i lx ly lx i i. 50 la b a y x b) x y lx (l ly) (0.768-l75).949 x0 dvs geomsittspriset är 400 kr/to.

6 Uppgift 8: a) Steg : H 0 : µ 785 H : µ < 785 df 7 Steg : α 5% Steg : Välj testvariabel T x µ s -.89 Steg 4: Urval gav x i 66 och x i x s T s.00 Steg 5: H 0 förkastas. Dea udersökig tyder på att ehetera blir för lätta