Lösningar till Tentamen i Matematisk Statistik, 5p 22 mars, Beräkna medelvärdet, standardavvikelsen, medianen och tredje kvartilen?

Transkript

1 Lösningar till Tentamen i Matematisk Statistik, 5p 22 mars, Månadslönerna för 10 lärare vid en viss skola är Beräkna medelvärdet, standardavvikelsen, medianen och tredje kvartilen? (2p) x = = i x2 1 i = ( x i 10 x2 ) = s = 2160 Sorterat stickprov: , , , , , , , , , } {{ } m=19850 T.ex. med intervallen (15500, 16500], (16500, 17500],..., (22500, 23500] fås tredje kvartilen, Q 3, som det x-värde innan vilket 75% av den totala rektangelarean finns (se figur nedan) Q 3 = x = 19580, s = 2160, m = 19850, Q 3 = Se vidare kap. 1 1 För att denna uppgift skulle vara relevant, är det angivna stickprovet baserat på uppgifter från Lärarnas Riksförbund (hemsida:

2 2. Teofil metar i Laholmsbukten. Antalet fiskar som nappar under en timme är Poisson-fördelat, med λ = 0.5 för sill och λ = 0.2 för makrill (antalet makrillar är oberoende av antalet sillar och vice versa). a) Vad är Teofils chans att under 1 timme få 2 sillar och 2 makrillar? (2p) b) Vad är sannolikheten att Teofil under 6 veckors (2 timmar per dag, 4 dagar per vecka) fiske får minst 20 sillar? (Ev. approximationer ska anges!) (2p) a) Se vidare kap. 3 P (2 sillar och 2 makrillar) = p sill (2)p makrill (2) = e 2! = = e 2! b) Antalet timmar Teofil fiskar är = 32. Låt X i vara det antal fiskar han drar upp under timme i. Då är det antal fiskar han drar upp totalt Y = 32 i=1 X i där X 1,..., X 32 är oberoende och X i P o(0.5). Denna summa är Poissonfördelad med λ Y = nλ = = 16 d.v.s. approximativt normalfördelad N(λ Y, λ Y ) = N(16, 4) (enligt C.G.S.) om λ Y > 15 och 16 > 15 så ok! Därmed är Se vidare kap. 6.3 P (minst 20 sillar) = P (Y 20) = 1 P (Y 19) ( ) = 1 Φ 4 = 1 Φ(0.75) } {{ } =

3 3. Antag att U är rektangelfördelad på intervallet (0, 1). Vad är den betingade sannolikheten att U > 1/5 givet att U 2/3? (2p) { 1 om 0 < x < 1 U R(0, 1) f(x) = 0 annars 0 om x < 0 x x F (x) = f(y) dy = 1 dy om 0 < x < 1 1 om x > 1 Därmed är 0 om x < 0 = x om 0 < x < 1 1 om x > 1 P (X > 1 5 X 2 3 ) = P (X > 1 5, X 2 3 ) P (X 2 3 ) = P ( 1 5 < X 2 3 ) P (X 2 3 ) = P (X 2 3 ) P (X 1 5 ) P (X 2 3 ) = F ( 2 3 ) F ( 1 5 ) F ( 2 3 ) 2/3 1/5 = 2/3 = = Se vidare kap. 2.2 och 4.2 = 0.7

4 4. En vaktmästare vid en skola ansvarar för att det finns tillräckligt med kontorsmatriel i förrådet. Han hävdar att det med 99% säkerhet jämt finns mellan 50 och 70 kollegieblock där. Du observerar under 6 veckor 71, 48, 53, 63, 77 och 62 block. Kan man lita på vaktmästarens ord? (3p) x = 62.3 och x 2 i = ( x 2 ) = s = 10.8 t α/2 (n 1) s n = t (5) s 6 = = Ett 99% konf.int. är x ± t α/2 (n 1) s n = (44.5, 80.1) Eftersom vaktmästaren hävdade att antalet block var, med 99% säkerhet, mellan 50 och 70 så blir svaret: nej, han har fel. Se vidare kap. 8

5 5. I statistisk årsbok finner man att att livslängden hos Sveriges befolkning är normalfördelad med µ = 80 år och σ = 10 år. Enligt en undersökning av livslängden hos befolkningen i Blomstermåla mellan 1997 och 1999, dog 1000 människor under denna tid varav 129 var yngre än 70 år, 871 var äldre än 70 år, 540 var äldre än 80 år och 178 var äldre än 90. Finns det anledning att tro att invånarna i Blomstermåla skiljer sig från övriga landet beträffande livslängd? Gör ett test på 5% signifikansnivå. (3p) Hypotes: { H0 : X N(80, 10) H 1 : X N(80, 10) Signifikansnivå: 5% Vi vet: Klass Gränser O i 1 x < x = < x = x > Vi vill även ha en fjärde kolumn med E i, de förväntade antalen under nollhypotesen: E i = np i där p i = P (X i klass i H 0 ). Alltså: E 1 = 1000p 1 E 2 = 1000p 2 = 1000P (X 70 X N(80, 10)) = 1000P (70 < X 80 X N(80, 10)) = 1000Φ ( ) ( = 1000 Φ ( ) ( Φ ) ) 10 = 1000 (1 Φ(1)) = 1000( ) } {{ } = 159 = 341 E 3 = E 2 = 341 (p.g.a. symmetri) E 4 = E 1 = 159 och därmed k-tabellen: Klass Gränser O i E i 1 x < x < x x > (O i E i ) 2 Statistikan: u = i E i = = 9.51 = ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 = Eftersom χ 2 α (k 1) = χ (3) = 7.81 och u = 9.51 > 7.81 förkastas H 0 d.v.s. ja, livslängderna i Blomstermåla skiljer sig från resten av landet! Se vidare kap. 10.3

6 6. Man gör undersökningar vid Halmstads badplatser för att få reda på om halten av gift från giftalger överstiger vissa gränsvärden. Om man (på signifikansnivå 1%) kan visa att den förväntade nivån överstiger 0.7 sätter man upp en varningsskylt som rekommenderar folk att ej bada där och om man kan visa att den förväntade nivån överstiger 1.0 utfärdar man badförbud. Antag att nivån är normalfördelad med σ = 0.08 och att man observerar nivåerna a) Ska man sätta upp varningsskylten? (1p) b) Ska man utfärda badförbud? (1p) x = , σ = 0.08 { H0 : µ = 0.7 a) Testa H 1 : µ > 0.7 på sign.nivå α = 0.01 u = x µ 0 σ/ = n 0.08/ = > 2.33 = λ så: ja, sätt upp skylten! { H0 : µ = 1 b) Testa på sign.nivå α = 0.01 H 1 : µ > 1 u = x µ 0 σ/ n = / 8 = = λ 0.01 så: nej, inget badförbud! Se vidare kap. 9.2

7 7. Gränserna a = 21.3 och b = 28.9 är s.k. normalgränser för variabeln X. Detta innebär att X N(µ, σ) P (a X b) = 0.95 a och b ligger symmetriskt över µ (d.v.s. µ a = b µ) Bestäm µ och σ. (3p) Eftersom a, b ligger symmetriskt över µ så är µ a = b µ, d.v.s. µ 21.3 = 28.9 µ, d.v.s. µ = = 25.1 Vidare är (rita gärna figur!) 0.95 = P (21.3 X 28.9) ( ) ( ) 28.9 µ 21.3 µ = Φ Φ σ σ ( ) ( ) = Φ Φ σ σ ( ) ( ( )) = Φ 1 Φ σ σ ( ) 3.8 = 2Φ 1 σ Φ( 3.8) = ( ) = = 1.96 σ = σ 2 σ µ = 25.1 och σ = Se vidare kap. 6.1

8 8. Arne vill åka med sina kompisar på en resa till London under våren. Resan kostar 1800:- och för att tjäna ihop till det säljer han morgontidningar varje söndag och första maj-blommor under 4 veckor. Inkomsten från tidningsförsäljningen är A i kronor vecka i där A i N(170, 50). Majblommorna ger B i N(30, 15) kronor per vecka under 4 veckor. De ska resa om 11 veckor. Vad har Arne för chans att få råd att hänga med? (3p) Låt Y = 11 i=1 A i + 4 B i. (Antar intäkterna A 1,..., A 11, B 1,..., B 4 är oberoende.) j=1 Eftersom A i N(170, 50) A i N(11 170, 11 50) = N(1870, 11 50) B j N(30, 15) B j N(4 30, 4 15) = N(120, 30) så är Y N( , ) = N(1990, 28400) varmed P (Arne har råd) = P (Y > 1800) ( ) = 1 Φ ( ( )) 190 = 1 1 Φ = 1 (1 Φ(1.127)) = Arnes chans är 87%. Se vidare kap. 6.2

9 9. En klass på 13 elever ska ha fysikprov. Fysikläraren tillhandahåller en speciell sorts miniräknare vid alla fysikproven. Denna gång fungerar batterierna för alla elever utom 2. Finns det anledning att tro att sannolikheten p, för att batterierna i en miniräknare skall vara slut, är större än 0.05? Välj själv signifikansnivå för ett lämpligt test. (3p) { 1 om batterierna är slut för den i:te eleven Låt X i = 0 annars och P (X i = 1) = p, P (X i = 0) = 1 p och p 0 = { H0 : p = 0.05 Vi vill testa på t.ex. sign.nivå α = H 1 : p > 0.05 Alla utom 2 funkar innebär att u = 13 i=1 x i = 2 där U är binomialfördelad med n = 13 och p, dvs under H 0 är U Bin(n, p 0 ) = Bin(13, 0.05). Därmed är α 0 = P (U > u H 0 ) = 1 P (U u H 0 ) = 1 P (U 2 U Bin(13, 0.05)) = = Eftersom α 0 = < 0.05 = α kan H 0 förkastas d.v.s. risken att batterierna är slut är större än (På sign.nivå 1% hade man dock ej kunnat förkasta H 0 eftersom ) Se vidare kap. 9.4

10 10. Antag att X 1, X 2, X 3 är ett stickprov på X R(0, 2) och låt m 1 = 1(X X 2 + X 3 ) och m 2 = 2 min(x 1, X 2, X 3 ) vara två punktskattningar av µ = E(X). a) Är m 1 och m 2 väntevärdesriktiga? (3p) b) Vilken skattning är effektivast? (2p) a) E(X) = µ = 2 0 x 1 2 dx = 1 2 [ x2 2 ]2 0 = 1 2 ( 4 2 0) = 1 För att kolla om m 1 och m 2 är väntevärdesriktiga ska vi beräkna deras väntevärde och se om de är µ = 1: E(m 1) = E( 1 3 (X 1 + X 2 + X 3 )) = 1 3 (E(X 1) + E(X 2 ) + E(X 3 )) = 1 3 3µ = 1 E(m 2) = 2E(min X i ) = xf min X i (x) dx F min Xi (x) = P (min X i x) = 1 P (min X i > x) = = 1 P (X 1 > x)p (X 2 > x)p (X 3 > x) = = 1 (1 P (X 1 x))(1 P (X 2 x))(1 P (X 3 x)) = = 1 (1 x 2 )3 f min Xi (x) = d P (min X dx i x) = 0 3( 1)(1 x 2 2 )2 = 3(1 x 2 2 )2, då 0 x 2 E(min X i ) = xf min X i (x) dx = 2 x 3 (1 x )2 dx = 3 2 x2 x(1 x + ) dx = = 3 2 (x 2 0 x2 + x3 ) dx = 3 [ x2 x3 + x ]2 0 = 3 ( ) = = 3( ) = 1 ( ) E(m 2) = E(2 min X i ) = 2E(min X i ) = 2 1 = 1 2 Ja, både m 1 och m 2 är väntevärdesriktiga. b) Ska kolla om V (m 1) < V (m 2) eller om V (m 1) > V (m 2): V (m 1 ) = V ( 1 3 (X 1 + X 2 + X 3 )) = 1 9 (V (X 1) + V (X 2 ) + V (X 3 )) = (2 0)2 12 = 1 9 V (m 2) = V (2 min X i ) = 4 ( E((min X i ) 2 ) E(min X i ) 2) E((min X i ) 2 ) = x2 f min Xi (x) dx = 2 0 x2 3 (1 x 2 2 )2 dx = = x2 (1 x + x2 ) dx = 3[ x3 x4 + x ]2 0 = 3( ) = = 3( ) = = Från ( ) i a-uppg. vet vi att E(min X i ) = 1 varmed 3 V (m 2) = 4 ( E((min X i ) 2 ) E(min X i ) 2) = 4( 2 ( )2 ) = = Alltså är V (m 1 ) = 1 9 < = V (m 2 ) d.v.s. m 1 är effektivare än m 2. Se vidare kap. 7.4