Tentamen MVE265 Matematisk statistik för V,

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Tentamen MVE265 Matematisk statistik för V, 2013-01-19"

Lennart Bergström
för 9 år sedan
Visningar:

1 Tentamen MVE6 Matematisk statistik V, Tentamen består av åtta uppgifter om totalt 0 poäng. Det krävs minst 0 poäng betyg 3, minst 30 poäng 4 och minst 40. Examinator: Ulla Blomqvist Hjälpmedel: Chalmersgodkänd miniräknare, läroboken Matematisk statistik av Ulla Blomqvist och Håkan Blomqvists formelsamling. Telefonjour: Lycka till! Uppgift : En person har två tärningar som ser likadana ut, den ena är symmetrisk medan den andra är preparerad så att den alltid ger sexa. Han väljer fullständigt slumpmässigt en tärning och gör ett kast, varvid han får en sexa. Hur stor är sannolikheten att han har kastat den preparerade tärningen? Uppgift : En population omfattar fyra familjer. Antalet individer i familjerna är 3, 4, respektive 6. Från denna population väljs slumpmässigt 4 personer. Beräkna sannolikheten att det kommer en person från varje familj om urvalet görs a) utan återläggning. b) med återläggning. Uppgift 3: Anta att bilar, som anländer till en vägtull, kan beskrivas med hjälp av en Poissondelning med en genomsnittstakt på.6 bilar per minut. a) Vad är sannolikheten att det anländer fler än 0 bilar på en timma? b) Vad är sannolikheten att det går mellan 30 och 4 sekunder mellan två successiva bilars ankomst? Uppgift 4: Livslängden, ξ, hos en radioaktiv atom har frekvensfunktionen λe f(x) = 0 λ x x 0 x < 0 a) Bestäm delningsfunktionens värde i punkten x = λ. b) Vad är väntevärdet och variansen ξ?

Uppgift : En person har två tärningar som ser likadana ut, den ena är symmetrisk medan den andra är preparerad så att den alltid ger sexa.

2 Uppgift : För en grupp rekryter gäller att kroppslängden hos en slumpmässigt vald individ kan betraktas som en normaldelad stokastisk variabel med väntevärdet 78. cm och standardavvikelsen cm. Ur denna grupp frånskiljes de vilkas längd inte uppgår till 7 cm. a) Beräkna den kroppslängd som avskiljer de % längsta bland de resterande rekryterna. Denna längd brukar kallas övre kvartilen. b) Anta att man väljer ut en grupp på 0 individer från dem vars längd överstiger 7 cm. Vad är sannolikheten att fler än av dessa utvalda individer har en längd som överstiger övre kvartilen? (8 poäng) Uppgift 6: Anta att väntetiden tills stombussen kommer är rektangeldelad med väntevärdet minuter och variansen. En student åker med stombussen mellan hemmet och skolan gånger per dag. Varje vecka består av schemalagda dagar och varje läsperiod av 7 studieveckor. Totalt reser hon alltså 70 gånger med stombussen under en läsperiod. Vad är sannolikheten att hennes genomsnittliga restid under en läsperiod är högst 4 min? Uppgift 7: En maskin producerar metalltappar vars diameter måste understiga. tum att vara användbara i produktionen. En statistisk undersökning har visat att tapparnas diameter kan anses vara normaldelad med väntevärdet.490 tum och standardavvikelsen 0.00 tum. a) Hur stor andel av de tillverkade tapparna är användbara i produktionen? b) Tapparna packas i containrar om 00 stycken. Vad är det väntade antal användbara tappar per låda samt motsvarande standardavvikelse? Uppgift 8: En viss maskin används precisionstillverkning av enheter som bör väga 78 gram. Man misstänker en viss dag systematiska avvikelser i produktionen så att enheterna blir lätta. För att kontrollera detta tar man ut ett slumpmässigt urval om 8 enheter ur denna dags produktion. Resultatet blev (i gram): Formulera lämplig nollhypotes och mothypotes att kontrollera om misstanken stämmer. Genom testet på %:s signifikansnivå under utsättning att mätvärdena är normaldelade.

b) Anta att man väljer ut en grupp på 0 individer från dem vars längd överstiger 7 cm. Vad är sannolikheten att fler än av dessa utvalda individer har en längd som överstiger övre kvartilen?

3 Lösningar till tentamen i matematisk statistik VI 9/-3 Uppgift : kalla den vanliga tärningen tärning och den preparerade tärningen tärning. P(tärning ) = P(tärning ) = P(6:a tärning ) = P(6:a tärning ) = 6 Fyll i en fyrfältstabell P(6:a tärning ) = P(6:a tärning ) P(tärning ) = 6 = P(6:a tärning ) = P(6:a tärning ) P(tärning ) = = 6:a Inte 6:a Tärning Tärning Beräkna : P(tärning 6:a) = P(tärning 6 : a) P(6 : a) = 7 = 7 6 Uppgift K = en person från varje familj a) Utan återläggning P(K) = = b) Med återläggning: Kalla familjerna A, B, C och D Sannolikheten att få en person från varje familj i ordningen A, B, C och D = = fortsättning uppgift b på nästa sida

P(tärning ) = = 6:a Inte 6:a Tärning Tärning 0 7.00 Beräkna : P(tärning 6:a) = P(tärning 6 : a) P(6 : a) = 7 = 7 6 Uppgift K = en person från varje familj.

4 forsättning uppgift b I uppgiften står ingenting om att ordningen skulle vara viktig. Vi beräknar där antal ordningar som man kan få de 4 familjerna i till 4 3 = 4 Alltså, P(K) = Uppgift 3: ξ = bilar, som anländer till en vägtull ξ = Po(λ =.6 bilar/ minut) a) Räkna om λ. λ =.6 bilar/ minut = 6 bilar/ tim λ > fl använd normalapproximation 0 P(ξ > 0) = P(ξ <0) = P(Z < ) = P(Z < 0.40) º 0.64 b) η = tiden mellan två successiva bilar η = Exp(λ) Räkna om λ. λ =.6 bilar/ minut = bilar/ sekund P(30 < η < 4) = P(η < 4) P(η < 30) = e ÿ 4 ( e ÿ 30 ) º 0.3 Uppgift 4: ξ = livslängden hos en radioaktiv atom ξ = exponentialdelad 0 a) F(x) = e λx λ x < 0 x 0 F( ) = e λ = e λ b) ξ är exponentialdelad E(ξ) = och Var(ξ) = λ λ Uppgift : ξ = längden på en rekryt ξ = N (µ, σ) = N(78., ) cm a) 7 Fortsättning uppgift på nästa sida

6 bilar/ minut = 6 bilar/ tim λ > fl använd normalapproximation 0 P(ξ > 0) = P(ξ <0) = P(Z < ) = P(Z < 0.40) º 0.64 b) η = tiden mellan två successiva bilar η = Exp(λ) Räkna om λ. λ =.

5 Fortsättning uppgift P(ξ < 7) = P(Z < = 0.40 ) = P(Z < 0.7 ) = Φ(0.7) Det är alltså 4.0% av de kortaste rekryterna som tas bort från gruppen. Kvar finns 7.80%. Av dessa kvarvarande söker vi 3:de kvartilen. Den 3:de kvartilen avgränsar de 7% kortaste individerna i den kvarvarande gruppen. 7% av ytan % av ytan 7 Q 3 Kvartilerna delar upp den resterande gruppen i fjärdedelar. En sådan fjärdedel består av ytan P(ξ > Q 3 ) = 0.89 P(ξ < Q 3 ) = 0.80 P(Z < Tabellen ger att P(Z < 0.88 ) = 0.80, d.v.s. Q b) η = antal rekryter vars länd överstiger 3:e kvartilen η = Bin(n, p) = Bin(0, 0.) n p ( p) = 0 0. ( 0.) = 9.37 Q ) = 0.80 = 0.88 Q använd normalapproximation (Villkoret är egentligen inte riktigt uppfyllt men det blir jobbigt att beräkna annars.) P(η ) = P(η < ) = P(Z < = ) = P(Z < 0.8) 3.06

7% av ytan % av ytan 7 Q 3 Kvartilerna delar upp den resterande gruppen i fjärdedelar. En sådan fjärdedel består av ytan 0. 0.780 0.89 P(ξ > Q 3 ) = 0.89 P(ξ < Q 3 ) = 0.

6 Uppgift 6: ξ = väntetid E(ξ) = min Var(ξ) = min ξ = genomsnittlig väntetid vid 70 resor E( ξ ) = E(ξ) = min Var( ξ ) = P( ξ < 4) = P(Z < 4 4 Var( ξ ) = = ) = P(Z <.67) = P(Z <.67) 0.9 = Uppgift 7: η = diameter på metaltappar η är N(µ, σ) = N(.490, 0.00)..49 a) P(η <.) = P( Z< ) = P(Z < ) b) ξ = antal användbara tappar ξ är Bin(n, p) = Bin(0, 0.977) E(ξ) = np = = S(ξ) = np( p) = ( 0.977) Uppgift 7: Steg : H 0 : µ 78 H : µ < 78 df = 7 Steg : α = % Steg 3: Välj testvariabeln T = x µ s n -.89 Steg 4: Urval gav x i = 663 och x = i x = s = T = = s.00 Steg : H 0 kastas. Denna undersökning tyder på att enheterna blir lätta

00 b) ξ = antal användbara tappar ξ är Bin(n, p) = Bin(0, 0.977) E(ξ) = np = 00 0.977 = 488.6 S(ξ) = np( p) = 00 0.9773 ( 0.977) 3.

Relevanta dokument

Tentamen i Matematisk statistik, LKT325, 2010-08-26

Tentamen i Matematisk statistik, LKT35, 010-08-6 Uppgift 1: Beräkna sannolikheten P(A B) om P(A C B) = 0.3 och P(B C ) = 0.6 Uppgift : Sannolikheten för att behöva kassera en balk p.g.a. dålig hållfasthet