Funktionsteori Datorlaboration 1
|
|
- Simon Forsberg
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa problem med summatio, rekursiosekvatioer samt med komplex räkig. Programmet för övige iehåller måga momet, och det ka vara svårt att hia med allt. Gör du ite det, så försök att slutföra övige på ege had vid aat tillfälle. Det ka vara till hjälp bl a då du löser ilämigsuppgiftera. Det är viktigt att du tar dig tid och begrudar vad du ser. För att få e viss kotroll av att du uppfattat rätt saker fis på måga ställe tomma rader, där du förvätas skriva er dia resultat eller svar. Uder laboratioes gåg kommer hadledare i må av tid att kotrollera dia svar. Hadledige till Maple frå flerdim Itroduktio till Maple fis på kurses hemsida om du skulle behöva friska upp dia Maplefärdigheter. Summatio Maple ka avädas för att beräka summor. Sytaxe för summatio är aturlig, geom Maplekommadot sum(a(k),k=m..). 1.1 Beräka potessummora k och k=0 k 2 k=0 a k fås k=m med hjälp av kommadoa sum(k,k=0..), sum(kˆ2,k=0..). Förekla med simplify eller factor och jämför med läroboke. Svar: 1.2 Lös uppgift 1.19 med Maple. Glöm ite att förekla. 1.3 Maple är också gaska bra på teleskopsummor. Försök att lösa uppgiftera 1.15, 16, 17 med Maple. 1.4 Dubbelsummor är ite heller omöjliga. Dubbelsumma i uppgift 1.23, j, j=1 k=j fås i Maple med kommadot sum(sum(j,k=j..),j=1..). Lös uppgift 1.24 med Maple. Sygga till svaret med simplify(%). 1
2 Fuktioer Maple ka hatera ite bara uttryck som ova uta äve fuktioer. Dessa ka defiieras på flera olika sätt. Det för våra ädamål eklaste påmier om beteckige x f (x), vilke ju aväds i matematike som syoym till y = f (x). 1.5 Ge kommadot f:= x-> exp(x)-si(x); Beräka först f (0), f (1) och f (2) geom att ge kommadoa f(0);,f(1); och f(2);. Försök seda med f(a); och f(y+z);. 1.6 Lägg här märke till e viktig skillad. Om vi ger ett värde till f geom tilldelige f:=exp(x)- si(x); så är värdet av f ett uttryck med variabel x ibyggt. Gör detta och beräka diff(f,x); respektive diff(f,y);. Om vi i stället ger f ett värde geom f:=x->exp(x)-si(x); så är värdet e fuktio. Försök u med diff(f(x),x); och diff(f(y),y); samt diff(f,x);. Se äve vad diff(f,y) u ger för resultat. Fuktioer är mycket mer flexibla, me iblad ågot mer svårhaterliga ä ekla uttryck. Det fis lyckligtvis ett ekelt sätt att göra om ett uttryck till e fuktio, ämlige geom att aväda uapply. 1.7 Atag till exempel att vi vill ha e fuktio som beräkar potessumma S (3) ka vi få geom potsum3 := sum(kˆ3,k=1..); potsum3 := simplify(potsum3); potsum3 := uapply(potsum3,); = k=1 k 3. Det (Blir det protester, så beror det förmodlige på att variabel k fått ett värde vid ågo tidigare operatio. Ge i så fall kommadot k:= k ; för att ta bort detta värde.) Det går u att skriva potsum3(7), me vi ka äve sätta i symboliska variabler, potsum3(j) eller potsum3(+m). Vad blir factor(potsum3())? Svar:. Jämför med svaret till övig 1.39 b. Lägg märke till att potsum3 byter typ frå uttryck till fuktio uta ågra som helst protester. Rekursiosekvatioer Maple har e ibyggd lösare för rekursiosekvatioer, ämlige procedure rsolve. De klarar ästa alla de ekvatioer vi sett i kurse och ka också lösa begyelsevärdesproblem. Dock kommer ite alltid de explicita svare ut på e form som vi direkt förstår. 1.8 Fiboaccitale (med F 0 = 1, F 1 = 1) får ma geom kommadot rsolve({f()=f(-1)+f(-2),f(0)=1,f(1)=1},f()); Tillverka e fuktio Fiboacci med hjälp av ovaståede och uapply. Skriv t ex Fiboacci:=uapply(%,);. Beräka och förekla Fiboacci(15). Svar:. 2
3 1.9 Maple ka klara måga rekursiosekvatioer, me ite alla. Försök att lösa ågra av probleme 2.5, 2.7, 2.11, 2.14, 2.15cde med Maple. De som försöker med 2.11 får ett svar som iehåller e fuktio Γ (i Maple GAMMA) som för våra behov är e variat av fakultetsfuktioe, k! = Γ(k + 1). Vad är det för väsetlig skillad mella högerlede i 2.15 d och e? Svar: 1.10 (I må av tid.) Lös 2.13 och Förvadla i 2.13 lösige till e fuktio bikoeff av variablera och k. Vad blir bikoeff(10,2)? Svar:. Gör ett ytt försök att lösa 2.13 me skriv först assume(>0,,iteger);. Vad blir u bikoeff(10,2)? Svar:. Jämför med svaret i övigssamlige. Likvärdiga? 1.11 (I må av tid.) Maple klarar också lätt adra ordiges lieära ekvatioer med kostata koefficieter. Lös probleme 2.26bdfg, 2.32abe med Maple. Bilder av de komplexa expoetial-, sius- och logaritmfuktioe 1.12 (I må av tid.) Defiiera fuktioe geom f := t -> exp(s*t); s := sigma + I*omega; evalc(f(t)); Re(f(t)); assume(sigma, real); assume(omega, real); assume(t,real); Re(f(t)); Im(f(t)); Här är I de imagiära ehete, dvs Iˆ2 = -1. Fuktioe evalc (evaluate complex) försöker dela upp sitt argumet i real- och imagiärdel, varvid de atar att alla variabler som ite har ett värde är reella. Det framgår hur ma tar fram realdel och imagiärdel. Adra operatioer ka ite veta om t ex σ, ω och t är reella eller ej, me ma ka tala om det med assume. (Notera ova att ige beräkig av realdele Re(f(t)) ägde rum ia assume.) Variabler om vilka ma gjort e förutsättig med assume visas av Maple upp med ett tilde. Studera också additioally geom kommadot?additioally. Om ma glömt vilka atagade ma gjort för e viss variabel går det att bli uppdaterad via about, t ex about(sigma);. För att kua rita måste vi ge σ och ω umeriska värde. Med kommadot plot ka ma rita såväl parameterkurvor som fuktioskurvor (I må av tid.) Slå i kommadoa sigma := -0.3; omega := 5; plot([re(f(t)),im(f(t)),t=0..10],scalig=costraied); plot(re(f(t)),t=0..10,scalig=costraied); plot(im(f(t)),t=0..10,scalig=costraied); 3
4 (scalig=costraied medför att Maple aväder samma skala på horisotell och vertikal axel. Utelämar ma det ka kurva bli felskalad. Ma ka också ädra detta i mey i bildföstret uder Projectio.) 1.14 (I må av tid.) För att kua rita vissa tredimesioella figurer måste ma ladda i e grafikmodul i Maple. Rita e rymdkurva med kommadoa with(plots); spacecurve([t,re(f(t)),im(f(t)),t=0..10],scalig=costraied); spacecurve([t,re(f(t)),im(f(t)),t=0..10],scalig=costraied, orietatio=[0,90],axes=ormal); Lägg märke till att ma ka vrida de tredimesioella figurera i bildföstret. Håll västerkappe edtryckt i bildföstret och flytta muse. Bilde ritas om då ma trycker på mittkappe. Vill i ha e midre katig kurva så lägg till umpoits=100, ia scalig. Jämför de sist ritade kurva med de först ritade i förra övige. Vad skiljer? Svar: Vi ska u studera real- och imagiärdele samt absolutbeloppet av siusfuktioe. Notera att siusfuktioe ite lägre är uppåt begräsad av 1. Är de begräsad av ågo aa kostat? Svar: Kappa i kommadoa assume(x,real,y,real); z:=x+i*y; plot3d(re(si(z)),x=0..13,y=0..2,orietatio=[-112,68],axes=ormal); plot3d(im(si(z)),x=0..13,y=0..2,orietatio=[-112,68],axes=ormal); plot3d(abs(si(z)),x=0..13,y=0..2,orietatio=[-112,68],axes=ormal, grid=[30,30]); Verkar si z begräsad? Peka gära på bildera med muse. Håll väster muskapp edtryckt och rör på muse. Med höger muskapp edtryckt kommer du åt flera iställigar Vi ska u studera logaritmfuktioe och försöka se vilke gre som Maple aväder. Skriv följade kommado assume(r,real,t,real); x:=r*cos(t);y:=r*si(t); z:=x+i*y; plot3d([x,y,re(log(z))],r=0..1,t=-pi..pi,axes=ormal); plot3d([x,y,im(log(z))],r=0..1,t=-pi pi-0.001,axes=ormal, orietatio=[-52,55],shadig=zhue); plot3d([x,y,argumet(z)],r=0..1,t=-pi pi-0.001,axes=ormal, orietatio=[-52,55],shadig=zhue); Vilke gre aväder Maple? Svar:. Rita Im(log(z)) om log betyder aturliga gree (0 < arg z < 2π). Aväd fuktioe argumet. Maplekommado: 4
5 Komplexa fuktioer Vi skall låta Maple kotrollera om ett atal fuktioer är aalytiska. Metode är att aväda Cauchy-Riemas differetialekvatioer. Vi skall u defiiera fuktioer av z = x+iy, där x och y är reella, och kotrollera Cauchy- Riema Sätt f (z) = z 3 2z och beräka u = Re f och v = Im f. restart; #Nollställ x, y och z. assume(x,real,y,real);z:=x+i*y; f := z->zˆ3-2*z; evalc(f(z)); # Läs av real- och imagiärdel. u := Re(f(z)); v := Im(f(z)); u := uapply(u,x,y); v := uapply(v,x,y); Kotrollera om f är aalytisk atige geom eller geom diff(u(x,y),x)-diff(v(x,y),y); diff(v(x,y),x)+diff(u(x,y),y); D[1](u)(x,y)-D[2](v)(x,y); D[1](v)(x,y)+D[2](u)(x,y); Åtmistoe efter simplify(%) så blir resultatet 0. Vi ka u upprepa procedure med ett atal fuktioer av z Kotrollera om f (z) = si(z), f (z) = 1/(z 2 2z+3), f (z) = z (med cojugate) och f (z) = z 3 är aalytiska. Se efter vilka u och v blir. Fuktioera visade sig vara aalytiska meda fuktioera ite var aalytiska (I må av tid.) Två slumpvis valda fuktioer u(x, y) och v(x, y) ger praktiskt taget aldrig e aalytisk fuktio u + iv. Välj ågra fuktiospar u(x, y), v(x, y) och låt Maple testa om de uppfyller Cauchy-Riemas ekvatioer. Eligt teori är e fuktio u(x, y) på ett ekelt sammahägade område realdel (eller imagiärdel) till e aalytisk fuktio precis då de är e harmoisk fuktio. I så fall ka ma geom att lösa Cauchy-Riemas ekvatioer för v bestämma motsvarade aalytiska fuktio Låt u(x, y) = x 3 3x y 2. Kotrollera med Maple att u xx + u yy = 0. Bestäm seda v geom att lösa v x = u y v y = u x geom att itegrera de första ekvatioe med avseede på x och sätta i i de adra. Vid dea itegratio skall ma få e itegratioskostat (här kallad h(y)) som beror på y. Detta klarar Maple ite av, uta ma måste själv lägga till de. Till slut får vi e differetialekvatio för h(y), som vi ka låta Maple lösa. 5
6 Kommadoa blir (kommetarera behöver så klart ej skrivas i) u:=(x,y) -> xˆ3-3*x*yˆ2; # defiiera u v:=it(-diff(u(x,y),y),x); # lös v_x = -u_y v:=v+h(y); # lägg till itegratioskostate v:=uapply(v,x,y); # gör v till fuktio diffekv:=diff(v(x,y),y)-diff(u(x,y),x); # sätt i i v_y-u_x solutio:=dsolve(diffekv=0,h(y)); # bestäm h solutio; # Vad är avädbart i solutio? h:=uapply(rhs(solutio),y); # sätt h lika med lösige. #rhs står för right had side v(x,y); # kolla 1.21 Sätt seda f = u + iv och bestäm f som fuktio av z med kepet i boke. Ma skulle gära vilja automatisera detta (I må av tid.) Skriv e Maplefuktio som tar e fuktio av två variabler, kotrollerar om de är harmoisk och i så fall bestämmer e aalytisk fuktio av z vars realdel är de giva fuktioe. E lösig på problemet ka hämtas frå kurses hemsida. File aalytiskfil.txt hittar du på kurses hemsida. Via Maplekommadot read aalytiskfil.txt ; får Maple tillgåg till fuktioe aalytisk. Fuktioe avgör först om e give fuktio u av två variabler är harmoisk. Om u är harmoisk bestämms e fuktio v såda att u(x,y)+iv(x,y) blir aalytisk. Dea fuktio kallas f och är utparameter. Seda programmet körts går fuktioe f att aväda i Maple. Övigara 1.21 och 1.22 ka u ekelt att lösa via kommadot aalytisk((x,y)->xˆ3-3*x*yˆ2,f); Atag att e oädligt låg laddad ledare ligger lägs z-axel. Laddige atas vara likada överallt. Det elektrostatiska fältet rut ledare är då detsamma i varje pla vikelrät mot z- axel. Vi ka därför studera kraftfältet i x y-plaet. Frå Coulombs lag fås via e geeraliserad 1 ekelitegral att kraftfältet ges av x 2 (x, y). Här sakas e proportioalitetsfaktor, som + y2 vi avsiktligt utelämar i detta fall. Om e likada me motsatt laddad ledare skär x y-plaet i (2, 0) så ges det sammalagda fältet av Som potetial duger (P, Q) = Kotrollera att U x = P och U y = Q. 1 x 2 + y 2 (x, y) 1 (x 2) 2 (x 2, y) + y2 U = 1 2 l(x2 + y 2 ) 1 2 l((x 2)2 + y 2 ) Rita med hjälp av Maple 20 ivåkurvor till U då 1 x 3, 3 y 3. Lämpligt kommado ka vara cotourplot med optioera cotours, grid, color och scalig=costraied. I e pukt på e ekvipotetialkurva till U, dvs i e pukt på e ivåkurva till U, är grad U vikelrät mot ivåkurva. Me grad U = (P, Q). Därför skär kraftlijera ivåkurvora uder rät vikel. Rita ut 20 kraftlijer i de figur du reda ritat. Via with(plots) och display ka två separata bilder ritas samtidigt. 6
Funktionsteori Datorlaboration 1
Funktionsteori Funktionsteori Datorlaboration 1 Rekursionsekvationer och komplex analys Syftet med datorövningen Övningens ändamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem kan användas för
Läs merÖvningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp
Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs merKompletterande kurslitteratur om serier
KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du
Läs merTentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15
Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg
Läs merFöreläsning F3 Patrik Eriksson 2000
Föreläsig F Patrik riksso 000 Y/D trasformatio Det fis ytterligare ett par koppligar som är värda att käa till och kua hatera, ite mist är ma har att göra med trefasät. Dessa kallas stjärkopplig respektive
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret
Läs merKonsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor
Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.
Läs mer(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?
Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23
1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs merDatorlaboration 1. 1 Komplexa funktioner som avbildningar (kan göras i slutet av läsvecka 1)
Funktionsteori, vt 207 Syftet med datorövningen Datorlaboration Övningens syftar till att ge fördjupad förståelse för några viktiga begrepp och att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem kan användas
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00
0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:
Läs merESBILAC. mjölkersättning för hundvalpar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com
ESBILAC mjölkersättig för hudvalpar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd valp är självklart att dia tike och få i sig mammas mjölk. Modersmjölke iehåller allt som de små behöver i form av ärigsäme,
Läs merLeica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers
Leica Lio Noggraa, självavvägade pukt- och lijelasers Etablera, starta, klart! Med Leica Lio är alltig lodat och perfekt apassat Leica Lios projekterar lijer eller pukter med millimeterprecisio och låter
Läs merApplikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering.
Aktiverig mobil app 1 Aktiverig mobil app Aktiverig mobil app aväds för att koppla e eskild avädare till Visma Agdas mobilapplikatio. Applikatioe ka edast avädas av eskilda avädare med förtroederapporterig.
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )
Läs merKomplex Analys. Datorlaboration 1. av Sven Spanne. Reviderad ht av Anders Holst
Komplex Analys Datorlaboration 1 av Sven Spanne Reviderad ht 2005 av Anders Holst Inledning Syftet med datorövningen Övningens ändamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem kan användas
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i
Läs merKMR. mjölkersättning för kattungar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com
KMR mjölkersättig för kattugar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd kattuge är självklart att dia mammas mjölk. För e yfödd kattuge är det framför allt viktigt att få i sig mammas mjölk de två första
Läs merSveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på?
SveTys Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2 Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2008 SveTys, Uta Schulz, Reibek 3 Iledig När ma gör affärer i Tysklad eller
Läs mer( ) ( ) Kap. 5.5-7. Kolligativa egenskaper + fasjämvikter för 2-komponentsystem 5B.2/5.5 Kolligativa egenskaper R T
Ka. 5.5-7. Kolligativa egeskaer + fasjämvikter för 2-komoetsystem 5.2/5.5 Kolligativa egeskaer Kolligativa egeskaer: Egeskaer som edast beror å atalet artiklar som lösts Förutsättig: utsädda lösigar, lösta
Läs merEnkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...
Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................
Läs merTentamen i matematisk statistik
Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst
Läs merb 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.
Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras
Läs mer101. och sista termen 1
Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade
Läs merVad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?
Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok
Läs mer= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.
Lösigsförslag till tetamesskrivig i Matematik IV, 5B0 Torsdage de 6 maj 005, kl 0800-00 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Hadbook Redovisa lösigara på ett sådat sätt att beräkigar och resoemag är lätta att
Läs merMultiplikationsprincipen
Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter
Läs merInledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan
Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle
Läs mervara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a
POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio
Läs merEkvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk
Läs merAllmänna avtalsvillkor för konsument
Godkäare 7.2 Kudakuta Godkät Kommuikatio Distributio Kudservice Kommuikatio, deltagade och samråd Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras av fjärrvärme Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras
Läs merLINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN INLEDNING LINJÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER E DE är lijär om de är lijär med avseede å de obekata fuktioe oc dess derivator
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober
Läs merGenomsnittligt sökdjup i binära sökträd
Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De
Läs merTenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2
Teta i MVE5/MVE95, Komplex (matematisk) aalys, F och TM/Kf 6, 8.3-.3 Hjälpmedel: Formelblad som delas ut av tetamesvaktera Telefovakt: Mattias Leartsso, 3-535 Betygsgräser: -9 (U), -9 (3), 3-39 (4), 4-5
Läs merUppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis
Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor 3.01 101. E talföljd defiieras geom formel a 8 + 6. a) Är det e rekursiv eller e
Läs merHambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)
1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist
Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa
Läs merLinjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes
Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom
Läs merTillämpad biomekanik, 5 poäng Plan rörelse, kinematik och kinetik
Pla rörelse Kiematik vid rotatio av stela kroppar Iledade kiematik för stela kroppar. För de två lijera, 1 och, i figure bredvid gäller att deras vikelpositioer, θ 1 och θ, kopplas ihop av ekvatioe Θ =
Läs merHambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)
1 Föreläsig 5/11 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10 2 8
Läs merTentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3
Kuskapsbaserade system, tetame 2000-03-0 Istitutioe för tekik Tetame i Kuskapsbaserade system, 5p, Data 3 Datum: 2000-03-0 Tid: 8.00-3.00 Lärare: Potus Bergste, 3365 Hjälpmedel: Miiräkare Uppgiftera ska
Läs merAndra ordningens lineära differensekvationer
Adra ordiges lieära differesekvatioer Differese Differese f H + L - f HL mäter hur mycket f :s värde förädras då argumetet förädras med de mista ehete. Låt oss betecka ämda differes med H Df L HL. Eftersom
Läs merTNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter
TNA00 Matematisk grudkurs Övigsuppgiter Iehåll: Uppgit Uppgit 8 Uppgit 9 6 Uppgit 7 5 Uppgit 55 60 Facit sid. 8-0 Summor, Biomialsatse, Iduktiosbevis Ivers uktio Logaritmer, Expoetialuktioer Trigoometri
Läs merLösningsförslag 081106
Lösigsförslag 86 Uppgift Trädslag: kvalitativ, omialskala (diskret) Diameter: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Höjd: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Ålder: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Trädslag:
Läs mera utsöndring b upptagning c matspjälkning d cirkulation
I levade varelser bryts stora och sammasatta molekyler ed till små och ekla molekyler. Vad kallas dea process? S02_01 a utsödrig b upptagig c matspjälkig d cirkulatio S042009 Kalle hade ifluesa. Ha spelade
Läs merBorel-Cantellis sats och stora talens lag
Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi
Läs merTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08
TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:
Läs mer4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6
SF69 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 4 KARL JONSSON Iehåll. Egeskaper hos Fouriertrasforme. Kapitel 3: Z-Trasform.. Upp. 3.44a-b: Bestämig av Z-trasforme för olika talföljder.. Upp.
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade frå saolikhetsteori:
Läs merInledande matematisk analys. 1. Utred med bevis vilket eller vilka av följande påståenden är sana:
TATA79/TEN3 Tetame, 08-04-06 Iledade matematisk aalys. Utred med bevis vilket eller vilka av följade påståede är saa: (a) Om x 7 är x(x 3) 5; (b) Om (x )(x 6) 0 är x 6; (c) (x + 6)(x ) > 0 om x > 6. Solutio:
Läs merEgna funktioner. Vad är sin? sin är namnet på en av många inbyggda funktioner i Ada (och den återfinns i paketet Ada.Numerics.Elementary_Functions)
- 1 - Vad är si? si är amet på e av måga ibyggda fuktioer i Ada (och de återfis i paketet Ada.Numerics.Elemetary_Fuctios) si är deklarerad att ta emot e parameter (eller ett argumet) av typ Float (mätt
Läs merMarkanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25
TJÄNSTSKRIVLS Hadläggare atum Äredebeteckig Johaa Kidqvist -05- KS /05 50 Kommufullmäktige Markavisigsavtal för och försäljig av fastighete Gesälle 5 Förslag till beslut Kommufullmäktige godkäer förslag
Läs meri de fall de existerar. Om gränsvärdet ifråga inte skulle existera, ange i så fall detta med motivering.
Kap 9. 9.5, 9.8 9.9, 6.5. Talföljd, mootoa talföljder, koverges, serier, koverges, geometriska serier, itegralkriterium, p serier, jämförelsekriterier, absolut koverges, altererade serier, potesserie,
Läs merx 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x
Uppgift 1 a) Vi iför slackvariabler x 4, x 5 och x 6 och löser problemet med hjälp av simplexalgoritme. Z -2-1 1 0 0 0 0 x 4 1 1-1 1 0 0 20 x 5 2 1 1 0 1 0 30 x 6 1-1 2 0 0 1 10 x 1 blir igåede basvariabel
Läs merProblem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Abrahamsso 7-6796 Prov i matematik IT, W, lärarprogrammet Evariabelaalys, hp 9-6-4 Skrivtid: : 5: Tillåta hjälpmedel: Mauella skrivdo Varje uppgift är värd maimalt
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)
Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås
Läs merc n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.
P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt
Läs merInnehållsförteckning Tabeller och polynom
Iehållsförteckig Tabeller och polyom -Utsigal och seebeckkoefficieter för termoelemet B, E, J, K, N, R, S, T eligt IEC 60584 (1995). 10:2 -Utsigal för termoelemet W3Re/W25Re och W5Re/W26Re eligt ASTM 988
Läs merDesign mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator
Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma
Läs merResultatet av kryssprodukten i exempel 2.9 ska vara följande: Det vill säga att lika med tecknet ska bytas mot ett plustecken.
Kommetarer till Christer Nybergs bok: Mekaik Statik Kommetarer kapitel 2 Sida 27 Resultatet av kryssprodukte i exempel 2.9 ska vara följade: F1 ( d cos β + h si β ) e z Det vill säga att lika med tecket
Läs merNATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av mars 1997. NATIONELLT PROV
Läs merFör att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder;
MKB till detaljpla Förbifart Stockholm Hälsoeffekter av tuelluft Studier idikerar att oöskade korttidseffekter, blad aat ökat atal iflammatiosmarkörer, börjar uppstå vid e expoerig som motsvaras av tuelluft
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Istitutioe KTH Lösig till tetamesskrivig på kurse Diskret Matematik, momet A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, de 5 jui 2009 kl 08.00-13.00. DEL I 1. (3p) Bestäm e lösig till de diofatiska
Läs merAnmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].
MÄNGDER Stadardtalmägder: N={0,, 2, 3, } mägde av alla aturliga tal (I ågra böcker N={,2,3, }) Z={ 3, 2,,0,, 2, 3, 4, } mägde av alla hela tal m Q={, där m, är hela tal och 0 } mägde av alla ratioella
Läs mer081129 Akt 2, Scen 7: Utomhus & Den första förtroendeduetten. w w w w. œ œ œ. œ œ. Man fick ny - pa sig i ar-men. Trod-de att man dröm-de.
1 esper H2 c oco Rec. 081129 Akt 2, Sce 7: Utomhus De örsta örtroededuette 207 ao c c p Vil -ke mid - dag! Vil -ket ö - ver-dåd. Ó Ma ick y - pa sig i ar-me. Trod-de att ma dröm-de. 5 isk - pi -ar och
Läs merFöreläsning 2: Punktskattningar
Föreläsig : Puktskattigar Joha Thim joha.thim@liu.se 7 augusti 08 Repetitio Stickprov Defiitio. Låt de stokastiska variablera X, X,..., X vara oberoede och ha samma fördeligsfuktio F. Ett stickprov x,
Läs merTentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)
KTH-Matematik Tetameskrivig, 2008-0-0, kl. 4.00-9.00 SF625, Evariabelaalys för CITE(IT) och CMIEL(ME ) (7,5h) Prelimiära gräser. Registrerade å kurse SF625 får graderat betyg eligt skala A (högsta betyg),
Läs merÅteranvändning. Två mekanismer. Nedärvning av egenskaper (inheritance) Objekt komposition
Iheritace Återavädig Två mekaismer Nedärvig av egeskaper (iheritace) Objekt kompositio A A +a +b B B Iheritace Återavädig geom att skapa subklasser kallas ofta white box reuse Ekelt att aväda Relatioe
Läs merFöreläsning 3. 732G04: Surveymetodik
Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall
Läs merStatistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?
Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel
Läs merInnehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning...
Iehåll Grafräkare och diskret matematik...1 Vad hadlar diskret matematik om?...1 Permutatioer och kombiatioer...3 Något om heltalsräkig...4 Modulusoperator...4 Faktoriserig i primfaktorer...5 Talföljder...7
Läs merOm komplexa tal och funktioner
Om komplexa tal och fuktioer Aalys60 (Grudkurs) Istuderigsuppgifter Dessa övigar är det täkt du ska göra i aslutig till att du läser huvudtexte. De flesta av övigara har, om ite lösigar, så i varje fall
Läs merKontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10
KH Matematik Kotrollskrivig 3 i SF676, Differetialekvatioer med tillämpigar isdag 7-5-6 kl 8:5 - illåtet hjälpmedel på lappskrivigara är formelsamlige BEA För godkäd på module räcker 5 poäg Bara väl motiverade
Läs merSKÄRDATAREKOMMENDATIONER UDDEHOLM NIMAX
SKÄRATAREKOMMENATIONER UEHOLM NIMAX Lämpliga bearbetigsdata beror alltid på de aktuella operatioe, verktygsmaskie och vilket verktyg som aväds. e data som ages i det här bladet är geerella riktlijer som
Läs merSKÄRDATAREKOMMENDATIONER RAMAX HH
SKÄRATAREKOMMENATIONER Lämpliga bearbetigsdata beror alltid på de aktuella operatioe, verktygsmaskie och vilket verktyg som aväds. e data som ages i det här bladet är geerella riktlijer som måste apassas
Läs merLösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =
Lösigar till tetamesskrivig i kompletterigskurs Lijär Algebra, SF605, de 0 jauari 20,kl 4.00-9.00. 3p Visa med hjälp av ett iduktiosbevis att m= mm + = +. Lösig: Formel är uppebarlige sa är = eftersom
Läs mer2009-11-20. Prognoser
29--2 Progoser Progoser i idsserier: Gissa e framida värde i idsserie killad geemo progoser i regressio: De framida värde illhör ie daaområde. fe med e progosmodell är a göra progos, ie a förklara de hisoriska
Läs merLösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007
STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3150 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 29 maj 2007 Lösig till tetame för kurse Log-lijära statistiska modeller 29 maj 2007 Uppgift 1 a Modelle uta ågra
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grudkurs Tetame 07-0- - Lösigsskiss. a) Svar: x ], [ [, [. 4x x + 4x 4x (x + ) 0 0 x x + x + x + 0 //Teckeschema// x ], [ [, [ b) I : x I : x I : x x x + = 4 = 4 Lösig sakas x + x + =
Läs merInduktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1
duktio LCB 2000 Ersätter Grimaldi 4. Rekursio och iduktio; ekla fall E talföljd a a 0 a a 2 ka aturligtvis defiieras geom att ma ager e explicit formel för uträkig av dess elemet, som till exempel () a
Läs merHP Media Center PC Programvaruguide
HP Media Ceter PC Programvaruguide Garatiasvar för HP:s produkter och tjäster defiieras i de garatibegräsigar som medföljer sådaa produkter och tjäster. Igetig i dea text skall ases utgöra ytterligare
Läs mer================================================
rmi Halilovic: ETR ÖVNINGR TVÅ STICKPROV Vi betraktar två oberoede ormalfördelade sv och Låt x, x,, x vara ett observerat stickprov, av storleke, på N (, ) och låt y, y,, y vara ett observerat stickprov,
Läs merArtificiell intelligens Probabilistisk logik
Probabilistiska resoemag Artificiell itelliges Probabilistisk logik Are Jösso HCS/IDA Osäkerhet Grudläggade saolikhetslära Stokastiska variabler Bayes teorem Bayesiaska ätverk Kostruktio Iferes Osäkerhet
Läs merUtvärdering av tidigarelagd start av prismätningar i nya radio- och TV-butiker
(5) PM till Nämde för KPI [205-05-8] PCA/MFO Kristia tradber Aders Norber Utvärderi av tidiarelad start av prismätiar i ya radio- och TV-butier För iformatio Prisehete har atait e stevis asats av implemeteri
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl
TEN HF9 Tetame i Matematik, HF9, Fredag september, kl. 8.. Udervisade lärare: Fredrik ergholm, Elias Said, Joas Steholm Eamiator: rmi Halilovic Hjälpmedel: Edast utdelat formelblad miiräkare är ite tillåte
Läs merInklusion och exklusion Dennie G 2003
Ilusio - Exlusio Ilusio och exlusio Deie G 23 Proble: Tio ä lägger ifrå sig sia hattar vid ett besö på e restaurag. På hur åga sätt a alla äe läa restaurage ed fel hatt. Detta proble a lösas ed ägdläras
Läs merJag läser kursen på. Halvfart Helfart
KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:
Läs merLycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =
Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF955 f d 5B555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN AUGUSTI 008 KL 400 900 Examiator: Guar Eglud, tel 790746 Email: guare@mathkthse Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig
Läs merDel A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs merRESTARITMETIKER. Avsnitt 4. När man adderar eller multiplicerar två tal som t ex
Avsitt 4 RESTARITMETIKER När ma adderar eller multiplicerar två tal som t ex 128 + 39..7 128 43..4 så bestämmer ma först de sista siffra. De operatioer som leder till resultatet kallas additio och multiplikatio
Läs merGeometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som
Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor
Läs merVisst kan man faktorisera x 4 + 1
Visst ka ma faktorisera + 1 Per-Eskil Persso Faktoriserig av polyomuttryck har alltid utgjort e svår del av algebra. Reda i slutet av grudskola möter elever i regel dea omvädig till multiplikatio med hjälp
Läs merFourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL
Fourierserie fortsättig Ortogoalitetsrelatioera och Parsevals formel Med hjälp av ortogoalitetsrelatioera Y Â m W t, Â W t ] =, m ¹, m = () där Xf, g\ = Ÿ T f HtL g HtL, där W ã p, ka ma bevisa följade
Läs merStokastiska variabler
TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,
Läs mer