Komplex Analys. Datorlaboration 1. av Sven Spanne. Reviderad ht av Anders Holst
|
|
- Rut Nyberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Komplex Analys Datorlaboration 1 av Sven Spanne Reviderad ht 2005 av Anders Holst
2 Inledning Syftet med datorövningen Övningens ändamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem kan användas för att att lösa problem med summation samt med komplex räkning och differentialkalkyl. En del av innehållet kan ses som en repetition av kurserna i analys i en och flera variabler. Maple är ett kraftfullt men därför också komplicerat program. Därför innehåller övningen ganska mycket förberedelser, innan du börjar lösa riktiga problem. Programmet för övningen innehåller många moment, och det kan vara svårt att hinna med allt. Gör du inte det, så försök att slutföra övningen på egen hand vid annat tillfälle. Övningarna går också att utföra på andra system där det finns en någorlunda modern version av Maple tillgängligt. Det är viktigt att du tar dig tid att begrunda vad du ser. För att du skall få en viss kontroll av om du uppfattat rätt finns på några ställen tomma rader där du förväntas skriva ned dina resultat eller svar. Under laborationens gång kommer handledaren i mån av tid att kontrollera dina svar. Datoralgebrasystem Ett modernt datoralgebrasystem har som huvudfunktion att genomföra symboliska beräkningar (i motsats till numeriska). Det kan utföra algebraiska manipulationer och förenklingar, lösa ekvationssystem, integrera och derivera symboliskt och lösa differentialekvationer. Dessutom kan de flesta sådana system också utföra numeriska beräkningar och har kraftfulla grafiska funktioner, även om numeriska uppgifter av stor omfattning bör överlämnas till på numerik specialinriktade system som Matlab eller till specialskrivna program. Maple är ett av de ledande datoralgebrasystemen. Några av de starkaste konkurrenterna är Mathematica, Macsyma och Reduce. LTH har en generell licens för Maple, och systemet bör därför finnas tillgängligt på alla institutioner och på skolans elevdatorer. Det kan köras på de flesta vanliga operativsystem. Förberedelser Läs igenom detta häfte, så att du får en uppfattning om vad som kommer att hända under övningen. Tag med läroboken (Konkret Analys, nedan citerad med KoA) samt övningshäftet. Vi skall pröva Maple på en del exempel som du redan löst för hand. Introduktion till Maple I denna övning skall vi närmast använda Maple som en oerhört kraftfull räknedosa för symboliska beräkningar. Beskrivningen nedan av hur man kan använda Maple är inte 1
3 hela sanningen. Mer information om Maple kan man finna i det inbyggda hjälpsystemet samt i en större antal skrifter och böcker. På institutionen har utgivits en trevlig introduktion (mest avsedd för envariabelanalys), Maplehandboken av Carl-Gustav Werner, Matematikcentrum Den finns att köpa på studerandeexpeditionen för Matematik NF, rum MH456. Det finns också större böcker, t ex A. Heck Introduction to Maple, Springer Kommandon och aritmetiska beräkningar 1.1 Maple startas på olika sätt beroende på vilket operativsystem du använder. På Windowsdatorerna i MH144 startar du, såvida det inte finns en Mapleikon på skrivbordet, via startmeny; välj inte alternativet online command. På unixdatorerna i MH233 och MH258B klickar du på skrivbordet med vänster musknapp. Då kommer ett fönster (Root Menu) upp. Peka på Math och klick sedan på Maple 8. Du går ur Maple genom att välja Exit i File-menyn. Fungerar inte ovanstående kan du skriva maple -x på en kommandorad. I Maplefönstret hittar du en prompt >. Den betyder att Maple väntar på ett kommando. Skriv in 7+5; efter prompten och tryck på Enter. Observera att varje kommando till Maple måste avslutas med ett semikolon ;, innan dess händer ingenting. Detta gör att man kan slå in långa formler som inte får plats på en rad. Den som är van vid Pascal eller Simula känner på många punkter igen sig i Maple. Maple kan också räkna med rationella tal (allmänna bråk). 1.2 Låt Maple räkna ut 1/7 + 1/5. Beräkna också 2 20 som i Maple skrivs 2^20 och 2 20 som skrivs 2^(-20). Se också efter vad 10! (i Maple 10!) blir. Faktorisera detta tal med kommandot ifactor(10!);. Här kan man utnyttja att Maple tar fram det senast beräknade resultatet om man skriver % och i det här fallet går det alltså att i stället skriva ifactor(%);. För att visa vad Maple (eller snarare dagens datorer) orkar med utan ansträngning så beräkna även 1000!. Hjälp 1.3 Maple har ett omfattande inbyggt hjälpsystem. Om man klickar på Help i menyraden, så får man tillgång bl a till en Help browser.denna fungerar på lite olika sätt, beroende på vilken Mapleversion man kör, men fungerar på ett ganska naturligt sätt. Försök att hitta hjälpen för kommandot plot. Man kan också få hjälp direkt från prompten > genom att ange ett sökord föregånget av ett frågetecken. Försök t ex att skriva?plot (här behövs ej ;). I slutet på varje hjälptext finns hänvisningar till andra kommandon som kan vara av nytta. Om Du är van vid någon tidigare version av Maple så titta på What s New i hjälpmenyn. 2
4 Variabler Maple kan inte bara räkna med tal utan också med variabler och med funktioner. Detta gör att ett Maplesystem blir större och ofta mer invecklat att programmera än ett vanligt programmeringspråk, men också oerhört mycket mera kraftfullt. 1.4 Ge kommandot (x+1)^3;. Maple svarar med samma sak. Som svar på expand(%); så utvecklar Maple uttrycket (enligt binomialteoremet). Försök även med expand((x+1)^3+(x-1)^3); Resultat: expand((a-b)*(a+b)); Resultat: Maple gör vissa typer av förenklingar automatiskt, medan andra måste beställas med kommandot simplify. Det är ofta besvärligt att få Maple att skriva om ett uttryck på den form man önskar. Försök t ex med kommandona simplify, expand och collect. Även normal kan vara av nytta, och i vissa fall factor. Tilldelningssatser 1.5 Man kan tilldela en variabel ett värde, numeriskt eller symboliskt. Tilldelningssymbolen är liksom i Pascal och Simula :=. Försök med x:=2;. Kommandot x; ger nu värdet av variabeln x. Ge också kommandot (x+1)^2;. En variabel som fått ett värde behåller detta tills man går ur Maple eller ger den ett annat värde. För att helt ta bort värdet kan man använda kommandot x:= x. Det är lätt att glömma bort att man gett en variabel ett värde tidigare, vilket kan leda till obegripliga resultat av räkningar. (Genom kommandot restart; kan man återställa Maple till starttillståndet. Detta är dock ofta en lite väl drastisk åtgärd.) 1.6 Variabler kan förutom numeriska värden även ha Mapleuttryck som värden. Genom att ge tilldelningskommandot f:=(x+1)^3; så sätter vi f lika med (x + 1) 3. (Blir svaret 27 så tag bort det tidigare värdet från x och försök igen.) Nu ger expand(f); ett utvecklat polynom, och vi kan få en annan form på f med f:=expand(f);. Försök även med f^2 och expand(f^2);. Känner ni igen det senaste uttrycket? Derivation och integration Maple kan derivera och även bestämma primitiva funktioner, oftast bättre än de flesta matematiker. 1.7 Med diff(f,x); deriverar vi uttrycket f = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 ovan, och med int(f,x); finner vi en primitiv funktion (integrationskonstanten får vi själva lägga till). 3
5 Allmänt får man intervallet a x b i Maple genom a..b. Detta har vissa likheter med Matlabs a:b, men fungerar både för diskreta och kontinuerliga variabler. En integral med gränser får vi genom att ange integrationsvariabelns gränser med.. emellan, till exempel fås 3 2 (x 3 + 3x 2 + 3x + 1) dx genom int(f,x=-2..3);. Gränserna får gärna innehålla variabler, försök t ex med int(f,x=-y..(z+1));. 1.8 Repetera nu de enkla primitiva funktionerna från envariabelanalysen genom att integrera cos x (med kommandot int(cos(x),x);), sin y, e t 1 (skrivet exp(t)), cos 2 t, x och z 2 sqrt. med avseende på respektive variabel. Kvadratrotfunktionen kan t ex fås med Om det inte finns någon elementär primitiv funktion, så svarar i regel Maple genom att ge tillbaka det man stoppat in, stiligt formaterat. Försök med int(1/sqrt(1+x+x^5),x); så får du tillbaka 1 dx. 1 + x + x 5 För en del funktioner som t ex int(exp(-(x^2)),x);, som är en viktig funktion t ex i sannolikhetskalkylen och teorin för diffusion, har Maple speciella namn. Även då Maple inte kan beräkna en integral exakt så kan det bestämma ett närmevärde med önskad noggrannhet. För att exempelvis beräkna integralen x + x 5 dx skriver man evalf(int(1/sqrt(1+x+x^5),x=0..infinity)); Värde:. Notera den stora bokstaven i Int. Om den bytes mot en liten försöker Maple först beräkna integralen exakt. Summation Maple har också fått lära sig att beräkna en mängd summor. Syntaxen för summation n är naturlig, a k fås genom Maplekommandot sum(a(k),k=m..n). k=m 1.9 Beräkna potenssummorna n k och k=0 med hjälp av kommandona sum(k,k=0..n), sum(k^2,k=0..n). Förenkla med simplify (eller factor) och jämför med läroboken. Svar: n k=0 k 2 4
6 1.10 Lös uppgift 1.19 i övningshäftet med Maple. Glöm inte att förenkla. Maple är också ganska bra på teleskopsummor Försök att lösa uppgifterna 1.15,16,17 med Maple. Dubbelsummor är inte heller omöjliga. Dubbelsumman i uppgift 1.23, i Maple med kommandot sum(sum(j,k=j..n),j=1..n) Lös uppgift 1.24 med Maple. Snygga till svaret med simplify(%). n n j, fås j=1 k=j Enkel kurvritning 1.13 Med kommandot plot ritar man tvådimensionella figurer med Maple, t ex funktionskurvor. Ge kommandot plot((x+1)^3,x=-4..3); Antingen dyker det upp ett nytt fönster med en funktionsgraf eller också ritas grafen i det fönster Du arbetar i. Du kan ställa om beteendet genom att via arkivmenyn (File) gå till Preferences:Plotting och välja mellan Inline och Window. Vi kan också återanvända gamla uttryck. Vad ger plot(f,x=-3..3);? Rita även upp några exponentialkurvor, logaritmkurvor och trigonometriska kurvor. Funktioner i Maple Funktioner Maple kan hantera inte bara uttryck som ovan utan även funktioner. Dessa kan definieras på flera olika sätt. Det för våra ändamål enklaste påminner om beteckningen x f(x), vilken ju används i matematiken som synonym till y = f(x) Ge kommandot f:= x-> exp(x)-sin(x); Beräkna först f(0), f(1) och f(2) genom att ge kommandona f(0);,f(1); och f(2);. Försök sedan med f(a); och f(y+z); Lägg här märke till en viktig skillnad. Om vi ger ett värde till f genom tilldelningen f:=exp(x)-sin(x); så är värdet av f ett uttryck med variabeln x inbyggt. Gör detta och beräkna diff(f,x); respektive diff(f,y);. Om vi i stället ger f ett värde genom f:=x->exp(x)-sin(x); så är värdet en funktion. Försök nu med diff(f(x),x); och diff(f(y),y); samt diff(f,x);. Se även vad diff(f,y) nu ger för resultat. 5
7 Funktioner är mycket mer flexibla, men ibland något mer svårhanterliga än enkla uttryck. Det finns lyckligtvis ett enkelt sätt att göra om ett uttryck till en funktion, nämligen genom att använda unapply Antag till exempel att vi vill ha en funktion som beräknar potenssumman S 4 n = n k=1 k4. Det kan vi få genom potsum4 := sum(k^4,k=1..n); potsum4 := simplify(potsum4); potsum4 := unapply(potsum4,n); (Blir det protester, så beror det förmodligen på att variabeln k fått ett värde vid någon tidigare operation. Ge i så fall kommandot k:= k ; för att ta bort detta värde.) Det går nu att skriva potsum4(7), men vi kan även sätta in symboliska variabler, potsum4(j) eller potsum4(n+m). Lägg märke till att potsum4 byter typ från uttryck till funktion utan några som helst protester. Maple klarar också funktioner av flera variabler Definiera funktionen f(x, y) = x 2 y 3 + xy i Maple på följande sätt: f := (x,y) -> x^2-y^3+x*y; Vad ger f(0,0) och f(3, 2)? Svar: Beräkna Partiella derivator är inte heller svårt. f x och f y för funktionen ovan genom kommandona diff(f(x,y),x) resp diff(f(x,y),y). Komplexa svängningar. Logaritmer och sinus av komplexa tal Vi skall nu se på den komplexa svängingar f(t) = e st från olika synvinklar Definiera funktionen genom f := t -> exp(s*t); s := sigma + I*omega; evalc(f(t)); assume(sigma, real); assume(omega, real);assume(t,real); Re(f(t)); Im(f(t)); 6
8 Här är I den imaginära enheten, dvs I^2=-1. Funktionen evalc (evaluate complex) försöker dela upp sitt argument i real- och imaginärdel, varvid den antar att alla variabler som inte har ett värde är reella. Det framgår hur man tar fram realdel och imaginärdel. Andra operationer kan inte veta om t ex σ, ω och t är reella eller ej, men man kan tala om det med assume. (Notera ovan att ingen beräkning av realdelen Re(f(t)) ägde rum innan assume.) Variabler om vilka man gjort en förutsättning med assume visas av Maple upp med ett tilde, ~. Om man glömt vilka antaganden som man gjort angående en viss variabel kan man använda about, t ex about(sigma). Vi skall nu rita figurer liknande dem på sidan 53 i läroboken. För att kunna rita måste vi ge σ och ω numeriska värden. Med kommandot plot kan man rita såväl parameterkurvor som funktionskurvor Slå in kommandona sigma := -0.3; omega := 5; plot([re(f(t)),im(f(t)),t=0..10],scaling=constrained); plot([t,re(f(t)),t=0..10],scaling=constrained); plot([t,im(f(t)),t=0..10],scaling=constrained); (scaling=constrained medför att Maple använder samma skala på horisontell och vertikal axel. Utelämnar man det kan kurvan bli felskalad. Man kan också ändra detta i menyn i bildfönstret under Projection.) För att kunna rita tredimensionella figurer måste man ladda in en grafikmodul i Maple. Detta görs med kommandot with(plots); i vilket plots är modulens namn Rita en rymdkurva med kommandona with(plots); spacecurve([t,re(f(t)),im(f(t)),t=0..10],scaling=constrained); Det blir lättare att tolka kurvan om man ritar in ett koordinatsystem. Detta gör man lämpligen genom att välja t ex boxed under högerknappsmenyn Axes. Lägg märke till att man kan vrida de tredimensionella figurerna i bildfönstret; håll vänsterknappen nedtryckt i bildfönstret och flytta musen. Bilden ritas om då man trycker på mittknappen. Vill du ha en mindre kantig kurva så lägg till numpoints=100, innan scaling. Vi ska nu studera real- och imaginärdelen samt absolutbeloppet av sinusfunktionen. Notera att beloppet av sinusfunktionen, sin z, för komplexa z inte längre är uppåt begränsat av 1. Är det begränsat av någon annan konstant? 1.22 Knappa in kommandona assume(x,real,y,real); z:=x+i*y; plot3d(re(sin(z)),x=0..13,y=0..2,orientation=[-112,68],axes=normal); plot3d(im(sin(z)),x=0..13,y=0..2,orientation=[-112,68],axes=normal); 7
9 plot3d(abs(sin(z)),x=0..13,y=0..2,orientation=[-112,68],axes=normal, grid=[30,30]); Peka gärna på bilderna med musen. Håll vänster musknapp nedtryckt och rör på musen. Med höger musknapp nedtryckt kommer du åt flera inställningar. Vi ska nu studera logaritmfunktionen och försöka se vilken gren som Maple använder Skriv följande kommandon assume(r,real,t,real); x:=r*cos(t);y:=r*sin(t); z:=x+i*y; plot3d([x,y,re(log(z))],r=0..1,t=-pi..pi,axes=normal); plot3d([x,y,im(log(z))],r=0..1,t=-pi pi-0.001,axes=normal, orientation=[-52,55],shading=zhue); plot3d([x,y,argument(z)],r=0..1,t=-pi pi-0.001,axes=normal, orientation=[-52,55],shading=zhue); Vilken gren använder Maple? Svar:. Komplexa funktioner Vi skall nu låta Maple kontrollera om ett antal funktioner är analytiska. Metoden är att använda Cauchy-Riemanns differentialekvationer Sätt f(z) = z 3 2z och beräkna u = Re f och v = Im f. x:= x ; y:= y ; assume(x,real,y,real); f := z->z^3-2*z; evalc(f(x+i*y)); # Läs av real- och imaginärdel u := unapply(re(f(x+i*y)),x,y); v := unapply(im(f(x+i*y)),x,y); Kontrollera om f är analytisk genom diff(u(x,y),x)-diff(v(x,y),y); diff(v(x,y),x)+diff(u(x,y),y); Åtminstone efter simplify(%) så blir resultatet 0. Vi kan nu upprepa proceduren med ett antal funktioner av z Kontrollera om f(z) = sin(z), f(z) = 1/(z 2 2z + 3), f(z) = z (med conjugate) och f(z) = z 3 är analytiska. Se efter vilka u och v blir. (Återanvänd kommandoraderna från föregående uppgift.) Svar: Funktionerna är analytiska. 8
10 Två slumpvis valda funktioner u(x, y) och v(x, y) ger praktiskt taget aldrig en analytisk funktion u + iv Välj några funktionspar u(x, y), v(x, y) och låt Maple testa om de uppfyller Cauchy- Riemanns ekvationer. Enligt teorin är en funktion u(x, y) (definierad på ett öppen, enkelt sammanhängande område i planet) realdel (eller imaginärdel) till en analytisk funktion precis då den är en harmonisk funktion. I så fall kan man genom att lösa Cauchy-Riemanns ekvationer för v bestämma motsvarande analytiska funktion. (Funktionen v är entydigt bestämd så när som på en (reell) konstant.) 1.27 Låt u(x, y) = 3x 2 y y 3. Kontrollera med Maple att u xx + u yy = 0. Bestäm sedan v genom att lösa { vx = u y v y = u x genom att integrera den första ekvationen med avseende på x och sätta in i den andra. Vid denna integration skall man få en integrationskonstant (här kallad h(y)) som beror på y. Detta klarar Maple inte av, utan man måste själv lägga till den. Till slut får vi en differentialekvation för h(y), som vi kan låta Maple lösa. Kommandona blir (kommentarerna behöver så klart ej skrivas in) u:=(x,y) -> 3*x^2*y-y^3; # definiera u v:=int(-diff(u(x,y),y),x); # lös v_x = -u_y v:=v+h(y); # lägg till integrationskonstanten v:=unapply(v,x,y); # gör v till funktion diffekv:=diff(v(x,y),y)-diff(u(x,y),x)=0; # sätt in i v_y-u_x=0 solution:=dsolve(diffekv,h(y)); # bestäm h solution; # Vad är användbart i solution h:=unapply(rhs(solution),y); # sätt h lika med lösningen. # rhs står för Right Hand Side v(x,y); # kolla 1.28 Sätt sedan f = u + iv och bestäm f som funktion av z med knepet i boken. Man skulle gärna vilja automatisera detta. 9
Funktionsteori Datorlaboration 1
Funktionsteori Funktionsteori Datorlaboration 1 Rekursionsekvationer och komplex analys Syftet med datorövningen Övningens ändamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem kan användas för
Läs merTillämpad matematik. Lineära system. LAB1
Tillämpad matematik. Lineära system. LAB1 20.02, 10.00-12.00 MH:230, 231 21.02, 10.00-12.00 MH:230 21.02, 13.15-15.15 MH:230 22.02, 10.00-12.00 MH:230 1 Tillämpad matematik. Lineära system. LAB1 Datörövning
Läs merIntroduktion till Maple
Introduktion till Maple Allmänt Maple är ett mycket mångsidigt program, och man kan ägna mycket tid åt att utforska dess användningsmöjligheter. Dess mångsidighet gör det samtidigt svårare att använda
Läs merDatorlaboration 1. 1 Komplexa funktioner som avbildningar (kan göras i slutet av läsvecka 1)
Funktionsteori, vt 207 Syftet med datorövningen Datorlaboration Övningens syftar till att ge fördjupad förståelse för några viktiga begrepp och att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem kan användas
Läs merFunktionsteori Datorlaboration 1
Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa
Läs merAnvändarmanual till Maple
Användarmanual till Maple Oktober, 006. Ulf Nyman, Hållfasthetslära, LTH. Introduktion Maple är ett mycket användbart program för symboliska och i viss mån numeriska beräkningar. I Maple finns ett stort
Läs merIntroduktion till Maple
Introduktion till Maple Allmänt Ett modernt datoralgebrasystem har som huvudfunktion att göra symboliska beräkningar, i motsats till numeriska. Det kan utföra algebraiska manipulationer och förenklingar,
Läs merMAPLE MIKAEL STENLUND
MAPLE MIKAEL STENLUND. Introduktion I dina inlämningsuppgifter skall ett program som heter Maple användas för att lösa ett antal matematiska problem. Maple är ett symbolhanterande program som har ett antal
Läs merLaboration: Grunderna i Matlab
Laboration: Grunderna i Matlab Att arbeta i kommandofönstret och enkel grafik Den här delen av laborationen handlar om hur man arbetar med kommandon direkt i Matlabs kommandofönster. Det kan liknas vid
Läs merDatorövning 2 med Maple
Datorövning 2 med Maple Flerdimensionell analys, ht 2008, Lp1 15 september 2008 Under denna datorövning skall vi lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella derivator,
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merFlervariabelanalys, inriktning bildbehandling, datorövning 1
Matematiska institutionen, LTH, 20 november 2003 Flervariabelanalys, inriktning bildbehandling, datorövning 1 Laborationen består av två delar. I den första använder vi det numeriska beräkningsprogrammet
Läs merExtra datorövning med Maple, vt2 2014
Extra datorövning med Maple, vt2 2014 FMA430 Flerdimensionell analys Denna datorövning är avsett för självstudie där vi skall lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella
Läs merIntroduktion till Maple
Flerdimensionell analys för F och π, vt 1 2007 Introduktion till Maple Allmänt Ett modernt datoralgebrasystem har som huvudfunktion att göra symboliska beräkningar, i motsats till numeriska. Det kan utföra
Läs merIntroduktion till Matlab
Introduktion till Matlab Inledande matematik, I1, ht10 1 Inledning Detta är en koncis beskrivning av de viktigaste delarna av Matlab. Till en början är det enkla beräkningar och grafik som intresserar
Läs merTechnology Management Mapleövning 1 och 2
Technology Management Mapleövning 1 och 2 Namn: Personnummer: Allmänt Maple är ett kraftfullt program för både symboliska och numeriska beräkningar Att det kan räkna symboliskt betyder i korthet att det
Läs mer3.3. Symboliska matematikprogram
3.3. Symboliska matematikprogram Vi skall nu övergå till att behandla de vanligaste matematikprogrammen, och börja med de symboliska. Av dessa kan både Mathematica och Maple användas på flere UNIX-datorer.
Läs merMathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x
Mathematica Första kapitlet kommer att handla om Mathematica det matematiska verktyg, som vi ska lära oss hantera under denna kurs. Indata När du arbetar med Mathematica ger du indata i form av kommandon
Läs merIntroduktion till Matlab
Introduktion till Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1, ht10 1 Inledning Ni kommer använda Matlab i nästan alla kurser i utbildningen. I matematikkurserna kommer vi ha studio-övningar nästan
Läs merLABORATION I MAPLE MIKAEL STENLUND
LABORATION I MAPLE MIKAEL STENLUND. Introduktion I laborationen skall ett program som heter Maple användas för att lösa ett antal matematiska problem. Maple är ett symbolhanterande program som har ett
Läs merFri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima
Per Jönsson & Thomas Lingefjärd Fri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima I takt med att priserna sjunker utrustar allt fler skolor sina elever med små bärbara datorer. Detta innebär nya och
Läs merTexten är en omarbetning av en text skriven av Rikard Bögvad för kursen Matematik I (30 hp).
Introduktion Med hjälp av dator kan man utföra omfattande matematiska beräkningar, men också få datorn att producera lösningar på icke-triviala uppgifter. I det här momentet av kursen ska vi bekanta oss
Läs merSymboliska beräkningar i Matlab
CTH/GU LABORATION 6 MVE45-5/6 Matematiska vetenskaper Inledning Symboliska beräkningar i Matlab Verktygslådan Symbolic Math Toolbox i Matlab kan utföra symbolisk matematik. Vi skall se på ett antal exempel
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merInnehåll. Vad är MATLAB? Grunderna i MATLAB. Informationsteknologi. Informationsteknologi.
Grunderna i MATLAB eva@it.uu.se Innehåll Vad är MATLAB? Användningsområden MATLAB-miljön Variabler i MATLAB Funktioner i MATLAB Eempel och smakprov: Grafik Beräkningar Bilder GUI Vad är MATLAB? Utvecklat
Läs merUppgift 1. (SUBPLOT) (Läs gärna help, subplot innan du börjar med uppgiften.) 1 A) Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar.
INLÄMNINGSUPPGIFT 2 Linjär algebra och analys Kurskod: HF1006, HF1008 Skolår: 2016/17 armin@kth.se www.sth.kth.se/armin Redovisas under sista två (av totalt fem) labbövningar i Analys-delen. Preliminärt:
Läs merde uppgifter i) Under m-filerna iv) Efter samlade i en mapp. Uppgift clear clc Sida 1 av 6
Inlämningsuppgift 2, HF1006.. (MATLAB) INLÄMNINGSUPPGIFT 2 (MATLAB) Kurs: Linjär algebra och analys Del2, analys Kurskod: HF1006 Skolår: 2018/19 Redovisas under en av de tre schemalaggs gda redovisningstillfällen
Läs merMatematiska Institutionen, K T H. B. Krakus. Matematik 1. Maplelaboration 2.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. . Kommandon, funktioner och konstanter i denna laboration: expand(uttryck) simplify(uttryck) utvecklar uttrycket. T.ex. expand((x+)*(x-)^);
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merLinjär algebra med tillämpningar, lab 1
Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt
Läs merSAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Läs merDatorövning 2. - Tag med lärobok och övningshäfte till övningen. - Fyll före övningenen i svaren på frågorna på sidan 5 i denna handledning.
Kontinuerliga system vt 2015 Datorövning 2 Inledning Syftet med denna datorövning är att du med hjälp av Maple skall få ökad förståelse av vissa begrepp presenterade i kapitel H. Exempelvis behandlas skalärprodukt,
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs merEn vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.
Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera
Läs merInledning till Maple
Institutionen för matematik 2000 04 06 KTH Bronislaw Krakus Inledning till Maple www.math.kth.se/~bronek/maple/inledning.pdf > tubeplot([cos(t), sin(t), 0], t = Pi..2*Pi, radius = 0.25*(t - Pi), orientation
Läs merLägg märke till skillnaden, man ser det tydligare om man ritar kurvorna.
Matlabövningar 1 Börja med att läsa igenom kapitel 2.1 2 i läroboken och lär dig att starta och avsluta Matlab. Starta sedan Matlab. Vi övar inte på de olika fönstren nu utan återkommer till det senare.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merDatorövning 2 med Maple, vt
Flerdimensionell analys, vt 1 2009 Datorövning 2 med Maple, vt 1 2009 Under denna datorövning skall vi lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella derivator, transformera
Läs merSF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2
Matematisk Statistik SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2 1 Introduktion Denna laboration är inte poänggivande utan är till för den som vill bekanta sig med MATLAB. Fokusera
Läs merMatematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan
Läs merMatematik 1. Maplelaboration 1.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. Före laborationen: Bekanta Dig med innehållet på sid 3. Ögna igenom de genomräknade exemplen 8 på sid 4 7. Använd PoP (papper och
Läs merLABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering
SF1518,SF1519,numpbd15 LABORATION 2 Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering - Genomför laborationen genom att göra de handräkningar och MATLAB-program som begärs. Var noga med
Läs merLaboration: Grunderna i MATLAB
Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merLaborationer i kursmomentet Datoranvändning E1. Laboration nr 3: Matematikverktyget Maple
Sid 1 Laborationer i kursmomentet Datoranvändning E1 http://www.etek.chalmers.se/~hallgren/eda/ : Matematikverktyget Maple 1 Introduktion 1992-1997 Magnus Bondesson 1998 och 99-09-16 Thomas Hallgren Syftet
Läs merBlixtkurs i komplex integration
Blixtkurs i komplex integration Sven Spanne 8 oktober 996 Komplex integration Vad är en komplex kurvintegral? Antag att f z är en komplex funktion och att är en kurva i det komplexa talplanet. Man kan
Läs merKontinuerliga system, Datorövning 2
Vårterminen 2003 Kontinuerliga system, Datorövning 2 Inledning Ett modernt datoralgebrasystem har som huvudfunktion att göra symboliska beräkningar, i motsats till numeriska. Det kan utföra algebraiska
Läs merAllmänt om Mathematica
Allmänt om Mathematica Utvecklades av Wolfram Research (Stephen Wolfram) på 80-talet Programmet finns bl.a. till Windows, Mac OS X, Linux. Finns (åtminstone) installerat i ASA B121 (Stansen), i matematik
Läs merMer om funktioner och grafik i Matlab
CTH/GU 2/22 Matematiska vetenskaper Inledning Mer om funktioner och grafik i Matlab Först skall vi se lite på funktioner som redan finns i Matlab, (elementära) matematiska funktioner som sinus och cosinus
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merMATLAB Laboration problem med lokala extremvärden
MATLAB Laboration problem med lokala extremvärden Sonja Hiltunen, sohnya@gmail.com Sanna Eskelinen, eskelinen.sanna@gmail.com Handledare: Karim Daho Flervariabelanalys 5B1148 Innehållsförteckning Problem
Läs merÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål
ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merIntroduktion till MATLAB
29 augusti 2017 Introduktion till MATLAB 1 Inledning MATLAB är ett interaktivt program för numeriska beräkningar med matriser. Med enkla kommandon kan man till exempel utföra matrismultiplikation, beräkna
Läs merTEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson. Introduktion till MATLAB
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson Introduktion till MATLAB Introduktion till MATLAB sid. 2 av 12 Innehåll 1 Vad är MATLAB? 3 1.1 Textens syfte..................................... 3 2 Grundläggande
Läs merTentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016
Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Tentamen i Komplex analys, SF68, den oktober 06 Skrivtid 4.00-9.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga motiveringar. För
Läs merMATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och...
Allt du behöver veta om MATLAB: Industristandard för numeriska beräkningar och simulationer. Används som ett steg i utvecklingen (rapid prototyping) Har ett syntax Ett teleskopord för «matrix laboratory»
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merRita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merLaboration 2, M0043M, HT14 Python
Laboration 2, M0043M, HT14 Python Laborationsuppgifter skall lämnas in senast 19 december 2014. Förberedelseuppgifter Läs igenom teoridelen. Kör teoridelens exempel. Teoridel 1 Att arbeta med symboliska
Läs mer5B1147 Envariabelanalys, 5 poäng, för E1 ht 2006.
Institutionen för Matematik, KTH, Olle Stormark. 5B1147 Envariabelanalys, 5 poäng, för E1 ht 2006. Detta är en grundläggande kurs i differential - och integralkalkyl för funktioner av en variabel. Enligt
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 4 GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merPlanering för Matematik kurs D
Planering för Matematik kurs D Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs D Antal timmar: 9 (7 + ) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att D-kursen studeras på 9 klocktimmar.
Läs merMatematik 4 Kap 4 Komplexa tal
Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merNamn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merAtt undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd
Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Malmö och Göteborg 2009 1 Kort om Maxima Begreppet CAS (computer algebra system) eller på svenska
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merFöreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
Läs merEnvariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator
Envariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator Sanna Eskelinen eskelinen.sanna@gmail.com Sonja Hiltunen sonya@gmail.com Handledare: Karim Dao Uppgift 15 Problem: Beräkna numeriskt derivatan till arctan
Läs merLaboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning
1 SF1520 K2 HT2014 NA 21 december 2015 Laboration 3 Funktioner, vektorer, integraler och felskattning Efter den här laborationen skall du kunna använda och skriva egna funktioner med flera in- och utparametrar,
Läs merTSBB14 Laboration: Intro till Matlab 1D
TSBB14 Laboration: Intro till Matlab 1D Utvecklad av Maria Magnusson med mycket hjälp av Lasse Alfredssons material i kursen Introduktionskurs i Matlab, TSKS08 Avdelningen för Datorseende, Institutionen
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merBetygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merKursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida.
Kursinformation för Komplex analys, 3p, ht 2006. Civ.ing. (Teknisk Fysik) Ingår som ett moment i kursen Fysikens matematiska metoder, 10p. Ulf Backlund Kursstart Kursen startar tisdagen den 10 oktober
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merStudiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03
Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse
Läs merf(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Läs merComplex numbers. William Sandqvist
Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den
Läs merBASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson
Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.
Läs merPreliminärt lösningsförslag till del I, v1.0
Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel
Läs merMatematik 4 Kap 3 Derivator och integraler
Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande
Läs merIntroduktion till programmering D0009E. Föreläsning 1: Programmets väg
Introduktion till programmering D0009E Föreläsning 1: Programmets väg 1 Vad är en dator? En maskin vars beteende styrs av de innehållet (bitmönster) som finns lagrade i datorns minne (inte helt olikt förra
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
Läs mer