Introduktion till statistik för statsvetare
|
|
- Sara Pålsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011
2 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma fördelig, så gäller ˆµ = X ärmar sig µ ju fler observatioer som tas Observera att detta äve gäller uder svagare villkor. Stora tales lag är därför e mycket avädbar lag (sats). Me de hjälper oss ite att bestämma hur stort vi behöver för att vara tillräckligt ära. Me vad är tillräckligt ära?
3 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma fördelig, så gäller ˆµ = X ärmar sig µ ju fler observatioer som tas Observera att detta äve gäller uder svagare villkor. Stora tales lag är därför e mycket avädbar lag (sats). Me de hjälper oss ite att bestämma hur stort vi behöver för att vara tillräckligt ära. Me vad är tillräckligt ära?
4 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma fördelig, så gäller ˆµ = X ärmar sig µ ju fler observatioer som tas Observera att detta äve gäller uder svagare villkor. Stora tales lag är därför e mycket avädbar lag (sats). Me de hjälper oss ite att bestämma hur stort vi behöver för att vara tillräckligt ära. Me vad är tillräckligt ära?
5 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma fördelig, så gäller ˆµ = X ärmar sig µ ju fler observatioer som tas Observera att detta äve gäller uder svagare villkor. Stora tales lag är därför e mycket avädbar lag (sats). Me de hjälper oss ite att bestämma hur stort vi behöver för att vara tillräckligt ära. Me vad är tillräckligt ära?
6 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag (forts) Iget speciellt atagade om fördelige görs varför vi äve har ˆσ 2 = 1 (X i X ) 2 ärmar sig σ 2 ju fler observatioer som tas ty om X i :a är oberoede så är äve X 2 i :a det. Me det står (X i X ) 2 och X i X :a är ite oberoede! Hur ser ma att de ite är oberoede? Hur ser ma att det ädock fugerar?
7 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag (forts) Iget speciellt atagade om fördelige görs varför vi äve har ˆσ 2 = 1 (X i X ) 2 ärmar sig σ 2 ju fler observatioer som tas ty om X i :a är oberoede så är äve X 2 i :a det. Me det står (X i X ) 2 och X i X :a är ite oberoede! Hur ser ma att de ite är oberoede? Hur ser ma att det ädock fugerar?
8 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag (forts) Iget speciellt atagade om fördelige görs varför vi äve har ˆσ 2 = 1 (X i X ) 2 ärmar sig σ 2 ju fler observatioer som tas ty om X i :a är oberoede så är äve X 2 i :a det. Me det står (X i X ) 2 och X i X :a är ite oberoede! Hur ser ma att de ite är oberoede? Hur ser ma att det ädock fugerar?
9 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag (forts) Iget speciellt atagade om fördelige görs varför vi äve har ˆσ 2 = 1 (X i X ) 2 ärmar sig σ 2 ju fler observatioer som tas ty om X i :a är oberoede så är äve X 2 i :a det. Me det står (X i X ) 2 och X i X :a är ite oberoede! Hur ser ma att de ite är oberoede? Hur ser ma att det ädock fugerar?
10 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s
11 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s
12 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s
13 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s
14 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s
15 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s
16 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s
17 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Stadardiserig Låt oss u först försöka utreda vad som skall meas med tillräckligt ära. Det tar ite mycket eftertake för att fia att svare på dessa frågor varierar frå situatio till situatio. Två kompisar som bor 1 km frå varadra bor de ära? Om de bor 1 meter frå varadra? Vi måste skapa ett mått som ite beror på vilke sort vi mäter i Eftersom vi hela tide pratar om X som vårt geomsittliga mått av våra mätigar skall vi utgå frå det aritmetiska medelvärdet. resoera x i x s
18 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio Begreppet tillräckligt ära bör således utyttja sig av stadardiserade variabler X i X S Vårt ärhetsbegrepp ka (och skall) vara att de flesta mätigar ligger ära det förvätade värdet µ = E (X ). Detta begrepp skall vi basera på ett saolikhetsuttalade. Mer kokret skall vi säga att vi är 1 α ära om P (a < µ < b) = 1 α Först varför 1 α och ite α? Detta har göra med att α har e speciell betydelse i testteori så svaret kommer seare.
19 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio Begreppet tillräckligt ära bör således utyttja sig av stadardiserade variabler X i X S Vårt ärhetsbegrepp ka (och skall) vara att de flesta mätigar ligger ära det förvätade värdet µ = E (X ). Detta begrepp skall vi basera på ett saolikhetsuttalade. Mer kokret skall vi säga att vi är 1 α ära om P (a < µ < b) = 1 α Först varför 1 α och ite α? Detta har göra med att α har e speciell betydelse i testteori så svaret kommer seare.
20 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio Begreppet tillräckligt ära bör således utyttja sig av stadardiserade variabler X i X S Vårt ärhetsbegrepp ka (och skall) vara att de flesta mätigar ligger ära det förvätade värdet µ = E (X ). Detta begrepp skall vi basera på ett saolikhetsuttalade. Mer kokret skall vi säga att vi är 1 α ära om P (a < µ < b) = 1 α Först varför 1 α och ite α? Detta har göra med att α har e speciell betydelse i testteori så svaret kommer seare.
21 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio Begreppet tillräckligt ära bör således utyttja sig av stadardiserade variabler X i X S Vårt ärhetsbegrepp ka (och skall) vara att de flesta mätigar ligger ära det förvätade värdet µ = E (X ). Detta begrepp skall vi basera på ett saolikhetsuttalade. Mer kokret skall vi säga att vi är 1 α ära om P (a < µ < b) = 1 α Först varför 1 α och ite α? Detta har göra med att α har e speciell betydelse i testteori så svaret kommer seare.
22 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio Begreppet tillräckligt ära bör således utyttja sig av stadardiserade variabler X i X S Vårt ärhetsbegrepp ka (och skall) vara att de flesta mätigar ligger ära det förvätade värdet µ = E (X ). Detta begrepp skall vi basera på ett saolikhetsuttalade. Mer kokret skall vi säga att vi är 1 α ära om P (a < µ < b) = 1 α Först varför 1 α och ite α? Detta har göra med att α har e speciell betydelse i testteori så svaret kommer seare.
23 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio Begreppet tillräckligt ära bör således utyttja sig av stadardiserade variabler X i X S Vårt ärhetsbegrepp ka (och skall) vara att de flesta mätigar ligger ära det förvätade värdet µ = E (X ). Detta begrepp skall vi basera på ett saolikhetsuttalade. Mer kokret skall vi säga att vi är 1 α ära om P (a < µ < b) = 1 α Först varför 1 α och ite α? Detta har göra med att α har e speciell betydelse i testteori så svaret kommer seare.
24 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio (forts) För det adra vart tog våra mätigar X 1, X 2,..., X väge? Svaret är att de ligger i kostatera a och b som således ite är ågra kostater uta fuktioer Ett mer korrekt skrivsätt blir således P (a (X 1, X 2,..., X ) < µ < b (X 1, X 2,..., X )) = 1 α Så arbetsgåge blir: bestäm hur stort 1 α skall vara. Därefter bestäm fuktioer a och b så att vi får ett itervall som med saolikhete 1 α täcker det saa värdet µ. Om 1 α = 0.95, a = 2 och b = 3 så har vi att det saa me okäda värdet µ ligger mella 2 och 3 med saolikhete Simulera med WiStats
25 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio (forts) För det adra vart tog våra mätigar X 1, X 2,..., X väge? Svaret är att de ligger i kostatera a och b som således ite är ågra kostater uta fuktioer Ett mer korrekt skrivsätt blir således P (a (X 1, X 2,..., X ) < µ < b (X 1, X 2,..., X )) = 1 α Så arbetsgåge blir: bestäm hur stort 1 α skall vara. Därefter bestäm fuktioer a och b så att vi får ett itervall som med saolikhete 1 α täcker det saa värdet µ. Om 1 α = 0.95, a = 2 och b = 3 så har vi att det saa me okäda värdet µ ligger mella 2 och 3 med saolikhete Simulera med WiStats
26 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio (forts) För det adra vart tog våra mätigar X 1, X 2,..., X väge? Svaret är att de ligger i kostatera a och b som således ite är ågra kostater uta fuktioer Ett mer korrekt skrivsätt blir således P (a (X 1, X 2,..., X ) < µ < b (X 1, X 2,..., X )) = 1 α Så arbetsgåge blir: bestäm hur stort 1 α skall vara. Därefter bestäm fuktioer a och b så att vi får ett itervall som med saolikhete 1 α täcker det saa värdet µ. Om 1 α = 0.95, a = 2 och b = 3 så har vi att det saa me okäda värdet µ ligger mella 2 och 3 med saolikhete Simulera med WiStats
27 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio (forts) För det adra vart tog våra mätigar X 1, X 2,..., X väge? Svaret är att de ligger i kostatera a och b som således ite är ågra kostater uta fuktioer Ett mer korrekt skrivsätt blir således P (a (X 1, X 2,..., X ) < µ < b (X 1, X 2,..., X )) = 1 α Så arbetsgåge blir: bestäm hur stort 1 α skall vara. Därefter bestäm fuktioer a och b så att vi får ett itervall som med saolikhete 1 α täcker det saa värdet µ. Om 1 α = 0.95, a = 2 och b = 3 så har vi att det saa me okäda värdet µ ligger mella 2 och 3 med saolikhete Simulera med WiStats
28 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio (forts) För det adra vart tog våra mätigar X 1, X 2,..., X väge? Svaret är att de ligger i kostatera a och b som således ite är ågra kostater uta fuktioer Ett mer korrekt skrivsätt blir således P (a (X 1, X 2,..., X ) < µ < b (X 1, X 2,..., X )) = 1 α Så arbetsgåge blir: bestäm hur stort 1 α skall vara. Därefter bestäm fuktioer a och b så att vi får ett itervall som med saolikhete 1 α täcker det saa värdet µ. Om 1 α = 0.95, a = 2 och b = 3 så har vi att det saa me okäda värdet µ ligger mella 2 och 3 med saolikhete Simulera med WiStats
29 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio E saolikhetsekvatio (forts) För det adra vart tog våra mätigar X 1, X 2,..., X väge? Svaret är att de ligger i kostatera a och b som således ite är ågra kostater uta fuktioer Ett mer korrekt skrivsätt blir således P (a (X 1, X 2,..., X ) < µ < b (X 1, X 2,..., X )) = 1 α Så arbetsgåge blir: bestäm hur stort 1 α skall vara. Därefter bestäm fuktioer a och b så att vi får ett itervall som med saolikhete 1 α täcker det saa värdet µ. Om 1 α = 0.95, a = 2 och b = 3 så har vi att det saa me okäda värdet µ ligger mella 2 och 3 med saolikhete Simulera med WiStats
30 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio De väsetliga fråga Så återstår de ite oväsetliga fråga Hur hittar ma a och b? Vars svar är att det ka bara göra frå fall till fall
31 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio De väsetliga fråga Så återstår de ite oväsetliga fråga Hur hittar ma a och b? Vars svar är att det ka bara göra frå fall till fall
32 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio De väsetliga fråga Så återstår de ite oväsetliga fråga Hur hittar ma a och b? Vars svar är att det ka bara göra frå fall till fall
33 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet Vi vet att X i N ( µ, σ 2) samt att slumpvariablera X i är oberoede varav följer X i N ( µ, σ 2) Me detta ger att (visa detta) X i µ σ 2 N (0, 1) Vi ka u sätta upp följade ekvatio ( ) P 1.96 < X i µ < 1.96 = 0.95 σ 2
34 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet Vi vet att X i N ( µ, σ 2) samt att slumpvariablera X i är oberoede varav följer X i N ( µ, σ 2) Me detta ger att (visa detta) X i µ σ 2 N (0, 1) Vi ka u sätta upp följade ekvatio ( ) P 1.96 < X i µ < 1.96 = 0.95 σ 2
35 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet Vi vet att X i N ( µ, σ 2) samt att slumpvariablera X i är oberoede varav följer X i N ( µ, σ 2) Me detta ger att (visa detta) X i µ σ 2 N (0, 1) Vi ka u sätta upp följade ekvatio ( ) P 1.96 < X i µ < 1.96 = 0.95 σ 2
36 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) I ett första steg omskrives dea till ( P 1.96σ < X i µ < 1.96σ ) = 0.95 Vi har u två olikheter 1.96σ < X i µ och X i µ < 1.96σ Byt plats mella µ och 1.96σ µ < X i σ och X i 1.96σ < µ
37 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) I ett första steg omskrives dea till ( P 1.96σ < X i µ < 1.96σ ) = 0.95 Vi har u två olikheter 1.96σ < X i µ och X i µ < 1.96σ Byt plats mella µ och 1.96σ µ < X i σ och X i 1.96σ < µ
38 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) I ett första steg omskrives dea till ( P 1.96σ < X i µ < 1.96σ ) = 0.95 Vi har u två olikheter 1.96σ < X i µ och X i µ < 1.96σ Byt plats mella µ och 1.96σ µ < X i σ och X i 1.96σ < µ
39 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Dividera med µ < 1 X i σ och 1 X i 1.96 σ < µ Sätt ihop ( P X 1.96 σ < µ < X σ σ ) = 0.95 Ett kofidesitervall för µ är σ kät och med kofidesgrad 95% ka u skrivas ( x 1.96 σ, x σ ) Tyvärr kräver detta itervall kuskap om σ.
40 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Dividera med µ < 1 X i σ och 1 X i 1.96 σ < µ Sätt ihop ( P X 1.96 σ < µ < X σ σ ) = 0.95 Ett kofidesitervall för µ är σ kät och med kofidesgrad 95% ka u skrivas ( x 1.96 σ, x σ ) Tyvärr kräver detta itervall kuskap om σ.
41 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Dividera med µ < 1 X i σ och 1 X i 1.96 σ < µ Sätt ihop ( P X 1.96 σ < µ < X σ σ ) = 0.95 Ett kofidesitervall för µ är σ kät och med kofidesgrad 95% ka u skrivas ( x 1.96 σ, x σ ) Tyvärr kräver detta itervall kuskap om σ.
42 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Dividera med µ < 1 X i σ och 1 X i 1.96 σ < µ Sätt ihop ( P X 1.96 σ < µ < X σ σ ) = 0.95 Ett kofidesitervall för µ är σ kät och med kofidesgrad 95% ka u skrivas ( x 1.96 σ, x σ ) Tyvärr kräver detta itervall kuskap om σ.
43 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Om vi ite har kuskap om σ (och det har vi sälla) så måste σ skattas och ersättas med sitt approximativa värde de observerade skattige s. Me i rimlighetes am måste dea extra approximatio ge upphov till ett bredare itervall. Det är också vad som häder. Vi får ite talet 1.96 uta ett större tal som beteckas med t ( 1). Observera att detta tal beror på atalet observatioer.
44 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Om vi ite har kuskap om σ (och det har vi sälla) så måste σ skattas och ersättas med sitt approximativa värde de observerade skattige s. Me i rimlighetes am måste dea extra approximatio ge upphov till ett bredare itervall. Det är också vad som häder. Vi får ite talet 1.96 uta ett större tal som beteckas med t ( 1). Observera att detta tal beror på atalet observatioer.
45 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Om vi ite har kuskap om σ (och det har vi sälla) så måste σ skattas och ersättas med sitt approximativa värde de observerade skattige s. Me i rimlighetes am måste dea extra approximatio ge upphov till ett bredare itervall. Det är också vad som häder. Vi får ite talet 1.96 uta ett större tal som beteckas med t ( 1). Observera att detta tal beror på atalet observatioer.
46 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Kofidesitervall för det förvätade värdet (forts) Om vi ite har kuskap om σ (och det har vi sälla) så måste σ skattas och ersättas med sitt approximativa värde de observerade skattige s. Me i rimlighetes am måste dea extra approximatio ge upphov till ett bredare itervall. Det är också vad som häder. Vi får ite talet 1.96 uta ett större tal som beteckas med t ( 1). Observera att detta tal beror på atalet observatioer.
47 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Ett kofidesitervall för µ är σ okät och med kofidesgrad 95% ka u skrivas ( x t ( 1) s, x + t ( 1) s ) Diskutera rut t-fördelige
48 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Ett kofidesitervall för µ är σ okät och med kofidesgrad 95% ka u skrivas ( x t ( 1) s, x + t ( 1) s ) Diskutera rut t-fördelige
49 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Example För skogsområdet upmättes E köpare vill via ett 95 procetigt symmetriskt kofidesitervall beräka de största mägd timmer dee rimlige ka erhålla för att med hjälp av de övre gräse kua beräka de högsta acceptabla iköpskostade per volymsehet. Beräka ett sådat kofidesitervall.
50 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Solutio Vi har tidigare fuit att x = s = så ett 95%-igt kofidesitervall för µ är σ okät blir ( , ) som ger oss att varje ruta iehåller mella 9.14 och 14.6 m 3 skog. Så köpare räkar med att få högst 14.6 m 3 skog per ruta. Me äve skattige σ är behäftad med osäkerhet. Vi behöver därför ett kofidesitervall för σ.
51 Kofidesitervall för varias Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Me om σ är e okäd parameter så bör vi äve för dea kua skapa ett kofidesitervall. Hur ser ett sådat ut? Vi söker u ett itervall med utseedet P ( a < σ 2 < b ) = 0.95 Här måste både a och b vara större ä oll ty variase skattas med e summa av kvadrater. Skattige av σ 2 är µ är käd är S 2 = 1 (X i µ) 2
52 Kofidesitervall för varias Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Me om σ är e okäd parameter så bör vi äve för dea kua skapa ett kofidesitervall. Hur ser ett sådat ut? Vi söker u ett itervall med utseedet P ( a < σ 2 < b ) = 0.95 Här måste både a och b vara större ä oll ty variase skattas med e summa av kvadrater. Skattige av σ 2 är µ är käd är S 2 = 1 (X i µ) 2
53 Kofidesitervall för varias Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Me om σ är e okäd parameter så bör vi äve för dea kua skapa ett kofidesitervall. Hur ser ett sådat ut? Vi söker u ett itervall med utseedet P ( a < σ 2 < b ) = 0.95 Här måste både a och b vara större ä oll ty variase skattas med e summa av kvadrater. Skattige av σ 2 är µ är käd är S 2 = 1 (X i µ) 2
54 Kofidesitervall för varias Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Me om σ är e okäd parameter så bör vi äve för dea kua skapa ett kofidesitervall. Hur ser ett sådat ut? Vi söker u ett itervall med utseedet P ( a < σ 2 < b ) = 0.95 Här måste både a och b vara större ä oll ty variase skattas med e summa av kvadrater. Skattige av σ 2 är µ är käd är S 2 = 1 (X i µ) 2
55 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Betrakta u S 2 σ 2 = ( Xi µ Högerledet är e summa av kvadrerade N (0, 1)-variabler. Tidigare har kostaterats att e såda summa är χ 2 ()-fördelad. Därför är saolikhetsekvatioe P (a < S 2 ) < b = 0.95 σ 2 σ ) 2 meigsfull. Vi leds till att betrakta (diskutera χ och χ ) P (χ < S 2 ) σ 2 < χ = 0.95
56 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Betrakta u S 2 σ 2 = ( Xi µ Högerledet är e summa av kvadrerade N (0, 1)-variabler. Tidigare har kostaterats att e såda summa är χ 2 ()-fördelad. Därför är saolikhetsekvatioe P (a < S 2 ) < b = 0.95 σ 2 σ ) 2 meigsfull. Vi leds till att betrakta (diskutera χ och χ ) P (χ < S 2 ) σ 2 < χ = 0.95
57 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Betrakta u S 2 σ 2 = ( Xi µ Högerledet är e summa av kvadrerade N (0, 1)-variabler. Tidigare har kostaterats att e såda summa är χ 2 ()-fördelad. Därför är saolikhetsekvatioe P (a < S 2 ) < b = 0.95 σ 2 σ ) 2 meigsfull. Vi leds till att betrakta (diskutera χ och χ ) P (χ < S 2 ) σ 2 < χ = 0.95
58 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Vi löser u de två olikhetera med avseede på σ 2. Lösige blir χ < S 2 σ 2 och S 2 σ 2 < χ σ 2 < S 2 χ och S 2 χ < σ 2 varför ( S 2 P χ < σ 2 < S 2 ) χ 2 =
59 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Vi löser u de två olikhetera med avseede på σ 2. Lösige blir χ < S 2 σ 2 och S 2 σ 2 < χ σ 2 < S 2 χ och S 2 χ < σ 2 varför ( S 2 P χ < σ 2 < S 2 ) χ 2 =
60 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Vi löser u de två olikhetera med avseede på σ 2. Lösige blir χ < S 2 σ 2 och S 2 σ 2 < χ σ 2 < S 2 χ och S 2 χ < σ 2 varför ( S 2 P χ < σ 2 < S 2 ) χ 2 =
61 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Ett kofidesitervall för σ är µ är käd och med kofidesgrad 0.95 ka u skrivas ( ) S 2 S, 2 χ χ Tyvärr kräver dea lösig kuskap om µ.
62 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Ett kofidesitervall för σ är µ är käd och med kofidesgrad 0.95 ka u skrivas ( ) S 2 S, 2 χ χ Tyvärr kräver dea lösig kuskap om µ.
63 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Så om vi ite har kuskap om µ hur ser då itervallet ut? Ma ka visa att det räcker med e smärre korrigerig och erhåller: Ett kofidesitervall för σ är µ är okäd och med kofidesgrad 0.95 ka skrivas ( ) ( 1) S 2 ( 1) S χ 2, χ Där S 2 = 1 1 (X i X ) 2
64 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Så om vi ite har kuskap om µ hur ser då itervallet ut? Ma ka visa att det räcker med e smärre korrigerig och erhåller: Ett kofidesitervall för σ är µ är okäd och med kofidesgrad 0.95 ka skrivas ( ) ( 1) S 2 ( 1) S χ 2, χ Där S 2 = 1 1 (X i X ) 2
65 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Så om vi ite har kuskap om µ hur ser då itervallet ut? Ma ka visa att det räcker med e smärre korrigerig och erhåller: Ett kofidesitervall för σ är µ är okäd och med kofidesgrad 0.95 ka skrivas ( ) ( 1) S 2 ( 1) S χ 2, χ Där S 2 = 1 1 (X i X ) 2
66 Kofidesitervall för varias (forts) Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Så om vi ite har kuskap om µ hur ser då itervallet ut? Ma ka visa att det räcker med e smärre korrigerig och erhåller: Ett kofidesitervall för σ är µ är okäd och med kofidesgrad 0.95 ka skrivas ( ) ( 1) S 2 ( 1) S χ 2, χ Där S 2 = 1 1 (X i X ) 2
67 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Example (forts) För skogsområdet gällde att kofidesitervallet (9.14, 14.6) för det förvätade ihållet. För stadardavvikelse har vi itervallet ( ) ( 1) S 2 ( 1) S χ 2, χ vilket ger ( ) (49 1) (49 1) , = (8.3, 12.5)
68 Iterval för µ är σ kät Iterval för µ är σ okät Itervall för σ 2 Itervall för σ 2 är µ käd Itervall för σ 2 är µ okäd Köpare har därför e ä större osäkerhet ( , ) = (9.6, 14.4) eller ( , ) = (8.4, 15.6) Vilket av de tre framräkade tale, 14.1, 14.6 och 15.6, skall dee välja?
69 Åkerareal Åkerareal Frå SCBs statistikdatabas fier vi de totala åkerareale i Uppsala A-regio för e följd av år Bestäm e approximatio av geomsittlig aväda areal uder agive tid samt ge ett 95%-igt kofidesitervall. Vi skapar följade modell X i = åkerareal Uppsala A-regio år i i = 1981, 1985,..., 2007 med atagadet att X i N (µ, σ) (oberoedekravet dubiöst här).
70 Åkerareal Åkerareal Frå SCBs statistikdatabas fier vi de totala åkerareale i Uppsala A-regio för e följd av år Bestäm e approximatio av geomsittlig aväda areal uder agive tid samt ge ett 95%-igt kofidesitervall. Vi skapar följade modell X i = åkerareal Uppsala A-regio år i i = 1981, 1985,..., 2007 med atagadet att X i N (µ, σ) (oberoedekravet dubiöst här).
71 Åkerareal Åkerareal Frå SCBs statistikdatabas fier vi de totala åkerareale i Uppsala A-regio för e följd av år Bestäm e approximatio av geomsittlig aväda areal uder agive tid samt ge ett 95%-igt kofidesitervall. Vi skapar följade modell X i = åkerareal Uppsala A-regio år i i = 1981, 1985,..., 2007 med atagadet att X i N (µ, σ) (oberoedekravet dubiöst här).
72 Åkerareal Vi söker först e approximatio på µ och dea är självklar: x = = Variase igår ästa alltid så ret sletriamässigt beräkar vi äve dea: s = (observera att variase ite är käd) Ett 95%-igt kofidesitervall för µ med σ okät blir u ± Varav vi fier itervallet (74303, 76833) för åkerareal.
73 Åkerareal Vi söker först e approximatio på µ och dea är självklar: x = = Variase igår ästa alltid så ret sletriamässigt beräkar vi äve dea: s = (observera att variase ite är käd) Ett 95%-igt kofidesitervall för µ med σ okät blir u ± Varav vi fier itervallet (74303, 76833) för åkerareal.
74 Åkerareal Vi söker först e approximatio på µ och dea är självklar: x = = Variase igår ästa alltid så ret sletriamässigt beräkar vi äve dea: s = (observera att variase ite är käd) Ett 95%-igt kofidesitervall för µ med σ okät blir u ± Varav vi fier itervallet (74303, 76833) för åkerareal.
75 Åkerareal Vi söker först e approximatio på µ och dea är självklar: x = = Variase igår ästa alltid så ret sletriamässigt beräkar vi äve dea: s = (observera att variase ite är käd) Ett 95%-igt kofidesitervall för µ med σ okät blir u ± Varav vi fier itervallet (74303, 76833) för åkerareal.
Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej
Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda
Läs merF10 ESTIMATION (NCT )
Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,
Läs merStatistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?
Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel
Läs merFör att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ
1 February 1, 2018 1 Förel. VII Puktskattigar av parametrar i fördeligar 1.1 Puktskattig För att skatta vätevärdet för e fördelig är det lämpligt att aväda Medelvärdet ξ = 1 ξ j. Vi tar u vätevärdet av
Läs mer2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.
Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele
Läs merθx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF903 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH TORSDAGEN DEN TREDJE JUNI 200 KL 4.00 9.00. Examiator: Guar Eglud, tel. 790 74 06 Tillåta hjälpmedel: Läroboke.
Läs merLycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =
Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF955 f d 5B555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN AUGUSTI 008 KL 400 900 Examiator: Guar Eglud, tel 790746 Email: guare@mathkthse Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig
Läs merMinsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera
Matematisk statistik slumpes matematik Saolikhetsteori hur beskriver ma slumpe? Statistikteori vilka slutsatser ka ma dra av ett datamaterial? Statistikteori översikt Puktskattig Hur gör ma e bra gissig
Läs merS0005M V18, Föreläsning 10
S0005M V18, Föreläsig 10 Mykola Shykula LTU 2018-04-19 Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig 10 2018-04-19 1 / 15 Hypotesprövig ett stickprov, σ okäd. Stadardiserig av stickprovsmedelvärdet då σ är
Läs merb) Bestäm det genomsnittliga antalet testade enheter, E (X), samt även D (X). (5 p)
Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF922, SF923 och SF924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 29:E MAJ 208 KL 0800 300 Examiator för SF922/SF923: Tatjaa Pavleko, 08-790 84 66 Examiator för SF924:
Läs mer4.2.3 Normalfördelningen
4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)
Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grudläggade matematisk statistik Puktskattig Uwe Mezel, 2018 uwe.mezel@slu.se; uwe.mezel@matstat.de www.matstat.de Saolikhetsteori: Saolikhetsteori och statistikteori vad vi gjorde t.o.m. u vi hade e give
Läs mer================================================
rmi Halilovic: ETR ÖVNINGR TVÅ STICKPROV Vi betraktar två oberoede ormalfördelade sv och Låt x, x,, x vara ett observerat stickprov, av storleke, på N (, ) och låt y, y,, y vara ett observerat stickprov,
Läs merAntalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).
Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse
Läs merTENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN kl
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004 TEN 0-04-5 kl 8.5-.5 Hjälpmedel: Formler och tabeller i statistik, räkedosa Fullstädiga lösigar erfordras till samtliga uppgifter. Lösigara skall vara
Läs mer(a) Skissa täthets-/frekvensfunktionen och fördelningsfunktionen för X. Glöm inte att ange värden på axlarna.
1 0,5 0 LÖSNINGAR till tetame: Statistik och saolikhetslära (LMA120) Tid och plats: 08:30-12:30 de 6 april 2016 Hjälpmedel: Typgodkäd miiräkare, formelblad Betygsgräser: 3: 12 poäg, 4: 18 poäg, 5: 24 poäg.
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 11 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel
Läs mer1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig
Läs merF3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index.
F3 Lite till om tidsserier Deflaterig, att justera för iflatioe tatistikes gruder dagtid 4 3,5 3,5,5 Mjölk ockerdricka HT,5 975 976 977 978 979 98 98 98 Löpade priser År Mjölk ockerdricka KPI 945 = 975,34,
Läs mer101. och sista termen 1
Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +
Läs merTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK
TETAME I MATEMATISK STATISTIK Te i kurse 6H, KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse 6H, 6L MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: :-7: Lärare: Armi Halilovic Kurskod 6H, 6H, 6L, 6A Hjälpmedel:
Läs merFöreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin
Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde
Läs merStatistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten
Statistik Språkligt och historiskt betyder statistik ugefär sifferkuskap om state E Statistisk udersökig består av fyra delar: Plaerig Dataisamlig Bearbetig Beskrivade statistik (kap 1) Statistisk aalys
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl
Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-
Läs mera) Beräkna E (W ). (2 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF19 och SF191 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 13:E MARS 18 KL 8. 13.. Examiator: Björ-Olof Skytt, 8 79 86 49. Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig
Läs merLÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,
Läs merTMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar
TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:
Läs merTentamen i matematisk statistik
MSTA3, Saolikhetsteori A, 5 p 5--7 Tetame i matematisk statistik Saolikhetsteori A, 5 poäg Skrivtid: 9.-5.. Tillåta hjälpmedel: Tabellsamlig, ege miiräkare. Studetera får behålla tetamesuppgiftera. På
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig,
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II
Stickprov MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig del II G Gripeberg Aalto-uiversitetet 4 februari 04 Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G Gripeberg
Läs merFöreläsning 3. 732G04: Surveymetodik
Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)
Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,
Läs merFöreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I
Föreläsig 5 732G04 Surveymetodik 732G19 Utredigskuskap I Dages föreläsig Klusterurval Estegs klusterurval Tvåstegs klusterurval Klusterurval med PPS 2 Klusterurval De urvalsdesiger som diskuterats hittills
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel
Läs merVid mer än 30 frihetsgrader approximeras t-fördelningen med N(0; 1). Konfidensintervallet blir då
Stat. teori gk, ht 006, JW F7 ENKEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT.5-.7) Statistisk iferes rörade β Vi vet reda att b är e vätevärdesriktig skattig av modellparameter β. Vi vet också att skattige b har
Läs merTentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klitberg Lösigar Tetame i Saolikhetsteori III 13 jauari 2000 Uppgift 1 a) Det mest detaljerade utfallsrummet är med uppebara beteckigar Ω = {(B1, B2),
Läs merb 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.
Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras
Läs merBorel-Cantellis sats och stora talens lag
Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi
Läs merTentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010
Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att
Läs merHögskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00
Lösigsförslag UPPGIFT 1 Kvia Ma Högskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00 Pr(ej högskoleutbildad kvi=0,07=7% Pr(högskoleutbildad)=0,87 c) Pr(Kvi*Pr(Högskoleutbildad)=0,70*0,87=0,609
Läs merSkattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas?
Skattig / Iferes Saolikhet och statistik Puktskattig Försöket att beskriva e hel populatio pga ågra få mätvärde! Oberservatio = Populatio HT 2008 UweMezel@mathuuse http://wwwmathuuse/ uwe/ Populatio har
Läs merFöreläsning 2: Punktskattningar
Föreläsig : Puktskattigar Joha Thim joha.thim@liu.se 7 augusti 08 Repetitio Stickprov Defiitio. Låt de stokastiska variablera X, X,..., X vara oberoede och ha samma fördeligsfuktio F. Ett stickprov x,
Läs merTAMS79: Föreläsning 9 Approximationer och stokastiska processer
TAMS79: Föreläsig 9 Approximatioer och stokastiska processer Joha Thim 18 ovember 2018 9.1 Biomialfördelig Vi har reda stött på dea fördelig flera gåger. Situatioe är att ett slumpförsök har två möjliga
Läs merFöreläsning G70 Statistik A
Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive
Läs merFöreläsning G70 Statistik A
Föreläsig 7 73G70 Statistik A Hypotesprövig för jämförelse av populatiosadelar Krav: vi har dragit två OSU p( p) > 5 för båda stickprove Steg : Välj sigifikasivå och formulera hypoteser H 0 : π - π = d
Läs merMatematisk statistik TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS063 Tetame 208-05-30 Tid: 8:30-2:30 Tetamesplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamlig och tabell samt Chalmersgodkäd räkare. Kursasvarig: Olof Elias Telefovakt/jour: Olof Elias,
Läs merGenomsnittligt sökdjup i binära sökträd
Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist
Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa
Läs merUppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis
Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor 3.01 101. E talföljd defiieras geom formel a 8 + 6. a) Är det e rekursiv eller e
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )
Läs merTentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15
Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II Estimerig 2 Kofidesitervall G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 3 februari 205 3 Hypotesprövig 4 Korrelatio och regressio G. Gripeberg Aalto-uiversitetet
Läs merLösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007
STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3150 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 29 maj 2007 Lösig till tetame för kurse Log-lijära statistiska modeller 29 maj 2007 Uppgift 1 a Modelle uta ågra
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1917/SF1918/SF1919 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 8 JANUARI 2019 KL 8.00 13.00. Examiator för SF1917/1919: Jörge Säve-Söderbergh, 08-790 65 85. Examiator
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00
0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:
Läs merTentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan
Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med
Läs merx 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x
Uppgift 1 a) Vi iför slackvariabler x 4, x 5 och x 6 och löser problemet med hjälp av simplexalgoritme. Z -2-1 1 0 0 0 0 x 4 1 1-1 1 0 0 20 x 5 2 1 1 0 1 0 30 x 6 1-1 2 0 0 1 10 x 1 blir igåede basvariabel
Läs merTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08
TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:
Läs merSAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs
SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg
Läs merF19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden
Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde
Läs mer1. Test av anpassning.
χ -metode. χ -metode ka avädas för prövig av hypoteser i flera olika slag av problem: om e stokastisk variabel följer e viss saolikhetsfördelig med käda eller okäda parametrar. om två stokastiska variabler
Läs merTrigonometriska polynom
Trigoometriska polyom Itroduktio Iga strägistrumet eller blåsistrumet ka producera estaka siustoer, blott lieära kombiatioer av dem, där de med lägsta frekvese kallas för grudtoe, och de övriga för övertoer.
Läs merÖvningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp
Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs merUppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik
Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK
UMEÅ UNIVERSITET Istitutioe för matematisk statistisk Statistiska metoder, 5 poäg MSTA36 Peter Ato LÖSNINGSFÖRSLAG 005-10-6 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistiska metoder, 5 poäg
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade frå saolikhetsteori:
Läs merIntervallskattningar, synonymt konfidensintervall eller statistiska osäkerhetsgränser
Matematisk statistik ör STS vt 004 004-05 - 04 Begt Rosé Itervallskattigar, syoymt koidesitervall eller statistiska osäkerhetsgräser Allmät om koidesitervall För att börja kokret återväder vi till det
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23
1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs merViktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.
Statistisk försöksplaerig Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Skriftlig tetame 3,0 hp 51SF01 DTEIN14h 4,5 högskolepoäg TetamesKod: Tetamesdatum: 5 ovember 015 Tid: 9.00-13.00 Hjälpmedel: Miiräkare Totalt
Läs merFormelblad Sannolikhetsteori 1
Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla
Läs merNormalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)
Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =
Läs merÖvningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp
Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik,.hp Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,
MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.hp, 2018-08- Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 20 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas
Läs merStat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT
Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type
Läs merSannolikhetslära statistisk inferens F10 ESTIMATION (NCT )
Stat. teori gk, vt 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlita till NCT Iferece Slutledig, ifere Parameter Parameter Saolikhetlära tatitik ifere Hittill har vi ylat med aolikhetlära. Problem av type:
Läs merTentamen i matematisk statistik
Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst
Läs merF6 Uppskattning. Statistikens grunder 2 dagtid. Beteckningar, symboler, notation. Grekiskt-romerskt
01-10-19 F6 Uppskattig Statistikes gruder dagtid HT 01 Vi skattar populatiosparametrar (modellparametrar med olika statistikor: E. stickprovs- -medelvärdet X skattar μ -variase S skattar -adele P skattar
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,
MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp, 08-05-3 Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas i!
Läs merKOM IHÅG ATT NOTERA DITT TENTAMENSNUMMER NEDAN OCH TA MED DIG TALONGEN INNAN DU LÄMNAR IN TENTAN!!
Göteborgs uiversitet Psykologiska istitutioe Tetame Psykologi kurskod PC106, Kurs 6: Idivide i ett socialt sammahag (15 hp) och PC 145. Tid för tetame: 6/5-01. Hel och halvfart VT 1. Provmomet: Socialpsykologi
Läs merAndra ordningens lineära differensekvationer
Adra ordiges lieära differesekvatioer Differese Differese f H + L - f HL mäter hur mycket f :s värde förädras då argumetet förädras med de mista ehete. Låt oss betecka ämda differes med H Df L HL. Eftersom
Läs merc n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.
P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt
Läs mer. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.
Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd familj av stokastiska variabler Xt arameter t är oftast me ite alltid e tidsvariabel rocesse kallas diskret om Xt är e diskret s v för varje
Läs merAnmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].
MÄNGDER Stadardtalmägder: N={0,, 2, 3, } mägde av alla aturliga tal (I ågra böcker N={,2,3, }) Z={ 3, 2,,0,, 2, 3, 4, } mägde av alla hela tal m Q={, där m, är hela tal och 0 } mägde av alla ratioella
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,
MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik,.hp, 018-0-1 Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas i!
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för
Läs merFourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL
Fourierserie fortsättig Ortogoalitetsrelatioera och Parsevals formel Med hjälp av ortogoalitetsrelatioera Y Â m W t, Â W t ] =, m ¹, m = () där Xf, g\ = Ÿ T f HtL g HtL, där W ã p, ka ma bevisa följade
Läs merFöreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin
Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg
Läs merTentamen i matematisk statistik, Statistisk Kvalitetsstyrning, MSN320/TMS070 Lördag , klockan Lärare: Jan Rohlén
FACIT Tetame i matematisk statistik, Statistisk Kvalitetsstyrig, MSN3/TMS7 Lördag 6-1-16, klocka 14.-18. Lärare: Ja Rohlé Ugift 1 (3.5 ) Se boke! Ugift (3.5) Se boke! Ugift 3 (3) a-ugifte Partistorlek:
Läs merInduktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1
duktio LCB 2000 Ersätter Grimaldi 4. Rekursio och iduktio; ekla fall E talföljd a a 0 a a 2 ka aturligtvis defiieras geom att ma ager e explicit formel för uträkig av dess elemet, som till exempel () a
Läs merLaboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-02 Laboratio 5: Kofidesitervall viktiga statistiska fördeligar Syfte I dea laboratio
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,
MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik,.hp, 019-0-1 Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas i!
Läs merStokastiska variabler
TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 13 februari 015 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik
Läs merTentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl
Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160331, kl. 08.00 12.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark
Läs merVad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?
Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok
Läs merLinjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes
Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom
Läs merZ-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z
Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad
Läs merHambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)
1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10
Läs mer