Formelblad Sannolikhetsteori 1

Transkript

1 Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla c > att P X µ c σ c Geometrisk serie: För e geometrisk serie gäller då x < ax i = a x, och delsumma S summa av de första termera gäller då x i= S = a x x Diskreta fördeligar Biomialfördelig: X Bi, p frekvesfuktioe P X = x = x p x p x, x =,,, vätevärdet p variase p p mometgeererade fuktioe M X t = pe t + p Poissofördelig: X P oisλ frekvesfuktioe P X = x = e λ λx x!, x =,,, vätevärdet λ variase λ mometgeererade fuktioe M X t = expλe t Geometrisk fördelig: X Geomp frekvesfuktioe P X = x = p x p, x =,, vätevärdet p variase p p Negativ biomialfördelig: X N egbir, p x frekvesfuktioe P X = x = p r r p x r, x = r, r +, vätevärdet r p variase r p p

2 Hypergeometrisk fördelig: X HypGeom, N, m x frekvesfuktioe P X = x = N m N A A, x =,,, vätevärdet m N variase m N m N + m N Kotiuerliga fördeligar Likformig fördelig: X Lika, b täthetsfuktioe fx = b a, vätevärdet a + b variase b a a < x < b mometgeererade fuktioe M X t = etb e ta tb a Normalfördelig: X Nµ, täthetsfuktioe fx = σ π exp vätevärdet µ variase x µ σ, < x < mometgeererade fuktioe M X t = expµt + t / Stadardiserad ormalfördelig: Z N, täthetsfuktioe fz = π e z /, < z < mometgeererade fuktioe M Z t = expt / Expoetialfördelig: X Expλ täthetsfuktioe fx = λe λx, x vätevärdet λ variase λ mometgeererade fuktioe M X t = λ λ t Gammafördelig: X Gammas, λ täthetsfuktioe fx = λe λx λx s Γs, x, där Γs = e y y s dy vätevärdet s λ variase s λ mometgeererade fuktioe M X t = Studet t-fördelig: T t r, r =,, täthetsfuktioe ft = Γr+/ rπγr/ + t r vätevärdet variase r r, för r 3 λ λ t s r+/, t R, där Γs = e y y s dy

3 χ -fördelig: X χ r, r =,, täthetsfuktioe fx = r r/ Γr/ xr/ e x/, vätevärdet r variase r x R, där Γs = e y y s dy Bivariat ormalfördelig: E två-dimesioell stokastisk variabel X, Y har e bivariat ormalfördelig med parametrar µ, µ,, och ρ, om dess täthetsfuktio är fx, y = πσ σ ρ x µ x µ y µ y µ exp ρ ρ + σ De betigade fördelige av Y givet X = x är ormalfördelig med vätevärde µ + ρ σ σ x µ och varias σ ρ Om X, Y har e bivariat ormalfördelig med parametrar µ, µ, σ, σ och ρ, då har X µ σ, Y µ bivariat ormalfördelig med parametrar,,, och ρ Exempel om hur olika fördeligar ka tillämpas Biomial: Atal succéer i oberoede försök, där succésaolikhete är p, är biomialfördelat Poisso: Ka avädas som fördelig för atal pukter i e stokastisk puktprocess uder ågra ekla atagade Approximerar biomialfördelige, är är stor och p lite, λ = p Geometrisk: Atal försök, som behövs tills e hädelse med saolikhet p iträffar, har geometrisk fördelig Negativ biomial: Atal försök, som behövs tills e hädelse med saolikhet p iträffar för r-te gåge, har egativ biomialfördelig Hypergeometrisk: Ma aväder fördelige om ma drar uta återläggig frå e ädlig populatio som har två olika slags idivider Likformig: Aväds som fördelig för vätetider och avrudig av mätigsfel Normal: Uder geerella atagade är e summa av ett stort atal stokastiska variabler approximativt ormalfördelat cetrala gräsvärdessatse σ Stadardiserad ormal: Om X Nµ, σ, då har X µ σ Expoetial: Fördelig för livslägd uta åldrade stadardiserad ormalfördelig Gamma: Fördelig för summa av oberoede stokastiska variabler, som är expoetialfördelade med parameter λ Summor av oberoede stokastiska variabler X Bi, p och X Bi, p: X + X Bi +, p X P oisλ och X P oisλ : X + X P oisλ + λ X Expλ och X Expλ: X + X Gamma, λ

4 X Gamma, λ och X Gamma, λ: X + X Gamma +, λ X Nµ, och X Nµ, : X + X Nµ + µ, + X, X,, X är N, : X k χ X χ och X χ m: X + X χ +m X N, och X χ : X t X/ Statistikor Ett stickprov: Låt X, X,, X vara oberoede ormalfördelade stokastiska variabler med vätevärde µ och varias Stickprovsvätevärde: X = X k är e vätevärdesriktig skattare för µ, och X N µ, σ Stickprovsvarias: s = X k X = X k X är e vätevärdesriktig skattare för, och s χ Ett stickprov t-statistika: T = X µ s/ t Två stickprov, lika varias: Låt X, X,, X och Y, Y,, Y m vara två oberoede stickprov frå e Nµ, - respektive Nµ, -fördelig Låt s respektive s betecka stickprovsvariase för vardera stickprov Sammavägd stickprovsvarias: s p = s +m s +m är e vätevärdesriktig skattare för, och + m s p χ +m Två stickprov t-statistika: T = X Ȳ µ µ s p + m t +m Två stickprov, parvis observatioer: Låt X, Y, X, Y,, X, Y vara ett stickprov av parvis observatioer sådaa att X k, Y k är bivariat ormalfördelade med parametrar µ k, µ k +, σ, σ och ρ Sätt D k = X k Y k och låt s D vara stickprovsvariase för D, D,, D Då är D k N, σ + σ ρσ t-statistika: T = D µ µ s D t

5 Stickprovskorrelatioscoefficiet: R = X k XY k Ȳ X k X Y k Ȳ = X ky k XȲ X k X Y k Ȳ Om ρ =, så är T = R R t Okäda saolikheter/populatiosadelar: Låt X Bi, p och Y Bim, q vara oberoede ˆp = X och ˆq = Y m är vätevärdesriktiga skattare för p respektive q För stora gäller ˆp p d N,, p p/ eligt cetrala gräsvärdessatse Eftersom ˆp p i saolikhet då, så gäller vidare att ˆp p ˆp ˆp/ d N,, för stora För mi, m stort gäller ˆp ˆq d N p p p q, + q q, m eligt cetrala gräsvärdessatse Eftersom ˆp ˆq p q i saolikhet då mi, m, så gäller vidare att ˆp ˆq p q d N,, ˆp ˆp + ˆq ˆq m då mi, m är stort Jämförelse av saolikheter/populatiosadelar: Atag att utfallet av ett försök ka hama i r olika kategorier, vardera med saolikhet p, p,, p r Låt X k betecka atalet utfall i kategori k vid oberoede försök ˆp k = X k är e vätevärdesriktig skattare för p k, för k =,,, r Parvis jämförelse av okäda saolikheter/populatiosadelar: För stora gäller d ˆp k ˆp l N p k p l, p k + p l p k p l, eligt cetrala gräsvärdessatse Jämförelse av uppmätta och teoretiska frekveser: r χ X k p k = p k d χ r Approximatioe är ej pålitlig om p k < 5 för ågot k =,,, r

6 Icke-parametriska metoder: Låt X, X,, X vara oberoede stokastiska variabler frå e kotiuerlig fördelig med vätevärde µ och media m Låt R k vara rage av X k då X k µ ordas i stigade ordig Låt I k = I {Xk >µ} idikera om X k > µ Teckestatistika: N + = #{k : X k > m} Bi, Wilcoxo teckerag-statistika: W = R ki k Om stickprovsfördelige är symmetrisk, så är m = µ och W symmetriskt fördelad över,,, + Om stickprovsfördelige är symmetrisk, så gäller för stora att Lijär regressio W d + N, Låt x, Y, x, Y,, x, Y vara oberoede observatioer sådaa att Y k Nα + βx k, för ågra kostater α, β R Låt S x = S xx = x k, S Y = x k, S xy = Y k, x k Y k Skattig av koeficieter: Maximum Likelihood-skattara för β respektive α ges av ˆβ = x k xy k Ȳ x = S xy S x S Y k x S xx Sx, ˆα = Ȳ ˆβ x ˆα N α, Varˆα och ˆβ N β, Var ˆβ, där Varˆα = x k x k x = σ S xx S xx Sx, Var ˆβ = x k x = S xx Sx/ s = Y k ˆα ˆβx k är vätevärdesriktig skattare för, och T α = ˆα α s S x S xx s χ t och T b = ˆβ β s S xx S x t Prediktio av y observatio: Låt x, Y vara e observatio såda att Y Nα + βx, Givet x, så är ˆα+ ˆβx är e vätevärdesriktig skattare för Y Om x, Y är oberoede av tidigare observatioer så är Y ˆα + T = ˆβx t s + + x x S xx Sx