Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

Transkript

1 Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel = summa av måga oberoede felkällor som är av samma storleksordig Saolikhet och statistik Normalfördelige HT 008 Uwe.Mezel@math.uu.se uwe/ Figur: Approximativt ormalfördelad Täthetsfuktio, vätevärde och varias för N µ, f x = X E X = V X = Z x µ / e π Z + + x Täthetsfuktio för N µ, för olika µ och <x < x µ / e π x µ Figur: 0 D-Mark dx = µ x µ / e π dx = D X = Figur: Normalfördelige

2 Fördeligsfuktio för N µ, Låt X vara ormalfördelad: X N µ,. Låt Y = X µ /. Vilke fördeligsfuktio har Y? X är ormalfördelad: X N µ,. f X x = F X x = F X x = π e x µ / x Tyvärr ige aalytisk lösig f X t dt x π e t µ / dt F Y y = P Y y = P X µ y = P X µ + y = F X µ + y = = µ+y π y π e u / du e t µ / dt subst. u = t µ / Det är fördeligsfuktioe för N 0,, alltså Y N 0, Fördeligsfuktioe för N 0, kallas Φ x X N µ, Φ X x = ϕ X x = x π e t / dt π e x / X µ / N 0, Figur: Stadardiserad ormalfördelig

3 Stadardiserad ormalfördelig: Tabell över Φ x Beräkig av F X x för godtyckliga x, µ och : Om X N µ, F X x = P X x X µ = P x µ = P Y x µ x µ = Φ Vi behöver Φ helst för hela R Φ x för egativa argumet ϕ x = ϕ x Φ x = Φ x Beräkig av slh. för allmä ormalfördelig x µ X N µ, F X x = Φ Exempel : X N 4, Vad är P X 3?? P X 3 = 3 4 F X 3 = Φ = Φ 0.5 = Φ 0.5 = = Exempel : X N 4, Vad är P X 5?? Figur: N 0, P X 5 = P X < 5 = P X = F X 5 = Φ = Φ 0.5 = =

4 Saolikhete att X ligger mella två värde Sammafattig av alla 3 exempel b µ a µ P a < X b = F X b F X a = Φ Φ Exempel: X N 4, Vad är P 3 X 5?? P 3 X 5 = F X 5 F X = Φ Φ = Φ 0.5 Φ 0.5 = Φ 0.5 [ Φ 0.5] = Φ 0.5 = = Figur: P X < 3 + P 3 X < 5 + P X 5 = Saolikhet iom µ ±, µ ±, µ ± 3 Saolikhet iom µ ±, µ ±, µ ± 3 b µ a µ P a < X b = F X b F X a = Φ Φ P µ < X µ + = F X µ + F X µ µ + µ µ µ = Φ Φ = Φ Φ = Samma med och 3: Figur: k itervaller P µ X µ + = 0.68 P µ X µ + = P µ 3 X µ + 3 = 0.997

5 Kvatiler för de stadardiserade ormalfördelige Kvatiler för de stadardiserade ormalfördelige Deitio kvatil λ α : P X > λ α = α eller Φ λ α = α Figur: Kvatiler för N 0, Figur: Kvatiler för N 0, α λ α Saolikhet iom µ ± λ α/ för allmä ormalfördelig Saolikhet iom µ ± λ α/ för allmä ormalfördelig b µ a µ P a < X b = F X b F X a = Φ Φ P µ λα/ < X µ + λ α/ = α P α = P µ λα/ < X µ + λ α/ = F X µ + λα/ F X µ λα/ µ + λα/ µ µ λα/ µ = Φ Φ = Φ λ α/ Φ λα/ = Φ [ ] λ α/ Φ λα/ = Φ λ α/ = [ α/] = α Sätt α = 0.05, 0.00, P µ.96 < X µ +.96 = 0.95 P µ.58 < X µ +.58 = 0.99 P µ 3.9 < X µ = Ex: α = 0.05, α/ = 0.05, λ α/ =.96, α = 0.95 Låt X N 3, = P < X 5 95%

6 Summa och dieres av oberoede ormalfördelade s.v. med olika µ och : Om X N µ X, X och Y N µ Y, Y = X + Y N µ X + µ Y, + X Y X Y N µ X µ Y, + X Y Summor diereser av oberoede N är också N, äve om igåede kompoeter har olika vätevärde och variaser. Figur: µ = 3; µ = 5 ; µ = 8; = 3; = 4; = 5 Summa av era ormalfördelade s.v. med olika µ och X i oberoede X i N µ i, i = a i X i + b N a i µ i + b, a i i Figur: t = t + t + t 3 + t 4

7 Fördelig för summa och medelvärdet av era ormalfördelade s.v. med samma µ och Exempel: Fördelig för X Summa av oberoede, ormalfördelade s.v. med samma vätevärde och stadardavvikelse: Låt E X i = µ och D X i =. Om Y = Om X = X i så gäller Y N i= X i så gäller X N i= µ, µ, OBS!!: Vi förutsätter här att kompoetera X, X,... X är ormalfördelade satse gäller exakt. Exempel: Ett mätfel X är fördelad N 0, 0. Hur stor är slh. att felet är begräsad till 3, 3?? P 3 < X < 3 = F X 3 F X = Φ Φ 0 0 = Φ 0.3 Φ 0.3 = Φ Saolikhete är 3% att absolutbeloppet av felet är 3. Exempel: Fortsättig Exempel: Ett mätfel X är fördelad N 0, 0. Hur stor är slh. att felets medelvärde över 5 mätigar är begräsad till 3, 3?? 0 X N 0, 0 X N 0, = N 0, 5 P 3 < X < 3 = F X 3 F X = Φ Φ = Φ.5 Φ.5 = Φ Saolikhete är 87% att absolutbeloppet av felets medelvärde blir midre ä 3. Mycket bättre! Dieres av två medelvärde frå N med olika µ,, Vi har sett hur medelvärdet av N's är fördelad, och vi har sett hur summa dierese av N's är fördelad. Om ma kombierar dessa formler, ser ma t. ex. hur e dieres av medelvärde är fördelad: Låt X och Ȳ vara två sådaa medelvärde: X N X µ X, X X Ȳ N och = Ȳ N Y µ Y, Y µ X µ Y, X / X + Y / Y

8 Cetrala gräsvärdessatse Cetrala gräsvärdessatse Kom ihåg vart experimet där vi kastade tärigar: Vi har sett att summor av oberoede ormalfördelade s.v. är också ormalfördelade. Äve summor av godtycklig fördelade, oberoede och likafördelade slumpvariabler är i regel ugefär ormalfördelad, bara atalet kompoeter i summa är tillräckligt stort. = Normalfördelige har ett stort avädigsområde Figur: Poägsumma av tärigskast, = Nytt experimet: Vi kastar tärigar Cetrala gräsvärdessatse Summa av oberoede, likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad om atalet kompoeter är tillräckligt stort. Låt E X i = µ och D X i =. Om Y = Om X = X i så gäller Y AsN i= X i så gäller X AsN i= µ, µ, Figur: Poägsumma av tärigskast, = atalet tärigar OBS!!: Vi förutsätter här INTE att kompoetera X, X,... X är ormalfördelade satse gäller approximativt

9 Cetrala gräsvärdessatse Sammafattig summa och medelvärde Y = X i = Y AsN i= µ, Kompoetera måste vara oberoede och likafördelade samma µ och. Y µ N 0, ormalfördelad godtycklig fördelad Cetrala gräsvärdessatse Om X, X,... är e oädlig följd av oberoede likafördelade s.v. med vätevärdet µ och stadardavvikelse, så gäller för Y = X + X... X att P a < Y µ b Φ b Φ a om Y = i= X i Y N µ, Y N µ, X = i= X i X N µ, exakt X N µ, asymptotiskt I ex. mätfel var vi alltså ite tvuga att förutsätta X i N