Tentamen i matematisk statistik

Transkript

1 MSTA3, Saolikhetsteori A, 5 p 5--7 Tetame i matematisk statistik Saolikhetsteori A, 5 poäg Skrivtid: Tillåta hjälpmedel: Tabellsamlig, ege miiräkare. Studetera får behålla tetamesuppgiftera. På vissa cigarettpaket fis varigstete 9 av som drabbats av strupcacer är rökare. Dea faktauppgift är ite helt relevat för att bedöma om riske är stor eller lite för att drabbas av strupcacer, om ma röker. Beräka, med hjälp av iformatioe i varigstete och följade data, saolikhete att e rökare drabbas av strupcacer. 9% av befolkige är mä. Av mäe röker 3% och av kviora röker %. Saolikhete att drabbas av strupcacer är %. (3 p) Låt Chädelse cacer, Rhädelse rökare och Mhädelse ma. Vi vet då att P(C)., P(R C).9, P(M).9, P(R M).3, P(R M*).. P(C R) P(R C)P(C).9*. P (C R).56 P(R) P(R M)P(M) + P(R M*)P(M*).3*.9 +.*.5 Låt (X, Y) vara e tvådimesioell s.v. med simulta frekvesfuktio k, < <, < y < f (, y)., för övrigt a) Bestäm värdet på kostate k. ( p) b) Bestäm margiella frekvesfuktioe för Y. ( p) c) Bestäm variase för X. ( p) a) kdy k( ( ))d k( )d k /3 k 3 b) f Y(y) y+ y 3(y + ) 3d 3( y) 3d - < y < y

2 MSTA3 Saolikhetsteori A, 5 p 5--7 c) fx() 3dy 3( ( )) 6( ), <. Detta ger att V(X)/ 3 Till e affär kommer kuder eligt e Poissoprocess med itesitete 7 kuder per timme. Varje gåg det kommer e kud så är det lika saolikt att det är e ma som e kvia, oberoede av köet på tidigare kuder. a) Beräka de betigade saolikhete att det har kommit mist två mä uder de första halvtimme, givet att det har kommit eakt fyra kuder sammalagt uder de första halvtimme. (.5 p) b) Beräka vätevärdet av tide det tar ia det kommer e kud av motsatt kö mot ärmast föregåede kud. (.5 p) Låt X(t)atal kuder uder tide (,t), M(t)atal mä uder tide(,t) och K(t)atal kvior uder tide(,t). Då gäller att {X(t),t>} är e Poissopro cess med itesitet 7, {M(t),t>} och {K(t),t>} är oberoede Poissoproces ser med itesitera 3.5. a) P(M(.5) X(.5))- P(M(.5) X(.5))- P(M(.5) X(.5)) P(M(.5) X(.5) ) P(M(.5) X(.5) ) P(X(.5) ) P(X(.5) ) P(M(.5) K(.5) ) P(M(.5) K(.5) 3) P(X(.5) ) P(X(.5) ) P(M(.5) )P(K(.5) ) P(M(.5) )P(K(.5) ) P(X(.5) ) P(X(.5) ) e *e e 3.5 /! /! e *e.75 /3! 3.5 e 3.5 /! b) Låt N vara umret på de första kud som har motsatt kö mot föregåede kud. N ka då ata värdea,3,,. Vi fier P(N)*/, P(N3)*/*/(/) och att P(Nk)(/) k-, k,3, Av detta ka vi dra slutsatse att (N-) är geometriskt fördelad med p/ och att E(N-) dvs E(N)3. Låt u T i vara tidpuktera är kuder aläder, i,, Då gäller att T i är epoetialfördelade med E(T i )/7. N N Vi får då E Ti E E Ti N E(N) * E(T i) 3*/ 7 3/ 7 i i Låt X och X vara två oberoede slumptal med frekvesfuktio f(),. a) Bestäm frekvesfuktioe för X +X och rita de i e figur. (.75 p) b) Bestäm mometgeererade fuktio för X +X (.75 p) c) Visa att X -X har samma fördelig som X +X - (.75 p)

3 MSTA3 Saolikhetsteori A, 5 p 5--7 d) Bestäm frekvesfuktioe för X -X och rita de i e figur. (.75 p) a) Låt YX +X. Då F (y) P(X + X Y dyd z z) z z z dyd z y ( z) ddy + ddy < z z z + < y ddy z + y z z z () f Y z z < z < z f Y () b) M(Y,t) M(X,t)M(X tx t t,t) (E(e )) ( e d) (e ) t c) t t M(X X,t) M(X,t)M(X, t) (e + e ) t t t t t t M(X + X,t) e M(X,t)M(X,t) e (e ) (e + e ) t t Eftersom mgf är uik måste X -X ha samma fördelig som X +X - d) () P(X X ) P(X + X ) P(X + X ) F X X + Geom deriverig erhålles f X-X () f X X () f Y + ( + ) < < - 5 a) Defiiera begreppet koverges i saolikhet för e följd av slumpvariabler X, X, ( p) b) Formulera Stora tales svaga lag ( p) c) Låt P(A) betecka saolikhete att hädelse A iträffar vid ett försök. Gör oberoede upprepigar av försöket och låt A vara atalet gåger A iträffar. Motivera att relativa frekvese A / kovergerar i saolikhet mot P(A). ( p) 6 E belysigsarmatur består av tre lysrör som går söder oberoede av varadra. Itesitete (hazarde) som ett lysrör går söder med är

4 MSTA3 Saolikhetsteori A, 5 p 5--7 h (t).5,, t >, t. a) Bestäm de förvätade livslägde hos ett lysrör. (.5p) b) Ata att belysige är tillräcklig om mist två lysrör lyser. Bestäm de förvätade tide till dess att belysige blir otillräcklig. (.5p) / a) Xlivslägde har fördeligsfuktio F() e e. X är alltså epoetialfördelad med vätevärde. b) Ssystemets livslägd. P(S>t)P( av 3 lysrör fugerar vid tid t). Låt pp(x>t)e -t/ och Yatal som fugerar vid tid t. Då Y Bi(3,p) och P(S>t)P(Y)+P(Y3)-P(Y)-P(Y)-(-p) 3-3p(-p) -(-e -t/ ) 3-3 e -t/ (-e -t/ ) 3e -t -e -3t/. Vi erhåller t / E(S) 3e e 3t dt 5/ 3 7 E Taylorutvecklig av g(x) krig E(X)m är (X m) g(x) g(m) + (X m)g (m) + g (m) +... Vid Gauss approimatio! kasseras termer av ordig två och högre. Detta leder till uttrycke E (g(x)) g(m) och V(g(X)) V(X)g (m). E bättre approimatio uppås om vi i Taylorutvecklige också behåller :a grads-terme. a) Härled på detta sätt ett approimativt uttryck för E(g(X)). ( p) b) Låt X vara e Poissofördelad stokastisk variabel med vätevärde m. Bestäm med valig Gauss-approimatio approimatioer av vätevärde och stadardavvikelse för g( X) e X, samt med de ya variate i a) e alterativ approimatio av E(e X ). ( p) c) Bestäm E(e X ) eakt. Vad ka ma säga om approimatioera i detta fall? ( p) a) E(g(X)) g(m)+v(x)g (m)/ b) Gauss: E(e X ) e E(X) e , V(e X ) V(X)e m e och D(e X ) Ny variat : E(e X ) e +5e 6e k k X k e e e (e) (e) c) E(e ) e e e e k! e k! k k.5du

5 MSTA3 Saolikhetsteori A, 5 p a) Visa Tjebysjevs olikhet, dvs För varje k > gäller P( X µ kσ) / k, där E(X) µ och V(X) σ. Välj själv om du vill visa satse för e diskret eller kotiuerlig s.v. (.5 p) b) Aväd satse för att utgåede frå oberoede s v X, X,..., X med samma fördelig som X, härleda ett kofidesitervall för µ med kofidesgrad mist 88,9% oavsett vilke fördelig X har. (3 p) σ b) E(X) µ och V(X). Eligt Tjebysjev s olikhet gäller då att kσ kσ P( X µ > ) eller att P( X µ ) >. Sätt k3 ger k k 3σ σ P ( X µ ) >.889 eller att X ± 3 är ett 88.9%-igt kofidesitervall för µ. Lycka till