Stokastiska variabler

Transkript

1 TNG006 F Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå, alltså av slumpe. Ma allar talet e stoastis variabel eller slumpvariabel, förortat s.v. Ma talar om e flerdimesioell s.v. om det slumpmässiga försöet ger flera tal. Stoastisa variabler betecas med X, Y, Z, osv. Defiitio 2.1. E stoastis variabel (s.v. X är e reellvärd futio defiierad på ett utfallsrum Ω, dvs X : Ω R Defiitio 2.2. Om de s.v. X atar ett ädligt eller uppräeligt oädligt atal olia värde = x 1, x 2, x 3... säger vi att X är disret aars säger vi att X är otiuerlig. Exempel 2.3. a Låter vi X vara atal ögo som ommer upp vid ett ast av e tärig, så atar X värdea = 1, 2,..., 6. De s.v. X är alltså disret. b Om X är livslägde hos e ompoet, så atar X alla värde i itervallet [0, [, dvs X är e otiuerlig s.v. Läs i boe: Exempel 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6. Figur 3.2 1

2 2.1. Disreta s.v. Defiitio 2.4. Atag att X är e disret s.v. som atar värdea = x 1, x 2, x Futioe p X ( = P (X =, = x 1, x 2, x 3..., allas saolihetsfutioe för de s.v. X och uppfyller 1. p X ( 0 för all 2. p X ( = 1. Exempel 2.5. De disreta s.v. X har saolihetsfutioe p X (1 = 0.1, p X (2 = 0.3, p X (3 = 0.2, p X (4 = 0.1, p X (5 = 0.2, och p X (6 = 0.1. Att p X (, = 1, 2,..., 6 är e 6 saolihetsfutio följer av att p X ( 0, = 1, 2,..., 6 och p X ( = 1. =1 Defiitio 2.6. Futioe F X ( = P (X allas fördeligsfutioe för X. De har egesapera { 0, x 1. F X (x 1, x 2. F X (x är e ice-avtagade futio av x 3. F X (x är otiuerlig till höger för varje x Amärig 2.7. Vi får att 1. saolihete för högst av e sort ges av F X ( = j p X (j 2

3 2. saolihete för mist av e sort ges av 1 F X ( = j p X (j 3. saolihete för exat av e sort ges av F X ( F X ( 1 = p X (. Exempel 2.8. Bestäm fördeligsfutioe till s.v. i Exempel 2.5. Lösig: Eftersom F X ( = P (X = j p X (j, så får vi att F X (1 = p X (1 = 0.1, F X (2 = p X (j = 0.4, F X (3 = p X (j = 0.6, F X (4 = p X (j = 0.7, j 2 j 3 j 4 F X (5 = p X (j = 0.9 och F X (6 = p X (j = 1. j 5 j 6 3

4 Exempel 2.9. Hos e tillverad detalj är saolihete 0.06 för fel av typ I och 0.05 för fel av typ II. Fele föreommer oberoede av varadra. Bestäm saolihetsfutioe och fördeligsfutioe för atal fel hos e tillverad detalj. 4

5 2.2. Disreta fördeligar Defiitio Låt 0 < p < 1. De s.v. X har 1. Tvåputsfördelig eller Beroulli-fördelig, X Be(p om 2. Liformig fördelig om p X (a = p, p X (b = 1 p. p X ( = 1, = 1, 2,..., m. m 3. För-första-gåge-fördelig, X f f g(p om p X ( = (1 p 1 p, = 1, 2, Geometris fördelig, X Geo(p om p X ( = (1 p p, = 0, 1, 2, Biomialfördelig, X Bi(, p om ( p X ( = p (1 p, = 0, 1, 2,...,. 6. Hypergeometris fördelig, X Hyp(N,, p om ( ( Np N(1 p p X ( = ( N, = 0, 1, 2,...,. 7. Poisso-fördelig, X P (µ om p X ( = µ! e µ, = 0, 1, 2,..., µ > 0. 5

6 I ästa sats visar vi att futioera p X ( ova är saolihetsfutioer. Sats Futioera p X ( i Defiitio (2.10 är saolihetsfutioer. Bevis: Eftersom alla futioera p X ( är positiva, så behöver vi bara visa att de har total saolihetsmassa Tvåputsfördelig eller Beroulli-fördelig: X Be(p, och p X (a = p. Vi har att p X (a + p X (b = p + (1 p = 1. I figure eda är a = 2, b = 4 och p = Liformig fördelig: p X ( = 1 m. Vi har att m p X ( = =1 m =1 I figure är = 1, 2,..., 10 och p X ( = m = m 1 m = För-första-gåge-fördelig: X ffg(p och p X ( = (1 p 1 p. Vi börjar med att påmia om summa för de geometrisa serie: j=0 q j = 1, q < 1. 1 q 6

7 Nu har vi att p X ( = (1 p 1 p = {j = 1} = p (1 p j 1 = p 1 (1 p = p1 p = 1. =1 =1 j=0 I figure eda är p = 0.4 och = 1, 2, 3, Geometris fördelig: X Geo(p och p X ( = (1 p 1 p. Vi har att p X ( = (1 p p = p (1 p 1 = p 1 (1 p = p1 p = 1. I figure eda är p = 0.4 och = 0, 1, 2, Biomialfördelig: X Bi(, p och p X ( = Vi påmier om biomialsatse: (p + q = 7 ( ( p q. p (1 p.

8 Vi har att 1 = 1 = (p + (1 p = I figure eda är = 10 och p = 0.5. ( p (1 p = p X (. 6. Hypergeometris fördelig: X Hyp(N,, p och p X ( = ( Np ( N(1 p (. N Vi sriver polyomet (1 + x N på två sätt och jämför oefficietera. Biomialsatse ger att N ( (1 + x N N = x och Alltså får vi att Nu har vi att i=0 =0 (1 + x N = (1 + x Np (1 + x N(1 p = ( Np ( ( N(1 p Np ( x i N(1 p x j i j = N ( ( Np =0 ( Np p X ( = ( N(1 p ( Np 8 j=0 ( N(1 p = ( N x ( N(1 p ( N.

9 = = 1 ( N 1 ( N ( N I figure eda är N = 20, = 10 och p = 0.5. ( Np = 1. ( N(1 p 7. Poisso-fördelig: X P (µ och p X ( = µ! e µ. Vi påmier om taylorutveclige e µ µ =!. Vi har att p X ( = I figure eda är µ = 5. µ! e µ = e µ µ! = e µ e µ = 1. 9

10 Vi går igeom ågra exempel som belyser i vila situatioer dessa fördeligar uppstår. Exempel Tvåputsfördelig (Beroulli-fördelig. Ett lotteri ger vist med saolihet p = 0.01 och ige vist med saolihet Om X = 1 för e vistlott och X = 0 för e itlott, så är X Be(0.01. Exempel Tvåputsfördelig (Beroulli-fördelig. E loppa hoppar på heltalsputera på x-axel med saolihetera 0.7 till väster resp. 0.3 till höger. Låt X = 1 om loppa hoppar ett steg till väster och X = 1 om loppa hoppar ett steg till höger. Då är X tvåputsfördelad, dvs X Be(0.7 med saolihetsfutioe p X ( 1 = P (X = 1 = 0.7 och p X (1 = P (X = 1 = 0.3. E tvåputsfördelig a äve föreomma i adra situatioer, tex., e partiel som hoppar på x-axel (höger, väster, sliga slat (roa, lave, ett försö (lycas, misslycas m.m. Exempel Liformig fördelig. Vid ast av e symmetris tärig så har alla sex sidora samma saolihet att omma upp. Om X är atal ögo som visas upp vid ett ast så är X liformigt fördelad med saolihetsfutioe p X ( = P (X = = 1 6, = 1, 2,..., 6. Exempel För-första-gåge-fördelig. I e tillverigsprocess med felsaolihete 0.01 udersöer ma tillverade eheter tills ma får e defet ehet. Om X är atalet eheter, är ma första gåge får e defet ehet medräad, så är X ffg(0.01 med saolihetsfutioe p X ( = P (X = = , där = 1, 2,.... T.e.x., så är saolihete 0.01 att första ehete ma udersöer defet och saolihete är = för att adra ehete är defet. Läs i boe: Exempel Exempel Geometris fördelig. I Exempel 2.15 låter vi u Y vara atalet felfria eheter, ia första defeta ehet upptäcs, dvs de defeta ehete ej medräad. Då är Y Ge(0.01 med saolihetsfutioe p Y (j = P (Y = j = , där j = 0, 1, 2,.... T.e.x., så är saolihete = för att de fem första udersöta felfria och de sjätte udersöta defet. 10

11 Exempel Biomialfördelig: dragig med återläggig E ura iehåller 8 vita och 12 svarta ulor, dvs adele vita ulor i ura är 0.4 och adele svarta är 0.6. Vi drar 7 ulor ur ura geom att dra e ula i taget och lägger tillbaa de ige i ura; detta allas för dragig med återläggig. 1. Om X är atalet vita ulor blad de draga ulora, så är X Bi(7, 0.4 med saolihetsfutioe p X ( = P (X = = ( för = 0, 1, 2,..., 7 vita ulor. 2. Saolihete för att 2 ulor av 7 draga är vita ges av ( 7 p X (2 = P (X = 2 = = Om Y är atalet svarta ulor blad de draga ulora, så är Y Bi(7, 0.6 med saolihetsfutioe ( 7 7 j p Y (j = P (Y = j = 0.6 j 0.4 j för j = 0, 1, 2,..., 7 svarta ulor. 4. Saolihete för att 5 ulor av 7 draga är svarta ges av ( 7 p Y (5 = P (X = 2 = = Saolihete för att högst 5 ulor av 7 draga är vita ges av total saolihetsmassa sa vara 1, dvs Detta ger oss att 5 5 p X (. Me eftersom 7 p X ( = 1, så a vi dela upp i 5 p X ( = 1 ( 7 p X ( = 1 p X (6 p X (7 = p X (. =6 ( = Läs i boe: Exempel

12 Exempel Hypergeometris fördelig: dragig uta återläggig Samma ura som i Exempel Dea gåg drar vi 7 av 20 ulor ur ura uta att lägga tillbaa dem ige; detta allas för dragig uta återläggig. Om U är atalet vita ulor blad de draga ulora, så är U Hyp(20, 7, 0.4 med saolihetsfutioe ( ( ( ( vita 12 svarta 7 7 p U ( = P (U = = ( = (, = 0, 1, 2,..., totalt 7 7 draga Saolihete för 2 vita ulor av 7 draga uta återläggig ges av ( ( 8 12 p U (2 = P (U = 2 = 2 5 ( 20 = Om V är atalet svarta ulor 7 draga ulor, så är V Hyp(20, 7, 0.6 med saolihetsfutioe ( ( ( ( svarta 8 vita j 7 j j 7 j p V (j = P (V = j = ( = (, = 0, 1, 2,..., totalt 7 7 draga Saolihete för 5 svarta ulor av 7 draga uta återläggig ges av ( ( 12 8 p V (5 = P (V = 5 = 5 ( = Exempel Poisso-fördelig Atalet jobb per dag som sicas till e viss srivare på pla 5 i Spetse atas vara e Poissofördelad s.v. med itesitetsparameter λ = 5. Låt X vara atalet jobb som sicas till srivare uder t = 2 dagar. Eftersom det förvätas sicas λ t = 10 jobb uder 2 dagar, så är vätevärdet µ = λt = 10 jobb uder 2 dagar. Då är X P o(µ = 10 med saolihetsfutioe p X ( = P (X = = µ! e µ = 10! e 10, = 0, 1, 2,.... Saolihete för 3 jobb uder 2 dagar är p X (3 = P (X = 3 = 103 3! e 10 = Saolihete för mist 3 jobb uder 2 dagar är p X ( = 1 =3 2 p X ( = ! e ! e ! e 10 = Poisso-fördelige dyer upp i situatioer där hädelser iträffar. Tex., atal trafiolycor uder e dag, atal mail sicade till e server uder e viss tid, atal uder som aläder till ett betjäigssystem, m.m. 12

13 Exempel Biomialfördelig. Ett visst försö lycas med saolihete 0.8 (t.ex., a försöet vara att sriva e tetame, att producera e detalj felfri, att e frö gror, m.m. Om ma utför 10 försö, hur stor är saolihete att 1. exat försö lycas, där = 0, 1, 2,..., högst 1 försö lycas. 3. mist 2 försö lycas. Vi atar att försöe lycas oberoede av varadra. Lösig: 13

14 Exempel Hypergeometris fördelig. Blad 12 eheter fis 5 av e viss sort (t.ex. vita, defeta, dyrbara osv. och 7 av e aa sort. Bestäm saolihete för atal defeta om ma uta återläggig drar på måfå = 4 eheter. Lösig: 14

15 Exempel Poisso-fördelig. Atalet jobb per dag som sicas till e viss server atas vara e Poissofördelad s.v. med itesitetsparameter λ = 2. Beräa saolihete för 1. 4 jobb uder 1 dag 2. mist 4 jobb uder 1 dag Lösig: 15

16 2.3. Biomialfördelige Biomialfördelige som är e av de vitigaste disreta fördeligara uppträder vid oberoede slumpmässiga försö. Atag att ma utför oberoede försö där e hädelse A iträffar med saolihete P (A = p och alltså är P (A = 1 p. Låt oss betrata fallet då A iträffar gåger. E av måga täbara följder är att dessa iträffar eligt E aa följd är A 1, A 2, A 3,..., A }{{, A } +1, A +2,..., A. }{{} st. st. A 1, A 2, A 3,..., A 1, A, A +1,..., A. }{{}}{{} st. st. ( Totalt vet vi att det fis olia omiatioer av dessa var och e med saolihete (1 p p. Om vi låter de s.v. X vara atal gåger som hädelse A iträffar, så atar X värde = 0, 1, 2,...,. Vidare ges saolihete för att A iträffar gåger, dvs X =, av ( P (X = = (1 p p, = 0, 1, 2,...,. Att detta är e saolihetsfutio följer av Sats (2.11. Vi säger då att X är biomialfördelad, X Bi(, p Geometrisa fördelige Vi låter som tidigare p vara saolihete för att e hädelse iträffar och X vara atalet försö tills första hädelse iträffar. Då är P (X = = (1 p p, = 0, 1, 2,... e saolihetsfutio för X, ty detta följer av Sats (2.11. Vi säger då att X har e geometris fördelig, X Geo(p. 16

17 2.5. Poissofördelige Atag att hädelser iträffar slumpmässigt och oberoede av varadra i tide. Låt N(t vara atal hädelser som iträffar uder tidsitervallet (0, t. Vi delar upp itervallet (0, t i lia delitervall av lägd t. Vi täer oss u att är så stort att saolihete för 2 hädelse eller fler sa iträffa i ett deliterval är 0. Då är atalet hädelser N(t i hela itervallet lia med atalet delitervall som det iträffar e hädelse i. Om vi låter p vara saolihete för att e hädelse iträffar i ett delitervall så är N(t Bi(, p med vätevärdet E(N(t = p. (Vi defiierar begreppet vätevärde i Kapitel 5. Vi atar vidare att dessa hädelser iträffar med e ostat itesitet λ per tidsehet, dvs atal förvätade hädelser uder tide (0, t är µ = λt. Vi får därmed att p = λt dvs p = µ. Låt oss u titta ärmare på fördelige för N(t för stora som vi har atagit ova. Eftersom N(t Bi(, p, där p = µ, så gäller att P (N(t = = = ( p (1 p ( = ( 1 ( + 1 µ (1 µ/! (1 µ/.! µ ( 1 (!!( µ Vi udersöer u vad som häder med saolihete P (N(t = för stora värde på. Eftersom ( 1 ( + 1 1,, och eligt stadardgräsvärde så gäller att (1 µ/ 1,, (1 µ/ e µ, P (N(t = µ! e µ. Vi säger att de s.v. X har poissiofördelig med parameter µ, X P o(µ, om P (X = = µ! e µ, = 0, 1, 2, 3,.... Att detta är e saolihetsfutio följer av Sats (