Inklusion och exklusion Dennie G 2003

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Inklusion och exklusion Dennie G 2003"

Elin Arvidsson
för 8 år sedan
Visningar:

1 Ilusio - Exlusio Ilusio och exlusio Deie G 23 Proble: Tio ä lägger ifrå sig sia hattar vid ett besö på e restaurag. På hur åga sätt a alla äe läa restaurage ed fel hatt. Detta proble a lösas ed ägdläras pricipe o ilusio- och exlusio so i e geeraliserad for leder fra till ett ycet överrasade resultat. Ilusio och exlusio ed två delägder O A och B ite är disjuta ägder så gäller följade: A B = A + B A B där A B är totala ägde eleet so tillsaas igår i ägdera A eller B, A uio B och A B är de ägd eleet so är geesaa, delas av ägdera A och B, A sitt B Bevis: Detta iser a geo att i A+B har vissa eleet räats två gåger. Dessa är exat de eleet so tillhör A so ocså tillhör B, dvs. A B Ex. Ve-diagra A={,2,3,4,7,9}, B={7,9,5,8,22} A B = {,2,3,4,7,9,5,8,22} A B = {7,9} A=6, B=5 A B = 2 A B = = 9 Motsvarighete ed tre delägder: O A, B och C ite är disjuta ägder så gäller följade: A B C = A + B + C A B A C B C + A B C Bevis: Låt x vara ett eleet i A B C. Då sa det räas e gåg i VL. X a alltså tillhöra A, B eller C. Atag att det edast tillhör A Då räas det edast e gåg i HL, i A Låt x tillhöra både A och B, ( A B ). I HL räas det då både i A, B och A B, två gåger adderat och e gåg subtraherat. Låt x tillhöra både A, B, och C, ( A B C ). I HL räas det då både A, B, C, A B, A C, B C och A B C, dvs fyra gåger adderat och tre gåger subtraherat. Allät: Ilusio och exlusio ed st olia ägder A i

Ilusio och exlusio ed två delägder O A och B ite är disjuta ägder så gäller följade: A B = A + B A B där A B är totala ägde eleet so tillsaas igår i ägdera A eller B, A uio B och A B är de ägd eleet

2 Ilusio - Exlusio = A j + i= i= i j i j A j A... + ( ) i= A i Vad betyder detta? VL är atalet eleet i uioe av st ägder. I HL (ter ) räas först alla eleet i alla ägder var för sig och läggs ihop. O ägdera ite är disjuta, oer vissa eleet att räas er ä e gåg. Dessa är de eleet so tillhör ist två av ägdera A i eller sitte A j. Vi tar ed varje sådat sitt, e edast e gåg, och subtraherar dessa (ter 2). I dea subtratio har vissa eleet blivit subtraherade två gåger. Det är de eleet so tillhör ist tre av ägdera A i.. Vi adderar sua av alla eleet so tillhör sittet av tre av ägdera A i. Vi får alltså e altererade följd av terer eligt ovaståede. Bevis: Atag att ett eleet x av A i tillhör exat r st av ägdera A i. Då är fler ä r st av alla i= sitt av ägder toa (alla sitt av vila e av ägdera ite iehåller x är alltså toa). Av de r st giva ägdera a vi välja C(r,2) st sitt ella två av ägdera, C(r,3) st sitt ella tre av ägdera osv. Var och e av dessa räas edast e gåg, eligt ovaståede. Då har vi. =C(r,)-C(r,2)+C(r,3)- +(-) r- C(r,r) eller - C(r, ) + C(r, 2) - C(r, 3) (-) r C(r, r) = ( - ) r = obs! (-) r- = (-) r eligt bioialteoreet. Kopleetägd O A i är delägder av e större ägd X sådaa att varje delägd A i är e salig eleet i X so har ågo geesa egesap P i. A i är då de delägd av X so iehåller de eleet so har ist e av egesapera P i.. i= Kopleetet X A i är då de ägd eleet so ite har ågo av dessa egesaper. i= C X = ( X ) = i = i= i= För opleetägdera gäller alltså eligt ilusio- och exlusiopricipe C = X + A j A j A ( ) i= i= i j i j Detta är alltså atalet av alla de eleet i X so ite har ågo av egesapera P i. i = A i Detta a srivas på ett elare sätt eligt följade:

Vi tar ed varje sådat sitt, e edast e gåg, och subtraherar dessa (ter 2). I dea subtratio har vissa eleet blivit subtraherade två gåger. Det är de eleet so tillhör ist tre av ägdera A i.

3 Ilusio - Exlusio Låt X vara alla perutaioer av st eleet, dvs X=! Låt A i vara delägder av alla perutatioer so har det i:te eleetet i X fixerat, dvs A i =(-)! och i a väljas på C(,) olia sätt. Låt A j vara delägder av alla perutatioer so har det i:te och j:te eleetet i X fixerat, dvs A j =(-2)! Och a väljas på C(,2) olia sätt. Osv Detta leder till ett sabad so allas derageet (eg. störig, rubbig). so betecas D. Derageet D är ägde av derageets D =! (-)! + C(,2)(-2)!- +(-) C(,) = ( ) =! ( ( ) ) =!! 2! 3!!! Ex: Disutera atalet sätt att orda sifferföljde 234 i oordig ) Atal sätt att välja de fyra tale, 2, 3, och 4 är 4! = 24 olia sätt [, 2, 3, 4], [, 2, 4, 3], [, 3, 2, 4], [, 3, 4, 2], [, 4, 2, 3], [, 4, 3, 2], [2,, 3, 4], [2,, 4, 3], [2, 3,, 4], [2, 3, 4, ], [2, 4,, 3], [2, 4, 3, ], [3,, 2, 4], [3,, 4, 2], [3, 2,, 4], [3, 2, 4, ], [3, 4,, 2], [3, 4, 2, ], [4,, 2, 3], [4,, 3, 2], [4, 2,, 3], [4, 2, 3, ], [4, 3,, 2], [4, 3, 2, ] Totalt: 4!=24 2) Blad dessa fis det obiatioer so har e eller flera siffror i rätt positio t.ex. [,2,4,3] Vi listar alla obiatioer ed, 2, 3, resp 4 i rätt positio :a fixerad [, 2, 3, 4], [, 2, 4, 3], [, 3, 2, 4], [, 3, 4, 2], [, 4, 2, 3], [, 4, 3, 2] 2:a - - [, 2, 3, 4], [, 2, 4, 3], [3, 2,, 4], [3, 2, 4, ], [4, 2,, 3], [4, 2, 3, ] 3:a - [, 2, 3, 4], [, 4, 3, 2], [2,, 3, 4], [2,, 4, 3], [4,, 3, 2], [4, 2, 3, ] 4:a - [, 2, 3, 4], [, 3, 2, 4], [2,, 3, 4], [2, 3,, 4], [3,, 2, 4], [3, 2,, 4] Det fis C(4,)=4 olia sätt att placera e av siffrora i si rätta positio och för vart och ett av dessa fis (4-)!= 6 sätt att orda de övriga tre. C(4,)(4-)!=4!/!= 24 Vi subtraherar dessa ostellatioer frå ) Totalt: 4!- 4!/!= 3) Vissa av ostellatioera i 2) föreoer två eller flera gåger t.ex. [423]. Dessa är de ostellatioer so har två eller fler siffror i si rätta positio. För att opesera detta adderar vi tillbaa dessa. Dessa ostellatioer är:,2 fixerad [, 2, 3, 4], [, 2, 4, 3],3 - [, 2, 3, 4], [, 4, 3, 2],4 - [, 2, 3, 4], [, 3, 2, 4] 2,3 - [, 2, 3, 4], [4, 2, 3, ] 2,4 - [, 2, 3, 4], [3, 2,, 4] 3,4 - [, 2, 3, 4], [2,, 3, 4] Det fis C(4,2)=6 olia sätt att placera två av siffrora i sia rätta positioer och för vart och ett av dessa fis (4-2)!=2 sätt att orda de övriga två. C(4,2)(4-2)!=4!/2!=2 Totalt: 4! 4!/! + 4!/2! = 2

störig, rubbig). so betecas D. Derageet D är ägde av derageets D =! (-)! + C(,2)(-2)!- +(-) C(,) = ( ) =! ( + +... + ( ) ) =!! 2! 3!

4 Ilusio - Exlusio 4) Nu har vi överopeserat ige, efterso vissa ostellatioer ed två av siffrora i sia rätta positioer föreoer flera gåger t.ex. [234]. Dessa är de ostellatioer so har tre eller flera siffror i si rätta positio. För att opesera detta subtraherar vi dessa. Dessa ostellatioer är:,2,3 fixerad [, 2, 3, 4],3,4 - [, 2, 3, 4],2,4 - [, 2, 3, 4] 2,3,4 - [, 2, 3, 4] Det fis C(4,3)=4 olia sätt att placera tre av siffrora i sia rätta positioer och för vart och ett av dessa fis (4-3)!= sätt att orda de återståede C(4,3)(4-3)!=4!/3!=4 Totalt: 4! 4!/! + 4!/2! 4!/3!= 8 5) Efterso vissa (alla) ostellatioer ed tre fixerade siffror ocså har fyra siffror fixerade åste vi addera tillbaa dessa för att opesera. Dessa ostellatioer är:,2,3,4 fixerad [, 2, 3, 4] Det fis C(4,4)= sätt att placera alla fyra siffrora i sia rätta positioer och för detta fis (4-4)!= sätt att orda de övriga oll. C(4,3)(4-4)!=4!/4!= Totalt: 4! 4!/! + 4!/2! 4!/3! + 4!/4!=9 (Här ser vi sabadet: D =! (-)! + C(,2)(-2)!- +(-) C(,) = ( ) =! ( ( ) ) =! 3!! )! 2!! Defiitio Subfaultet. Atalet sätt att orda st eleet i oordig allas iblad för subfaultet och beräas! =! ( )! ( ) Refletio: Maclauri-utveclige av e = ! 2! 3!! Detta betyder alltså att!! e ( )! = e vilet iebär o vi låter vara ett stort tal så a vi sriva Detta gäller ed bra oggrahet reda vid 5. (se diagra eda)

Dessa ostellatioer är:,2,3 fixerad [, 2, 3, 4],3,4 - [, 2, 3, 4],2,4 - [, 2, 3, 4] 2,3,4 - [, 2, 3, 4] Det fis C(4,3)=4 olia sätt att placera tre av siffrora i sia rätta positioer och för vart och

5 Ilusio - Exlusio atal sätt f ( ) g( ) atal eleet Saolihet Detta resultat a då avädas i saolihetsberäigar för olia proble av dea typ och so vid st eleet a srivas ( )!! ( ) P( ige rätt) = =!! =!! + 2! ( ) !! vile sabbt går ot talet e - då växer f ( ) P(iget rätt) f ( ) atal eleet

srivas ( )!! ( ) P( ige rätt) = =!! =!! + 2! ( ) +... + 3!! vile sabbt går ot talet e - då växer.

6 Ilusio - Exlusio För opleethädelse P(ist e rätt) får vi då P(i st e rätt) = P( ige rätt) =!! vile sabbt går ot talet - e - då växer. + 2! ( ) !! f ( ) P(ist ett rätt) f ( ) atal eleet Saafattig Atal sätt att sapa total oordig blad st eleet, ed bestäda positioer är ed stor oggrahet äraste heltal av:! =! e - Saolihete för att e ägd av st eleet, ed bestäda positioer, efter oordig ite ågot eleet sa oa på si rätta positio är ed stor oggrahet: P(ige rätt) = e - Saolihete för att e ägd av st eleet, ed bestäda positioer, efter oordig ist ett eleet sa oa på si rätta positio är ed stor oggrahet: P(ist ett rätt) = - e - Lösige till probleet, ed hattara är alltså: Mäe a läa restaurage, alla ed fel hatt på! e - =33496 olia sätt och saolihete för detta är ca e - =37%

=! e - Saolihete för att e ägd av st eleet, ed bestäda positioer, efter oordig ite ågot eleet sa oa på si rätta positio är ed stor oggrahet: P(ige rätt) = e - Saolihete för att e ägd av st eleet, ed

Relevanta dokument

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter