Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R

Transkript

1 Föreläsning Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen För att göra ett påstående av en öppen utsaga med flera variabler behövs flera kvantifierare. Vi går igenom öppna utsagor P (x, y) och påståenden byggda av två kvantifierare. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R Påståendet är sant. x; y(x + y) > 0 Påståendet är falskt, x = 0, y = 0 motexempel. För att visa att x y P (x, y) är sann måste man visa att P (x, y) är sann för varje x och y. Börja med godtyckliga x och y visar... Kan inte bara visa sant för ett enstaka val av x och y. För att visa att x y P (x, y) är falsk räcker det att hitta ett motexempel x, för vilket P (x, y) är falskt för varje y. x y xy = 1 Påståendet är falskt, motexempel x = 0 x y x + y = 0 Påståendet är sant. Låt x vara vilket reellt tal som helst. Då är P (x, x) sant. (x x = 0)

2 För att visa att x y P (x, y) är sann måste man visa att för varje x finns ett y så att P (x, y) är sann. Börja med godtyckliga x och hittar y så att P (x, y) är sann. För att visa att x y; P (x, y) är falsk gäller det att hitta ett motexempel x, för vilket P (x, y) är falskt. m n m > n D = Z Påståendet är falskt. Tag till exempel m = 1 då är P (1, ) falskt x y xy = y Påståendet är sant, för x = 1 är P (x, y) alltid sant. För att visa att x y P (x, y) är sant måste man hitta x så att P (x, y) är sann för alla x. Hitta en lämplig kandidat x visa att P (x, y) är sann för godtyckligt y. För att visa att x y P (x, y) är falsk gäller det att för ett godtyckligt x hitta ett y så att P (x, y) är falskt. OBS! x y P (x, y) och x y P (x, y) är inte samma sak. Exempel P (x, y) : x + y = 0 x y x + y = 0 Påståendet är sant. Eftersom P (0, 0) är sant. x y x + y < 0 Påståendet är falskt eftersom alltid x 0 och y 0. För att visa att x y P (x, y) är sant måste man hitta något x och något y så att P (x, y) är sant. För att visa att x y P (x, y) är falsk gäller det att för godtyckligt x och godtyckligt y visa att P (x, y) är falskt.

3 Negation av flera kvantifierare: Använd generaliserade de Morgans lagar Exempel: ( x y P (x, y)) x ( y P (x, y) x y P (x, y) Jämför resonemang om hur man visar att påståenden med flera kvantifierare är falska. Bevis Vi går igenom några olika typer av bevis. Direkt bevis För att visa påståenden av typen xp (x) Q(x) (Kan ha flera satsvariabler x 1... x n ) Låt x vara godtyckligt. Antar P (x) sann och visar att då är också Q(x) är sant. Exempel: Visa Om m är ett udda heltal så är m ett udda heltal. P (m) : m udda Q(m) : m udda OBS! m är udda om m = k + 1, k ett heltal m är jämnt om m = k, k ett heltal. Bevis: Antar P (m) är sant, dvs m = k + 1 då är m = (k + 1) = 4k + 4k + 1 = (k + k) + 1 udda. Dvs Q(m) är också sant. QED Kontrapositivt bevis Använder att p q q p Exempel: Visa att om m är udda så är m udda. Dvs Q(m) P (m), med samma definitioner som i förra exemplet. Bevis: Visar istället P (m) Q(m) (med ett direkt bevis). OBS!! P (m) är samma sak som m jämn, och Q(m) samma sak som m jämn. Om m är jämn kan vi skriva m = k, och då är m = 4k = (k ) också jämn. QED För att visa p q ska man visa både p q och q p. Med våra två bevis ovan har vi alltså visat att m är udda om och endast om m är udda. P (m) Q(m)

4 Motsägelsebevis Bygger på att man antar motsatsen till det man vill visa och härleder en motsägelse r r. r kan vara vilket påstående som helst. Kom ihåg (p q) p q, så i motsägelsebevis av p q antar man p q. Får alltså lite mer att jobba med Exempel: Visa x > 0 y > 0 (xy > 1) (x > 1 y > 1) P (x, y) : xy > 1 Q(x, y) : (xy > 1) (x > 1 y > 1) Bevis: Antag motsatsen dvs P (x, y) Q(x, y). ((x > 1) (y > 1)) demorgan (x > 1) (y > 1) (x 1) y 1. Men då är xy 1 1 = 1, dvs P (x, y). Vi har P (x, y) P (x, y). En motsägelse! Alltså är x > 0 y > 0 (xy > 1) (x > 1 y > 1) sant. QED Fall bevis För att visa x D P (x), så kan det ibland vara en fördel att dela upp utsagans domän D i mindre delmängder och visa för vart och ett av dessa fall. För att visa p q kan det ibland vara en fördel om man kan dela upp p i olika fall, p p 1 p... p n och sedan prova att visa p 1 q, p q,... p n q. Exempel: Visa x R x x Fall 1, x 0. Då är x = x. Fall, x < 0. Då är x < 0 x. På samma sätt kan vi visa x x Exempel: Visa x y x + y x + y Triangelolikheten. Fall 1 x + y 0. Då är x + y = x + y x + y Fall x + y < 0. Då är x + y = (x + y) = x + ( y) x + y Existensbevis För att visa påståenden av typen x P (x) gäller det alltså att hitta x så att P (x) gäller. Inte alltid så lätt... Konstruktivt bevis Alternativ: anta motsatsen, dvs x P (x) och hitta en motsägelse. Man vet att det finns ett x som uppfyller P (x), men inte nödvändigtvis vilket!

5 Induktionsprincipen Låt P (n) vara en öppen utsaga, vars domän är de positiva heltalen N. Antag att (1) P (1) är sant (Grundsteg) () Om P (n) är sant för n 1 så är P (n + 1) sann. (Induktionssteg) (P (n) P (n + 1) är sann) Då är P (n) sann för varje positivt heltal n N Induktionsaxiomet används för att visa påståenden av typen n N P (n). Alltså, exempelvis, för att visa likheter och olikheter som gäller för varje n N. Bevis som bygger på induktionsprincipen kallas Induktionsbevis. Exempel: n Visa att k = n = n(n + 1) k=1 Den öppna utsagan vi vill visa är sann för varje n är. P (n) : n = n(n + 1) (1) Visa att P(1) är sant. VL=1, HL= 1 = 1 P(1) är sann () Antag att P (n) är sann. Ska visa att P (n + 1) är sann. för P(n+1) VL= n + (n + 1) = ( n) + n + 1 P (n)sann n(n + 1) n(n + 1) + (n + 1) = + n + 1 = (n + 1)(n + ) =.