Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet Passagesannolikheter Passagetider...
|
|
- Tobias Christoffer Lindgren
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet Passagesaolikheter Passagetider Spelares ruiproblem Absorptiossaolikheter Absorptiostider Reflekterade barriärer Vägräkig Speglig Ballot-problemet Rekurres Maximum Arcsius-lage Bladade problem 23 6 Litteratur 24 1
2 1 Iledig Med e slumpvadrig meas allmät e stokastisk följd {S }, med S 0 = 0, defiierad som S = X k, k=1 där {X k } är oberoede och likafördelade stokastiska variabler (olf). Slumpvadrige sägs vara ekel om X k = ±1, med P (X k = 1) = p och P (X k = 1) = 1 p = q. Ma ka täka sig e partikel som utför e slumpvadrig på heltalspuktera på lije och i varje steg går till e av de två grapuktera, se Figur 1. q p Figur 1: Ekel slumpvadrig Am 1. Ma ka också studera slumpvadrig i flera dimesioer. I två dimesioer har varje pukt 4 graar och i tre dimesioer fis 6 graar. E ekel slumpvadrig sägs vara symmetrisk om partikel har lika stor saolikhet att gå till var och e av grapuktera. Allmä slumpvadrig behadlas i kapitel 7 i Ross. Här kommer vi edast att studera ekel slumpvadrig, huvudsaklige i e dimesio. Vi ska bl.a. försöka besvara följade frågor: Vad är saolikhete att partikel ågosi år pukte a? (Fallet a = 1 brukar kallas apa och stupet.) Hur låg tid tar det att å a? Vad är saolikhete att de år a > 0 ia de år b < 0? ( Spelares ruiproblem ) Om partikel vid tidpukte befier sig i a > 0, vad är saolikhete att de befuit sig till höger om 0 seda första steget? de aldrig befuit sig till väster om 0? ( The Ballot problem ) Hur lågt bort kommer partikel som lägst i steg? Vid aalys av slumpvadrig har ma glädje av, dels allmäa metoder, som betigig, geererade fuktioer, differesekvatioer, 2
3 teori för Markovkedjor, teori för förgreigsprocesser, martigaler, me äve mera speciella, som vägräkig, speglig, tidsomvädig. 2 Apa och stupet E apa står ett steg frå ett stup och tar upprepade gåger, oberoede av varadra, slumpmässigt ett steg framåt, med saolikhet p, eller ett steg bakåt, med saolikhet q. 2.1 Passagesaolikheter Vad är saolikhete att apa, förr eller seare, ramlar utför stupet? Kalla dea saolikhet P 1. Då är Vi ka också studera P 1 = P (e slumpvadrade partikel ågosi år x = 1). P k = P (e slumpvadrade partikel ågosi år x = k), vilket svarar mot att apa startar k steg frå stupet. På grud av oberoedet (och de starka Markovegeskape) gäller P k = P k 1. För att bestämma P 1 ka ma betiga med avseede på det första steget. P 1 = p 1 + q P 2 = p + q P 2 1, så att med lösigar Observera att så att och alltså P q P 1 + p q = 0, 1 1 2q ± 4q 2 p q = 1 1 4pq 2q ±. 2q 1 = p + q = (p + q) 2 = p 2 + q 2 + 2pq, 1 4pq = p 2 + q 2 2pq = (p q) 2 1 4pq = p q. 3
4 Lösigara ka alltså skrivas 1 ± (p q) 2q = { 1, p q. (1) Om p > q förkastas lösige p q > 1, så att, för p q (dvs. p 1/2), vi får P 1 = 1, och därmed P k = 1 för k 1. Det är litet besvärligare att se att för p < q de korrekta lösige är P 1 = p/q < 1, vilket ger P k = (p/q) k. Ma ka visa detta med hjälp av geererade fuktioer, t.ex. geom att utyttja teori för förgreigsprocesser, där extiktiossaolikhete är de mista positiva rote till ekvatioe g(s) = s; se Problem 2. Ett mera direkt sätt är att studera Då gäller ämlige att P k () = P (att å x = k i de första stege). P 1 () = p + q P 2 ( 1) p + q P 2 1 ( 1). Eftersom P 1 (1) = p p/q, ka vi, med iduktio, visa att P 1 () p/q för alla 1, om vi ka visa att P 1 () p/q medför att äve P 1 ( + 1) p/q. Atag därför att P 1 () p/q. Då gäller Eftersom P 1 ( + 1) p + q P 2 1 () p + q (p/q) 2 = p + p2 q = p q. ka vi, för p < q, förkasta lösige P 1 = 1. Vi har alltså visat P 1 = lim P 1() p q Sats 1. Med P k som ova gäller, för k 1, { 1 om p q, P k = ( p q )k om p < q. Am 2. Detta betyder att e symmetrisk slumpvadrig, med saolikhet 1, kommer att besöka alla pukter på lije! Problem 1. Låt p < q. Bestäm fördelige för Y = max S. Vad blir E(Y )? Ledig: Studera P (Y a). Problem 2. Låt p < q. Visa att P 1 är extiktiossaolikhete i e förgreigsprocess med reproduktiosfördelig p 0 = p, p 2 = q. 2.2 Passagetider Hur låg tid tar det tills apa ramlar utför stupet? Låt T jk = tide det tar att gå frå x = j till x = k, så att T 0k = tide tills partikel år x = k för första gåge (vid start i x = 0), och låt vidare E k = E(T 0k ), 4
5 om vätevärdet existerar. I så fall måste gälla, för k > 0, E k = k E 1. Betigig ger E 1 = 1 + p 0 + q E 2 = 1 + 2q E 1. Vi skiljer på falle p < q, p = q och p > q. För p < q gäller, eligt Sats 1, att P (T 01 = ) = 1 P 1 > 0, vilket medför att E 1 = +. För p = q = 1/2 får vi, om E 1 atas vara ädligt, att E 1 = 1 + E 1, dvs. e motsägelse, så äve i det fallet är E 1 = +. Slutlige, för p > q, får vi Vi har alltså visat Sats 2. För k 1 gäller E 1 = 1 1 2q = 1 p q <. { + om p q, E k = k p q om p > q. Med hjälp av Sats 1 och 2 ka vi också studera återkomster till startpukte. Låt Då gäller P 0 = P (att partikel ågosi kommer tillbaka till startpukte), T 00 = tide tills första återkomste, E 0 = E(T 00 ). Sats 3. E 0 = + för alla p och P 0 = { 1 om p = q, 1 p q om p q. Bevis: Med beteckigar som tidigare får vi geom betigig att P 0 = p P 1 + q P 1. Om p = q gäller, eligt Sats 1, P 1 = P 1 = 1, så att äve P 0 = 1. Om p q kommer edera P 1 < 1 eller P 1 < 1, så att P 0 < 1. I fallet p < q är P 1 = 1 och P 1 = p/q, så att P 0 = p + q p q = 2p = 1 (q p) < 1. I fallet p > q gäller i stället P 1 = q/p och P 1 = 1, så att P 0 = p q + q = 2q = 1 (p q) < 1. p 5
6 För p q gäller alltså P 0 = 1 p q < 1 och följdaktlige är P (T 00 = ) > 0, så att E 0 = +. Om p = q får vi eligt Sats 2. E 0 = E E 1 = +, Am 3. De symmetriska slumpvadrige kommer alltså, med saolikhet 1, tillbaka till 0. Detta gäller efter varje återkomst, så att P (S = 0 i.o.) = 1. Trots detta är vätevärdet för tide mella två återkomster oädligt! Stora tales lag ka alltså ite tolkas som att partikel i allmähet är ära 0. I själva verket är partikel sälla ära 0 och e stor del av tide lågt frå 0, äve i e symmetrisk slumpvadrig! Se Avsitt 4.5. Am 4. Ma ka visa att äve de symmetriska slumpvadrige i två dimesioer återkommer till origo med saolikhet 1, meda däremot i tre dimesioer saolikhete är Problem 3. Låt p q. Bestäm fördelige för Y = # återkomster till 0. Beräka E(Y ). 3 Spelares ruiproblem Apa och stupet ka uppfattas som att vi placerat e absorberade barriär i x = 1 (eller x = k). Om ma studerar två absorberade barriärer på var si sida om startpukte ka ma lösa Spelares ruiproblem (Gambler s rui): Två spelare, A och B, spelar ett spel med oberoede omgågar där, i varje omgåg, e av spelara vier 1 kroa av motstådare; A med saolikhet p och B med saolikhet q = 1 p. A börjar spelet med a kroor och B med b kroor. Spelet slutar är ågo av spelara blivit ruierad. 3.1 Absorptiossaolikheter Vad blir spelaras ruisaolikheter? Detta motsvarar e slumpvadrig där partikel startar i 0 och absorberas i tillståde b och a, eller, ekvivalet, startar i a och absorberas i 0 och a + b. Låt A k = P (A vier då ha har k kroor). Då gäller A 0 = 0, A a+b = 1 och vi söker A a. Betiga! A k = p A k+1 + q A k 1. (2) Dea homogea differesekvatio ka ma lösa geom att bestämma ollställea till det karakteristiska polyomet z = p z 2 + q z 2 1 p z + q p = 0, 6
7 med lösigar z 1 = 1 och z 2 = q/p. (Jämför med (1).) Detta ger, för p q, följade allmäa lösig till (2) A k = C 1 1 k + C 2 ( q p )k, där kostatera C 1 och C 2 bestäms av radvillkore. A 0 = 0 C 1 + C 2 = 0, A a+b = 1 C 1 + C 2 ( q p )a+b = 1, så att och A k = C 1 = C 2 = 1 ( q p )a+b 1, 1 ( q p )a+b 1, 1 ( q p )a+b ( q p )a+b 1 (q p )k = ( q p )k 1 ( q p )a+b 1, A a = ( q p )a 1 ( q p )a+b 1. För p = q får vi differesekvatioe A k = 1 2 A k A k 1. Det karakteristiska polyomet z 2 2z + 1 har dubbelrote z 1 = z 2 = 1. Vi behöver därför ytterligare e lösig. A k = k fugerar, så att A k = C 1 1 k + C 2 k. så att Vi har alltså visat A 0 = 0 C 1 = 0, A a+b = 1 C 2 = 1 a + b, A k = k a + b, A a = a a + b. Sats 4. Saolikhete att A ruierar B (partikel absorberas i x = b) är ( q p )a 1 ( q om p 1 A a = p )a+b 1 2, a om p = 1 a + b 2. 7
8 Am 5. a = +, b = 1 svarar mot Apa och stupet. P 1 = P (apa faller utför stupet) = lim a P (A vier). För p = q får vi och för p q a P 1 = lim a a + 1 = 1 ( q { p P 1 = lim )a 1 1 om p > q, a ( q p )a+1 1 = p q om p < q. Exempel 1. Betrakta e symmetrisk slumpvadrig på puktera 0, 1,...,, beläga på periferi till e cirkel; se Figur 2. Slumpvadrige startar i pukte 0. Ma iser lätt att, med saolikhet 1, alla pukter kommer att besökas. (Varför?) Vad är saolikhete att pukte k (k = 1,..., ) är de sista som besöks? Ia k besöks måste ågo av k 1 och k + 1 besökas. Betrakta tidpukte då detta sker för första gåge. På grud av symmetri ka vi ata att det då är k 1 som besöks. Att k är de sista pukte som besöks betyder att k + 1 måste besökas före k och detta ka bara ske geom att slumpvadrige går medsols frå k 1 till k + 1 ia de besöker k. Saolikhete för detta är desamma som ruisaolikhete för e spelare som har 1 kroor och möter e motstådare med 1 kroa, dvs. 1/. Vi har alltså visat det överraskade resultatet att P (k besöks sist) = 1 för k = 1,...,. k+1 k k Figur 2: Slumpvadrig på e cirkel Exempel 2. Betrakta e symmetrisk slumpvadrig och ett tillståd a > 0. Låt Y a = # besök i a ia slumpvadrige återäder till 0. För att a över huvud taget ska besökas måste första steget gå åt höger, så att P (Y a > 0) = 1 2 P (Y a > 0 S 1 = 1). De betigade saolikhete är vistchase för e spelare med 1 kroa som spelar mot e motstådare med a 1 kroor, dvs. P (Y a > 0 S 1 = 1) = 1 a, så att P (Y a > 0) = 1 2a. På likade sätt ka vi beräka P (Y a = 1 Y a > 0). Betrakta ämlige slumpvadrige då a besöks, vilket vi vet iträffar om Y a > 0. För att detta ska vara det sista besöket i a, före ästa besök i 0, krävs att det första steget går åt väster, så att P (Y a = 1 Y a > 0) = 1 2 P (0 ås före a vid start i a 1) = 8
9 1 2 1 a = 1 2a. Samma situatio uppstår vid varje besök i a, så att Y a Y a > 0 är ffg(1/2a) och P (Y a > 0) = 1/2a. Detta ger att E(Y a ) = 1 2a 2a = 1 för alla a > 0! (Detta gäller på grud av symmetri äve för egativa a.) Vi har alltså visat ågot mycket överraskade: Mella två besök i 0 kommer de symmetriska slumpvadrige att göra i geomsitt 1 besök i alla adra tillståd! För att detta ska vara möjligt måste rimlige E 0 =, vilket också visades i Sats 3. Problem 4. Utyttja Sats 1 för att visa att, för alla p, a och b, spelet kommer att ta slut med saolikhet 1. Problem 5. Atag att Du har 10 kroor och di motstådare har 100 kroor. Du får chase att välja att spela med isatse 1, 2, 5 eller 10 kroor per omgåg. Hur ska Du välja, och vad blir dia vistchaser, om di vistchas i ett eskilt spel är a) p = 0.5, b) p = 0.4, c) p = Absorptiostider Låt Hur låg tid tar det ia ågo blir ruierad? Betigig ger då med Y k = # återståede spelomgågar då A har k kroor, E k = E(Y k ). E k = 1 + p E k+1 + q E k 1, (3) E 0 = E a+b = 0. Ekvatio (3) är e icke-homoge differesekvatio. För att lösa de behöver vi dels lösa motsvarade homogea ekvatio, som ova, me också hitta e partikulärlösig till de ihomogea. Vi börjar med det symmetriska fallet (p = q = 1/2). Differesekvatioe är då E k = E k E k 1, med homoge lösig A + B k. E partikulärlösig är k 2, så att de allmäa lösige är Radvillkore ger A = 0 och B = a + b, så att E k = A + B k k 2. E k = k (a + b k), E a = a b. 9
10 I det asymmetriska fallet är de homogea lösige, som tidigare, A + B (q/p) k och e partikulärlösig ges av k/(q p), vilket ger de allmäa lösige E k = Geom att utyttja radvillkore ka vi bestämma Isättig i (4) ger A = k q p + A + B (q p )k. (4) B = A. a b (q p)(( q p )a+b 1), Sats 5. Förvätade atalet spelomgågar tills ågo av spelara ruierats är a b om p = q = 1 2, E a = a q p a + b q p ( q p )a 1 ( q om p q. p )a+b 1 Exempel 3. I ett rättvist spel med a + b = 100 får vi a b A a E a / / / / / / / Problem 6. Beräka motsvarade tabell som i Exempel 3 då a) p = 0.6, b) p = 0.2. Problem 7. För vilket värde på a maximeras/miimeras E a är a + b = 100 och a) p = 0.4, b) p = 0.8. Problem 8. Betrakta slumpvadrige i Exempel 1 och låt E k = # steg tills x = k besöks för första gåge. Beräka E k för k = 1,..., då a) = 2, b) = 3, c) = 4. Problem 9. Låt i Exempel 1, P (motsols) = p och P (medsols) = q = 1 p. Visa att, för alla 0 p 1, med saolikhet 1, alla pukter kommer att besökas. 10
11 3.3 Reflekterade barriärer Vi har hitills studerat absorberade barriärer. Ma ka också täka sig reflekterade barriärer. Att a är e reflekterade barriär iebär att så fort ma kommer till x = a återväder ma i ästa steg med saolikhet 1 till de föregåede positioe. Med två reflekterade barriärer i a och b, a < b, fis bara b a + 1 täkbara tillståd, och alla kommer att besökas oädligt måga gåger (om 0 < p < 1). Exempel 4. Låt 0 vara e reflekterade barriär, dvs. P (S +1 = 1 S = 0) = 1. Betrakta e symmetrisk slumpvadrig med S 0 = 0 och låt Då gäller E 0,1 = 1, E j,k = E(tide att gå frå j till k). E 1,2 = E 0,2 = (E 0,1 + E 1,2 ) = E 1,2, så att E 1,2 = 3 och E 0,2 = = 4. På samma sätt ser vi att E 2,3 = E 1,3 = (E 1,2 + E 2,3 ) = E 2,3, så att E 2,3 = 5 och E 0,3 = = 9. Det gäller uppebarlige, för k = 1, 2, 3, att Atag att detta gäller för k. Då får vi E k 1,k = 2k 1 E 0,k = k 2. E,+1 = E 1,+1 = (E 1, + E,+1 ) = = E,+1 = 2 + 1, E 0,+1 = E 0, + E,+1 = = ( + 1) 2. Vi har alltså visat att, för 1, E 1, = 2 1 E 0, = E,+1 Problem 10. Bestäm rekursiva uttryck för E 1, och E 0, i det allmäa fallet (0 < p < 1). Visa att E 0, < för alla 1. Vad blir E 0,2 uttryckt i p? 4 Vägräkig Iför hädelsera F = partikel befier sig i 0 efter steg, G = partikel återkommer till 0 för första gåge efter steg 11
12 och motsvarade saolikheter f = P (F ), g = P (G ). Observera att partikel bara ka återväda efter ett jämt atal steg så att f 2+1 = g 2+1 = 0. För jäma måste partikel ha tagit lika måga steg åt höger och åt väster, så att ( ) 2 f 2 = p q. Ett sätt att bestämma g är att räka vägar. Detta uderlättas om ma illustrerar slumpvadrige geom att plotta talpare (, S ), se Figur 3. S Figur 3: Plottad slumpvadrig Am 6. Här ages tide lägs x-axel och partikels förflyttigar till höger och väster svarar mot steg uppåt och edåt i figure. Observera att varje väg som iehåller h steg åt höger (uppåt) och v steg åt väster (edåt) har saolikhet p h q v, så att det ofta räcker att räka atalet sådaa för att bestämma öskade saolikheter. Om vi t.ex. vill bestämma så gäller det att dvs. så att om vi defiierar är h ite är ett heltal. f (a, b) = P (partikel går frå a till b i steg), h + v = och h v = b a, h = + b a och v = + a b, (5) 2 2 ( ) f (a, b) = p h q v, h ( ) = 0 h 12
13 Problem 11. Utyttja Stirligs formel! 2π e för att visa att, för p = q = 1/2, gäller a) f 2 0 är, b) f 2 =, c) f 2 1. π =1 Ledig: CGS ka vara avädbar! Problem 12. Vad blir f 2 för e symmetrisk tvådimesioell slumpvadrig? 4.1 Speglig För att bestämma g iför vi N (a, b) = # vägar frå a till b i steg, N 0 (a, b) = # vägar frå a till b i steg som ite besöker 0 på väge, N(a, 0 b) = # vägar frå a till b i steg som besöker 0 på väge. Observera att, med h och v som i (5), följade gäller ( ) N (a, b) =, h N (a, b) = N(a, 0 b) + N 0 (a, b), N 0 (a, b) = 0 om a och b har olika tecke, N(a, 0 b) = N (a, b) om a och b har olika tecke. För att beräka g 2 = N 0 2 (0, 0) p q räcker det alltså att bestämma N 0 2 (0, 0). Notera att N (0, 0) = N2 1 (1, 0) + N2 1 ( 1, 0) = 2 N2 1 (1, 0) = 2 N2 2 (1, 1). För att bestämma N (1, 1) ka ma aväda följade elegata spegligsresoemag; se Figur 4. Varje väg frå 1 till 1 som besöker 0 ka, geom speglig av börja av väge, fram till första 0-besöket, överföras i e väg frå 1 till 1 med lika måga steg. Alla vägar frå 1 till 1 måste besöka 0! Följaktlige gäller N 0 2 2(1, 1) = N 0 2 2( 1, 1) = N 2 2 ( 1, 1), N (1, 1) = N 2 2(1, 1) N2 2(1, 0 1) = N 2 2 (1, 1) N 2 2 ( 1, 1) ( ) ( ) ( ) ( = = 1 1 ) = Detta ger så att vi har visat N (0, 0) = 2 N2 2 (1, 1) = ( ) 2 2 = ( ) 2, ( ).
14 S 1 1 Figur 4: Speglig Sats 6. För > 0 gäller g 2 = f 2. Spegligspricipe gäller allmäare ä vad vi har utyttjat. Sats 7. (Spegligssatse) För a > 0 och b > 0 gäller Bevis: Visas på samma sätt som ova. N 0 (a, b) = N ( a, b), N 0 (a, b) = N (a, b) N ( a, b). Am 7. Spegligssatse gäller äve om har fel paritet i förhållade till a och b eftersom alla uttryck i satse då är lika med Ballot-problemet Om a = 0 i Spegligssatse får vi Sats 8. (Ballot-satse) För b > 0 gäller N 0 (0, b) = b N (0, b). Bevis: Låt h = +b 2 och v = b 2 vara atalet steg till höger resp. väster som krävs för att gå frå 0 till b i steg. Då gäller N (0, b) = ( h) och N 0 (0, b) = N 0 1 (1, b) = N 1(1, b) N 1 ( 1, b) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 h = = h 1 h h v ) = ( ) b h. Satse har fått sitt am frå följade klassiska saolikhetsproblem, The Ballot Problem: 14
15 Exempel 5. I ett val med två kadidater får kadidat A totalt a röster och kadidat B totalt b röster, där a > b. Vad är saolikhete att A är i ledige uder hela röstsammaräkige? Om vi atar att röstera räkas i slumpmässig ordig ges svaret direkt av Ballot-satse: P (A leder hela tide) = N 0 a+b (0, a b) N a+b (0, a b) = a b a + b. Exempel 6. E variat av Ballot-problemet är: Vad är saolikhete, då a b, att B aldrig leder uder sammaräkige? Vi vill alltså veta Eligt spegligssatse gäller så att N 0 N ( 1) a+b (0, a b) = N 0 a+b (1, a + 1 b). a+b (1, a + 1 b) = N a+b(1, a + 1 b) N a+b ( 1, a + 1 b) ( ) ( ) ( ) a + b a + b a + b = = (1 b a a + 1 a a + 1 ) ( ) a + b = a + 1 b = a + 1 b N a+b (0, a b), a a + 1 a + 1 Speciellt gäller att, om a = b, så är P (B aldrig leder) = a + 1 b a + 1. P (B aldrig leder) = 1 a + 1. Am 8. Ballot-probleme är ret kombiatoriska och svare beror ite av p (och q). Detsamma gäller vid slumpvadrig om vi betigar med avseede på slutpukte S. I själva verket ka vi skriva Ballot-probleme som P (S k > 0, för k = 1,..., a + b 1 S a+b = a b) = a b a + b, P (S k 0, för k = 1,..., a + b 1 S a+b = a b) = a + 1 b a Rekurres För ästa resultat behöver vi ytterligare ågra beteckigar. S 0 = 0. Vi utgår som tidigare frå att N 0 = # vägar av lägd med S k 0 för k = 1,...,, N >0 = # vägar av lägd med S k > 0 för k = 1,...,. 15
16 Sats 9. För > 0 gäller N 0 2 = N 2(0, 0) = För de symmetriska slumpvadrige gäller ( ) 2. (i) P (S k 0, k = 1,..., 2) = P (S 2 = 0), (ii) P (S k > 0, k = 1,..., 2) = 1 2 P (S 2 = 0), (iii) P (S k 0, k = 1,..., 2) = P (S 2 = 0). Bevis: E väg som aldrig besöker 0 är edera hela tide positiv eller alltid egativ. N 0 2 = 2 N 2 >0 = 2 N 0 2 (0, 2r). Med samma resoemag som vid beviset av Spegligssatse får vi, för r > 0, N 0 2 (0, 2r) = N 2 1(1, 2r) N 2 1 ( 1, 2r) = N 2 1 (0, 2r 1) N 2 1 (0, 2r + 1), så att N 0 2 (0, 2r) = (N 2 1(0, 1) N 2 1 (0, 3)) + (N 2 1 (0, 3) N 2 1 (0, 5)) (N 2 1 (0, 2 1) N 2 1 (0, 2 + 1)) = N 2 1 (0, 1) N 2 1 (0, 2 + 1) = N 2 1 (0, 1) = 1 2 N 2(0, 0). (i) följer direkt av detta eftersom, i e symmetrisk slumpvadrig, alla vägar av lägd 2 har samma saolikhet. (ii) följer av att P (S 1 0,..., S 2 0) = P (S 1 > 0,..., S 2 > 0) + P (S 1 < 0,..., S 2 < 0) och att de två falle är lika saolika. För att visa (iii) observerar vi att P (S 1 > 0,..., S 2 > 0) = P (S 1 = 1, S 2 > 0,..., S 2 > 0) me eftersom 2 1 är udda så gäller så att, med hjälp av (ii), = P (S 1 = 1) P (S 2 > 0,..., S 2 > 0 S 1 = 1) = 1 2 P (S 2 S 1 0, S 3 S 1 0,..., S 2 S 1 0) = 1 2 P (S 1 0,..., S 2 1 0), S S S 2 0, 1 2 f 2 = P (S 1 > 0,..., S 2 > 0) = 1 2 P (S 1 0,..., S 2 0). 16
17 Am 9. För e symmetrisk slumpvadrig gäller alltså att P (aldrig återväda till 0) = lim P (S k 0, k = 1,..., 2) = lim P (S 2 = 0) = lim f 2 = 0, (se Problem 11). De föregåede satse gav ett uttryck för P (S 1 0,..., S 0) för e symmetrisk slumpvadrig. Allmät gäller Sats 10. (i) För k > 0 gäller (ii) För k 0 gäller (iii) P (S 1 > 0,..., S 1 > 0, S = k) = k P (S = k). P (S 1 0,..., S 1 0, S = k) = k P (S = k). P (S 1 0,..., S 0) = E( S ). Bevis: Både (i) och (ii) gäller trivialt om P (S = k) = 0. Atag därför att k är sådat att P (S = k) = N (0, k) p h q v > 0, där h = + k och 2 v = k är heltal. 2 (i) följer då direkt av Ballot-satse efter multiplikatio med p h q v och (ii) på grud av symmetri, eftersom N 0 (0, k) = N 0 (0, k) och N (0, k) = N (0, k). Summerig av (ii) över alla k 0 ger (iii). Sats 9 ka också avädas för att ge ett alterativt uttryck för förstapassagesaolikhete g 2 = P (T 0 = 2), där T 0 = tidpukte för första återbesöket i 0 = mi{ 1 : S = 0}. Sats 11. För e symmetrisk slumpvadrig gäller Bevis: Sats 9 säger att vilket ger att g 2 = f 2 2 f 2. P (T 0 > 2) = P (S k 0, k = 1,..., 2) = P (S 2 = 0) = f 2, g 2 = P (T 0 = 2) = P (T 0 > 2 2) P (T 0 > 2) = f 2 2 f 2. 17
18 Am 10. Eftersom f 0 = 1 och f 2 0 då ger satse att, för de symmetriska slumpvadrige, P (ågosi återkomma till 0) = g 2 = =1 (f 2 2 f 2 ) =1 = (f 0 f 2 ) + (f 2 f 4 ) + = f 0 = 1. Ytterligare ett sambad mella {f } och {g } ges av Sats 12. För e godtycklig slumpvadrig gäller f 2 = g 2r f 2 2r. Bevis: Betiga med avseede på första återkomste till 0, T 0. f 2 = P (S 2 = 0) = = = P (T 0 = 2r) P (S 2 = 0 T 0 = 2r) g 2r P (S 2 S 2r = 0 T 0 = 2r) g 2r P (S 2 2r = 0) = g 2r f 2 2r. Ett aat avädbart trick för att aalysera slumpvadrigar är tidsomvädig. Eftersom {X k } är olf så har vektor (X 1, X 2,..., X ) samma fördelig som vektor (X, X 1,..., X 1 ) och därav följer att (S 1, S 2,..., S ) har samma fördelig som (X, X + X 1,..., X + + X 1 ) = (S S 1, S S 2,..., S ). Låt T b = tidpukte för första besöket i b = mi{ 1 : S = b}. Sats 13. För b > 0 gäller P (T b = ) = b P (S = b), för = b, b + 1,... Bevis: Geom att utyttja tidsomvädig får vi eligt Sats 10 (i). P (T b = ) = P (S 1 < b, S 2 < b,..., S 1 < b, S = b) = P (S > S 1, S > S 2,..., S > S 1, S = b) = P (S S 1 > 0,..., S S 1 > 0, S = b) = P (S 1 > 0,..., S 1 > 0, S = b) = b P (S = b), 18
19 Am 11. Med hjälp av satse ka ma beräka och därigeom P (T b > ) = k=+1 E(T b ) = P (T b = k) = k=+1 P (T b > ). =0 b k P (S k = b) Vi vet seda tidigare att E(T b ) = b E(T 1 ), så det räcker att beräka E(T 1 ). 4.4 Maximum Låt M = max(s 0, S 1,..., S ). Vilke fördelig har M? Lemma 1. För e symmetrisk slumpvadrig gäller { P (S = b) om b r, P (M r, S = b) = P (S = 2r b) om b < r. Bevis: De första dele följer direkt av att M S. Atag därför att b < r. Geom att spegla slutet av väge, frå och med sista besöket i r, i lije y = r ser vi att # vägar av lägd med M = r och S = b är lika med # vägar av lägd med S = 2r b; se Figur 5. Lemmat följer av att alla vägar av lägd har samma saolikhet för e symmetrisk slumpvadrig. S 2r b r b Figur 5: Speglig för maximum Sats 14. För e symmetrisk slumpvadrig gäller, för r 1, P (M r) = P (S = r) + 2P (S > r), P (M = r) = P (S = r) + P (S = r + 1) = max(p (S = r), P (S = r + 1)). 19
20 Bevis: Eligt lemmat gäller P (M r) = b P (M r, S = b) = b r P (S = b) + b<r P (S = 2r b) = P (S r) + k>r P (S = k) = P (S r) + P (S > r) = P (S = r) + 2P (S > r). Vidare gäller P (M = r) = P (M r) P (M r + 1) = P (S = r) + 2P (S > r) (P (S = r + 1) + 2P (S > r + 1)) = P (S = r) + 2P (S = r + 1) P (S = r + 1) = P (S = r) + P (S = r + 1) = max(p (S = r), P (S = r + 1)), eftersom edast e av P (S = r) och P (S = r + 1) ka vara skild frå Arcsius-lage Vi ska visa att två stokastiska variabler med akytig till symmetrisk slumpvadrig har samma fördelig, de s.k. arcsius-fördelige. Betrakta e symmetrisk slumpvadrig {S } med S 0 = 0. Låt som tidigare f = P (S = 0). Defiiera Y 2 = max(k 2 : S k = 0), som är väldefiierad eftersom S 0 = 0, och α 2 (2k) = P (Y 2 = 2k). Då gäller Sats 15. För 0 k, Bevis: α 2 (2k) = P (Y 2 = 2k) = f 2k f 2 2k. P (Y 2 = 2k) = P (S 2k = 0, S 2k+1 0,..., S 2 0) = P (S 2k = 0) P (S 2k+1 0,..., S 2 0 S 2k = 0) = P (S 2k = 0) P (S 1 0,..., S 2 2k 0) = P (S 2k = 0) P (S 2 2k = 0) (Sats 9 (i)) = f 2k f 2 2k. Am 12. Namet arcsius-fördelige kommer av att P (Y 2 2x) 2 π arcsi x, då. För att se detta ka ma utyttja Stirligs formel! e 2π, för att visa att, för stora k, f 2k 1 πk, (Se Problem 11c.) 20
21 och att därför α 2 (2k) 1 f( k ), där Detta ger att P (Y 2 2x) = k x f(x) = α 2 (2k) 1 1 π x(1 x), 0 < x < 1. k/ x 1 Täthetsfuktioe f(x) = fis plottad i Figur 6. π x(1 x) f( k x ) f(t) dt = 2 π arcsi x x Figur 6: Plot av f(x) = 1 π x(1 x). Am 13. De exakta fördelige, α 2 (2k), brukar kallas de diskreta arcsius-fördelige. De är, liksom de kotiuerliga, symmetrisk krig mittpukte, k = /2, där de också har sitt miimum. Maximum atas för k = 0 och k =. Am 14. E måhäda överraskade egeskap hos de symmetriska slumpvadrige, som följer av arcsius-lage, är att om vi har siglat slat 2 gåger och är itresserade av är vi seast hade lika måga kroa och klave så är det mest troligt att det iträffade edera alldeles ylige, eller alldeles i börja av försöket. Om t.ex. = 1000, dvs. vi har siglat 2000 gåger, så är P (Y ) 2 π arcsi 0.1 = 0.205, P (Y ) 2 π arcsi 0.01 =
22 Det fis också e arcsiuslag för uppehållstider. Vi säger att slumpvadrige är positiv i tidsitervallet (k, k + 1) om S k > 0 eller S k+1 > 0. (Naturligt; se Figur 3.) Låt Z = # positiva tidsitervall mella 0 och 2. Då atar Z 2 alltid ett jämt värde och vidare gäller Sats 16. För 0 k, P (Z 2 = 2k) = α 2 (2k) = f 2k f 2 2k. Bevis: Låt b 2 (2k) = P (Z 2 = 2k). Vi vill visa att b 2 (2k) = α 2 (2k) för alla och 0 k. Eligt Sats 9 (iii) gäller b 2 (2) = P (S k 0, k = 1,..., 2) = f 2 = f 2 f 0, så att satse gäller för k =. Av symmetriskäl gäller också så att de också gäller för k = 0. Det återstår alltså att visa att b 2 (0) = P (S k 0, k = 1,..., 2) = f 2, b 2 (2k) = α 2 (2k)(= f 2k f 2 2k ) för alla och 0 < k <. (6) Om Z 2 = 2k, där 1 k 1, måste S 2r = 0 för ågot r, 1 r 1, dvs. T 0 < 2. Tide fram till T 0 tillbrigas med lika stor saolikhet på de positiva sida som på de egativa. Betigig m.a.p. T 0 ger då, för 1 k 1, 1 b 2 (2k) = P (T 0 = 2r) P (Z 2 = 2k T 0 = 2r) 1 = g 2r P (Z 2 2r = 2k) + g 2r 1 2 P (Z 2 2r = 2k 2r) = g 2r b 2 2r (2k) g 2r b 2 2r (2k 2r). Observera att b 2 2r (2k) = 0 om k > r och att b 2 2r (2k 2r) = 0 om k < r, så att b 2 (2k) = 1 k 2 g 2r b 2 2r (2k) k g 2r b 2 2r (2k 2r). (7) Vi ska utyttja (7) för att visa (6) med hjälp av iduktio. För = 1 gäller (6) trivialt. Atag att (6) gäller för < m. Då är b 2m (2k) = 1 m k 2 g 2r b 2m 2r (2k) k g 2r b 2m 2r (2k 2r) = 1 m k 2 g 2r f 2k f 2m 2r 2k k g 2r f 2k 2r f 2m 2k = 1 m k 2 f 2k g 2r f 2m 2r 2k f 2m 2k k g 2r f 2k 2r. 22
23 Eligt Sats 12 gäller så att m k k g 2r f 2k 2r = f 2k, g 2r f 2(m k) 2r = f 2m 2k, b 2m (2k) = 1 2 f 2k f 2m 2k f 2m 2k f 2k = f 2k f 2m 2k = α 2m (2k). Am 15. Betrakta två spelare, A och B, som spelar ett rättvist spel, där båda ka via e kroa av de adre med saolikhet 1/2. Måga tolkar og Stora tales lag ituitivt som att i det låga loppet kommer båda spelara att vara i ledige ugefär halva tide. Detta är ite korrekt! Arcsius-lage för uppehållstider ger att, efter måga spelomgågar, det gäller att P (A leder mist adele x av tide) = 2 π arcsi 1 x, P (A leder mist 80% av tide) = 2 π arcsi 0.2 = 0.295, P (ågo leder mist 80% av tide) = 2 2 π arcsi 0.2 = 0.59, P (ågo leder mist 90% av tide) = 2 2 π arcsi 0.1 = 0.41, P (ågo leder mist 95% av tide) = 2 2 π arcsi 0.05 = 0.29, P (ågo leder mist 99% av tide) = 2 2 π arcsi 0.01 = 0.13, 5 Bladade problem Problem 13. Betrakta e slumpvadrig med p < 1/2, som vid tidpukt k befier sig i positio a < m. Beräka de betigade saolikhete att de vid tidpukt k + 1 befier sig i positio a + 1 (eller i a 1) givet att de kommer att besöka tillstådet m i framtide. Problem 14. Låt T 0a vara defiierad som i Avsitt 2.2, och p > 1/2. a) Visa att Var(T 01 ) = 4pq (p q) 3. Ledig: Studera E(T01 2 ) och betiga. b) Vad blir Var(T 0a ) för a > 0? Problem 15. Betrakta e spelare, med vistsaolikhet p i ett eskilt spel, som startar med a kroor mot e oädligt rik motstådare. Vad är saolikhete att det tar a + 2k spelomgågar ia ha ruieras? 23
24 Problem 16. Visa att det fis exakt lika måga vägar (x, y), som slutar i (2 + 2, 0) och för vilka y > 0 för 0 < x < 2 + 2, som det fis vägar som slutar i (2, 0) och för vilka y 0 för 0 x 2. Visa också att detta, för e symmetrisk slumpvadrig, medför att P (S 1 0,..., S 2 1 0, S 2 = 0) = 2 g 2+2. Problem 17. Visa att saolikhete att e symmetrisk slumpvadrig före tidpukte 2 återkommer exakt r gåger till 0 är desamma som saolikhete att S 2 = 0 och att de dessföria återvät mist r gåger till 0. Problem 18. E partikel flyttar sig edera två steg åt höger, med saolikhet p, eller ett steg åt väster, med saolikhet q = 1 p. Olika steg är oberoede av varadra. a) Om de startar i z > 0, vad är saolikhete, a z, att de ågosi kommer till 0? b) Visa att a 1 är saolikhete att, i e följd Beroulliförsök som lyckas med saolikhet p, atalet misslyckade försök ågosi överstiger dubbla atalet lyckade försök. c) Visa att, då p = q, 5 1 a 1 =. 2 Problem 19. Visa att, för e symmetrisk slumpvadrig som startar i 0, saolikhete att det första besöket i S 2 iträffar i steg 2k är P (S 2k = 0) P (S 2 2k = 0). Problem 20. (Baachs tädsticksproblem) E perso har i var och e av sia två fickor e tädsticksask med tädstickor i varje. När ha behöver e tädsticka väljer ha slumpmässigt e av askara, äda tills ha påträffar e tom ask. Låt, är detta iträffar, R = # stickor i de adra aske. a) Beräka E(R). b) Om a) är för svårt; uppskatta E(R) för = 50 med hjälp av simulerig. Problem 21. Låt, i e tvådimesioell symmetrisk slumpvadrig, startade i origo, D 2 = x 2 + y 2, där (x, y ) är partikels positio efter steg. Visa att E(D 2 ) =. (Ledig: Studera E(D 2 D 2 1 ).) Problem 22. Visa att e symmetrisk slumpvadrig i d dimesioer med saolikhet 1 kommer att återväda till e reda besökt positio. (Med saolikhet 1 sker detta dessutom oädligt måga gåger.) (Ledig: I varje steg är saolikhete att å e y pukt högst (2d 1)/(2d).) 6 Litteratur E guldgruva om ma vill läsa mer om slumpvadrigar är Feller, W., A Itroductio to Probability Theory ad Its Applicatios, Vol. 1, Third editio, Wiley Måga av exemple och resultate är hämtade därifrå, speciellt frå Kapitel III, me äve frå Kapitel XIV. Några exempel är också hämtade ur Grimmett, G.R. & Stirzaker, D.R., Probability ad Radom Processes, Secod editio, Oxford Sciece Publicatios, E trevlig beskrivig av måga klassiska saolikhetsproblem, bl.a. slumpvadrig, ges i Blom, G., Holst, L. & Sadell, D., Problems ad Sapshots from the World of Probability. Spriger
Kompletterande kurslitteratur om serier
KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00
0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg
Läs merTentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15
Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23
1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs merFöreläsning F3 Patrik Eriksson 2000
Föreläsig F Patrik riksso 000 Y/D trasformatio Det fis ytterligare ett par koppligar som är värda att käa till och kua hatera, ite mist är ma har att göra med trefasät. Dessa kallas stjärkopplig respektive
Läs merÖvningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp
Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs mer(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?
Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt
Läs merBorel-Cantellis sats och stora talens lag
Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi
Läs merTentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klitberg Lösigar Tetame i Saolikhetsteori III 13 jauari 2000 Uppgift 1 a) Det mest detaljerade utfallsrummet är med uppebara beteckigar Ω = {(B1, B2),
Läs merFöreläsning 3. 732G04: Surveymetodik
Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall
Läs merMinsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera
Matematisk statistik slumpes matematik Saolikhetsteori hur beskriver ma slumpe? Statistikteori vilka slutsatser ka ma dra av ett datamaterial? Statistikteori översikt Puktskattig Hur gör ma e bra gissig
Läs merGenomsnittligt sökdjup i binära sökträd
Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De
Läs merStatistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?
Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel
Läs merTentamen i matematisk statistik
Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst
Läs merTAMS15: SS1 Markovprocesser
TAMS15: SS1 Markovprocesser Joha Thim (joha.thim@liu.se) 21 ovember 218 Vad häder om vi i e Markovkedja har kotiuerlig tid istället för diskreta steg? Detta är ett specialfall av e kategori stokastiska
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)
Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i
Läs merTentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3
Kuskapsbaserade system, tetame 2000-03-0 Istitutioe för tekik Tetame i Kuskapsbaserade system, 5p, Data 3 Datum: 2000-03-0 Tid: 8.00-3.00 Lärare: Potus Bergste, 3365 Hjälpmedel: Miiräkare Uppgiftera ska
Läs merKonsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor
Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.
Läs merFunktionsteori Datorlaboration 1
Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa
Läs mer. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.
Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd familj av stokastiska variabler Xt arameter t är oftast me ite alltid e tidsvariabel rocesse kallas diskret om Xt är e diskret s v för varje
Läs merArtificiell intelligens Probabilistisk logik
Probabilistiska resoemag Artificiell itelliges Probabilistisk logik Are Jösso HCS/IDA Osäkerhet Grudläggade saolikhetslära Stokastiska variabler Bayes teorem Bayesiaska ätverk Kostruktio Iferes Osäkerhet
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för
Läs merFöreläsning 2: Punktskattningar
Föreläsig : Puktskattigar Joha Thim joha.thim@liu.se 7 augusti 08 Repetitio Stickprov Defiitio. Låt de stokastiska variablera X, X,..., X vara oberoede och ha samma fördeligsfuktio F. Ett stickprov x,
Läs merAllmänna avtalsvillkor för konsument
Godkäare 7.2 Kudakuta Godkät Kommuikatio Distributio Kudservice Kommuikatio, deltagade och samråd Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras av fjärrvärme Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras
Läs merMultiplikationsprincipen
Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )
Läs mer101. och sista termen 1
Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +
Läs meri de fall de existerar. Om gränsvärdet ifråga inte skulle existera, ange i så fall detta med motivering.
Kap 9. 9.5, 9.8 9.9, 6.5. Talföljd, mootoa talföljder, koverges, serier, koverges, geometriska serier, itegralkriterium, p serier, jämförelsekriterier, absolut koverges, altererade serier, potesserie,
Läs merSAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs
SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg
Läs mera utsöndring b upptagning c matspjälkning d cirkulation
I levade varelser bryts stora och sammasatta molekyler ed till små och ekla molekyler. Vad kallas dea process? S02_01 a utsödrig b upptagig c matspjälkig d cirkulatio S042009 Kalle hade ifluesa. Ha spelade
Läs merVad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?
Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober
Läs merLösningsförslag 081106
Lösigsförslag 86 Uppgift Trädslag: kvalitativ, omialskala (diskret) Diameter: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Höjd: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Ålder: kvatitativ, kvotskala, kotiuerlig Trädslag:
Läs merApplikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering.
Aktiverig mobil app 1 Aktiverig mobil app Aktiverig mobil app aväds för att koppla e eskild avädare till Visma Agdas mobilapplikatio. Applikatioe ka edast avädas av eskilda avädare med förtroederapporterig.
Läs merb 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.
Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras
Läs merTenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2
Teta i MVE5/MVE95, Komplex (matematisk) aalys, F och TM/Kf 6, 8.3-.3 Hjälpmedel: Formelblad som delas ut av tetamesvaktera Telefovakt: Mattias Leartsso, 3-535 Betygsgräser: -9 (U), -9 (3), 3-39 (4), 4-5
Läs merc n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.
P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt
Läs mer( ) ( ) Kap. 5.5-7. Kolligativa egenskaper + fasjämvikter för 2-komponentsystem 5B.2/5.5 Kolligativa egenskaper R T
Ka. 5.5-7. Kolligativa egeskaer + fasjämvikter för 2-komoetsystem 5.2/5.5 Kolligativa egeskaer Kolligativa egeskaer: Egeskaer som edast beror å atalet artiklar som lösts Förutsättig: utsädda lösigar, lösta
Läs mer4.2.3 Normalfördelningen
4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade
Läs merθx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF903 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH TORSDAGEN DEN TREDJE JUNI 200 KL 4.00 9.00. Examiator: Guar Eglud, tel. 790 74 06 Tillåta hjälpmedel: Läroboke.
Läs merAndra ordningens lineära differensekvationer
Adra ordiges lieära differesekvatioer Differese Differese f H + L - f HL mäter hur mycket f :s värde förädras då argumetet förädras med de mista ehete. Låt oss betecka ämda differes med H Df L HL. Eftersom
Läs merTentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)
KTH-Matematik Tetameskrivig, 2008-0-0, kl. 4.00-9.00 SF625, Evariabelaalys för CITE(IT) och CMIEL(ME ) (7,5h) Prelimiära gräser. Registrerade å kurse SF625 får graderat betyg eligt skala A (högsta betyg),
Läs merFör att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder;
MKB till detaljpla Förbifart Stockholm Hälsoeffekter av tuelluft Studier idikerar att oöskade korttidseffekter, blad aat ökat atal iflammatiosmarkörer, börjar uppstå vid e expoerig som motsvaras av tuelluft
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Istitutioe KTH Lösig till tetamesskrivig på kurse Diskret Matematik, momet A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, de 5 jui 2009 kl 08.00-13.00. DEL I 1. (3p) Bestäm e lösig till de diofatiska
Läs merFör att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ
1 February 1, 2018 1 Förel. VII Puktskattigar av parametrar i fördeligar 1.1 Puktskattig För att skatta vätevärdet för e fördelig är det lämpligt att aväda Medelvärdet ξ = 1 ξ j. Vi tar u vätevärdet av
Läs merInledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan
Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle
Läs merInledande matematisk analys. 1. Utred med bevis vilket eller vilka av följande påståenden är sana:
TATA79/TEN3 Tetame, 08-04-06 Iledade matematisk aalys. Utred med bevis vilket eller vilka av följade påståede är saa: (a) Om x 7 är x(x 3) 5; (b) Om (x )(x 6) 0 är x 6; (c) (x + 6)(x ) > 0 om x > 6. Solutio:
Läs merLinjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes
Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom
Läs merProblem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Abrahamsso 7-6796 Prov i matematik IT, W, lärarprogrammet Evariabelaalys, hp 9-6-4 Skrivtid: : 5: Tillåta hjälpmedel: Mauella skrivdo Varje uppgift är värd maimalt
Läs merMarkanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25
TJÄNSTSKRIVLS Hadläggare atum Äredebeteckig Johaa Kidqvist -05- KS /05 50 Kommufullmäktige Markavisigsavtal för och försäljig av fastighete Gesälle 5 Förslag till beslut Kommufullmäktige godkäer förslag
Läs merUppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis
Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor 3.01 101. E talföljd defiieras geom formel a 8 + 6. a) Är det e rekursiv eller e
Läs merLeica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers
Leica Lio Noggraa, självavvägade pukt- och lijelasers Etablera, starta, klart! Med Leica Lio är alltig lodat och perfekt apassat Leica Lios projekterar lijer eller pukter med millimeterprecisio och låter
Läs merInklusion och exklusion Dennie G 2003
Ilusio - Exlusio Ilusio och exlusio Deie G 23 Proble: Tio ä lägger ifrå sig sia hattar vid ett besö på e restaurag. På hur åga sätt a alla äe läa restaurage ed fel hatt. Detta proble a lösas ed ägdläras
Läs merInduktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1
duktio LCB 2000 Ersätter Grimaldi 4. Rekursio och iduktio; ekla fall E talföljd a a 0 a a 2 ka aturligtvis defiieras geom att ma ager e explicit formel för uträkig av dess elemet, som till exempel () a
Läs merTMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar
TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:
Läs merLÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grudläggade matematisk statistik Puktskattig Uwe Mezel, 2018 uwe.mezel@slu.se; uwe.mezel@matstat.de www.matstat.de Saolikhetsteori: Saolikhetsteori och statistikteori vad vi gjorde t.o.m. u vi hade e give
Läs mervara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Liöpigs uiversitet Matematisa istitutioe Matemati och tillämpad matemati Kursod: TATA4 Provod: TEN Iga hjälpmedel är tillåta. Tetame i Evariabelaalys 4-4-3 l 4 9 Lösigara sall vara fullstädiga, välmotiverade,
Läs mer1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig
Läs merTATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merLycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =
Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF955 f d 5B555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN AUGUSTI 008 KL 400 900 Examiator: Guar Eglud, tel 790746 Email: guare@mathkthse Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig
Läs merMatematisk statistik TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS063 Tetame 208-05-30 Tid: 8:30-2:30 Tetamesplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamlig och tabell samt Chalmersgodkäd räkare. Kursasvarig: Olof Elias Telefovakt/jour: Olof Elias,
Läs merIntervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej
Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda
Läs merDel A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.
Läs merTentamen i matematisk statistik
MSTA3, Saolikhetsteori A, 5 p 5--7 Tetame i matematisk statistik Saolikhetsteori A, 5 poäg Skrivtid: 9.-5.. Tillåta hjälpmedel: Tabellsamlig, ege miiräkare. Studetera får behålla tetamesuppgiftera. På
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a
POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio
Läs merESBILAC. mjölkersättning för hundvalpar BRUKSANVISNING. www.kruuse.com
ESBILAC mjölkersättig för hudvalpar BRUKSANVISNING De bästa starte för e yfödd valp är självklart att dia tike och få i sig mammas mjölk. Modersmjölke iehåller allt som de små behöver i form av ärigsäme,
Läs merTentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Istitutioe KTH Tetame i Lijär Algebra, SF164 14 december, 21. Kursexamiator: Sadra Di Rocco OBS! Svaret skall motiveras och lösige skrivas ordetligt och klart. Iga hjälpmedel är tillåta.
Läs merSANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.
rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.
Läs merSveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på?
SveTys Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2 Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2008 SveTys, Uta Schulz, Reibek 3 Iledig När ma gör affärer i Tysklad eller
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel
Läs mer4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6
SF69 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 4 KARL JONSSON Iehåll. Egeskaper hos Fouriertrasforme. Kapitel 3: Z-Trasform.. Upp. 3.44a-b: Bestämig av Z-trasforme för olika talföljder.. Upp.
Läs merInnehållsförteckning Tabeller och polynom
Iehållsförteckig Tabeller och polyom -Utsigal och seebeckkoefficieter för termoelemet B, E, J, K, N, R, S, T eligt IEC 60584 (1995). 10:2 -Utsigal för termoelemet W3Re/W25Re och W5Re/W26Re eligt ASTM 988
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II Estimerig 2 Kofidesitervall G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 3 februari 205 3 Hypotesprövig 4 Korrelatio och regressio G. Gripeberg Aalto-uiversitetet
Läs merKontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10
KH Matematik Kotrollskrivig 3 i SF676, Differetialekvatioer med tillämpigar isdag 7-5-6 kl 8:5 - illåtet hjälpmedel på lappskrivigara är formelsamlige BEA För godkäd på module räcker 5 poäg Bara väl motiverade
Läs merÖversikt av ouppklarade fall av dödligt våld i Skåne under tiden 1985-07-01 och framåt i tiden.
Översikt av ouppklarade fall av dödligt våld i Skåe uder tide 1985-07-01 och framåt i tide. OBSERVERA att översikte grudar sig på e iveterig, som ite är klar! Atalet ärede och urval av ärede ka komma att
Läs merBertrands postulat. Kjell Elfström
F r å g a L u d o m m a t e m a t i k Matematikcetrum Matematik NF Bertrads ostulat Kjell Elfström Bertrads ostulat är satse, som säger, att om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2.
Läs merLösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =
Lösigar till tetamesskrivig i kompletterigskurs Lijär Algebra, SF605, de 0 jauari 20,kl 4.00-9.00. 3p Visa med hjälp av ett iduktiosbevis att m= mm + = +. Lösig: Formel är uppebarlige sa är = eftersom
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist
Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa
Läs merSannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1
Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar
Läs merSannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00. Kap 2: Sannolikhetsteorins grunder
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 10, HT-00 Saolikhetsteori Kap : Saolikhetsteoris gruder Följade gäller för saolikheter: 0
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 11 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel
Läs mer2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.
Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele
Läs merFöreläsning 10: Kombinatorik
DD2458, Problemlösig och programmerig uder press Föreläsig 10: Kombiatorik Datum: 2009-11-18 Skribeter: Cecilia Roes, A-Soe Lidblom, Ollata Cuba Gylleste Föreläsare: Fredrik Niemelä 1 Delmägder E delmägd
Läs merRESTARITMETIKER. Avsnitt 4. När man adderar eller multiplicerar två tal som t ex
Avsitt 4 RESTARITMETIKER När ma adderar eller multiplicerar två tal som t ex 128 + 39..7 128 43..4 så bestämmer ma först de sista siffra. De operatioer som leder till resultatet kallas additio och multiplikatio
Läs merSannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11
rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm
Läs merTAMS79: Föreläsning 9 Approximationer och stokastiska processer
TAMS79: Föreläsig 9 Approximatioer och stokastiska processer Joha Thim 18 ovember 2018 9.1 Biomialfördelig Vi har reda stött på dea fördelig flera gåger. Situatioe är att ett slumpförsök har två möjliga
Läs merFöreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin
Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg
Läs merF3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index.
F3 Lite till om tidsserier Deflaterig, att justera för iflatioe tatistikes gruder dagtid 4 3,5 3,5,5 Mjölk ockerdricka HT,5 975 976 977 978 979 98 98 98 Löpade priser År Mjölk ockerdricka KPI 945 = 975,34,
Läs mera) Beräkna E (W ). (2 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF19 och SF191 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 13:E MARS 18 KL 8. 13.. Examiator: Björ-Olof Skytt, 8 79 86 49. Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig
Läs merREGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:
CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal
Läs merPermutationer med paritet
238 Permutationer med paritet Bernt Lindström KTH Stockholm Uppgift. Att studera permutationerna av talen 1 2... n och indelningen i udda och jämna permutationer ur olika aspekter. Permutationer är särskilt
Läs mer