Andra ordningens lineära differensekvationer

Transkript

1 Adra ordiges lieära differesekvatioer Differese Differese f H + L - f HL mäter hur mycket f :s värde förädras då argumetet förädras med de mista ehete. Låt oss betecka ämda differes med H Df L HL. Eftersom # H Df L HL är e fuktio (beteckad med Df ), så ka ma bilda dess differes, dvs. differeses differes: H Df L H + L - H Df L HL f H + 2L - f H + L - Hf H + L - f HLL f H + 2L - 2 f H + L + f HL Differese av differese beteckas D 2 f. Givetvis ka ma gå vidare, och bilda D 3 f, D 4 f osv.. Med e lieär differesekvatio mear vi ID N ym HL + + a H DyL HL + a 0 yhl xhl () där a k är reella eller möjlige komplexa kostater. Ma ka visa att () ka skrivas på forme (2) edaför och vice versa. yh + NL + + b yh + L + b 0 yhl xhl (2) där b k är ya kostater. När vi i förspelet till Z -trasforme räkade fram e slute formel för Fiboaccitale, löste vi i själva verket differesekvatioe yh + 2L - yh + L - yhl 0 uder atagadet att yh0l = 0 och yhl =. Ambitioe i edaståede avsitt är att visa hur e godtycklig adra ordiges lieär differesekvatio yh + 2L + a yh + L + b yhl xhl ka lösas med hjälp av Z -trasforme. Först betraktar vi det homogea fallet.

2 Homogea fallet Z -trasformerig resulterar i dvs. Härav, yh + 2L + a yh + L + b yhl 0 2 Y HL - yh0l 2 - yhl + a H Y HL - yh0l L + b Y HL 0, Y HL I 2 + a + bm - yh0l I 2 + am - yhl 0. Y HL Atag att polera till Y HL är och 2. Då är Det följer att yh0l H + al + yhl 2. + a + b 2 + a + b = H - L H - 2 L och a = Y HL yh0l H L + yhl. H - L H - 2 L Fall 2 ¹ : Efter partialbråksuppdelig fås Y HL - 2 HyHL - yh0l 2 L Efter iverstrasformerig med hjälp av ett - + HyH0L - yhll - 2. kät trasformpar får vi yhl - 2 HHyHL - yh0l 2 L + HyH0L - yhll 2 L. Fall 2 2 : Motsvarade kalkyl som ovaför ger Härav, (u aväds äve ett Y HL HyHL - yh0l L H - L 2 + yh0l aat kät trasformpar) -. yhl HyHL - yh0l L - qh - L + yh0l. Z-trasforme2.b 2

3 3 Z-trasforme2.b yh + 2L + a yh + L + b yhl 0 8 område 0 yh0l yhl - a - b yhl Polera till Y HL ANM Hur ser lösige yhl ut då polera till Y HL ligger i ehetsskivas ire? (Ehetscirkel är ritad röd.) Impulssvaret och överförigsfuktioe Nu behadlas fallet där högerledet är lika med (de diskreta) deltafuktioe, och systemet är i vila då = 0 och =. Tillhörade lösig kallas för impulssvar och beteckas h. hh + 2L + a hh + L + b hhl dhl hh0l 0, hhl 0 Z -trasformerig ger HHL I 2 + a + bm. Det följer att HHL 2 + a + b Lägg märke till att H och Y hom (de homogea lösiges trasform) har samma ämare, och att de därmed har idetiska poler. H kallas för överförigsfuktioe. Nu återstår att iverstrasformera H. På motsvarade sätt som i det homogea fallet, får vi e falluppdelig baserad på om polera till

4 Nu återstår att iverstrasformera H. På motsvarade sätt som i det homogea fallet, får vi e falluppdelig baserad på om polera till HHL är lika eller olika. Om polera beteckas med och 2, så är Z-trasforme2.b 4 Fall 2 ¹ HHL HHL H - L H - 2 L ï hhl qh - L Fall 2 2 HHL H - L 2 ï hhl H - L -2 qh - L Nedaför är h ritad tillsammas med e homoge lösig som i fortsättige beteckas med y hom. hh + 2L + a hh + L + b hhl dhl 8 område 0 y hom H0L y hom HL a 0.6 b Polera till HHL y hom h ANM 2 Impulssvaret och de homogea lösige följs åt som ler- och låghalm, där de förra ligger lite efter. Ka du förklara det?

5 5 Z-trasforme2.b Stabilitet Med STABILITET för e lieär differesekvatio mear vi att impulssvaret kligar av med tide (går mot oll). Om du lyckas förstå ANM och 2, så har du äve begripit iehållet i edaståede sats. STABILITETSSATSEN E lieär differesekvatio är stabil omm varje pol till överförigsfuktioe ligger i ehetsskivas ire. EXEMPEL Hur är det med stabilitete hos differesekvatioe yh + 2L yh + L - yhl = xhl? LÖSNING Överförigsfuktioe är HHL = 2 - J-, 2 N H+2L och de har ite båda poler i ehetsskivas ire. Således är ekvatioe istabil. Godtyckligt högerled Vi har yss löst ekvatioe yh + 2L + a yh + L + b yhl xhl i de två specialfalle där högerledet x är lika med 0 respektive d. Nu behadlar vi ett godtyckligt x. Z -trasformatio ger Det följer att Y HL I 2 + a + bm - yh0l I 2 + am - yhl XHL Y HL XHL + yh0l I2 + am + yhl 2 + a + b XHL 2 + a + b + yh0l H + al + yhl 2 + a + b XHL HHL + Y homoge HL (3) För att kua iverstrasformera (3) för godtyckliga X och H skulle det vara bra att veta hur ma iverstrasformerar e produkt XHL HHL. Ia vi tar itu med detta problem löser vi e ekel ickehomoge

6 vara bra att veta hur ma iverstrasformerar e produkt X H. Ia vi tar itu med detta problem löser vi e ekel ickehomoge ekvatio. EXEMPEL 2 Lös differesekvatioe yh + 2L yh0l =, yhl = 0. LÖSNING Z -trasformatio ger Y HL J N = - När vi löser ovaståede ekvatio m.a.p. Y får vi Y HL = 2 + H-L H+2L = + H-L H+2L = J N = Efter iverstrasformatio erhålls yhl = H-2L. yh + L - yhl =, Kotroll av begyelsevärdea: H-2L0 =, H-2L = 0. Z-trasforme2.b 6 Faltig Som du vet (frå avsittet med Laplacetrasforme) är faltige mella fuktioer som är oll på egativa reella axel lika med Ÿ 0 t f Ht - ul ghul u. Och Laplacetrasforme av dea faltig är lika med produkte FHsL GHsL. Vi ska strax se att e diskret versio av Ÿ 0 t f Ht - ul ghul u spelar motsvarade roll för Z -trasforme. Faltigsprodukte och faltigsformel Betrakta två följder och deras Z -trasformer Hf H0L, f HL, f H2L, L Z FHL = f H0L + f HL + f H2L 2 +

7 7 Z-trasforme2.b HgH0L, ghl, gh2l, L Produkte av trasformera är lika med FHL GHL f H0L + f HL = f H0L gh0l + + f H2L 2 Z Hf HL gh0l + f H0L ghll - + GHL = gh0l + ghl ghl + ÿ gh0l + Hf H2L gh0l + f HL ghl + f H0L gh2ll gh2l 2 + gh2l 2 + Hf H3L gh0l + f H2L ghl + f HL gh2l + f H0L gh3ll -3 + = =0 k=0 f H - kl ghkl - = Z f H - kl ghkl k=0 Vi har just härlett Z - trasformes faltigsformel f H - kl ghkl Z FHL GHL k=0 + vars västerled är faltige mella följdera f och g. Det är brukligt att aväda samma beteckig, dvs. f * g, för dea faltig som för faltige mella kotiuerligt defiierade fuktioer. Därmed ka Z trasformes faltigsformel skrivas på samma ekla form som faltigsformlera för Laplace- och Fouriertrasforme: Z f * g F ÿg Notera att faltige mella två följder också är e följd. Här är e "utskrive" versio av de seare följde: Hf H0L gh0l, f HL gh0l + f H0L ghl, f H2L gh0l + f H0L gh2l + f HL ghl, f H3L gh0l + f H2L ghl + f HL gh2l + f H0L gh3l, L

8 Z-trasforme2.b 8 Visualiserig av faltigsprodukte Observera edaför hur de bakväda f "faller över" g. f g H f *glh2l = f H2L ÿ gh0l + f HL ÿ ghl + f H0L ÿ gh2l 2 EXEMPEL 3 Atag att ma (i börja av) varje år sätter i pegar på ett bakkoto med e fast räta, och att det isatta beloppet varierar år frå år. Hur mycket fis det på kotot efter år? LÖSNING Atagadet iebär att ma i börja av åre 0,,, -, sätter i f H0L, f HL,, f H - L, f HL kr. Om räta är r har dessa + belopp - i tur och ordig - vuxit till f H0L H + rl, f HL H + rl -,, f H - L H + rl -H-L, f HL (4)

9 9 Z-trasforme2.b i börja av år. Lägg märke till att de sista isättige ite hier förrätas. Summa av alla belopp i (4), dvs. k=0 f HkL H + rl -k (5) represeterar kotots peigmägd i börja av år. Som du ser är de ackumulerade peigmägde lika med faltige mella isättigsfuktioe f HkL och förrätigsfuktioe H + rl k. ANM. Följade differesekvatio beskriver vad som häder (på kotot) frå ett år till ett aat yh + L H + rl yhl + f HL, där yh0l = 0. Lös själv dea differesekvatio med Z -trasformerig, och kostatera seda att svaret blir lika med faltige i (5). EXEMPEL 4 Beräka först H0,, 2, 3, L*H,,, L, och Z -trasformera seda resultatet. LÖSNING H0,, 2, 3, L*H,,, L är lika med I k=0 k ÿm H+L =0 = J N = H0,, 3, 6, 0, 5, L. 2 =0 Z -trasformatio medelst faltigsformel Z H0,, 2, 3, L*H,,, L H-L 2 - = 2 H-L 3. Åter till differesekvatioe Utrustade med faltigsformel ka vi u iverstrasformera (3). Resultatet blir helt ekelt

10 Z-trasforme2.b 0 y x * h + y homoge (6) ANM 3 Eftersom y homoge kligar av i oädlighete omm polera till H ligger i ehetsskivas ire, så följer det av (6) att yhl º Hx * hl HL, för stora omm H:s poler ligger på ämda sätt. Se figure edaför. område 29 yh + 2L + a yh + L + b yhl xhl yh0l 0 yhl a -.43 b 0.39 x Polera till HHL y x*h 29