Två enkla egenvärdesproblem. Två - gissningsvis välbekanta - egenvärdesproblem
|
|
- Julia Vikström
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Partiella differetialekvatioer Trasformmetodslösigar av lieära differetialekvatioer har vi reda stött på. Me då har det - såär som på ågot udatag - hadlat om ordiära ekvatioer. Nu har ture kommit till de partiella. Två berömda partiella differetialekvatioer - värmeledigsekvatioe och vågekvatioe - skall lösas med hjälp av trasformmetoder. Me först ett kort stycke om två ekla ordiära differetialekvatioer. Två ekla egevärdesproblem Två - gissigsvis välbekata - egevärdesproblem I II y HtL l yhtl, yh0l give y HtL l yhtl, yh0l och y H0L giva kommer att dyka upp är vi löser värmeledigsekvatioe och vågekvatioe. Lösigara (egefuktioera) - som fås ekelt med hjälp av Laplacetrasformatio - är I : yhtl = yh0l l t II : yhtl = c l t + c 2 - l t Notera att l får vara ett komplext tal vilket som helst, samt att - l som förekommer i lösige av II är röttera till z 2 - l 0. l l och l - l Två viktiga specialfall av II uppstår är l ligger på egativa reella axel, eller på positiva imagiära axel: II När l = -r 2 för ågot ollskilt reellt r, så är l =  r. Härav, yhtl = c  r t + c 2 - r t = A coshr tl + B sihr tl = yh0l coshr tl + y H0L sihr tl r
2 II 2 När l = Â r 2 för ågot ollskilt reellt r, så är l = +Â 2 +Â är yhtl = c 2 r t + c 2 - +Â 2 r t. r Värmeledigsekvatioe.b 2 r, och därmed Värmeledigsekvatioe År 807 visade Fourier i O the Propagatio of Heat i Solid Bodies hur trigoometriska serier ka avädas för att lösa värmeledigsproblem. Fysikaliska fakta: Värme strömmar frå e varmare del av ett rumsobjekt till ett kallare. Därvid kommer temperature att förädras i objektet. Om ige värme tillförs kommer temperature så småigom att utjämas och bli likada i objektets alla pukter, och då upphör värmeströmige. Ma säger att ma har fått ett statioärt tillståd. Ia det seare har iträffat ädras temperature hela tide och dea förädrig ka visas vara proportioell mot temperaturgrafes krökthet i rumsriktige, vilket formaliseras i följade PDE u t l u x x värmeledigsekvatioe Proportioalitetskostate l kommer för ekelhetes skull i exemple edaför att väljas lika med. EXEMPEL Temperature på e rig. Betrakta e trådsmal cirkulär rig som har e give temperaturfördelig (f ) vid e give tidpukt (t = 0). Bestäm temperaturfördelige på rige vid varje efterkommade tidpukt. Atag för ekelhets skull att riges radie är. LÖSNING Att lösa det giva problemet iebär att hitta u så att följade två likheter satifieras PDE u t Hx, tl = u x x Hx, tl BEG uhx, 0L = f HxL, 0 < x 2 p Om ma kude staa tide, och (meda tide står stilla) vadra rut på rige, varv efter varv, så skulle ma uppleva samma temperaturvariatio för varje varv. Nedaför är e hypotetisk temperaturfördelig ritad som e blå kurva ovaför rige.
3 3 Värmeledigsekvatioe.b Således är temperaturvariatioe periodisk i x-riktige, om x represeterar de avverkade sträcka uder "promeade". Periode är lika med riges omkrets, dvs. 2p eftersom vi har satt riges radie till. Därför är det aturligt att beskriva temperature u med hjälp av e 2p-periodisk Fourierserie i x-riktige: u = c  x Detta gäller oavsett vid vilke tidpukt vi staar tide. Me så läge ickestatioärt tillståd råder måste Fourierserie beskriva olika fuktioer vid olika tider, vilket betyder att series koefficieter (dvs. u:s spektrum) måste vara tidsberoede. uhx, tl = c HtL  x () Observera att iebörde i asatse () är att u ite bara är e fuktio vars Fourierserie är lika med högerledet i (), uta att u är själva serie. Det är därför vi skriver likhet istället för krumelure "~". Då () pluggas i i PDE och BEG förvadlas de seare till Hÿ L c HtL  x = - 2 c HtL  x BEG c H0L  x = f HxL, 0 < x 2 p (ÿ ) uttrycker att de två Fourierseriera i väster- och högerled är idetiska. Det följer att ämda seriers koefficieter är idetiska, dvs. c HtL = - 2 c HtL. Och BEG uttrycker att c H0L är f :s spektrum. Härav, ODE c HtL = - 2 c HtL
4 BEG c H0L = 2 p 2 p f HxL - x x 0 Vad har vi gjort? Frå två ekvatioer (PDE & BEG) som i sia respektive väster- och högerled iehöll e fuktio u och dess derivator samt ytterligare e fuktio f, har vi härlett två ya ekvatioer där u:s och f :s spektra har itagit area. Närmare bestämt har varje term i de ursprugliga två ekvatioera ersatts med sia respektive spektra. Alltså har vi spektraltrasformerat! Ka vi lösa problemet på trasformsida? Javisst, ty det är ett egevärdesproblem av typ I frå det iledade avsittet. Härav, c HtL = c H0L -2 t 2 p = 2 p f HxL - x x - 2 t 0 (2) BEG Nu återstår bara att iverstrasformera, dvs. sätta i (2) i (). Resultatet blir uhx, tl = = 2 p 0 2 p 0 2 p f HxL - x x - 2 t  x 2 p f HxL -2 t  Hx-xL x ANM. Itegralbeskrivige av lösige ka ges på (de bekata?) forme uhx, tl = 0 2 p f HxL ghx - x, tl x Värmeledigsekvatioe.b 4 om ma sätter ghx, tl = 2 p -2 t  x Det bekata som åsyftas är att itegrade i (3) har samma form som itegrade i faltigsitegrale Ÿ R f HuL ghx - ul u. I själva verket är (3) e faltigsitegral för 2p-periodiska fuktioer. Lösige ka därför skrivas uhx, tl = f HxL * ghx, tl ANM 2. Om vi blickar tillbaka på (2), som beskriver u:s spektrum, ka vi kostatera att u:s spektrum är lika med produkte av f :s och g:s spektra, ågot som illustrerar att spektraltrasforme också har e (3)
5 vi kostatera att u:s spektrum är lika med produkte av f :s och g:s spektra, ågot som illustrerar att spektraltrasforme också har e faltigsformel. 5 Värmeledigsekvatioe.b ANM 3. Värmeproblemets faltigslösig, ka jämföras med de faltigar som dök upp är vi löste differes- och differetialekvatioer i avsitte med Z - och Laplace-trasforme. Då var faltigara av type isigal*impulssvar. Hur är det u? Svar: f är värmeproblemets isigal, och g är dess impulssvar, dvs. det u som erhålls är f är lika med d. För att ise det seare, sätt i f = d i (3), och itegrera! Notera edaför hur impulssvaret sprider sig lägs rige frå att ha varit kocetrerad rut x = 0 vid tide 0. I ästa exempel studerar vi ett rätlijigt objekt EXEMPEL 2 Föreställ dig e smal rak tråd av lägde som iitialt ges e viss temperaturfördelig, och som därefter får sia ädpukter edstoppade i isvatte. Bestäm temperature i trådes olika pukter vid alla efterkommade tidpukter. LÖSNING Vi behöver fia uhx, tl som satisfierar följade tre rader. PDE u t Hx, tl u x x Hx, tl RAND uh0, tl 0, uh, tl 0, t > 0 BEG uhx, 0L f HxL, 0 < x < Nedaför är trådes iitiala temperaturfördelig uhx, 0L = f HxL ritad som e blå kurva vid t = 0. Och vid t = t är trådes temperaturfördelige uhx, t L vid just de tidpukte ritad som e aa blå kurva. De rödmålade lijera represeterar radvärdea, dvs. temperature i trådes ädpukter.
6 Värmeledigsekvatioe.b 6 Vi ska se att u i form av e siusserie som är 2-periodisk i trådes lägdriktig x kommer att lösa problemet. uhx, tl = b HtL sih p xl >0 Skälet till att vi asätter e såda serie, är att de är lika med oll i x = 0 och x =. (Se avsittet om sius- och cosiusserier.) Därmed kommer serie ifråga att satisfiera RAND. Och det är ige dålig börja. Återstår u att bestämma de tidsberoede koefficietera. Spektraltrasformatio (som i föregåede exempel) av PDE och BEG ger ODE b HtL = -H pl 2 b HtL vars lösig är Det följer att BEG uhx, tl = >0 b H0L 2 Ÿ 0 f HxL sih p xl x b HtL = 2 0 f HxL sih p xl x -H pl 2 t 2 0 f HxL si H p xl x där B är begyelsetemperatures siuskoefficiet. B -H pl2 t sih p xl EXEMPEL 3 Samma problem, me med specificerad beg.temperatur. PDE u t Hx, tl u x x Hx, tl RAND uh0, tl 0, uh, tl 0, t > 0 BEG uhx, 0L = sihp xl + 2 sih3 p xl, 0 < x <
7 7 Värmeledigsekvatioe.b LÖSNING Som i EXEMPEL 2 fås uhx, tl = = B -H pl2 t sih p xl. Nu är B siuskoefficiet för sihp xl + 2 sih3 p xl. Dvs. B =, B 3 = 2 och B = 0 för övriga. Således är. uhx, tl = -p2 t sihp xl p 2 t sih3 p xl EXEMPEL 4 Dito, me med ett aat f. PDE u t Hx, tl u x x Hx, tl RAND uh0, tl 0, uh, tl 0, t > 0 BEG uhx, 0L = 00, 0 < x < LÖSNING Precis som ovaför är uhx, tl = = B -H pl2 t sih p xl, me B är u siuskoefficietera för f HxL = 00. Dvs. 0, då är jäm B = sih p xl x = 2 00 H - H-L L Så uhx, tl = 400 k=0 p -H2 k+l2 p 2 t 2 k+ p = si HH2 k + L p xl. 400, då är udda p EXEMPEL 5 Isolerade ädpukter. Detta exempel hadlar om e tråd som i begyelse ges e viss temperatur, och som i fortsättige är isolerad i båda ädar (temperaturgradiete u x är oll där).
8 PDE u t Hx, tl u x x Hx, tl RAND u x H0, tl = 0, u x H, tl = 0, t > 0 BEG uhx, 0L = H + cosh3 p xll, 0 < x < 2 Värmeledigsekvatioe.b 8 LÖSNING Av RAND-villkore leds vi u att för fixt t skriva uhx, tl som e cosiusserie med periode 2 i trådes riktig. (Se avsittet om sius- och cosiusserier.) uhx, tl a 0 HtL + a HtL cosh p xl 2 >0 Efter spektraltrasformerig erhålls vars lösig är dvs. ODE BEG a 0 HtL = 0, a HtL = -H pl 2 a HtL a 0 H0L 2 2, a 3 H0L 2, a H0L = 0 f.ö. a 0 HtL = kostat = a 0 H0L =, a HtL = a H0L -H pl2 t, a 0 HtL =, a 3 HtL = Det följer att uhx, tl = p2 t cosh3 pxl. EXEMPEL 6 Ihomogeitet i radvillkoret PDE u t Hx, tl u x x Hx, tl 2 -H3 pl2 t, a HtL = 0 f.ö. RAND uh0, tl = 0, uh, tl = 2, t > 0 BEG uhx, 0L = 0, 0 < x <
9 9 Värmeledigsekvatioe.b Partikulärlösig Med take på att RAND-villkoret är tidsoberoede försöker vi först fia e tidsoberoede partikulärlösig u part som satisfierar PDE och RAND, dvs. så att Det följer (eller hur!) att 0 = u part HxL u part H0L = 0, u part HL = 2 Homoge lösig Nu sätter vi u part HxL = x 2 u hom Hx, tl = uhx, tl - u part HxL (4) där uhx, tl är lösige till det giva problemet. Då måste v = u hom satisfiera PDE v t Hx, tl v x x Hx, tl RAND hom vh0, tl = 0, vh, tl = 0 BEG hom vhx, 0L = 0 - x 2 RAND hom leder oss till att asätta v = u hom som e 2-periodisk siusserie u hom Hx, tl = b HtL sih p xl >0 På sedvaligt sätt får vi efter spektraltrasformatio vars lösig är ODE BEG b HtL = -H pl 2 b HtL b H0L 2 x H-L Ÿ 0 J- N sih p xl x = 2 p b HtL = H-L p -H pl2 t.
10 Det följer att H-L u hom Hx, tl = p >0 De slutgiltiga lösige Av H4L framgår att uhx, tl = u part HxL + u hom Hx, tl = x 2 + >0 -H pl2 t sih p xl. H-L p Värmeledigsekvatioe.b 0 -H pl2 t sih p xl. EXEMPEL 7 Temperature på och uder jordyta. Betrakta e positio x eheter uder jordyta, där x är lite i förhålladet till jordradie. Bestäm temperature på ämda djup givet att temperature på jordyta ovaför positioe ifråga ges av f HtL. LÖSNING Det gäller att lösa problemet PDE u t Hx, tl u x x Hx, tl, x > 0 RAND uh0, tl f HtL f t x HdjupetL Om vi bortser frå klimatförädrigar över lägre tid samt smärre variatioer över kortare dito, så är temperature i e fix positio - t.e.x. i Uppsala - e periodisk fuktio av tide där periode är ett år. Mot dea bakgrud förefaller det vara rimligt att aväda Fourierserier för att beskriva variatioe över tid hos temperature x meter uder jordyta. Låt oss söka e -periodisk Fourierserielösig i tidsaxels riktig med djupberoede koefficieter. (Periode blir är vi mäter tide i år.) uhx, tl = c HxL Â 2 p t Efter spektraltrasformatio av PDE och RAND får vi på gägse sätt
11 Värmeledigsekvatioe.b ODE RAND  2 p c HxL = c HxL c H0L Ÿ 0 f HxL - 2 p x x Lösige till ovaståede ODE är (se egevärdesproblem II med lösig II 2 ) lika med c HxL = C - + + 2 p x 2 p x 2 + D 2 Eftersom temperature kappast ökar expoetiellt är ma gräver sig er (e lite bit) uder jordyta ka blott de första av de två termera vara ollskild. Därmed blir c (5) HxL C - + 2 p x 2 C -H+ÂL p x om 0 Vi vet att c och c - är kojugerade (för reellvärda serier). Det följer att Härav, c HxL C -H-ÂL p x om < 0 uhx, tl = C - p H-ÂL x  2 p t + - C 0 + C - p H+ÂL x  2 p t (6) (7) Om vi låter det trasformerade radvillkoret c H0L Ÿ 0 f HxL - 2 p x x vara med i leke, får vi (Låt x = 0 i (6).) 0 f HxL - 2 p x x = c H0L C ÿ som beskriver spektrum för temperature på jordyta (ovaför de aktuella positioe). För att vara kokret, atag att f HtL är de - periodiska sih2 p tl =   2 p t  - 2 p t, vars spektrum ges av C 0 = 0, C = 5 2  och C - = Â. Det följer att uhx, tl =  - p x  I-2 p t + p xm  - p x  I2 p t - p xm = p x 2   I 2 p t- p xm - - I 2 p t- p xm 2 Â
12 2 Â 2 Â = p x sii2 p t - p xm Värmeledigsekvatioe.b 2 Notera hur u fluktuerar rut värdet 0, och att de fluktuerade terme är e amplituddämpad och fasförskjute siusfuktio vars period är lika med. Fasförskjutige gör att temperature på djupet p släpar efter jordytas temperaturväxligar med e halv period. Dvs. på det djupet är det "viter" mitt i sommare och "sommar" mitt i viter. Voila, u vet jag på vilket djup jordkällare skall ligga. jui
Andra ordningens lineära differensekvationer
Adra ordiges lieära differesekvatioer Differese Differese f H + L - f HL mäter hur mycket f :s värde förädras då argumetet förädras med de mista ehete. Låt oss betecka ämda differes med H Df L HL. Eftersom
Läs merFourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL
Fourierserie fortsättig Ortogoalitetsrelatioera och Parsevals formel Med hjälp av ortogoalitetsrelatioera Y Â m W t, Â W t ] =, m ¹, m = () där Xf, g\ = Ÿ T f HtL g HtL, där W ã p, ka ma bevisa följade
Läs merPROV I MATEMATIK Transformmetoder 1MA april 2011
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Salling (7-65753) PROV I MATEMATIK Transformmetoder MA34 8 april SKRIVTID: 8-3 HJÄLPMEDEL: Formelsamling (delas ut) och miniräknare. MOTIVERA alla lösningar
Läs merEkvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk
Läs merc n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.
P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)
Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås
Läs merTrigonometriska polynom
Trigoometriska polyom Itroduktio Iga strägistrumet eller blåsistrumet ka producera estaka siustoer, blott lieära kombiatioer av dem, där de med lägsta frekvese kallas för grudtoe, och de övriga för övertoer.
Läs merPROV I MATEMATIK Transformmetoder 1MA dec 2010
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Södergren, Salling PROV I MATEMATIK Transformmetoder MA0 dec 00 SKRIVTID: -9 HJÄLPMEDEL: Formelsamling (delas ut) och miniräknare. MOTIVERA alla lösningar
Läs merVad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?
Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok
Läs merKontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10
KH Matematik Kotrollskrivig 3 i SF676, Differetialekvatioer med tillämpigar isdag 7-5-6 kl 8:5 - illåtet hjälpmedel på lappskrivigara är formelsamlige BEA För godkäd på module räcker 5 poäg Bara väl motiverade
Läs mer101. och sista termen 1
Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +
Läs merFouriertransformen. Faltning, filtrering och sampling
Faltig Fouriertrasforme Faltig, filtrerig och samplig Givet två sigaler f och g och deras respektive spektra f`, g`, hur bildar ma e tredje sigal såda att dess spektrum är lika med summa f` + g`. Lätt!
Läs merDigital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning
Istitutioe för data- oc elektrotekik 2-2- Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig Faltig ka uppfattas som ett kostigt begrepp me adlar i grude ite om aat ä att utgåede frå e isigal x [],
Läs merProblem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Abrahamsso 7-6796 Prov i matematik IT, W, lärarprogrammet Evariabelaalys, hp 9-6-4 Skrivtid: : 5: Tillåta hjälpmedel: Mauella skrivdo Varje uppgift är värd maimalt
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )
Läs merLINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN INLEDNING LINJÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER E DE är lijär om de är lijär med avseede å de obekata fuktioe oc dess derivator
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a
POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio
Läs merb 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.
Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras
Läs merKompletterande kurslitteratur om serier
KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du
Läs mer= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.
Lösigsförslag till tetamesskrivig i Matematik IV, 5B0 Torsdage de 6 maj 005, kl 0800-00 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Hadbook Redovisa lösigara på ett sådat sätt att beräkigar och resoemag är lätta att
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Istitutioe KTH Lösig till tetamesskrivig på kurse Diskret Matematik, momet A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, de 5 jui 2009 kl 08.00-13.00. DEL I 1. (3p) Bestäm e lösig till de diofatiska
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-6, 29/10-8/11, = m n
Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Trasformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W --9 Sammafattig av föreläsigara - 6, 9/ - 8/,. De trigoometriska basfuktioera. Dea kurs hadlar i pricip om att uttrycka
Läs merSvar till tentan
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Prov i matematik ES, K, KadKemi, STS, X ENVARIABELANALYS 0-03- Svar till teta 0-03-. Del A ( x Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y = f (x =
Läs merTillämpad biomekanik, 5 poäng Plan rörelse, kinematik och kinetik
Pla rörelse Kiematik vid rotatio av stela kroppar Iledade kiematik för stela kroppar. För de två lijera, 1 och, i figure bredvid gäller att deras vikelpositioer, θ 1 och θ, kopplas ihop av ekvatioe Θ =
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma
Läs merDel A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.
Läs mer4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6
SF69 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 4 KARL JONSSON Iehåll. Egeskaper hos Fouriertrasforme. Kapitel 3: Z-Trasform.. Upp. 3.44a-b: Bestämig av Z-trasforme för olika talföljder.. Upp.
Läs merTentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 22 oktober 2018 kl
1 Matematiska Istitutioe, KTH Tetame SF1633, Differetialekvatioer I, de 22 oktober 2018 kl 08.00-13.00. Examiator: Pär Kurlberg OBS: Iga hjälpmedel är tillåta på tetamesskrivige. För full poäg krävs korrekta
Läs merFöreläsning 10: Kombinatorik
DD2458, Problemlösig och programmerig uder press Föreläsig 10: Kombiatorik Datum: 2009-11-18 Skribeter: Cecilia Roes, A-Soe Lidblom, Ollata Cuba Gylleste Föreläsare: Fredrik Niemelä 1 Delmägder E delmägd
Läs merTNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter
TNA00 Matematisk grudkurs Övigsuppgiter Iehåll: Uppgit Uppgit 8 Uppgit 9 6 Uppgit 7 5 Uppgit 55 60 Facit sid. 8-0 Summor, Biomialsatse, Iduktiosbevis Ivers uktio Logaritmer, Expoetialuktioer Trigoometri
Läs mer1. Rita följande tidssekvenser. 2. Givet tidssekvensen x n i nedanstående figur. Rita följande tidssekvenser.
Lasse Björkma 999 . Rita följade tidssekveser. a) δ e) u b) δ f) u u c) δ + δ g) u d) u h) u. Givet tidssekvese x i edaståede figur. Rita följade tidssekveser. a) x c) x b) x + 3 d) x 3. Givet tidssekvesera
Läs merTentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)
KTH-Matematik Tetameskrivig, 2008-0-0, kl. 4.00-9.00 SF625, Evariabelaalys för CITE(IT) och CMIEL(ME ) (7,5h) Prelimiära gräser. Registrerade å kurse SF625 får graderat betyg eligt skala A (högsta betyg),
Läs mer. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.
Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd familj av stokastiska variabler Xt arameter t är oftast me ite alltid e tidsvariabel rocesse kallas diskret om Xt är e diskret s v för varje
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för
Läs mervara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då
Läs merLinjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes
Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom
Läs merÖvning 3 - Kapitel 35
Övig 3 - Kapitel 35 7(1). Brytigsidex får vi frå Eq. 35-3: c = = v. 998 10 8 19. 10 8 ms ms = 156.. 6(4). (a) Frekvese för gult atriumljus är,998 10 589 10 5,09 10 (b) När ljuset färdas geom glas blir
Läs merGenomsnittligt sökdjup i binära sökträd
Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De
Läs merFunktionsteori Datorlaboration 1
Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg
Läs merCartesisk produkt. Multiplikationsprincipen Ï Ï Ï
Kombiatorik Kombiatorik hadlar oftast om att räka hur måga arragemag det fis av e viss typ. Sådaa kalkyler uderlättas om ma ka hitta relevata represetatioer av de ibladade arragemage ågot som illustreras
Läs merFöreläsning 3. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 3. Z-transformen. LTH 2015 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)
Sigalbeadlig i multimedia - ETI65 Föreläsig 3 Sigalbeadlig i multimedia - ETI65 Kapitel 3 Z-trasforme LT 5 Nedelo Grbic mtrl. frå Begt Madersso Departmet of Electrical ad Iformatio Tecolog Lud Uiversit
Läs merREGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:
CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal
Läs merTentamen i Elektronik, ESS010, del 2 den 14 dec 2009 klockan 14:00 19:00.
Tekiska Högskola i Lud Istitutioe för Elektroveteskap Tetame i Elektroik, ESS010, del 2 de 14 dec 2009 klocka 14:00 19:00. Uppgiftera i tetame ger totalt 60p. Uppgiftera är ite ordade på ågot speciellt
Läs merLinköpings tekniska högskola IKP/Mekaniksystem Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 3. strömningslära, miniräknare.
Exempeltetame 3 (OBS! De a te ta m e ga vs i a ku rse delvis bytte i eh å ll. Vis s a u ppgifter s om i te lä gre ä r a ktu ella h a r dä rför ta gits bort, vilket m edför a tt poä gs u m m a ä r < 50.
Läs merOm komplexa tal och funktioner
Om komplexa tal och fuktioer Aalys60 (Grudkurs) Istuderigsuppgifter Dessa övigar är det täkt du ska göra i aslutig till att du läser huvudtexte. De flesta av övigara har, om ite lösigar, så i varje fall
Läs merBorel-Cantellis sats och stora talens lag
Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi
Läs merUppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis
Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor 3.01 101. E talföljd defiieras geom formel a 8 + 6. a) Är det e rekursiv eller e
Läs mersom är styckvis kontinuerlig och har styckvis kontinuerlig derivatan. Notera att f (x)
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cosiusserier,siusserier SINUSSERIER OCH COSINUSSERIER I föregåede lektio (stecil om Fourierserier) hr vi vist hur m utvecklr e periodisk fuktio i e trigoometrisk serie K vi
Läs merTenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2
Teta i MVE5/MVE95, Komplex (matematisk) aalys, F och TM/Kf 6, 8.3-.3 Hjälpmedel: Formelblad som delas ut av tetamesvaktera Telefovakt: Mattias Leartsso, 3-535 Betygsgräser: -9 (U), -9 (3), 3-39 (4), 4-5
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs merSida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =.
Sida av MINSAKVADRAMEODEN Låt a a a a a a a a a vara ett ikosistet sste ( olösart sste dvs. ett sste so sakar lösig). Vi ka skriva ssteet på fore A (ss ) där a a... a a a... a A, och............. a p a
Läs merUPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Summor och itegraler UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR Om vi betratar e futio ff() som är otiuerlig i itervallet [aa, bb] då atar futioe sitt mista
Läs merEkvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp.
VÅGEKVATIONEN Vi betratar följade PDE u( u( x t, där > är e ostat, x, t (ev) Evatioe (ev) a besriva vågutbredig, trasversella svägigar i e sträg och adra fysialisa förlopp Radvärdesproblemet består av
Läs merRäkning med potensserier
Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Thomas Erladsso LÄSANVISNINGAR VECKA -5 BINOMIALSATSEN Ett uttryc av forme a + b allas ett biom eftersom det är summa av två moom. För uttrycet (a + b) gäller de
Läs merInduktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1
duktio LCB 2000 Ersätter Grimaldi 4. Rekursio och iduktio; ekla fall E talföljd a a 0 a a 2 ka aturligtvis defiieras geom att ma ager e explicit formel för uträkig av dess elemet, som till exempel () a
Läs mer3 Signaler och system i tidsplanet Övningar 3.1 Skissa följande signalers tidsförlopp i lämpligt tidsintervall
Sigaler och sstem i tidsplaet. Skissa följade sigalers tidsförlopp i lämpligt tidsitervall a) 0 6 [ ] b) [ ] c) 07 [ ] 0 [ ] d) u [ ] e) 06u[ ] u[ ] [ ] f) r [ ] 0 r[ ] r[ ] r[ 6] 0 r[ 8] g) 08 cos π h)
Läs merMultiplikationsprincipen
Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter
Läs merHöftledsdysplasi hos dansk-svensk gårdshund - Exempel på tavlan
Höftledsdysplasi hos dask-svesk gårdshud - Exempel på tavla Sjö A Sjö B Förekomst av parasitdrabbad örig i olika sjöar Exempel på tavla Sjö C Jämföra medelvärde hos kopplade stickprov Tio elitlöpare spriger
Läs merE F. pn-övergång. Ferminivåns temperaturberoende i n-dopade halvledare. egen ledning. störledning
ÖVRGÅNG De eklaste halvledarkomoete är diode. Diode består av e doad och e doad del. Vid kotaktyta mella och doat område ustår ett ire elektriskt fält.g.a. att elektroer i ledigsbadet å sida diffuderar
Läs merDuo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE 65.044.20-1
Duo HOME Duo OFFICE Programmerigs maual SE 65.044.20-1 INNEHÅLL Tekiska data Sida 2 Motage Sida 3-5 Programmerig Sida 6-11 Admiistrerig Sida 12-13 Hadhavade Sida 14-16 TEKNISKA DATA TEKNISK SPECIFIKATION
Läs merVisst kan man faktorisera x 4 + 1
Visst ka ma faktorisera + 1 Per-Eskil Persso Faktoriserig av polyomuttryck har alltid utgjort e svår del av algebra. Reda i slutet av grudskola möter elever i regel dea omvädig till multiplikatio med hjälp
Läs merRESTARITMETIKER. Avsnitt 4. När man adderar eller multiplicerar två tal som t ex
Avsitt 4 RESTARITMETIKER När ma adderar eller multiplicerar två tal som t ex 128 + 39..7 128 43..4 så bestämmer ma först de sista siffra. De operatioer som leder till resultatet kallas additio och multiplikatio
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs merDigital signalbehandling Fönsterfunktioner
Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist
Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa
Läs merStången: Cylindern: G :
mekaik I, 09084- A V H f mg G N B 3 d Frilägg cylider och de lätta ståge! Ståge påverkas av kraftparsmometet M samt kotaktkrafter i A och O. Cylider påverkas av kotaktkrafter i A och B samt tygdkrafte
Läs merInledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan
Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle
Läs merResultatet av kryssprodukten i exempel 2.9 ska vara följande: Det vill säga att lika med tecknet ska bytas mot ett plustecken.
Kommetarer till Christer Nybergs bok: Mekaik Statik Kommetarer kapitel 2 Sida 27 Resultatet av kryssprodukte i exempel 2.9 ska vara följade: F1 ( d cos β + h si β ) e z Det vill säga att lika med tecket
Läs merLeica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers
Leica Lio Noggraa, självavvägade pukt- och lijelasers Etablera, starta, klart! Med Leica Lio är alltig lodat och perfekt apassat Leica Lios projekterar lijer eller pukter med millimeterprecisio och låter
Läs merHambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)
1 Föreläsig 5/11 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10 2 8
Läs merTAMS15: SS1 Markovprocesser
TAMS15: SS1 Markovprocesser Joha Thim (joha.thim@liu.se) 21 ovember 218 Vad häder om vi i e Markovkedja har kotiuerlig tid istället för diskreta steg? Detta är ett specialfall av e kategori stokastiska
Läs merFUNKTIONSLÄRA. Christian Gottlieb
FUNKTIONSLÄRA Christia Gottlieb Matematiska istitutioe Stockholms uiversitet 2002 Iehåll 1. Komplexa tal och vektorer i plaet 1 Tillämpigar på trigoometriska formler 7 2. Geometriska serier 8 3. Biomialsatse
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grudkurs Tetame 07-0- - Lösigsskiss. a) Svar: x ], [ [, [. 4x x + 4x 4x (x + ) 0 0 x x + x + x + 0 //Teckeschema// x ], [ [, [ b) I : x I : x I : x x x + = 4 = 4 Lösig sakas x + x + =
Läs merI situationer där det inte råder någon oklarhet om vilken funktion f som avses, nöjer vi oss med att skriva c n istället för c n Hf L.
Fourierserien Fourierkoefficienter I avsnittet trigonometriska olynom har vi härlett en integralformel för koefficienterna i n c n  n W t när summan är lika med f HtL. Med integralformeln som utgångsunkt
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Att repetera.
Uppsala Uiversitet Matematisa Istitutioe Bo Styf rasformmetoder, 5 hp gyl, I, W, X 20-0-26 Att repetera. Vi samlar här e del material frå tidigare urser som a vara avädbart uder urses gåg. Serier. E serie
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade
Läs merHandbok i materialstyrning - Del F Prognostisering
Hadbok i materialstyrig - Del F Progostiserig F 71 Absoluta mått på progosfel I lagerstyrigssammahag ka progostiserig allmät defiieras som e bedömig av framtida efterfråga frå kuder. Eftersom det är e
Läs merOperativsystem - Baklås
Operativsystem - Baklås Mats Björkma 2017-02-01 Lärademål Vad är baklås? Villkor för baklås Strategier för att hatera baklås Operativsystem, Mats Björkma, MDH 2 Defiitio av baklås (boke 6.2) A set of processes
Läs mer7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter
7 Sjude lektioe 7. Digitala filter 7.. Flera svar Ett lijärt tidsivariat system ka karakteriseras med ett flertal svar, t.ex. impuls-, steg- och amplitudsvare. LTI-system ka ju äve i de flesta fall beskrivas
Läs merStat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT
Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Binomialsatsen och komplexa tal
TATM79: Föreläsig 3 Biomialsatse och omplexa tal Joha Thim augusti 016 1 Biomialsatse Ett miestric för att omma ihåg biomialoefficieter (åtmistoe för rimligt små är Pascals triagel: 0 1 1 1 1 1 1 3 1 3
Läs merTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08
TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:
Läs mervara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR FOURIERSERIER Deiitio (rigoometrisk serie Ett utryck v öljde orm [ cos( Ωx b si( Ω x är e trigoometrisk serie ] Amärkig: Först terme skriver vi som v prktisk skäl som vi örklrr
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod ör umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs mer= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0
TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd
Läs merBertrands postulat. Kjell Elfström
F r å g a L u d o m m a t e m a t i k Matematikcetrum Matematik NF Bertrads ostulat Kjell Elfström Bertrads ostulat är satse, som säger, att om > är ett heltal, så fis det ett rimtal, sådat att < < 2 2.
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl
TEN HF9 Tetame i Matematik, HF9, Fredag september, kl. 8.. Udervisade lärare: Fredrik ergholm, Elias Said, Joas Steholm Eamiator: rmi Halilovic Hjälpmedel: Edast utdelat formelblad miiräkare är ite tillåte
Läs merEkvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.
Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe VÄRMEEDNINGSEKVAIONEN Vi berakar följade PDE u x u x k (, ) (, ), < x (ekv), där k> är e kosa Ekvaioe (ekv) ka bl aa beskriva värmeledige i e u sav
Läs merHambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)
1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10
Läs mer8.1.1 Enkla systemelement: förstärkning, derivering, integration, dödtid
8. Frekvesaalys Vi har hittills studerat systems egeskaper både i tidsplaet (t.ex. stegsvar) och i Laplaceplaet (t.ex. stabilitet). I detta kapitel skall vi aalysera systemegeskaper i frekvesplaet geom
Läs merLösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =
Lösigar till tetamesskrivig i kompletterigskurs Lijär Algebra, SF605, de 0 jauari 20,kl 4.00-9.00. 3p Visa med hjälp av ett iduktiosbevis att m= mm + = +. Lösig: Formel är uppebarlige sa är = eftersom
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Liöpigs uiversitet Matematisa istitutioe Matemati och tillämpad matemati Kursod: TATA4 Provod: TEN Iga hjälpmedel är tillåta. Tetame i Evariabelaalys 4-4-3 l 4 9 Lösigara sall vara fullstädiga, välmotiverade,
Läs mer(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?
Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt
Läs merx 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x
Uppgift 1 a) Vi iför slackvariabler x 4, x 5 och x 6 och löser problemet med hjälp av simplexalgoritme. Z -2-1 1 0 0 0 0 x 4 1 1-1 1 0 0 20 x 5 2 1 1 0 1 0 30 x 6 1-1 2 0 0 1 10 x 1 blir igåede basvariabel
Läs merDesign mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator
Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()
Läs merFöreläsning 3. 732G04: Surveymetodik
Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall
Läs merTFM. Avdelningen för matematik Sundsvall Diskret analys. En studie av polynom och talföljder med tillämpningar i interpolation
C-UPPSATS 00:0 TFM. Avdelige för matematik MITTHÖGSKOLAN 85 70 Sudsvall 060-4 86 00 Diskret aalys E studie av polyom och talföljder med tillämpigar i iterpolatio p(x + ) p(x + ) p(x + 3) p(x + 4) d p (x
Läs mer