I situationer där det inte råder någon oklarhet om vilken funktion f som avses, nöjer vi oss med att skriva c n istället för c n Hf L.

Transkript

1 Fourierserien Fourierkoefficienter I avsnittet trigonometriska olynom har vi härlett en integralformel för koefficienterna i n c n  n W t när summan är lika med f HtL. Med integralformeln som utgångsunkt definieras nu begreen Fourierkoefficient, sektrum, sektraltransformen och Fourierserie. Betrakta ett ändligt intervall T samt en funktion f definierad å T. DEFINITION f :s Fourierkoefficienter c n Hf L, n œ Z definieras av c n Hf L = T f HtL T - n W t t, där W = T. I situationer där det inte råder någon oklarhet om vilken funktion f som avses, nöjer vi oss med att skriva c n istället för c n Hf L. c n Hf L är väldefinierad för alla funktioner f som gör att integralen existerar. I fortsättningen betraktar vi enbart f sådan att c n Hf L är väldefinierad. T.ex. är c n Hf L är väldefinierad om f är absolutintegrabel å T (dvs. Ÿ T f HtL t < ). Försök själv hitta ett f som gör c n Hf L odefinierad. Sektrum och sektraltransformen Antag att f reresenterar ljudet från någon ljudkälla. Storleken å Fourierkoefficienterna utgör då ett mått å tonstyrkorna hos de i ljudet ingående tonerna (grundton och övertoner). Funktionen n W # c n Hf L () beskriver därför ljudets frekvensinnehåll. Ifall f istället beskriver ett sammansatt ljus, utgör () en beskrivning av vilka färger som ingår (i ljuset) och hur starka de är. I fortsättningen kallar vi funktionen () för f :s sektrum eller sektrala bild oavsett om beskriver ljus, ljud eller något annat.

2 I fortsättningen kallar vi funktionen () för f :s sektrum eller sektrala bild oavsett om f beskriver ljus, ljud eller något annat. Och transformationen kallar vi för sektraltransformen. f # c n Hf L Från den signalteoretiska vokabulären kommer benämningarna tidsfunktionen för f och frekvensfunktion för f :s sektrum. Sektraltransformen avbildar alltså olika tidsfunktioner å deras resektive sektra. Fourierserien.nb f f :s sektrum Im Re 0 Eftersom integration är en lineär oeration är sektraltransformen detsamma. Således gäller c n Hl f + m gl l c n Hf L + m c n HgL Fourierserien Med hjäl av f :s sektrum, där f antas vara definierad å T, kan man bilda f :s s.k. Fourierserie c n  n W t, där W T = n Att bilda f :s Fourierserie motsvarar väsentligen att köra avbildningen f # c n baklänges, dvs. att återskaa f med hjäl av f :s sektrum. Den något försiktiga formuleringen kommer sig av att Fourierseriens

3 n något försiktiga formuleringen kommer sig av att Fourierseriens konvergens är ett delikat ämne. 3 Fourierserien.nb Notera att medan f bara behöver vara definierad å T, så blir Fourierserien en eriodisk funktion (med eriodlängd T ) definierad å hela R - om den konvergerar överallt. Och även om en Fourierserie inte är definierad å hela R.g.a. konvergensroblem, så är Fourierseriens artialsummor alltid definierade å hela R för varje funktion som har ett sektrum. Till sist, inget hindrar förstås att f från början är en eriodisk funktion med eriod T. Men även i detta fall så är det f :s uförande å intervallet T som bestämmer hur f :s Fourierserie kommer att se ut. Följande oulära notation f HtL ~ c n  n W t n används för att uttrycka att serien till höger om krumeluren "~" är Fourierserien för f, dvs. att seriens koefficienter är beräknade med hjäl av f :s värden. Observera däremot att notationen inte betyder att Fourierserien i högerledet konvergerar mot just f :s värden, eller ens konvergererar mot något överhuvudtaget. Se nedanför. EXEMPEL 5 Beräkna sektrum av cosh3 tl + sinh4 tl, t œ H-, L, samt resentera Fourierserien å exonentialform. Lösning Denna ugift är extremt lätt. Ty det givna uttrycket är redan en Fourierserie å trigonometrisk form, där alla Fourierkoefficienter utom två stycken är lika med 0. Låt oss med hjäl av Eulers formler omforma Fourierserien till exonentialform, som får blott fyra nollskilda termer. cosh3 tl + sinh4 tl 3  t + -3  t -  4  t +  -4  t Således är c -4 = - Â, c -3 =, c 3 =, c 4 =  övrigt. och c n = 0 för

4 övrigt. Fourierserien.nb 4 f f : s sektrum f : s Fourierserie Im Re EXEMPEL 6 Visa att sektrum av deltafunktionens restriktion till intervallet J-, N är lika med, samt undersök Fourierserien. Lösning Kalkylen är här mycket enkel. Således gäller c n HdL dhtl -Â n t t -Â n 0 - dhtl ~ H*L = + coshn tl n n > H * L a n = ReHc n L, b n = - ImHc n L d d : s sektrum HHHÂ nl L L t n=- Re - Den här Fourierserien har en enkel form, men ett komlicerat uförande. Fastän artialsummorna onekligen ser ut att närma sig något som liknar deltafunktionen (se högra bilden ovanför), så divergerar artialsummorna i varje unkt (vilket kan förklaras

5 5 Fourierserien.nb sig något som liknar deltafunktionen (se högra bilden ovanför), så divergerar artialsummorna i varje unkt (vilket kan förklaras med att termerna inte går mot noll med växande index). I heltalsunkterna divergerar de mot. I varje annan unkt divergerar de å ett helt annat sätt: De vibrerar mellan två ytterlighetsvärden! HHHÂ L L nl t = n= sinch995 tl sinch tl HHHÂ L L nl t = n= sinch997 tl sinch tl HHHÂ L L nl t = n= sinch999 tl sinch tl EXEMPEL 7 Bestäm sektrum av funktionen som är lika med t å

6 Fourierserien.nb 6 intervallet J-, N, samt undersök Fourierserien. Lösning c n = t -  n t t - =  t -  n t n -  -  n t n t - - =  t -  n t n - 0 =  - n 4 n c 0 Ÿ - t t   n 4 n =  H-Ln 4 n +  H-Ln 4 n =  H-Ln n Fourierserien blir således  H-L n n  n t H*L = - H-Ln n n¹ 0 n > 0 H * L a n = ReHc n L, b n = - ImHc n L sinhn tl I detta fall konvergerar artialsummorna i varje unkt. Visserligen går det inte med någon större fart (då seriens termer är av storleksordning ), men ändå. Vidare kan man konstatera n att i unkten har varje artialsumma värdet 0. Varför då? Det betyder att artialsummorna konvergerar mot 0 i unkten. Partialsummorna lägger sig således mitt emellan vänster- och högergränsvärdena f u J -N och f uj +N, om f u betecknar f :s - eriodiska utvidgning.

7 7 Fourierserien.nb eriodiska utvidgning. 0 H-L f f : s sektrum n sinhhh L nl tl - n= n Im Konvergensresultat Låt f vara den T - eriodiska utvidgningen av en funktion definierad å ett intervall T. Konvergenssats: Om f är kontinuerlig, så konvergerar f :s Fourierserie unktvis mot f HtL överallt. Dirichlets konvergenssats 837: Om f är styckvis kontinuerlig, så konvergerar f :s Fourierserie mot medelvärdet Hf Ht -L + f Ht +LL överallt. ANM. Med uttrycket "en funktion är styckvis kontinuerlig" menar vi att funktionen är kontinuerlig överallt utom möjligen i ändligt många unkter inom en eriod, och att de ensidiga gränsvärdena existerar ändligt i diskontinuitetsunkter. Kolmogorovs sats 96: Det finns f vars Fourierserie divergerar överallt fastän f :s integral över en eriod existerar ändligt. Carlesons sats 966: Om f är kontinuerlig, så konvergerar f :s Fourierserie mot f överallt utom möjligen å en s.k. nollmängd. Vill du läsa mer om Fourierseriers konvergens? Integralformler för a n, b n Vi har sett hur reella funktioners Fourierserier

8 kan omformas till c n  n W t n a 0 + Ha n coshn W tl + b n sinhn W tll n där sambanden mellan c n, c -n och a n, b n är Fourierserien.nb 8 c n = Ha n -  b n L, a n = ReHc n L, c -n = Ha n +  b n L b n = - ImHc n L Koefficienterna och a n, b n kan också beräknas direkt (dvs. utan att gå vägen över c n ). Man kan nämligen visa att (för reella f ) är a n = T f HtL coshn W tl t T b n = T f HtL sinhn W tl t T Härledningarna av ovanstående integralformler är inte svåra. LEDNING: a n = ReHc n L = T Ÿ T f HtL ReI - n W t tm, och b n = - ImHc n L = T Ÿ T f HtL ImI - n W t tm. Udda eller jämnt Antag (recis som ovanför) att vi betraktar Fourierserien till en reellvärd funktion. Om den eriodiska utvidgning av funktionen är jämn, så är Fourierserien en cosinusserie. För en udda utvidgning är Fourierserien en sinusserie. Försök själv visa att det är så. I bägge fallen kan koefficienterna beräknas med integraler över en halv eriod.

9 9 Fourierserien.nb Jämn utvidgning f HtL ~ a 0 + a n coshn W tl och a n 4 T T f HtL coshn W tl t 0 n () Udda utvidgning f HtL ~ b n sinhn W tl och b n 4 T T f HtL sinhn W tl t 0 n (3) Lägg särskilt märke till att Fourierseriens konstanta term i det udda fallet är lika med 0. () härleds nedanför, medan (3) lämnas som övning till läsaren. Härledning av (): Betrakta en jämn T -eriodisk utvidgning f. Vi ska visa att T 4 T Ÿ 0 f HtL coshn W tl t. Det är ingen inskränkning att antaga att T ligger symmetriskt runt origo. (Integralen av en eriodisk funktion över ett intervall vars längd är lika med eriodlängden är oberoende av intervallets lacering.) För ett jämnt f är rodukten f HtL sinhn W tl udda, eftersom sinus är udda. Och integralen av en udda funktion över ett symmetriskt intervall runt origo är noll. Det följer att T b n = f HtL sinhn W tl t = 0 T Ÿ - T vilket visar att f HtL ~ a 0 + n= a n coshn W tl. Vidare är

10 Vidare är T a k = T Ÿ - T f HtL coshk W tl t integrandd = 4 T T Ÿ 0 f HtL coshk W tl t. Fourierserien.nb 0 EXEMPEL 8 Beräkna sektrum och Fourierserien för den funktion å H-ê, êl som är lika med - å H-ê, 0L och lika med å H0, êl. Härled sedan med seriens hjäl 4 = Lösning Vi har här att göra med ett udda f. Därmed är Fourierserien en sinusserie. Låt oss beräkna sinuskoefficienterna direkt. b n 4 sinh n tl t 0 cosh n tl 4 - n 0 H - cosh nll n H - H-Ln L n 4 Således är b n = n, n udda, och därmed är 0, n jämn c n = - Â n, n udda 0, n jämn Det följer att 4 sinh H k + L tl f HtL ~ H k + L k 0 = 4 sinh tl + 4 sinh6 tl sinh0 tl sinh4 tl 7 +

11 Fourierserien.nb 7 4 Hsin HHH L H k+ll tll f f : s sektrum k=0 H k+l Im - - Nu återstår att härleda 4 = f :s Fourierserie uvisar viss släktska med ovanstående alternerande serie. Kunde vi bara få Fourierseriens termer att växla tecken, så skulle släktskaet bli ännu större. Få se, sinus växlar tecken då dess argumentet löer genom ê, 3 ê, 5 ê, 7 ê,. Det gäller således att välja t så att sinustermerna i 4 sinh tl + 4 sinh6 tl sinh0 tl sinh4 tl 7 +. får nämnda argument. För t = ê4 får vi 4 sinhêl + 4 sinh3 êl 4 sinh5 êl 4 sinh7 êl Voila!

12 Fourierserien.nb Av Dirichlets konvergenssats följer att Härav, f Hê4L = = EXEMPEL 9 Bestäm Fourierserien för funktionen som å H-, 0L är lika med, och å H0, L är lika med t. Beräkna sedan med dess hjäl Lösning På H-, 0L är f lika med, och å H0, L är f lika med t. Eftersom funktionen varken är jämn eller udda, kommer c n att bli ickereell. c n 0 - n t t + t - n t t - 0  n + H-Ln - n c 0 0 t + t t Fourierserien blir n¹ 0 H-L n - n +  n  n t H*L = n>0 H-L n - n coshn tl - n sinhn tl. H * L a n = ReHc n L, b n = - ImHc n L

13 3 Fourierserien.nb f f : s sektrum 5 n = H-L n - H L n + Â n HÂ nl t Im Re Till sist skall vi beräkna En titt å Fourierserien n>0 HH-L n - L coshn tl n - sinhn tl n visar att om vi evaluerar den i en unkt t där sinhn tl = 0 för alla n > 0, så får vi en serie med rätt storleksordning å termerna. Låt oss välja t = 0. Fourierseriens värde blir därvid H-L n - n n> ,3,5, n. Av Dirichlets konvergenssats följer att f H0 -L + f H0 +L = Medelvärdet i vänsterledet är lika med ê. Det följer att,3,5, n

14 Det följer att Fourierserien.nb 4 = 3 4 -,3,5, n 4 = 3 8 -,3,5, n,3,5, n 3