0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien."

Maj Jonasson
för 8 år sedan
Visningar:

1 Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter. Om du tycker tt dett låter lltför obestämt, så är det begripligt. Men fortsätt tt läs. Du kommer snrt tt förstå vd som vses. Betrkt intervllet H, L, och en funktion f definierd på nämnd intervll. f f :s Fourierserie c n Â n 2 p x där c n 1 -Â n 2 p f HxL x x n beskriver på sedvnligt sätt en -periodisk utvidgning v f. ednför rits en prtilsumm v Fourierserien. - Om mn skriver om f :s Fourierserie på trigonometrisk form, så får mn i llmänhet (bl.. för ovnstående vl v f ) en serie som innehåller både sinus- och cosinus-termer. Vi sk nu vis hur mn kn beskriv vrje f på intervllet H, L med såväl en ren sinusserie som med en ren cosinusserie. I själv verket skll vi presenter två olik sinusserier och två olik cosinusserier.

2 Sinus-serien För tt beskriv f på intervllet H, L med en sinusserie, behöver vi först utvidg f :s definitionsområde till intervllet H-, L, och gör utvidgningen så tt den utvidgde funktionen låt oss kll den f udd blir udd. Sinus- och cosinusserier.nb 2 f f udd f udd :s Fourierserie blir en sinusserie med period. f udd HxL ~ c n Â n p x b n sin n p x n- n1 där b n 1 fudd HxL sin n p - x x p f HxL sin n x (*) integrnden jämn (runt ) x - f udd :s Fourierserie Hmed 36 termerl Lägg märke till tt sinusserien är noll i ll punkter som är multipler v, bl.. i punktern och.

3 3 Sinus- och cosinusserier.nb Cosinus-serien Om mn istället vill beskriv f på H, L med en cosinusserie, utvidgr mn förstås f till en jämn funktion på H-, L. Låt f jämn beteckn den jämn utvidgningen. - f jämn Den jämn utvidgningens Fourierserie blir en cosinusserie med period. f jämn HxL ~ c n Â n p x 2 + n cos n p x n- n1 där n 1 fjämn HxL cos n p - x x p f HxL cos n x x - - f jämn :s Fourierserie Hmed 12 termerl Lägg märke till tt om mn deriverr cosinusserien termvis blir resulttet noll i ll punkter som är multipler v, bl.. i punktern och. AM Fstän Fourierserien lltid kn derivers termvis, så kn den - periodisk utvidgningen v f jämn råk skn derivt (se figuren).

4 Sinus- och cosinusserier.nb 4 Udd sinus- och cosinusserier Antg tt vi vill h en Fourierserie för f som är noll i höger ändpunkt, och så tt dess derivt är noll i vänster ändpunkt, eller omvänt så tt derivtn är noll i höger ändpunkt, och Fourierserien själv är noll i vänster dito. Utvidgningrn nednför v f från intervllet H, L till intervllet H-, L kommer tt ge oss de önskde Fourierseriern. Jg kllr de två utvidgningrn för f jämnudd resp. f uddjämn. f jämnudd - f jämnudd :s Fourierserie H36 termerl f uddjämn - f uddjämn :s Fourierserie H36 termerl Beteckningrn refererr till tt den övre utvidgningen är jämn (runt ) och udd runt smt tt den undre är udd (runt ) och jämn runt. Vid beräkningen v Fourierkoefficientern för nämnd utvidgningr spelr inte br ovnstående symmetriegenskper en väsentlig roll, utn också det fktum tt cosjn p x är udd runt för udd n, och jämn runt för jämnt n, smt tt det omvänd förhållndet råder för sinjn p x. Se figuren nednför. udd n jämn n cosj n p x sinj n p x Fourierserien för f jämnudd blir (se nednför) en s.k. udd cosinusserie, och den för f uddjämn blir en udd sinusserie. ("Udd" syftr på tt frekvensern är udd multiplr v grundfrekvensen.) Båd får perioden 4.

5 Fourierserien för f jämnudd blir (se nednför) en s.k. udd cosinusserie, och den för f uddjämn blir en udd sinusserie. ("Udd" syftr på tt 5 Sinus- och cosinusserier.nb frekvensern är udd multiplr v grundfrekvensen.) Båd får perioden 4. f ju jämn f jämnudd HxL ~ c n Â n 2 p 4 x 2 + n cos n p x n- n1 där n 1 fjämnudd HxL cos n p - x x Således hr vi 1 fjämnudd HxL cos n p x x H**L, n 2 k 2 Ÿ f HxL cosjh2 k + 1L (*) integrnden jämn (runt ) p x x (**) integrnden jämn (udd) runt för udd (jämn) n, och f jämnudd f på H, L Vis själv tt f jämnudd HxL ~ 2 k+1 cosjh2 k + 1L p x k där 2 k+1 Ÿ f HxL cosjh2 k + 1L p x x Smmnfttning f uddjämn HxL ~ b2 k+1 sinjh2 k + 1L p x k där b 2 k+1 Ÿ f HxL sinjh2 k + 1L p x x ednför presenters fem olik Fourierserier som beskriver smm funktion på intervllet H, L. Cosinusserien konvergerr snbbst. Vrför är det så?

6 Sinus- och cosinusserier.nb 6 15 HHÂ nl H2 pll x c n n bn sinj n 1 Hn pl x n cosj n k+1 cosj k Hn pl x HH2 k+1l pl x 15 b2 k+1 sinj k HH2 k+1l pl x De röd punkern och linjern ovnför vser tt illustrer serierns uppförnde i x och x. En röd punkt rits där seriens värde är noll, en röd linje där den termvis deriverde serien är noll. Sinusserien n b n sinjn p x hr en mycket enkel men viktig egenskp: Att vr noll både i x och i x. Och cosinusserien n n cosjn p x hr egenskpen tt den termvis deriverde serien är noll i x och i x (eftersom termerns derivtor är sinustermer). Den udd sinusserien n udd b n sinjn p x är noll då x - och det hr inget tt gör med tt n är udd. Dessutom är den termvis deriverde serien lik med noll då x. Här kommer villkoret om udd n in i bilden. Hur? Slutligen, den udd cosinusserien n udd n cosjn p x är noll då x, medn den termvis deriverde serien är noll då x.

7 7 Sinus- och cosinusserier.nb Slutligen, den udd cosinusserien n udd n cosjn p x är noll då x, medn den termvis deriverde serien är noll då x. EXEMPEL 9 Beskriv funktionen nednför med en Fourierserie som är noll i ändpunktern x och x p. coshxl, < x < p p Lösning Vi vill h en sinusserie n1 b n sinhn xl. Därför behöver vi utvidg den givn funktionen till en udd funktion f udd på intervllet H-p, pl, f udd och sedn beräkn f udd :s 2p-periodisk Fourierserie, som blir en sinusserie vrs koefficienter ges v b n HtL 1 p p fudd HxL sinhn xl x -p H**L n 1 2 p p coshxl sinhn xl x 2 HH-1L n +1L n p In 2 n > 1-1M Jämn integrnd. H**L coshxl sinhn xl 1 2 HsinHn x + xl - sinhx - n xll 1 HsinHHn + 1L xl + sinhhn - 1L xll. 2 Sinusserien blir således 2 HH-1L n + 1L n n2 p In 2-1M sinhn xl n jämn 2 4 n p In 2-1M sinhn xl

Relevanta dokument

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.