Matematiska uppgifter

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Matematiska uppgifter"

Bengt Jonsson
för 7 år sedan
Visningar:

1 Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v + u = Låt och b vr två tl med 0 och 0 b. Vis tt för ll x och y med 0 x y gäller tt b y b + ( b )x b (y + ( )x) b I en cirkel med rdien r drs kordn AB. Låt M vr mittpunkten på cirkelbågen AB och låt O vr cirkelns medelpunkt. ABC D är en rektngel där sidn CD tngerr cirkeln i M. Låt nu R beteckn ren v rektngeln ABC S, S ren v segmentet AB M och v vinkelm AOM. Beräkn lim v 0 S/R. (Svr: 2/3) Vis tt tlföljden cos, cos2, cos3, cos4,... inte är konvergent Vis tt om P(x) är ett reellt polynom med enkl reell nollställen så hr ekvtionen (P (x)) 2 P(x)P (x) = 0 ingen reell rot Tringlrn ABC och APQ i figuren är liksidig. ) Vis tt sträckorn CQ och BP är lik lång. 2) Bestäm vinkeln melln CQ och BP. B Q C A P (Svr: 60 ) Vis tt ekvtionen sin x = lg x hr precis tre rötter.

2 Årgång 59, 976 Element Mn genererr ett femsiffrigt slumptl. Bestäm snnolikheten tt det är v typen 3459, dvs siffrorn i tlet bildr en strängt växnde följd. (Svr: 0,00252) Det påstås tt Ctln 876 observerde tt med p 0 = 2 och p n+ = 2 p n för n =, 2, 3,... så fick hn primtl för n = 0,, 2, 3 och 4. Hn undrde då om p n är primtl för ll n. Hn klrde emellertid ldrig v tt undersök ens p 5 därför tt tlen i följden växer väldigt snbbt. Sålund innehåller p 5 ungefär 0 38 siffror. Kn du vis det? Vis tt heltlsdelen v (2 + 3) n är udd för ll positiv heltl n. (Med heltlsdelen v 6,567 mens heltlet 6.) Andr häftet Bestäm ll positiv heltlslösningr till ekvtionssystemet { 20x + 6y + z =200 (Svr: x = 5, y =, z = 94) x + y + z = Vis tt det finns tre rtionell tl x, y och z som inte är heltl men som gör x + y + z nd produkten x yz till heltl Ett klot med given rdie är inskrivet i en rk cirkulär kon. Vis tt när konens volym är miniml så är dess toppvinkel 2rcsin(/3) I prllellogrmmet ABCD är vinkeln A < 90. Vis tt AC ( AB + BC ) / 2 där PQ betecknr vståndet melln P och Q Låt och b vr hel tl sådn tt + b och 2 + b 2 båd är delbr med 7. Vis tt både och b är delbr med 7. Vis även tt påståendet är flskt om 7 byts mot Betrkt följnde egenskper för en funktion definierd för x 0 och med f (0) = 0:. f (x +( )y) f (x)+( )f (y) för ll med 0, dvs f är konvex 2. x f (x)/x är växnde, dvs f är stjärnformd 3. f (x + y) f (x) + f (y) för ll x 0 och y 0, dvs f är superdditiv. Vis tt egenskp. medför egenskp 2. och tt egenskp 2. medför egenskp 3. Funder också på om villkoret f (0) = 0 är väsentligt för slutstsen och om det är möjligt tt vänd på impliktionern. 2

3 Element Årgång 59, Tlföljdern, 2, 3,... och b, b 2, b 3,... är givn v rekursionsformlern n+ = 2 2 n och b n+ = 2 n b n smt begynnelsevärden = 3 och b = 2. Vis tt lim n n b n = Funktionen f är två gånger kontinuerligt deriverbr för x 0. Vidre är f (x) = + x 2 g (x) där g är en begränsd funktion. Vis tt g är deriverbr för x > 0 och tt xg (x) 0 då x 0, x > Funktionen f och dess derivtor f och f är kontinuerlig. Vidre gäller tt f och f 2 där g = mx t [0,] g (t). Vis tt f Vis tt det finns en kontinuerlig funktion f sådn tt 0 f (x)sin x dx = och 0 f (x)cos x dx = 2. Tredje häftet Vis tt om x + y + z = 0 så är determinnten x y z x 3 y 3 z 3 = Hur mång kort sk mn dr utn återläggning ur en vnlig kortlek för tt snnolikheten tt få exkt ett ess sk bli så stor som möjligt? (Svr: 3) Låt, b, c, d, e och f vr heltlen från och med till och med 6 i någon ordning. Tl om vilken bokstv som svrr mot vilken siffr om Du får red på tt + b < c + d och c + e < < f Vis tt en tringels höjder kn vr, 2 och 22, men inte 0, 20 och Funktionen f är kontinuerlig i en omgivning v och deriverbr i. Vis tt +h lim h 0 h 2 [f (t) f ()]dt = f () Du hr sex olik punkter. Drg ll möjlig smmnbindningslinjer melln två punkter med hjälp v en röd penn och en blå penn. Vis tt det måste finns minst en tringel vrs sidor hr smm färg. 3

4 Årgång 59, 976 Element Vi säger tt en tipsrd är smmnhängnde om det efter vrje följer eller x och efter vrje 2 följer x eller 2. Vis tt det finns [ ( 2 + ) 4 + ( 2 ) 4] olik smmnhängnde tipsrder med 2 3 mtcher Sätt f 0 (x) = e x och f n+ (x) = x f n (x) för n = 0,, 2,... Vis tt n=0 f n ()/n! = e e Funktionen f är två gånger deriverbr. Vidre gäller tt f är begränsd och lim x f (x) existerr. Vis tt f (x) 0 då x Bestäm summn v ll heltl n med n 300 som är delbr med 3, 5 eller 7. Fjärde häftet Lös ekvtionssystemet x + x 2 + x 3 = 0 x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 3 + x 4 + x 5 = 0... x 0 + x + x 2 = 0 x + x 2 + x = 0 x 2 + x + x 2 = 0 (Svr: x = x 4 = x 7 = x 0 = s, x 2 = x 5 = x 8 = x = t, x 3 = x 6 = x 9 = x 2 = s t där s och t är godtycklig tl) 305. En kvternion är tl v typen + bi + c j + dk, där, b, c och d är reell tl medn det för i, j och k gäller i = i = i j = j = j k = k = k i j = j i = k j k = k j = i ki = ik = j i 2 = j 2 = k 2 = Vis tt ( + i + j + k) 99 = Klixkillen Klle hr i Porsöfjärden hittt en flsk i vilken det fnns följnde beskrivning över en nedgrävd sktt: Gå från glgen till eken. Fortsätt en lik lång sträck vinkelrätt åt vänster. Stick ner en kniv i mrken. Gå tillbk till glgen. Gå från glgen till tllen. Fortsätt en lik lång sträck vinkelrätt åt höger. Sktten är nedgrävd mitt emelln Dig och kniven. Klle uppsöker pltsen finner hn till sin stor besvikelse tt glgen är försvunnen. Hn konsulterr då sin vän pitepilten Pelle 4

5 Element Årgång 59, 976 som kn räkn med vektorer. Med Pelles hjälp kommer Klle åt sktten. Hur? Bestäm ll tringlr med egenskpen tt smtlig sidolängder är heltl och tt ren är lik stor som omkretsen. (Svr: Det finns fem stycken nämligen de med sidolängder 6, 25 och 29; 7, 5 och 20; 9, 0 och 7; 5, 2 och 3 smt 6, 8 och 0) Vis tt det finns positiv rtionell tl och b med b smt och b ej heltl för vilk b = b Mn plcerr slumpmässigt tre punkter på en cirkelperiferi. Vis tt snnolikheten tt punktern ligger inom en hlvcirkel är 3/ Vis tt det för vrje vl v de positiv heltlen k och n finns ett ( positivt heltl m som är delbrt med k och som uppfyller tt k ) n + + k = m + + m. ( ) ( 3/4 / Låt P vr mtrisen och P n n = n ) 2 /4 3/4 2 n 22 n. Låt vidre P vr den mtris vrs element är = lim i j n n. Vis tt i j ( P = 2 ) ( ) /2 / =. /2 /2 ( ) ( b Ledning: Om P = så blir P b 2 ) 2b = b 2b 2 + b Låt k= k vr en serie med prtilsummorn s n = n, n =, 2, 3,... ) Vis tt om k > 0 för ll k så är k= ( k/s k ) divergent om k= k är divergent. b) Vis tt om vi tillåter godtyckligt tecken på k så finns det divergent serier k= k för vilk k= ( k/s k ) är konvergent Femtonspelet går som beknt ut på tt flytt femton kvdrtisk brickor vertiklt och horisontellt för tt därigenom uppnå en viss sifferföljd. En hel del siffermönster är dock omöjlig tt uppnå.vis exempelvis tt mn inte kn flytt så tt sifferföljden i vänstr figuren ändrs till den i den högr figuren

Relevanta dokument

Finaltävling den 20 november 2010

Finaltävling den 20 november 2010 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning