Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1"

Margareta Svensson
för 7 år sedan
Visningar:

1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert ger den n:te decimlen i tlet x + y? b. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert ger ett decimlbråk z = 0,c 1 c 2 c 3 c n som skiljer sig från x + y med mindre än en godtyckligt föreskriven felgräns ε (> 0). Rosenlicht: Kp 1 sid 12, 1 5 Lekt ion 2 Lektion 3 Övningr om heltlsritmetik: 1. Vis utifrån Penos xiom tt vrje tl n N, n 0, hr en närmste föregångre, dvs n = m + för något m N. 2. Vis utifrån Penos xiom och definitionen v ddition. tt 0 + n = n för ll n N b. tt n + m + = n + + m för ll n och m N c. kommuttiv lgen för ddition, dvs tt n + m = m + n för ll n och m N d. ssocitiv lgen för ddition, dvs. tt (n + m) + p = n + (m + p), för ll n, m och p N e. Annuleringslgen för ddition, dvs för ll x, y och z N gäller tt x + z = y + z x = y 3. Vis utifrån Penos xiom och definitionen v multipliktion. tt n 0 + = n, för ll n N, b. och med hjälp v kommuttiv och ssocitiv lgrn för ddition tt (n + m) p = (n p) + (m p) 1

2 4. Vis utgående från Penos xiom, definitionern och räknelgrn för ddition och multipliktion, smt definitionern v subtrktion och division,. n 0 = n, för ll n N, b. n + (m p) = (n + m) p c. n (m p) = (n m) + p d. n (m + p) = (n m) p e. 0 n = 0 för ll n N, n 0 och m 0 + = m för ll m N. f. n m (n m) p = g. n m + p d p ((n d) + (m p)) = (m d) 5. Om α och β Ζ. Vis utgående från räknelgrn för Z (Z1-9) tt. Om α = [(n, m)] n, m N, så är α = [(m, n)]. b. ( 1) α = α c. Låt subtrktion i Z definiers v α β = α + ( β). Vis tt dett, för de tl i Z som svrr mot de nturlig tlen N, överensstämmer med den subtrktion (D ) som nvändes i N. Övningr om funktionsbegreppet: Lektion 4 5 Rosenlicht: Kp 1, sid 12, F1. Vilk är funktionern v typ {1,2,3} {0,1} F2. Om Y består v två element och X en mängd (vilken som helst), försök beskriv vilk funktionern v X Y är med hjälp v begreppet delmängd. F3. Finns det någr funktioner v typ R resp. R? F4. Verifier den ssocitiv lgen för smmnsättningsopertionen F5.. Om f ο g och g ο f existerr, vd kn då sägs om funktionerns typer? b. Om f och g: R R, f(x) = e x och g(x) = x 2. Vilk är då (f ο g)(x) och (g ο f)(x). F6. Verifier tt om f : X Y så är f ο i X = f och i Y ο f = f. F7. Verifier tt om f : X Y är bijektion, så är f 1 ο f = i X och f ο f 1 = i Y. Och omvänt: Om g ο f = i X och f ο h = i Y för någr funktioner g och h, så är f en bijektion och g = h = f 1. F8. Verifier tt f: X Y är en injektion om och br om f ο g = f ο h g = h. Och tt f: X Y är en surjektion om och br om g ο f = h ο f g = h. (Underförstått tt f, g och h hr vlts så tt de ngivn smmnsättningrn är meningsfull.) Övningr om reltioner R1. Verifier tt reltionen G N N definierd v Gb ekvtionen x = b hr en lösning i N, är en ordningsreltion. Är N därigenom totlordnd? Finns det något tl i N som är mindre än ll ndr (dvs. ett n N för vilket n för ll N? Finns det något tl i N som är större än ll ndr (dvs. ett m N för vilket m för ll N? R2. Är reltionen vr (hel)syskon till symmetrisk? reflexiv? trnsitiv? Hur blir det för reltionern vr brn till min mmm och ppp resp. vr kusin till? 2

3 Övningr om grupper: G1. Verfier tt mängdern med räknesätten exemplen 1 9 i det utdelde ppperet om grupper verkligen är grupper resp. belsk grupper. G2. Vrför är (N, +) och (N, ) inte någr grupper? G3. Vrför är (Q, ) inte någon grupp? G4 Vrför är mängden v vektorer i R n (n 2) med räknesättet sklärprodukt inte någon grupp? G5. Vrför är vektorern i R 3 med räknesättet kryssprodukt inte någon grupp? G6. Låt M vr mängden som består v de båd tlen ±1. Om mn som räknesätt tr multipliktion, är (M, ) då en grupp? G7. Verifier tt (M, o) är en grupp om M är mängden v bijektioner X X och ο är smmnsättningsopertionen. Är gruppen belsk? G8. Låt X i föregående uppgift vr mängden {0, 1}. Vilk är bijektionern? Skriv upp gruppens multipliktionstbell. Är gruppen belsk? G9. Låt X i stället vr mängden {0, 1, 2}. Vilk är bijektionern? Skriv upp gruppens multipliktionstbell. Är gruppen belsk? Övningr om ringr: Ri1. Verifier tt påståenden i ex 1 4 ovn är riktig. Vilk v dess ringr är kommuttiv och vilk hr en enhet? Ri2. Är (N + ; ) en ring? Ri3. Är (Q + + ; ) en ring? Q + är mängden v de positiv rtionell tlen. Övningr om kroppr: K1. Verifier tt om M = { + b 2, och b Q}, så är (M, +, ) en kropp. K2. Verifier tt restklssern mod 2 med räknesätten ddition och multiplikion är en kropp. K3. Utgör restklssern mod 3, resp mod 4 med räknesätten ddition och multipliktion kroppr? K4 För vilk heltl n 2 utgör restklssern mod n med räknesätten ddition och multipliktion en kropp? Övningr om reell tl: AEE Övn Rosenlicht: Kp , (Ersätt ledningen i uppgift 11 med First find positive integer n such tht > n nd thn prove tht m > 1 + m n integers m. for ll 3

4 Lektion 6 L1. Skriv upp definitioner för + och λ, så tt (R n, R, +, ) är ett linjärt rum. (n står för något heltl 2.) L2 Verifer tt (R, R, +, ) är ett linjärt rum om + och står för den vnlig dditionen och multipliktionen. L3. Verifer tt ({0}, R, +, ) är ett linjärt rum om + och står för den vnlig dditionen och multipliktionen. (Dett trivil rum klls nollrummet.) L4. Låt L vr mängden v ll funktioner R R med ddition (f + g)(x) = def f(x) + g(x) och multipliktion med sklär: (λ f)(x) = def λ f(x). Verifier tt (L, R, +, ) är ett linjärt rum. L5. Låt P vr mängden v ll polynom R R. Verifier tt (P, R, +, ) är ett linjärt rum om + och definiers som i exempel 5 ovn. L6. Smm som föregående uppgift fst med följnde delmängder v P. {polynomen v grd n}, där n något nturligt tl. b. {polynomen v grd = n}, där n något nturligt tl. c. {ll polynom p för vilk p(π) = 0} d. {ll polynom p för vilk p(0) = π} e. {ll polynom p för vilk p (2) = 0, där p är p:s derivt L7. Låt (L, R, +, ) vr något linjärt rum och låt M L. Vis tt (M, R, +, ) är ett linjärt rum om och endst om följnde båd villkor är uppfylld: I. M och b M + b M, II. M och λ R λ M. Mn säger tt en vektor är en linjär kombintion v vektorern b 1, b 2,, b k om = λ 1 b 1 + λ 2 b λ k b k. Vidre: En mängd M v vektorer sägs vr linjärt oberoende om ingen v vektorern är en linjär kombintion v de övrig i M. Det mximl ntlet linjärt oberoende vektorer i L klls rummets dimension. (Om denn inte är ett nturligt tl så säger vi tt dimensionen är oändlig.) L8. Verifier tt ll vektorer i ett rum v dimension 1 kn skrivs på formen λ e där e är en på förhnd vld vektor 0. L9. Vilk är dimensionern på de linjär rummen i uppgiftern L1 - L6? L10 (Ett underligt(?) vektorrum) Låt R + = de positiv reell tlen och definier två räknesätt och : b = b (där och b R + ), λ = λ (där λ R och R + ) Verifier tt (R +, R,, ) är ett linjärt rum och tt dess dimension = 1. Två linjär rum (L, R, +, ) och (M, R, +, ) är isomorf ( i llt väsentligt lik ) om det finns en bijektion ϕ : L M sådn tt I. ϕ( + b) = ϕ() + ϕ(b) och II. ϕ(λ ) = λ ϕ(). (1 1 Bijektionen är komptibel med räknesätten. På motsvrnde sätt definierr mn isomorfi melln ndr lgebrisk strukturer (grupper ringr, kroppr ). 4

5 L11. Vis tt ll vektorer i ett linjärt rum v dimension 1 är isomorf. Ange någon isomorfi Det linjär rummet melln (R, R, +, ) och det linjär rummet (R +, R,, ) i uppg L10. Mer llmänt gäller tt ll rum med smm dimension n (n N) är isomorf. L12. Ange någon bijektion melln de linjär rummen i L2 och L10, komptibel med räknesätten. L13 Ange någon bijektion melln det linjär rummet (R, R, +, ) och rummet v pilr i plnet med räknesätten λ < 0 λ > 0 b λ λ + b λ är λ gånger längre än 5

Relevanta dokument

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba. Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.