I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI...

Transkript

1 Olik typer v tl Vi sk se hur vi utgående från de nturlig tlen kn konstruer de hel tlen, de rtionell tlen och de reell tlen och diskuter räknereglern som de uppfyller. Nturlig tl Vi påminner lite om nturlig tl från delkurs 1. För tt räkn upp, numrer, räkn ntl och jämför nvänds oft nturlig tl. Med vår vnlig decimlnottion (bsen 10) skrivs dess 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,.... Smm nturlig tl kn skrivs med ndr beteckningssystem. T.ex. kn de skrivs binärt, dvs. i bsen 2 (br två siffror tt memorer men längre svårläst tl): 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,... eller med romersk siffror (romrn hde ingen noll): I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI.... Dess tl kn nvänds för tt räkn upp föremål i ordning eller för tt räkn ntl föremål eller för tt jämför ntlet föremål i två olik smlingr v sådn. Om och b är nturlig tl kn de dders till ett nytt nturligt tl: + b är det totl ntlet föremål i två olik smlingr v föremål där den en hr stycken och den ndr b. Tlen och b kn också multiplicers till ett nytt nturligt tl: b är det totl ntlet föremål i olik smlingr där vrje smling innehåller b föremål vrder. Vid räkning med bokstäver skrivs b vnligen b. Följnde räknelgr gäller för ddition och multipliktion: R1 ( + b) + c = + (b + c) (ssocitivitet) (b)c = (bc) (ssocitivitet) R2 + b = b + (kommuttivitet) b = b (kommuttivitet) R3 0 + = (identitet) 1 = (identitet) R4 (b + c) = (b) + (c) = b + c (distributivitet) R5 b = 0 precis när något v eller b är = 0. 1

2 2 För tt illustrer distributiviteten kn mn rit figuren b c b+c I dett smmnhng nvänds konventionen tt om ddition och multipliktion förekommer i ett och smm uttryck sk multipliktion utförs före ddition. T.ex. sk betyd (3 5)+2 och inte 3(5+2) (vilket skulle innebär tt dditionen utfördes före multipliktionen). För tt svr på frågn Hur mycket mer är än b? kn mn nvänd subtrktion. Svret på frågn beteckns b. Här dyker självfllet problemet tt kn vr mindre än b upp. I så fll är subtrktionen inte möjlig så länge mn håller sig till enbrt nturlig tl. För tt svr på frågn Hur mång föremål innehåller vrje hög om föremål sk fördels lik i b högr? kn mn nvänd division. Svret på frågn beteckns /b, men division är självfllet inte lltid möjlig, så länge mn håller sig till enbrt nturlig tl. Divisionen går i llmänhet inte jämnt ut. Lite tlteori Vi betrktr de nturlig tlen, 0, 1, 2, 3, 4, 5,.... Övning 1: Lägg/rit 20 knppr (el. likn.) i jämn rder med lik mång knppr i vrje rd på så mång sätt du kn. Gör smm sk med 13 knppr. Ser du någon skillnd? Det vi, och minst brn, kn se är tt tjugo knppr kn läggs i en rd med tjugo knppr, i två rder med tio knppr i vrje, i fyr rder med fem i vrje, i fem rder med fyr i vrje, i tio rder med två i vrje och i tjugo rder med en end knpp i vrje rd. Dess uppdelningr motsvrr tt 20 kn skrivs som produkt v två tl på mång sätt: 20 = 1 20 = 2 10 = 4 5 = 5 4 = 10 2 = Det mtemtisk uttryckssättet för dett är tt tlen 2, 4, 5, och 10 är (äkt) delre till tlet 20. Nturligtvis är 1 och 20 också delre till 20 men det är inte så intressnt tt påpek eftersom det är så självklrt snt. Ett nnt sätt tt uttryck tt 2 10 = 20 är tt säg tt 20 är en multipel v 10. Nturligtvis är 20 också multipel v 2. De tretton knpprn kn däremot läggs ntingen i en eller i tretton rder. Tlet 13 hr ing äkt delre, de end sätten vi kn skriv 13 som produkt v två tl är 13 = 1 13 = Tlet 13 är ett primtl. Någr definitioner: Låt och b vr nturlig tl. Tlet är delbrt med b om och endst om det finns ett nturligt tl c så tt = b c. Vi säger då också tt b delr eller tt b är delre till, divisor till eller fktor i och tt är en multipel v b. Dett skrivs b.

3 3 Eftersom = 1 är är delre till sig självt och 1 är delre till ll tl. Om b är delre till där b 1 och b så klls b äkt delre till. Tl som är större än 1 och som sknr äkt delre klls primtl, tl som hr äkt delre klls smmnstt tl. Tlet 1 är en enhet och klls vrken primtl eller smmnstt. Anmärkning. Delbrhet kn även diskuters för negtiv heltl, men eventuell minustecken kn också behndls seprt. Tlet 13 är som redn nämnts ett primtl, tlet 20 kn skrivs som primtlsprodukt 20 = I den sist produkten kn fktorerns ordning vriers, bortsett från dett så är fktoruppdelningen unik. Tlet 2 är ett primtl, så är också 3. Multiplern v 2 och v 3 är smmnstt tl. Tlen 4, 6, 8, 10, 12,... och 6, 9, 12, 15, 18, 21,... är lltså smmnstt. Tlen 5, 7 och 11 är också primtl. Det är reltivt enkelt tt vgör om ett visst tl är ett primtl under förutsättning tt tlet inte är så särskilt stort. För tl mindre än 100 räcker det ju tt konstter om det finns i någon v multipliktionstbellern för tl mindre än 10, båd fktorern kn inte vr större än 9. Dessutom finns en del enkl tester för delbrhet vilket reducerr nsträngningen väsentligt. Övning 2: Delbrhetstester: Ett tl är delbrt med 2 omm (om och endst om) entlssiffrn är delbr med 2. Ett tl är delbrt med 3 omm siffersummn är delbr med 3. Ett tl är delbrt med 4 omm tlet bildt v de två sist siffrorn är delbrt med 4. Ett tl är delbrt med 5 omm entlssiffrn är 0 eller 5. Ett tl är delbrt med 6 omm det är delbrt med 2 och 3. Ett tl är delbrt med 8 omm tlet bildt v de tre sist siffrorn är delbrt med 8. Ett tl är delbrt med 9 omm siffersummn är delbr med 9. Ett tl är delbrt med 11 omm den lternernde siffersummn är delbr med 11. Vi ser nu enkelt tt 97 inte är delbrt med 2, 3 eller 5. Tlet 7 är ju vrken jämnt eller 5, siffersummn = 16 är inte delbr med 3. Då kn 97 inte heller vr delbrt med 4, 6, 8 eller 9. 7-ns multipliktionstbell innehåller 91 och 98 men inte 97. Således är 97 ett primtl, det end melln 90 och 100. För stor tl är det däremot tidsödnde tt vgör om tlet är ett primtl eller ej, till och med om det är ett dtorprogrm som genomför undersökningen. Frågor om primtl ställdes redn v grekern, fler v Euklides böcker behndlde tlteori, den nionde behndlde primtl. Intresset för primtl är minst lik stort nuförtiden, men v helt ny skäl: kryptering. Tg två stor primtl, ders produkt är då ett mycket stort tl. Det är därför väldigt svårt tt list ut vilk tl som multiplicerts. Dett är bsen för RSAkryptot; så länge ingen snbb metod för fktorisering finns kn mn utn risk publicer denn produkt och krypteringsmetoden utn tt det krypterde meddelndet kn forcers, för dekrypteringsmetoden är br känd för den som vet fktorern och ingen utom mottgren behöver vet dem.

4 4 En v de stser som Euklides presenterde är Aritmetikens fundmentlsts: Vrje nturligt tl som är större än 1 kn skrivs som en produkt v primtl. Bortsett från ordningsföljden är primtlsfktorern entydigt bestämd. En nnn är stsen som säger tt det finns hur stor primtl som helst och lltså tt det inte heller br finns ändligt mång. Sts Det finns oändligt mång primtl. Bevis Antg tt det finns ändligt mång primtl. Bild produkten v ll dess och lägg till 1. Det tl som då erhålls är större än ll primtlen. Det är dessutom inte delbrt med något v primtlen. Då måste det vr ett primtl vilket nturligtvis är orimligt. Produkten måste således vr omöjlig tt bild, ntlet primtl kn inte vr ändligt. Det är lltså omöjligt tt ge en list över ll primtl, men mn kn nturligtvis ge en list v ll primtl upp till ett visst tl. Denn list kn sedn ligg till grund då ett visst tl sk skrivs som produkt v primtl. Vi konstterde ovn tt det för tt vgör om ett tl mindre än 100 är ett primtl räcker tt konstter om tlet finns i någon v multipliktionstbellern för tl mindre än 10. Generellt gäller tt ett tl n är ett primtl om det inte är multipel v något tl mindre än n. En konsekvens v Aritmetikens fundmentlsts är tt det räcker tt konstter tt det inte är multipel v något mindre primtl. Om vi t.ex. vill undersök om tlet är ett primtl så kn vi undersök om det är multipel v något primtl mindre än 200. ( = 200.) Den enkl observtionen tt primtl är tl som inte är multipler v mindre primtl ligger bkom det som klls Ertosthenes primtlssåll från c 230 fvt, en metod för tt bestämm ll primtl som är mindre än ett visst tl. Jg åskådliggör metoden genom tt bestämm ll primtl mindre än 50. Skriv upp ll tl 2, 3, 4, 5,..., Stryk ll multipler v 2 (utom 2) / 5 6/ 7 8/ Stryk ll multipler v 3 (utom 3) / 5 6/ 7 8/ 9/ Näst ostrukn tl i listn är 5, stryk ll multipler v 5 (utom 5) / 5 6/ 7 8/ 9/

5 5 Vi hr nu nått primtlet 7. Vi upprepr proceduren (endst 49 är inte redn struket) / 5 6/ 7 8/ 9/ Eftersom 11 är större än 50 så är vi sedn klr; ll nu ostrukn tl är primtl. Övning 3: Bestäm ll primtl mindre än 200. (Denn övning förekommer i en nu nvänd lärobok för åk 5, dock utn förklrnde text utöver procedurbeskrivningen.) Övning 4: Avgör om är ett primtl. Övning 5: Skriv följnde tl som en produkt v primtl: 102, 111, 323, 519, 254, 1001, 1111, Hel tl Ett enkelt sätt tt hnter problemet med subtrktion är tt utöver de nturlig tlen tänk sig tt mn även till vrje sådnt tl hr en negtiv motsvrighet, med undntget tt 0 = 0. Mn får då heltlen, som i decimlnottion skrivs: 0, ±1, ±2, ±3, ±..., ±9, ±10, ±11,.... Utvidgningen v tlsystemet från nturlig till hel tl görs lltså för tt kunn hnter subtrktion utn restriktioner. Additionen v de ny och gml tlen definiers nu om och b är nturlig tl som { b om b + ( b) = (b ) om < b ( ) + ( b) = ( + b). Subtrktionen b kn nu skrivs + ( b). Lägg märke till vändningen: från tt h uppfttts som en särskild opertion hr nu subtrktionen blivit ett specilfll v ddition. De tidigre räknelgrn för ddition fortsätter nu tt gäll även för ddition v heltl. (Att verkligen kontroller dem är gnsk jobbigt!) Utöver dess hr vi nu också R6 + ( ) = 0 för vrje nturligt tl. klls dditiv invers till, men R6 säger också tt är dditiv invers till och vi skriver därför även ( ) =. Dett betyder tt vrje heltl x hr en dditiv invers x. Det går tt bevis räknelgrn för heltl från definitionen och räknelgrn för nturlig tl.

6 6 Vi nöjer oss med tt verifier den ssocitiv lgen för tlen 5, 6 och 13, dvs. tt 5 + (6 + ( 13)) = (5 + 6) + ( 13). För tt beräkn vänsterledet observerr vi först tt 6 + ( 13) = (13 6) = 7 och får tt 5 + (6 + ( 13)) = 5 + ( 7) = (7 5) = 2. För högerledet gäller (5 + 6) + ( 13) = 11 + ( 13) = (13 11) = 2, så den ssocitiv lgen stämmer i det här fllet. Multipliktion v de ny och gml tlen definiers nu om och b är nturlig tl som ( b) = (b) ( )b = (b) ( )( b) = b. Motiveringen till den först definitionen är gnsk enkel: om en skuld b multiplicers med blir den ny skulden b. Den ndr kn motivers med tt om ett kpitl bestående v ett (stort) ntl poster vrder om b kronor minsks med poster, så görs en förlust v b kronor. En liknnde motivering till den tredje skulle kunn vr tt om en skuld bestående v ett (stort) ntl poster vrder om b kronor minsks med poster, så görs en vinst v b kronor. En mer mtemtisk motivering till den tredje är tt den är en nödvändighet, om mn vill tt multipliktion v heltl lltid sk vr möjlig, och tt smm räknelgr som tidigre sk fortsätt tt gäll. Vi hr tt 0 = 0 = (b b) = (b + ( b)) = b + ( b), så ( b) är dditiv invers till b, dvs. ( b) = b. På liknnde sätt hr mn ( ) b = b. Byter vi mot i klkylen ovn får vi 0 = ( ) b + ( ) ( b) = b + ( ) ( b), så ( ) ( b) är dditiv invers till b, dvs. är lik med ( b), dvs. b. Denn förklring till vrför ( 2)( 3) sk sätts till 6 hänvisr inte till intuitionen. Motiveringen är i stället tt det måste vr så för tt viss räknelgr sk gäll. De tidigre räknelgrn för multipliktion v nturlig tl fortsätter nu tt gäll även för multipliktion v heltl. Likså fortsätter distributiviteten tt gäll. Efter utvidgning från de nturlig tlen till de hel tlen med tillhörnde räkneopertioner är lltså subtrktion inte br lltid möjlig, utn rent v en särskild form v ddition. Ett exempel på nyttn v de hel tlen är tt mn kn förenkl uppgifter som br hndlr om nturlig tl. Om vi t.ex. sk räkn ut i huvudet kn vi resoner så här = (20 1) (20 1) = (20 + ( 1)) 2 = (kvdreringsregeln) = ( 1) + ( 1) 2 = = 361.

7 7 Rtionell tl Även om nu problemet med subtrktion är löst återstår problemet tt division inte lltid är möjlig. T.ex. är det inte möjligt tt del upp en skuld på 5 odelbr enheter i 2 lik stor poster. Divisionsproblemet är minst lik fundmentlt som subtrktionsproblemet. Inte minst för brn är problemet tt del rättvist på en given kvntitet förmodligen mer konkret och viktigt än det knske mer bstrkt skuldbegreppet. För tt lös divisionsproblemet kn vi gör på ett liknnde sätt som när vi införde negtiv (hel)tl. Till vrje positivt heltl inför vi ett tl 1 1 (skrivs även 1/) och tnken är tt sk vr 1. Speciellt gäller då 1 1 = 1. För tt konkretiser det kn vi tänk oss tt är positivt och tt mn delr en given sträck (v längd 1) i lik stor delr, där vr och en v delrn då får längd 1. Om då b är ett nturligt tl betyder b längden v b stycken sådn sträckor. Vi hr lltså b = b 1 och b 1 = b 1 1 = b 1 = b. 1/ b/ 1 Mn kn också konkretiser dett genom tt del in en cirkel i lik stor tårtbitr. Tlet 2 3 svrr mot tt men delr in cirkeln i tre tårtbitr och sedn tr två v dess. Om mn i stället delr in cirkeln i sex tårtbitr blir dess bitr hälften så stor och mn behöver t fyr sådn bitr för tt få lik mycket tårt. Dett motiverr tt 2 3 = 4 6. För godtycklig positiv heltl får vi med smm resonomng tt cb R7 c = b. För om en given sträck dels i c sträckor och mn lägger cb sådn i följd, får mn smm sträck som om mn delr den givn sträckn i delr och lägger b v dem i följd. De rtionell tlen består v ll kvoter b där och b är heltl och 0. Tlet b klls här täljre och tlet för nämnre. Tlet b klls också ett rtionellt bråk. Observer tt ett och smm rtionell tl kn skrivs på oändligt mång olik sätt eftersom b = cb c för vrje heltl c som inte är 0. (Mn kn säg tt det finns oändligt mång nmn på ett och smm rtionell tl.) Blnd nnt kn mn lltid skriv rtionell tl med positiv nämnre (välj c = 1 om är negtivt). Om nämnrn är lik definiers ddition v rtionell tl v b + b = b + b ; om vi hr b stycken 1 och lägger till b stycken 1 så hr vi totlt b + b stycken 1 (med uppenbr tolkning om b och/eller b är negtivt). I det llmänn fllet definiers dditionen v och vi ser tt om = så är dett lik med b + b = b + b b + b = (b + b ) = b + b

8 8 som förut. Multipliktion definiers v Speciellt gäller (om = 1) b b = bb b b = bb Det är lättst tt motiver dess definitioner om vi håller oss till fllet där täljrn är 0 och nämnrn är > 0. Om nämnrn är lik är det lätt tt förstå den först räknelgen. Vänsterledet i = 5 6 betyder tt mn hr tre sjättedelstårtor och två sjättedelstårtor och dett blir detsmm som fem sjättedelstårtor. För tt dder tl med olik nämnre kn vi först förläng b b och så tt tlen får smm nämnre: b = b och b = b. Det först tlet betyder då längden v b stycken sträckor v längd 1 medn det ndr betyder längden v b sådn sträckor. Additionen b + b betyder då lltså längden v b + b sådn sträckor, dvs b +b. Oft finns förstås en gemensm multipel till och som är mindre än 2, t.ex = = Denn gång går dessutom slutresulttet tt förkort trots tt vi nvände minst gemensmm nämnren; resulttet är lik med För tt motiver multipliktionen kn vi tänk oss tt vi hr en kvdrt med given sid (v längd 1). Vi delr in bsen i och höjden i lik lång delr. Vi får då ett rutmönster i kvdrten bestående v stycken lik stor rektnglr. Vrje rektngel är lltså en 1 -del v kvdrten. b b kn nu tolks som tt vi sk h bb sådn rektnglr, dvs bb delr v den ursprunglig kvdrten Om vi t.ex. sk beräkn delr vi in bsen i fem lik stor delr med längden 1 5 och höjden i tio lik stor delr med höjden De små rektnglrn i kvdrten får ren Multipliktionen svrr nu mot ren v 3 7 sådn rektnglr och blir lltså Observer tt i räkningr kn det vr en fördel tt inte genst multiplicer ihop för tt 4 inte miss möjlig förkortningr, t.ex = = = Dett exempel illustrerr också tt vi vid multipliktion v bråk kn förkort det en bråkets täljre mot det ndr bråkets nämnre. Rtionell tl som kn skrivs 1 är, som redn påpekts, lik med (där är ett heltl). På så vis är de vnlig heltlen med i systemet v rtionell tl. För denn utvidgning v systemet v heltl till systemet v rtionell tl och tillhörnde ddition och multipliktion fortsätter de tidigre räknelgrn tt gäll. Vi hr dessutom (om och b är 0)

9 9 b R8 = 1 (multipliktiv invers). b För de rtionell tlen är både subtrktion och division (med tl 0) lltid möjlig och i själv verket specilfll v ddition respektive multipliktion. För subtrktion hr vi b c d = b + c d + b( c) = = d bd d bc. bd Division v b med c d 0 kn uppftts som tt vi sk lös ekvtionen c d x = b. Dett kn vi gör genom tt multiplicer båd leden med den multipliktiv inversen till c d, lltså med d c : d c c d x = d c b 1 x = d cb x = d bc. Mn kn också ställ upp räkningrn ut så här: b c d = { Förlängning med d c } = b c c d d d c = d bc cd dc = d bc 1 = d bc = b d c = Division med c d 0 är lltså smm sk som multipliktion med d c. De reell tlen Det mest centrl systemet v tl i mtemtiken är de reell tlen. Liksom systemen v nturlig, hel och rtionell tl hr det uppstått från primitiv mänsklig ktiviteter i dett fll från mätning och jämförelse v olik typer v storheter. Det kn till exempel vr fråg om mätning v längder och vstånd och vägning v vikter. Jämförelse v två mått A och B på en storhet (t.ex. längd) kn i sin enklste vrint gå ut på tt vgör om A är större än B eller inte. Mn kn säg tt det här är fråg om en kvlittiv jämförelse. Lite mer vncert är tt gör en kvntittiv jämförelse: Hur mycket större än B är A?. För tt besvr denn typ v frågor utgår mänskligheten från sklor. När en enhet på en sådn skl fstlgts blir skln en skl v tl. Det är förstås välbeknt men nmärkningsvärt, tt en end typ v skl v tl kn nvänds för tt beskriv en stor vrition v kvlittiv jämförelser: vstånd, vikt, längd, tempertur, tid osv. Den skl v tl, de reell tlen, vi nvänder oss v brukr illustrers med en rät linje med ett vlt origo (nollpunkt), en bestämd enhetspunkt och en (positiv) riktning. Mn understryker lltså de reell tlens nvändning som vståndsskl.

10 Att denn skl är så fundmentl beror frmför llt på tt den är fullständig. Om mn tänkter sig tt mn illustrerr de rtionell tlen på en längdskl på smm sätt, kommer figuren tt se likdn ut som den reell skln. Melln två rtionell tl vilk som helst finns det nämligen oändligt mång ndr rtionell tl. Ändå finns det luckor i den rtionell tllinjen. En vgörnde historisk upptäckt vr tt längden v digonlen i en kvdrt med sidn 1 inte kn mäts med ett rtionellt tl. (Enligt Pythgors sts är digonlens längd 2 och det är gnsk lätt tt se tt det inte finns något rtionellt tl /b vrs kvdrt är 2.) Fullständigheten hos de reell tlen grnterr tt den reell tllinjen inte hr någr sådn luckor. När två föremål läggs i följd eller sid vid sid, är storleken v denn kombintion summn v de två föremålens storlek, ovsett om det gäller ders vikt eller volym. Geometriskt består ddition v tt lägg sträckor (eventuellt med tecken eller riktning) i följd längs en linje. Denn geometrisk opertion motsvrr (ritmetisk) ddition v reell tl. Mått på olik typer v storheter kn i först omgången lätt multiplicers med heltl för tt multiplicer vikten v ett föremål med 3 kn mn t den gemensmm vikten v tre sådn föremål. Multipliktion med rtionell tl kn sedn görs med uppdelning i lik tung delr. Multipliktion med ett reellt tl kn sedn görs med hänvisning till de reell tlens kontinuitet. (Avgörnde är tt det till ett reellt tl lltid finns rtionell tl godtyckligt när det. Mer om dett nedn.) Prktisk sätt tt dder och multiplicer mått v storheter leder till (ritmetisk) ddition och multipliktion v reell tl. Som påpekts ovn kn dditionen illustrers med (riktde) sträckor som läggs knt i knt. Med hjälp v likformighet kn mn ge en geometrisk illustrtion till multipliktion v reell tl. xy y 0 1 x Lägg två reell tllinjer i plnet så tt de skär vrndr i ett gemensmt origo. Mrker x på den en linjen och y på den ndr. Drg sedn en linje dels genom 1 på den tllinje där

11 11 x mrkerts, och dels genom y på den ndr linjen (den streckde linjen till vänster i figuren ovn). Drg sedn en linje prllell med denn fst nu genom x (den streckde linjen till höger i figuren ovn). Denn ny linje skär då tllinjen med y i en punkt z. I figuren hr det nu uppstått två likformig tringlr (den en inuti den ndr). Likformigheten ger z/x = y/1 eller z = xy. Liksom för det rtionell tlsystemet är subtrktion och division lltid möjlig och specilfll v ddition och multipliktion. Att subtrher y från x är smm sk som tt dder x och y, x y = x + ( y). Att divider x med y är smm sk som tt multiplicer x med 1/y, x/y = x (1/y). (Tänk igenom hur mn kn konstruer 1/y.) Än så länge hr vi inte skrivit upp de reell tlen med siffror på smm sätt som vi gjort med de nturlig, hel och rtionell tlen. Möjligheten tt gör dett bygger på egenskpen tt det till ett reellt tl r finns rtionell tl som ligger godtyckligt när r (även om r inte självt är ett rtionellt tl). 1+4/10 1+5/10 1 r 2 1 r 2 1+4/10+5/ /10+6/ /10 r 1+5/10 För tt inse dett när r > 0 väljer vi först det störst heltlet r. Då ligger r melln och + 1 d.v.s. r < + 1. Eftersom vi är vn tt rbet med nmn på tl i bsen 10 delr vi in sträckn från till + 1 i 10 lik delr vrder v längd 1/10. Vi väljer det störst heltl 1 så tt + 1 /10 r. Då ligger r melln + 1 /10 och + ( 1 + 1)/10: + 1 /10 r < + ( 1 + 1)/10. Vi lägger märke till tt 1 är ett heltl melln 0 och 9, och fortsätter nu med tt del upp sträckn melln + 1 /10 och + ( 1 + 1)/10 i 10 lik delr vrder v längd 1/100 och väljer det störst heltl 2 så tt + 1 / /100 r och lägger märke till tt 2 är ett heltl melln 0 och 9. Proceduren kn uppreps i evighet och vi får tt r = + 1 / / /1000 +, där är ett heltl och 1, 2, 3,... är heltl melln 0 och 9. Vårt vnlig sätt tt skriv dett är r =, Vi säger tt vi skrivit (eller utvecklt) r som ett (oändligt) decimltl (decimlbråk). Det är viktigt tt förstå tt utvecklingen i llmänhet inte slutr med en oändlig sekvens v nollor. Låt oss se hur dett fungerr i ett konkret exempel, nämligen tt bestämm börjn på decimlutvecklingen v 2. Det störst heltlet som är mindre än 2 är 1 eftersom 1 2 = 1 < 2 och 2 2 = 4 > 2. Så i utvecklingen 2 =,

12 12 är lltså = 1. För tt bestämm den först decimlen observerr vi tt 1, 4 2 = 1, 96 < 2 och 1, 5 2 = 2, 25 > 2 så 1 = 4. Den ndr decimlen blir 1 eftersom 1, 41 2 = 1, 9881 < 2 och 1, 42 2 = 2, 0164 > 2. Så decimlutvecklingen v 2 börjr 2 = 1, Genom tt fortsätt på dett sätt kn vi räkn ut fler och fler decimler till 2. Min räknedos ger 2 = 1, Det går tt räkn ut ännu fler decimler och det finns ingen gräns för hur mång decimler mn kn räkn ut. Däremot går det inte tt räkn ut ll decimlern i det oändlig decimlbråket för 2. Eftersom de reell tlen i llmänhet hr en oändlig decimlbråksutveckling fungerr inte vår vnlig lgoritmer för ddition och multipliktion (v nturlig tl) för reell tl; vi hr ingenstns tt börj. I prktiken klrr vi (och räknedosor och dtorer) dett genom tt räkn reell tl br med ett visst ntl decimlers noggrnhet. Nckdelen med dett är tt då gäller inte de vnlig räknelgrn längre. Om vi t.ex. bestämmer oss för tt konsekvent räkn enbrt med tre decimler hr vi men (8000 0, 031) 0, 001 = 248, 000 0, 001 = 0, (0, 031 0, 001) = , 000 = 0, 000. De rtionell tlen finns ju med blnd de reell och det är nturligt tt undr vilk decimlutvecklingr som ger rtionell tl. En decimlutveckling är vslutd om den slutr med en oändlig sekvens v nollor. Normlt skriver vi förstås inte ut dess utn skriver t.ex. 2, Vrje reellt tl r med vslutd decimlutveckling är rtionellt, eftersom det blir ett heltl efter multipliktion med 10 n där n är ntlet decimler. Om t.ex. r = 2, 3245 är 10 4 r = och r = 23245/ En decimlutveckling är periodisk om utvecklingen slutr med en oändlig upprepning v en ändlig sekvens v siffror. T.ex. är 52, periodiskt eftersom utvecklingen vsluts med en evig uppräkning v 123. Ett reellt tl r med periodisk decimlutveckling är också rtionellt. Efter multipliktion med 10 k där k är ntlet siffror i perioden vsluts utvecklingen v r och 10 k r på smm vis.därför hr 10 k r r = (10 k 1)r vslutd decimlutveckling och är lltså rtionellt. Division med 10 k 1 ger sedn tt r är en kvot melln två heltl. Om t.ex. r = 52, gäller 10 3 r = 52123, r = 52, så tt och 999r = (10 3 1)r = = r = 52071/999 = 17357/333 (fullständigt förkortt vis det).

13 13 Å ndr sidn ger en decimlutveckling v ett rtionellt tl (enligt den divisionslgoritm vi känner till) lltid ntigen ett vslutt eller ett periodiskt decimlbråk. Om vi t.ex. utför divisionslgoritmen för /b sk vi successivt utför divisioner med b på tl som vi efter ett tg får genom tt multiplicer divisionsrester med 10. Det finns br ett ändligt ntl möjlig rester vid division med b så efter ett tg kommer ntingen resten 0, och decimlutvecklingen vsluts, eller en rest som förekommit förut, och decimlutvecklingen uppreps. Följnde räkning illustrerr decimlutvecklingen v 7/11: 0, , Nu gäller det tt del 7 med 11, dvs. smm problem som vi strtde med. Räkningrn kommer därför tt uppreps och vi får 7 = 0, Lägg dock märke till tt 7/11 är ett tl i sig och inte en uppgift tt beräkn. Mn nvänder också beteckningen x/y för kvoten melln två reell tl. Potensräkning Om b är ett positivt heltl och är vilket tl som helst, så betyder b, multiplicert med sig själv b gånger, dvs b =.... T ex är 10 2 = 100 och 2 10 = Ur denn definition följer Potenslgrn: b c = b+c, ( b ) c = b c och c b c = (b) c vilket mn inser genom tt räkn ntlet fktorer i båd leden. T ex är = 10 5, (2 3 ) 2 = 2 6 och = Mn utvidgr sedn definitionen, så tt b kn vr vilket heltl som helst, genom tt sätt (om inte är 0!) 0 = 1 och b = 1 b. Så måste mn gör för tt potenslgrn fortfrnde sk gäll. (Koll tt de gör det!) Mn kn också definier b om är positivt och b är rtionellt (dvs ett bråktl) genom tt låt 1 q vr den q:te roten ur och sedn p q = ( 1 q ) p. T ex är = 5, = 4 = 2 och = 4 5 = 2 5 = 32. Om q är udd kn vr negtivt.

14 14 Komplex tl När mn löser ndrgrdsekvtioner kn det händ tt mn får ett negtivt tl under rottecknet. Det enklste exemplet är x = 0 eller x 2 = 1. Det finns inget reellt tl vrs kvdrt är negtiv så en sådn ndrgrdsekvtion sknr reell lösningr. För tt lös dett problem inför mn de komplex tlen (nlogt med tt mn inför negtiv och rtionell tl för tt kunn lös viss ekvtioner). Ett komplext tl z kn skrivs z = x + iy där x och y är reell tl och i den imginär enheten, ett nytt tl med egenskpen tt i 2 = 1. Mn räknr sedn med dess komplex tl som vnligt plus den extr räknelgen tt i 2 = 1. Mn kn nu vr orolig för tt den här processen ldrig tr slut och tt mn ständigt måste inför ny typer v tl. Lyckligtvis är det inte så. Ett vckert mtemtiskt resultt, Algebrns fundmentlsts, säger nämligen tt vrje polynomekvtion (med komplex koefficienter) hr en lösning som är ett komplext tl. Restklssritmetik (kongruensräkning, modulär ritmetik) Exempel 1. Pelle hr vrit på långsemester i 40 dgr. Hn åkte på en lördg. Vd vr det för veckodg när hn kom tillbk? Vi numrerr veckodgrn så tt måndg är dg 1, tisdg dg 2,..., lördg dg 6 och söndg dg 7. Om vi räknr in resdgrn i de 40 dgrn Pelle vr bort så gäller tt Pelle kom tillbks på dg nummer = 46 = Eftersom det finns 7 dgr i veckn kom Pelle tillbk på veckodg 4 dvs. på en torsdg. Exempel 2. Ev föddes nyårsdgen Vd är det för veckodg när hon fyller femtio år? Nyårsdgen 2005 vr en lördg eller dg 6. Vrje år hr 365 dgr förutom skottåren som hr 366 dgr. Det först skottåret efter 2005 är 2008 och sedn är det skottår vrt fjärde år frm tills Ev hr fyllt femtio. Det blir totlt 12 skottår (Vrför?) melln 2005 till Så det går dgr tills Ev fyller femtio. Så hon fyller år på veckodg = 18+(7 7+1)(52 7+1) = = ( ) 7+5. Den först termen är ett helt ntl veckor så femtioårsdgen inträffr på dg 5, dvs. en fredg. Exempel 3. Vd visr minutvisren 3672 minuter efter 12.37? Vi hr 3672 = = = Alltså visr minutvisren = 49. I dess exempel ser vi tt det viktig inte är vd ett visst tl är utn br tlets rest vid division med 7 (i Exempel 1 & 2) respektive 60 (i Exempel 3). För tt kunn räkn på ett enkelt sätt i en sådn sitution gör vi följnde

15 15 Definition Låt n vr ett heltl större än 1. Då gäller om b är jämnt delbrt med n. b (mod n) Vi utläser b (mod n) som och b är kongruent modulo n. Ett nnt sätt tt uttryck tt b (mod n) är tt det finns något heltl s sådnt tt = b + s n. Mn kn också säg tt och b hr smm rest vid division med n. Denn beskrivning gör tydligt tt kongruens modulo n är en ekvivlensreltion, dvs. den uppfyller Reflexivitet: (mod n) Symmetri: Om b (mod n) så b (mod n) Trnsitivitet: Om b (mod n) och b c (mod n) så c (mod n). Heltlen indels då i restklsser efter vilken rest de ger vid division med n. Exempel. Modulo 3 hr vi restklssern [0] = {..., 6, 3, 0, 3, 6,...} [1] = {..., 5, 2, 1, 4, 7,...} [2] = {..., 4, 1, 2, 5, 8,...} Det gäller [ 6] = [ 3] = [0] = [3] = [6], [ 5] = [ 2] = [1] = [4] = [7] osv. Att ett tl är jämnt delbrt med n betyder tt 0 (mod n). Dett är ett krftfullt sätt tt vis tt ett tl är delbrt med n. Mer om dett om en stund. Vi tittr igen på exemplen ovn (mod 7) eftersom 46 4 = 42 är jämnt delbrt med (mod 7) eftersom = = är jämnt delbrt med (mod 60) eftersom = 3660 är jämnt delbrt med 60. Räkneregler Låt n vr ett positivt heltl, k ett godtyckligt heltl, och ntg tt b (mod n) och c d (mod n). Då gäller k bk (mod n) (1) + c b + d (mod n), (2) och c bd (mod n). (3)

16 16 Bevis v (3): Vi hr tt = b + s n och c = d + t n för viss heltl s och t, så c = (b + sn)(d + tn) = bd + btn + snd + stn 2 = bd + (bt + sd + stn) n, så c bd (mod n) eftersom bt + sd + stn är ett heltl. (1) är ett specilfll v (3). Upprepd nvändning v (3) ger tt om b (mod n) så k b k (mod n) för ll positiv heltl k. Subtrktion fungerr också modulo n. Om b och c d så gäller c b d. (Här hr vi underförstått mod n, det kn mn gör när den s.k. modulen n frmgår v smmnhnget.) Däremot går det i llmänhet inte tt divider kongruenser. T.ex. gäller 9 3 (mod 6), men 3 1 (mod 6), så det går lltså inte tt divider med 3 (om mn inte dividerr även modulen med 3). Ett nnt exempel på tt kongruensräkning skiljer sig från heltlsritmetik tt produkten v två tl som inte är noll kn bli noll. Ett sådnt exempel är tt trots tt 2 0 (mod 6) och 3 0 (mod 6) så är 2 3 = 6 0 (mod 6). Låt oss nu se hur vi kn nvänd vårt ny sätt tt räkn på de inlednde exemplen. Exempel 1. I dett och näst exempel låter vi betyd kongruens modulo 7. Eftersom 6 1 och 40 = gäller så Pelle kom hem på en torsdg = 4, Exempel 2. Eftersom 6 1, 12 5, 50 1 och gäller så Ev fyller femtio på en fredg , Exempel 3. Vi räknr modulo 60. Vi hr = = 49 så minutvisren står på 49. Ett nnt exempel är tt om vi vill beräkn sist siffrn i ett tl, t.ex 37 23, så observerr vi tt sist siffrn fås som resten vid division med 10. Nu gäller modulo 10 tt ( 3) 23 = ( 3) = ( 3) (( 3) 2 ) 11 = 3 (9) 11 3 ( 1) 11 = 3 ( 1) = 3. För tt se hur krftfull kongruensräkning är kn du funder på hur mn skulle beräkn sist siffrn i med vnlig ritmetik. En nnn metod är dock tt observer tt vid upprepd multipliktion v ett tl som slutr på 7 med sig självt så får mn successivt tl med slutsiffr 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1,, lltså ett periodiskt förlopp med period 4, så det gäller tt finn vr 23 pssr in, m..o. vd 23 är modulo 4. Vår delbrhetsregler kn lätt verifiers med kongruensräkning. Vi hr t.ex. Ett heltl är delbrt med 11 precis då dess lternernde siffersumm är delbr med 11. Låt nämligen tlet vr = n n 1 n , där n, n 1,..., 0 är siffrorn då skrivs i bs 10 som vnligt, så (modulo 11) = n 2 10 n 2 + n 1 10 n 1 + n 10 n ( 1) + 2 ( 1) n 2 ( 1) n 2 + n 1 ( 1) n 1 + n ( 1) n = n 2 ( 1) n 2 + n 1 ( 1) n 1 + n ( 1) n. Tlet ger lltså smm rest vid division med 11 som sin lternernde siffersumm.

17 17 Ekvtioner och olikheter En ekvtion är en likhet där båd leden kn innehåll en eller fler obeknt (x, y,... ). Exempel: 2x + 3 = 5, x + 3y = 5 + y, 7 = 3 är ekvtioner. I en ekvtion får mn dder vilket tl som helst till båd sidorn och mn får då en ekvtion som är ekvivlent med den ursprunglig ekvtionen. ( Ekvivlent betyder här tt den ny ekvtionen hr smm lösningr. Vrför hr den det?) Tlet mn får lägg till kn också vr negtivt, dvs. mn kn även subtrher smm tl från båd sidor. T.ex. är ekvtionen 2x = 5 3 ekvivlent med den först. Dett kn också skrivs 2x = 5 3, 2x = 2. Oft bkr mn ihop de två stegen till ett, dvs. mn går direkt från 2x + 3 = 5 till 2x = 5 3. Dett brukr mn formuler så tt mn flyttr över 3 till ndr sidn v likhetstecknet och ändrr tecken. I en ekvtion får mn också multiplicer båd leden med vilket nollskilt tl som helst och mn får även då en ekvtion som är ekvivlent med den ursprunglig. Eftersom tlet kn vr ett bråktl betyder det tt mn också får divider båd leden med smm tl. T ex kn mn gå från 2x = 2 till vilket kn skrivs 2x 1 2 = x = 2 2, x = 1. Också här bkr mn oft ihop de två stegen till ett och går direkt från t.ex. 15x = y till x = y 15. Dett brukr mn formuler så tt mn flyttr 15 till ndr sidn likhetstecknet och sätter det under bråkstrecket. Olikheter Olikheter, dvs. utryck v typen 2x + 3 > 5 får behndls på precis smm sätt med ett viktigt undntg. Det tl som mn multiplicerr med måste vr positivt. Följnde är lltså korrekt: men 2x + 3 > 5, 2x > 2, x > 1 2x + 3 > 5, 2x 2 > 0, 2 > 2x, 1 > x är inte korrekt (eftersom vi hr dividert med 2 i sist steget). Det sist ledet sk i stället vr 1 < x: multipliktion eller division med ett negtivt tl leder till tt olikheten byter riktning.

18 18 ÖVNINGAR 1. I texten illustrers räknelgen (b + c) = b + c för nturlig tl. Hur illustrerr mn på liknnde sätt tt b = b och tt (b)c = (bc)? 2. Vi hr en lgoritm för tt beräkn produkten v flersiffrig nturlig tl utgående från en multipliktionstbell för ensiffrig sådn tl. Genomför den för Vrför fungerr den? Vilk räknelgr nvänder du för tt se tt lgoritmen fungerr? 3. Vi hr en lgoritm för tt subtrher nturlig tl. Genomför den för Vrför fungerr lgoritmen? 4. Hur vgör mn om två rtionell tl är lik? Hur vgör mn om det en är större än det ndr? () Vilk v följnde rtionell tl är lik? Använd inte räknedosn! , , , , , (b) Ordn följnde rtionell tl i storleksordning. Börj med det minst. 5. Beräkn () ( )( ) , , (b) (c) 35 ( ) Svr på så enkel form som möjligt. (Känner du dig osäker på denn uppgift bör du gå tillbk till din tidigre läroböcker och repeter!) 6. Följnde misstg i räkningr är inte ovnlig: + b + c = b c b + c = b c Vilk missuppfttningr ligger bkom dem? För vilk tl, b och c stämmer de? 7. Priset på en vr stiger en veck med 20% för tt veckn efter sjunk med 7%. Hur mång procent hr vrns pris stigit under de två veckorn? Vd händer om priset sjunker 7% under först veckn och sedn stiger 20% under den ndr? 8. Skriv följnde tl på decimlform (utn tt nvänd räknedos). () 7 9 (b) 2 13 (c) 21 5 (d)

19 19 9. Skriv följnde tl som rtionell bråk. () 0,237 (b) 0, (periodiskt) (c) 0, (periodiskt) (d) 12, (periodiskt) (e) 34, (periodiskt) 10. Beräkn exkt! 11. Avgör om det givn rtionell tlet är större eller mindre än 3. (En räknedos kn vr till hjälp, men håll dig till heltl!) () (b) (c) Bestäm de tre först decimlern i decimlutvecklingen v 3. (Räknedos kn vr till hjälp, men nvänd metoden i texten. Knpp inte in 3 direkt!) 13. Ange en decimlutveckling v ett reellt tl som grntert inte är rtionellt. 14. I texten hävds det tt det melln två olik rtionell tl lltid finns oändligt mång ndr rtionell tl. Vrför stämmer det? 15. Finns det lltid ett rtionellt tl melln två olik reell tl? Vrför? Stämmer det också tt det melln två olik reell tl finns oändligt mång olik rtionell tl? 16. Beräkn , , Hur mång siffror hr tlet om mn skriver ut det i vårt vnlig positionssystem? 18. Förenkl Vd står timvisren på 3729 timmr efter kl. tre? Hur mång dgr hr det då gått? 20. Vilken veckodg är det 412 dgr efter långfredgen? Hur mång veckor hr det då gått? 21. Beräkn sist siffrn i 22. Lös följnde ekvtioner: () 7 3 (5x + 2) = x 10 (b) (x 3)(x ) = x (c) (x 3 7 )(2x 7) = 2x Lös följnde olikheter: () 8x + 5 > 10x 3 (b) (x 3)(x ) < x (c) 8x 7 3 > 15x () 33 8 (b) och (c)

20 Lös ekvtionern x 2 + 2x + 1 = 4, x 2 + 2x = 8, x 2 + 6x = Klle tänker på ett tl. Hn multiplicerr tlet med 5 och lägger till 10. Sen multiplicerr hn med 2. Tlet hn får då är 40. Vilket tl tänkte hn på? Svr och lösningr till någr v övningrn 4. () Vi gör först en grov uppskttning v tlen. Vi hr = 1 4, = 4 3, = 1 4, = 1 4, = 4 3, = 1 4. För tlen som är ungefär 1 4 gör vi en noggrnnre undersökning. Eftersom = = är = Eftersom = = är = Eftersom = < = är < Smmnfttningsvis gäller = < = Alterntiv. Mn kn också förkort ll bråk så långt som möjligt. Tlen som är ungefär 4 3 överlämns till läsren. (b) Eftersom = < = gäller < Eftersom = < = gäller < Alltså < < () (b) Vi hr och Dett ger (c) = = = = = = = = = =

21 21 6. Den först är snn om = 0 eller b = c. Den ndr är snn om b = 0 eller om c = +c, m..o. om c = Efter två veckor är priset i båd fllen = gånger det ursprunglig. 8. () 0, (b) Vi hr 0, , Nu gäller det tt divider 2 med 13, dvs smm problem som vi börjde med och det hel kommer tt uppreps. Alltså är 2 = 0, (c) 4, 2 (d) 2, () (b) = 79 (c) = (e) Låt r = 34, För tt få perioden 243 tt komm direkt efter decimlkommt multiplicerr vi med 10 och får 10r = 341, Nu multiplicerr vi dett tl med 1000 (eftersom perioden är tre) och får r = , r = 341, Dett ger 9990r = 10000r 10r = = och r = Vi kn 9990 förkort och få = () Större (b) Större (c) Eftersom 71 2 = 5041 < 5043 = gäller , ty < 3 < ( ) 71 2 < 3 och lltså < 3.

22 Ett decimltl som inte är periodiskt är inte rtionellt. Ett sådnt exempel är t.ex. 0, (Antlet nollor melln två ettor ökr hel tiden med ett.) 14. Om tlen är och b så ligger m 1 = 1 (+b) melln och b (Vrför?) och är ett rtionellt 2 tl (Vrför?). Så vi ser tt det finns ett rtionellt tl som ligger melln och b. Nu kn vi upprep dett. Låter vi m 2 = 1 2 ( + m 1) så ligger m 2 också melln och b, det gör också m 3 = 1 2 ( + m 2) osv. 15. () J. Först ger vi två exempel som kn förklr vrför. 1. Om = 3, och b = 3, så ligger 3, melln och b. Vi letr lltså efter den först siffrn där tlen skiljer sig åt och väljer näst deciml melln dem i och b. 2. Ett lite lurigre exempel är A = 3, och B = 3, Då kn vi t 3, som ligger melln A och B. Anmärkning. Vi kn nt tt decimlutvecklingen inte slutr med oändligt mång nior. Allmänt, om b så finns ett positivt heltl n så tt 1/n < b, så om vi mrkerr ll punkter på tllinjen som kn skrivs som ett rtionellt tl med nämnre n, så kommer minst en v dess punkter tt hmn melln och b (punktern ligger tätre än vståndet melln och b). (b) J! eller 8 32 = 256, 2 15 eller = 32768, 1/ Tlet är = ; 15 siffror Vi räknr modulo 24. Eftersom 3729 = gäller = 12 så visren står på tolv och det hr gått 155 dgr. 20. Torsdg. 58 veckor. 21. () 1. (b) Modulo 10 gäller = (7 2 ) 18 = ( 1) 18 = 1 så sist siffrn är 1. (c) ()x = 11 8 (b)x = (c)x = ()x < 4 (b)x > (c)x < x = 1 ± 2, x = 1 ± 3, x = 3 ±